PLANO DE AULA UFSC LEI DE COULOMB E GAUSS

Prévia do material em texto

CONCURSO UFSC – PLANO DE AULA1 
PROVA DE DESEMPENHO DIDÁTICO 
EDITAL 022/DDP/2015 
 
Candidata: CAMILA GASPARIN 
 
Tema: LEIS DE COULOMB E GAUSS 
Objetivo: Trabalhar as Leis de Coulomb e Gauss, detalhando e discutindo a 
fenomenologia, explanando a matemática básica envolvida e trabalhando alguns 
exemplos para entendimento prático dos alunos. 
Recursos Instrucionais: Computador, projetor, quadro negro, giz. 
 
Planejamento da aula (duração de 40 a 45 minutos)
2
: 
 
Revisão e Introdução da Lei de Coulomb (aprox. 10 min): 
 Considerando que os alunos devem ter clareza nos conceitos de carga elétrica, 
conservação e quantização da carga, será feita uma revisão rápida destes aspectos 
seguindo para a introdução da Lei de Coulomb. 
 Como a massa gravitacional de um corpo está ligada e é primórdio da força 
gravitacional, a carga elétrica está ligada à força elétrica, podendo ser positiva ou 
negativa (por convenção). A matéria, então, é normalmente neutra, ou seja, com iguais 
cargas positivas e negativas, o que cancela o efeito das interações elétricas. 
A hipótese elaborada por Benjamin Franklin, cujas experiências o convenceram que na 
eletrização não há criação de cargas, apenas transferência destas de um corpo a outro, 
traz a mais antiga formulação da Lei de Conservação da Carga Elétrica
3
. Importante 
também é lembrar que a Quantização da Carga, que pôde ser demonstrada através da 
 
1
 Este não é, naturalmente, um plano de aula tal qual normalmente usado. É sim uma versão especial mais 
longa e comentada para mais entendimento do planejamento e atividades por parte da banca. 
2
 Esta aula não pode ser trabalhada avulsamente, ela faz parte de uma série de aulas que prevê uma aula 
anterior, de cerca de 40 minutos na qual seriam introduzidos os conceitos de carga, discutidas as formas 
de eletrização, comentados os experimentos históricos relacionados à carga elétrica, lei da conservação e 
a quantização da carga elétrica. Alguns destes experimentos, mais simples, poderiam ser reproduzidos em 
sala ou demonstrados através de applets, permitindo não apenas o entendimento dos aspectos discutidos, 
mas também da história da ciência, o caminho evolutivo dos conceitos aqui citados e a confluência de 
ideias ao longo do tempo. Muitos destes experimentos poderiam ser encontrados em artigos científicos, 
mas também no livro de Assis. 
3
 Foi, inclusive, através desta formulação, baseada na transferência de cargas e considerando que os 
corpos são, a princípio, neutros, que chega-se à nominação positivo e negativo se referindo às cargas 
elétricas dos corpos. 
 
experiência de Milikan e diversas outras, nos diz que a carga elétrica só pode ser 
encontrada em múltiplos de um único valor unitário
4
. 
Por último, recordamos que os processos de eletrização são atrito (triboeletrização), 
contato e indução. 
 A partir disso, podemos começar a discutir a Lei de Coulomb uma vez que ela 
trata da interação entre duas cargas quanto às forças exercidas uma sobre a outra. Esta 
força é a Força Elétrica
5
 que é gerada pela carga e pode ser sofrida por esta
6
. 
A interação entre duas cargas elétricas não precisa de meio material, podendo se 
manifestar no vácuo e sendo a interação através de fótons, ou seja, como a Relatividade 
Restrita diz que a maior velocidade permitida na natureza é a da luz (fótons) no vácuo, 
esta é a velocidade da interação entre as cargas elétricas. 
O experimento de eletrização por atrito no qual um bastão é atritado e passa a atrair 
objetos inicialmente neutros indica que a interação elétrica deve depender da distância 
da separação entre as cargas, pois, neste experimento, o efeito de atração pela indução 
só passa a ser observado quando aproximamos o bastão eletrizado dos objetos 
inicialmente neutros. 
 Pois bem, agora nossa lógica inicial relacionando massa gravitacional à força 
gravitacional e carga elétrica à força elétrica passa a fazer sentido, pois voltamos nossa 
atenção aos experimentos de Prestley
7
 que, em 1766, verificou experimentalmente que 
com carga apenas na superfície inexistem forças no interior de um objeto metálico oco 
carregado. A mesma previsão é proveniente da Lei da Gravitação, pela qual a força 
gravitacional produzida no interior de um objeto esférico oco é nula e cuja dependência 
da força se dá com o inverso do quadrado da distância. Assim, Prestley inferiu que a 
força elétrica deveria ter uma dependência semelhante à gravitacional. 
Em 1771, Henry Cavendish realizou a experiência da balança de torção através da qual 
determinou a constante gravitacional G. 
Esta constante aparece na equação de Charles Augustin de Coulomb que realizou, em 
1785, com John Mitchell e independentemente de Cavendish, experimento com balança 
de torção, com o qual verificou a dependência com o quadrado da distância da interação 
 
4
 Sendo este o valor da carga do elétron. Assim, a carga do elétron é: 
– e = -1,6021892 x 10−19 
e a carga do próton é: 
e = 1,6021892 x 10−19. 
5
 MACHADO, páginas 169 a 172. 
6
 Conforme comenta Machado, a explicação completa de como a força elétrica age entre duas cargas 
elétricas precisa da Eletrodinâmica Quântica, o que foge ao objetivo desta aula. 
7
 Joseph Pristley, químico inglês que descobriu o oxigênio. 
 
entre cargas elétricas, que o levou a estabelecer a lei de interação elétrica, cuja notação 
moderna é 
𝐹 = 𝑘
|𝑞1||𝑞2|
𝑟²
 
Esta é a Lei de Coulomb, válida para o módulo da força, na qual: 
k: fator de proporcionalidade independente de q ou r; 
𝑞1 e 𝑞2: valores das cargas; 
r: a distância entre elas
8
. 
 
Discussão, matematização e exemplificação (aprox. 10 min): 
 Seguindo para a discussão da lei de Coulomb e seus aspectos matemáticos com 
resolução de dois exercícios exemplos
9
 de forma a instrumentalizar os alunos para 
posterior resolução de exercícios do capítulo 21 do Halliday. 
 Definida a Lei de Coulomb em módulo, vamos defini-la em sua forma vetorial. 
Para isso consideramos duas cargas pontuais
10
, conforme podemos ver na figura 1, 
localizadas no vácuo, nas posições 𝑟 e 𝑟′⃗⃗⃗, sendo 𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗ o vetor que aponta de 𝑞 para 𝑄 e 
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ | o módulo da distância entre 𝑞 para 𝑄. 
 
 
Figura 1: Cargas pontuais q e Q no vácuo
11
. 
 
Assim, a força elétrica exercida por q em Q é dada por: 
 
8
 Comentários extras quanto ao assunto podem ser encontrados no livro de Maxwell entre as páginas 32 e 
47. 
9
 Naturalmente, dois exercícios exemplos não serão suficientes para que todos alunos possam resolver 
todos exercícios propostos com tranquilidade, porém buscando a monitoria da disciplina e tirando dúvidas 
posteriores com a professora (em horário a ser marcado) não haverá dificuldades de chegarem a total 
entendimento dos exercícios. 
10
 Cargas pontuais aqui consideradas são aquelas cuja dimensão é desprezível em relação à distância entre 
elas. 
11
 Machado, página 173. 
 
𝐹𝑄(𝑟)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑘𝑞𝑄
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
 
Ou seja, se as cargas tiverem o mesmo sinal, a força exercida por q em Q terá sentido de 
𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗ e temos a força repulsiva, mas se as cargas tiverem sinais opostos esta força terá 
sentido −(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ ) apontando para q, ou seja, temos uma força atrativa12. 
Nos falta apenas determinar a constante k, que é 
𝑘 =
1
4𝜋𝜀𝑜
 
onde 𝜀𝑜 é a permissividade elétrica no vácuo e tem valor 
𝜀𝑜 = 8,854187818 𝑥 10
−12
𝐶²
𝑁. 𝑚²
 
E então, 
𝑘 =
1
4𝜋𝜀𝑜
= 8,987551790 𝑥109 
𝑁. 𝑚2
𝐶²
 ≃ 9,0 𝑥 109 
𝑁. 𝑚2
𝐶²
 
É importante destacar a Lei da Superposição que permite calcular a contribuição de n 
cargas q agindo sobre uma carga Q, sendo a soma vetorial de todas as forças que agem 
sobre esta, ou seja, 
𝐹𝑄(𝑟)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
𝑄𝑞1
4𝜋𝜀𝑜
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
+ 
𝑄𝑞2
4𝜋𝜀𝑜
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
+ ⋯ +
𝑄𝑞𝑛
4𝜋𝜀𝑜
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |
3
= 
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
∑ 𝑞𝑖
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
𝑛
𝑖=1
 
Caso não tenhamos cargas bem localizadas, mas uma distribuição contínua de cargas 
num certo volume V com densidade volumétrica ⍴(𝑟′⃗⃗⃗⃗ ), então a soma se transforma em 
uma integral, e temos 
𝐹𝑄(𝑟)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
∫ ⍴(𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³𝑉
𝑑𝑉 
 
 Finalizando, resolvemos agora dois exemplos simples do livro de Machado 
(páginas 176 e 177): 
 
Exemplo 1: Calcule a intensidade da força elétrica entre duas cargas pontuais de valores 
𝑄1 = 4,8 𝑥 10
−6𝐶 e 𝑄2 = −3,2 𝑥 10
−7𝐶, quando separadas por 10 cm. 
 
12
 Será demonstrado rapidamente no quadro. 
 
 
 A força entre as cargas é atrativa, já que os sinais das cargas são opostos. Em 
módulo temos, 
𝐹 =
1
4𝜋𝜀𝑜
|𝑄1||𝑄2|
𝑟²
= 9,0 𝑥 109 𝑥 
4,8 𝑥 10−6 𝑥 3,2 𝑥 10−7
(10−1)²
= 1,536 𝑁 
 
Exemplo 2: Suponha que duas esferas idênticas tenham cargas Q e 2Q e que elas 
estejam separadas por uma distância d. Qual é o módulo da força entre elas? Se as 
esferas forem postas em contato, qual será a nova carga de cada uma, e qual o novo 
valor do módulo da força entre elas se forem separadas novamente pela distância d? 
 
 A força entre as cargas é repulsiva, e ela é dada em módulo por 
𝐹 =
1
4𝜋𝜀𝑜
|𝑄1||𝑄2|
𝑟²
= 
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄. 2𝑄
𝑑²
= 
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑄²
𝑑²
 
Após o contato, as esferas adquirem cargas iguais, de valor 
𝑄1 = 𝑄2 =
𝑄 + 2𝑄
2
=
3𝑄
2
 
e agora o módulo da força vale 
𝐹′ =
1
4𝜋𝜀𝑜
|𝑄1||𝑄2|
𝑟2
= 
1
4𝜋𝜀𝑜
 
3𝑄
2 .
3𝑄
2 
𝑑²
=
9
16𝜋𝜀𝑜
𝑄2
𝑑²
 
e a relação entre os módulos das forças é 
𝐹′
𝐹
=
9
16𝜋𝜀𝑜
𝑄2
𝑑²
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑄2
𝑑²
=
9
8
 
 
Introdução, discussão e rápida matematização da Lei de Gauss
13
 (aprox. 10 min): 
 Para introduzir e discutir a Lei de Gauss seria natural discutirmos o Campo 
Elétrico e calcularmos para algumas situações. Porém, aqui, outro caminho é escolhido. 
Seguiremos para o entendimento de Linhas de Campo, Fluxo e Lei de Gauss. 
Assim, por agora, podemos introduzir que o Campo Elétrico aqui considerado se dá por 
sua relação com a carga e a força através de 
 
13
 A sequência natural do conteúdo, presente nas diversas referências aqui adotadas, é seguir para o 
conceito de Campo Elétrico. No entanto, aqui isto será subvertido. Seguiremos à Lei de Gauss 
comentando rapidamente sobre as linhas de campo, e o retorno ao Campo Elétrico fica para a aula 
seguinte com trabalho detalhado sobre o conceito e cálculo do Campo Elétrico de diversos exemplos 
como fios infinitos e espiras. 
 
�⃗� = 𝑞. �⃗⃗� 
ou seja, 
�⃗⃗� =
𝐹
𝑞
⃗⃗⃗
 
Como vimos anteriormente, 
𝐹𝑄(𝑟)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
𝑞𝑄
4𝜋𝜀𝑜
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
=
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
∑ 𝑞𝑖
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
𝑛
𝑖=1
= 
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
∫ ⍴(𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³𝑉
𝑑𝑉 
E assim temos, 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
=
1
4𝜋𝜀𝑜
∑ 𝑄𝑖
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³
𝑛
𝑖=1
= 
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ ⍴(𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
(𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ )
|𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗⃗ |³𝑉
𝑑𝑉 
em que a última expressão nos dá o Campo Elétrico em uma distribuição contínua de 
cargas em um certo volume V, com densidade volumétrica de cargas ⍴(𝑟′⃗⃗⃗⃗ ). 
Além disso, é interessante entendermos as linhas de campo, pelo menos de forma 
ilustrativa. 
 
Figura 2: Linhas de campo elétrico de uma carga pontual positiva e negativa. Observe que a 
simetria das linhas de campo é esférica.
14 
 
Podemos observar as seguintes características das linhas de campo: 
- As linhas de campo elétrico são direcionais. 
- Nas proximidades de cargas pontuais positivas, as linhas de campo elétrico parecem 
surgir destas, pois é convenção que o campo elétrico gerado por estas se orienta 
radialmente para fora. O oposto acontece com as cargas pontuais negativas, cujas linhas 
de campo elétrico nestas parecem ter fim, já que a convenção nos diz que o campo 
elétrico se orienta radialmente em direção a estas cargas. 
- O número de linhas de campo saindo ou entrando em uma carga é proporcional ao 
valor Q da carga. 
 
14
 Machado, página 215. 
 
- O número de linhas de campo que atravessam uma superfície S normal às linhas em 
um dado ponto do espaço é proporcional à intensidade do campo elétrico neste ponto
15
. 
 
Agora, podemos falar de fluxo do campo elétrico através de uma superfície
16
. 
Podemos dizer que o fluxo é, basicamente, o produto escalar de um vetor, neste caso o 
campo elétrico, com uma superfície. Se formos analisar o fluxo de campo elétrico de 
uma carga pontual, será mais fácil analisarmos através de uma superfície esférica que 
envolva a carga, como pode ser visto na figura 3. 
 
Figura 3: Carga pontual positiva envolta por uma superfície fechada S
17
. 
 
Como o campo elétrico de uma carga pontual tem simetria esférica radial, em cada 
ponto da superfície o campo �⃗⃗� tem módulo constante18 e está na mesma direção que a 
normal à superfície, que é radial. Assim, o fluxo de campo elétrico é dado por 
𝛷𝜀 = ∯ �⃗⃗�. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = ∮ �⃗⃗�. . 𝑑𝐴
𝑆
= ∮ 𝐸. . . 𝑑𝐴
𝑆
= 
𝐸. ∮ 𝑑𝐴
𝑆
= 𝐸. 4𝜋𝑟² =
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟²
. 4𝜋𝑟² 
Portanto, 
𝛷𝜀 = 
𝑄
𝜀𝑜
 
O resultado obtido nos traz que o fluxo de linhas de campo elétrico no caso analisado 
depende da carga Q envolvida pela superfície escolhida. 
 
15
 Machado, páginas 215 e 216. 
16
 Podemos pensar em um análogo ao fluxo de água em um cano. A superfície que determina o fluxo (a 
vazão) de água no cano tem a ver com o fluido que o atravessa e a área desta superfície (determinada pelo 
diâmetro do cano). 
17
 Machado, página 218. 
18
 O que fica claro uma vez que não há variação da carga dentro da superfície considerada. 
 
Vale ressaltar que para qualquer superfície escolhida o resultado encontrado seria o 
mesmo, porém, ao escolher outra superfície menos coerente com a distribuição de linhas 
de campo elétrico do caso, os cálculos seriam apenas dificultados. 
Desta forma simples, obtivemos a Lei de Gauss, que é mais conhecida em sua forma 
integral
19
: 
∯ �⃗⃗�. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 
𝑄
𝜀𝑜
 
Finalizando, neste caso consideramos uma carga envolta por uma superfície. Mas se 
tivéssemos um caso no qual temos apenas uma superfície atravessada por linhas de 
campo, não geradas por nenhuma carga no seu interior, a menos que houvesse um 
sumidouro de linhas nesta superfície, deveríamos ter o mesmo número de linhas 
entrando e saindo deste. Ora, como neste caso a carga Q é zero, o fluxo de linhas será 
também zero (uma vez que tudo que entrou, saiu), teríamos 
∯ �⃗⃗�. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 
𝑄
𝜀𝑜
=
0
𝜀𝑜
= 0 
 
Exemplificação (aprox. 5 min): 
 Resolvemos agora um simples exemplo para melhor atendimento dos alunos einstrumentação básica destes para resolução de outros exercícios propostos. Também do 
livro de Machado, este exemplo se encontra entre as páginas 226 e 227. 
 
Exemplo 3: Considere uma carga pontual Q situada na origem. 
a) Qual é o campo elétrico gerado por esta carga? 
 O campo elétrico gerado por uma carga pontual tem uma simetria esférica radial, 
como mostra a figura 2. Isto significa que, a uma distância r da carga, o módulo do 
campo elétrico é constante e que sua direção é radial para fora, se a carga é positiva, ou 
para dentro, se ela é negativa. Essa simetria sugere que a melhor superfície gaussiana 
neste caso é uma esfera de raio r, centrada na carga, como mostra a figura 3. Assim, a 
normal à superfície é dada por = , e temos 
∮ �⃗⃗�. . 𝑑𝐴
𝑆
= 
1
𝜀𝑜
∫ ⍴
𝑉
𝑑𝑉 
A integral do lado direito dá a carga Q dentro da superfície e o campo elétrico do lado 
esquerdo pode ser escrito como �⃗⃗� = ±𝐸 , onde o sinal positivo vale para uma carga Q 
 
19
 Na próxima aula pode ser inserida a Lei de Gauss na forma diferencial. 
 
positiva e o sinal negativo para uma carga Q negativa e, nesse caso, 𝐸 > 0. Portanto, 
obtemos 
∮ ±𝐸 . . 𝑑𝐴 =
𝑄
𝜀𝑜𝑆
 
O módulo do campo elétrico E é constante na superfície e pode ser retirado da integral, 
ou seja, 
±𝐸 ∮ 𝑑𝐴 =
𝑄
𝜀𝑜𝑆
 
±𝐸. 4𝜋𝑟² =
𝑄
𝜀𝑜
 
±𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟²
 
E, considerando a notação vetorial, 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟²
 
b) Qual a força elétrica exercida sobre uma carga na posição 𝑟? 
 A força elétrica exercida sobre uma carga q é dada por 
�⃗� = 𝑞. �⃗⃗� = 𝑞
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟²
 =
1
4𝜋𝜀𝑜
 
𝑞𝑄
𝑟²
 
Esta expressão é, na verdade, a lei de Coulomb para a força elétrica entre duas cargas, 
deduzida a partir da Lei de Gauss. 
 
Fechamento e orientação de exercícios selecionados (aprox. 5 min): 
Resumo final da aula e espaço para dúvidas com orientação dos exercícios básicos a 
serem resolvidos para verificação do aluno de seu entendimento. 
Os exercícios a serem resolvidos como forma de identificação e solução das dúvidas 
quanto ao conteúdo são os dos capítulos 21 e 23 do Halliday. 
Os assuntos referentes ao capítulo 23 serão retomados na aula seguinte com a resolução 
da lei de Gauss para uma série de simetrias. 
Boa fonte de revisão são alguns vídeos do YouTube como os do canal 
“EletromagnetismoUFF”, a exemplo do “Aula 1.1 - Introdução: Lei de Coulomb, lei de 
Gauss (forma integral)”, disponível em 
<https://www.youtube.com/watch?v=YTCXXG8Bpks> e vídeos subsequentes, e o 
“Cursos Unicamp – Física Geral III” da Univesptv, disponível em < 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLxI8Can9yAHdG8tw2QofrU02IuAEVyGlL>. 
 
 
Atividade Extra (aprox. 5 min): 
Sobrando tempo de aula, serão apresentados os applets sobre Força Elétrica e Lei de 
Gauss disponíveis em 
<http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Electricity/1108G
aussLaw/Main.html>, 
<http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Electricity/1107E
lecFlux/Main.html>. 
 
Referências: 
ASSIS, André K. T. Os Fundamentos Experimentais e Históricos da Eletricidade. 1ª 
edição. São Paulo, SP: Editoria Livraria da Física, 2011. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8ª 
edição. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009, volume 3. 
MACHADO, Kleber D. Eletromagnetismo. Ponta Grossa, PR: TODAPALAVRA, 
2012, volume 1. 
MAXWELL, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. 3ª edição. 
Clarendon Press, volume 1. 
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica – Eletromagnetismo. 1ª edição, 
6ª reimpressão. São Paulo, SP: Editora Blücher, 2007, volume 3. 
PURCELL, Edward M. Curso de Física de Berkeley – Eletricidade e Magnetismo. 
Brasília, DF: Editora Edgard Blütcher LTDA, volume 2. 
 
 
 
 
CAMILA GASPARIN. 
FLORIANÓPOLIS - SC, 04/03/2015.