PLANIMETRIA AULA

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Table of Surveying, from the 1728 ''Cyclopaedia'', Volume 2. 
TOPOGRAFIA 
[Unidade III - Planimetria] 
Prof.: David Gurion Tiago 
david.guriont@gmail.com 
 
 
 
 
Revisão (09) 
T O P O G R A F I A 
[Unidade III] 
Prof.: David Gurion Tiago 
 NOTAS GERAIS: 
 
a. Este material foi desenvolvido tomando como referência as bibliografias 
informadas no plano de ensino desta disciplina, monografias, trabalhos de 
conclusão de curso, dissertações, teses entre outras referências que podem ser 
acessadas na Internet. Sobretudo, é pautada na experiência profissional do 
professor, adquirida no decorrer de vários anos de trabalho; 
 
b. Àqueles que também fazem parte de um corpo docente e queiram adotar este 
material como referência, podem entrar em contato solicitando este material em 
forma de apresentação (slides); 
 
c. Este material está em constante processo de aperfeiçoamento, e 
consequentemente, sofre constantes revisões. Mantenha-se informado quanto ao 
número da revisão expresso na capa desta apostila e, se necessário, o item “b” 
deve ser reiterado; 
 
d. Espera-se fielmente que este material possa ser útil à todos. 
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 ÍNDICE 
5.0 LEVANTAMENTOS 
5.1 TOPOGRÁFICOS 
5.2 GEODÉSICOS 
6.0 LEVANTAMENTOS DE MEDIDAS 
6.1 TOPOGRÁFICAS PLANAS 
6.2 GEODÉSICAS 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.1 Definição 
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 ÍNDICE 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e 
ferramentas 
7.1.3 Orientação 
 a) Rede Geográfica 
 b) Meridianos 
 c) Declinação magnética e Convergência meridiana 
 7.1.4 Medida de ângulos e de distâncias 
 a) Definições 
 b) Ângulos mais comuns na topografia 
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 ÍNDICE 
7.1.5 Medida de distâncias 
7.1.6 Métodos de Levantamentos (Conforme NBR) 
7.1.7 Cálculo de Poligonais 
7.1.8 Cálculo de áreas 
7.1.9 Memorial Descritivo 
5.0 LEVANTAMENTOS 
Compreende-se por levantamento o conjunto de operações destinado à 
execução de medições para a determinação da forma e dimensões do 
planeta. Dentre os diversos levantamentos necessários à descrição da 
superfície terrestre em suas múltiplas características, destacam-se: 
 
 Levantamentos Topográficos 
 Levantamento Geodésicos 
 
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5.0 LEVANTAMENTOS 
5.1 TOPOGRÁFICOS 
São realizados para locação de objetos e medição do relevo ou 
alterações tridimensionais da superfície da Terra. São obtidas 
informações detalhadas sobre as alturas, assim como sobre a locação 
de feições naturais e artificiais (prédio, estradas, rios, etc.), e a 
informação completa é traçada em mapas (chamados de mapas 
topográficos). 
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5.0 LEVANTAMENTOS 
5.1 GEODÉSICOS 
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Compreendem o conjunto de atividades dirigidas para as medições e 
observações que se destinam à determinação da forma e dimensões do 
nosso planeta. É a base para o estabelecimento do referencial físico e 
geométrico necessário ao posicionamento dos elementos que compõe 
a paisagem territorial. 
6.0 LEVANTAMENTOS DE MEDIDAS 
6.1 TOPOGRÁFICAS PLANAS 
 
São levantamentos que quando da 
aquisição de medidas, desconsideram a 
curvatura terrestre. São realizados em áreas 
pequenas, podendo então, negligenciar a 
desconsideração supracitada. 
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6.0 LEVANTAMENTOS DE MEDIDAS 
6.2 GEODÉSICAS 
São levantamentos que quando da 
aquisição de medidas, consideram a 
curvatura terrestre. São realizados tanto 
em áreas pequenas quanto grandes. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 
Dentre as várias partes de estudo da topografia, cabe ressaltar a 
Topometria, que corresponde ao conjunto de operações em campo, 
que com o auxílio de equipamentos de medições, tem a finalidade de 
levantar elementos geométricos e, a partir de cálculos específicos, 
garantir a efetiva representação real do terreno em um desenho. 
Resumidamente, a Topometria pode ser dividido em: 
 Planimetria, e 
 Altimetria 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.1 Definição 
 
É a técnica pela qual as medidas angulares e lineares são reproduzidas 
em um plano horizontal de referência, levando em conta apenas a 
locação dos objetos da área, assemelhando-se à foto da área tirada de 
um avião. Não estarão representados os relevos e as diferenças de 
níveis. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e 
ferramentas 
 
Os equipamentos minimamente necessários, os acessórios e as 
ferramentas serão apresentados na sequencia, podendo destacar: 
 
 Equipamentos: Estação Total. 
 Acessórios: Bastão com bolha, Prisma, Alvo, Piquete, Marco, Trena, Sombreiro 
 Ferramentas: Facão, Foice. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Evolução dos equipamentos 
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Kamal árabe Kamal Balestilha 
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Astrolábio Balestilha II Astrolábio árabe 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Evolução dos equipamentos 
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Octante Quadrante náutico Sextante 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Evolução dos equipamentos 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Evolução dos equipamentos 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Estação Total 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Estação Total 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Estação Total 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Estação Total 
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Prisma 
Alvo 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Prisma e Alvo 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Bastão com bolha 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Tripé 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Tripé 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Tripé 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Emprego 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Emprego 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Emprego 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.2 Equipamentos empregados nas medições, acessórios e ferramentas | Emprego 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
a) Rede Geográfica 
 
Antes mesmo de iniciar os estudos sobre orientação pelo norte terrestre, 
convém atualizar-se a respeito das notações que o cercam. Entende-se por Rede 
Geográfica o conjunto formado por paralelos e meridianos, ou seja, pelas linhas 
de referência que cobrem o globo terrestre com a finalidade de permitir a 
localização precisa de qualquer ponto sobre sua superfície, bem como orientar a 
confecção de mapas. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
a) Rede Geográfica (Continuação ...) 
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Trópico de câncer 
Linha do Equador 
Trópico de Capricórnio 
Círculo Polar Ártico 
Círculo Polar Antártico 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
a) Rede Geográfica | Linhas da Rede Geográfica (Continuação ...) 
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As Linhas dispostas no sentido norte-sul 
(vertical) recebem o nome de Meridianos, 
enquanto que aquelas dispostas no sentido 
Leste-Oeste (horizontal) são denominadas 
Paralelos. 
Polo Norte 
Polo Sul 
M
er
id
ia
n
o
 d
e
 G
re
e
n
w
ic
h
 
Hemisfério 
oriental 
Hemisfério 
ocidental 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
a) Rede Geográfica | Linhas da Rede Geográfica (Continuação ...) 
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Essas linhas estabelecem um sistema de coordenadas 
denominado de Sistema de Coordenadas Geodésico, 
cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que 
passa por Greeenwich, na Inglaterra, e o Equador. As 
coordenadas definidas por esse sistema são 
denominadas Latitudes e Longitudes. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos 
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Em topografia, a direção de uma linha é descrita pelo ângulo horizontal 
que ela faz com uma linha ou direção de referência. Normalmente, isso 
é feito utilizando uma linha fixa como referência, que é o meridiano, 
anteriormente apresentado. Podemos considerar três tipos de 
meridianos: 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Meridiano Verdadeiro ou Geodésico 
 Meridiano Magnético 
 Meridiano Arbitrário 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Meridiano Verdadeiro ou Geodésico 
 
É a direção de uma linha que passa pelos 
pólos geográficos norte e sul e pela posição 
do observador. 
Polo Norte Verdadeiro 
Posição do observador  
Polo Sul Verdadeiro 
Meridiano  
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Orientação pelo Sol |Método do Estilete 
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Orientação pelo Sol |Método do Estilete 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Meridiano Verdadeiro ou Geodésico 
 
O Norte verdadeiro é baseado na direção da gravidade e no eixo de rotação da terra. Ele é 
determinado pela observação do Sol ou outras estrelas cujas posições astronómicas são conhecidas 
(O Sol, a Estrela do Norte e a Polaris são as mais conhecidas). Os meridianos verdadeiros deveriam 
ser utilizados em todos os levantamentos, pois não mudam com o tempo e podem ser 
restabelecidos décadas depois. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Meridiano Magnético 
 
É a direção indicada por uma agulha 
magnetizada de uma bússola na posição do 
observador. 
Polo Norte Verdadeiro 
Posição do observador  
Polo Sul Verdadeiro 
Meridiano  
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Meridiano Arbitrário 
 
É a direção arbitrariamente indicada por 
conveniencia. 
Polo Norte Verdadeiro 
Posição do observador  
Polo Sul Verdadeiro 
Meridiano  
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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Toda planta topográfica, planimétrica, ou mesmo croquis de terreno, 
deve ser orientada segundo as seguintes direções: 
 
 Norte-Sul Geográfica, ou 
 Norte-Sul Magnética. 
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 A direção [Norte-Sul Geográfica] é dada pelo meridiano que passa por um determinado ponto 
da superfície e pelos polos norte e sul geográficos sendo, portanto, imutável uma vez que estes 
polos são fixos. Como a Topografia desconsidera a curvatura da pequena parte da superfície 
terrestre a representar, considerando a mesma plana, pode-se desprezar também o efeito de 
convergência dos meridianos. Sendo assim, os meridianos geográficos, no plano topográfico, são 
paralelos entre si, e são conhecidos também como Meridianos Verdadeiros. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
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 Já a direção [Norte-Sul Magnética] é variável, pois os polos magnéticos não são fixos. Estes 
descrevem uma trajetória próxima dos polos geográficos. Portanto, ao se medir um ângulo entre 
um alinhamento e o Meridiano Magnético é imprescindível que se registre a data da medição. 
 
Sempre que possível, é preferível relacionar um alinhamento à direção Norte-Sul Verdadeira, porque o 
ângulo não sofre alterações, estando, a orientação, sempre correta. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
b) Meridianos (Continuação ...) 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana 
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Através dos meridianos vistos anteriormente, pode-se estabelecer 
algumas relações entre os mesmos, a saber: 
 
 Declinação magnética; 
 Convergência meridiana. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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 Declinação magnética (Dm) 
É o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano verdadeiro, podendo 
estar orientados de três maneiras em relação aos mesmos: 
 
. Ocidental (Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro); 
. Oriental (Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro); 
. Nula (Coincidência entre os dois meridianos). 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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 Declinação magnética (Dm) 
 
O valor da declinação magnética é variável, 
podendo ocorrer tanto no espaço, quanto tempo 
ou acidental. A determinação da mesma pode ser 
através de astronomia de campo por 
magnetômetros ou por mapas isogônicos e 
isopóricos, sendo por estes últimos o mais 
comum. 
ORIENTAL OCIDENTAL 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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 Declinação magnética 
 
. Linhas isogônicas (Linhas que têm o mesmo valor de declinação magnética); 
 
. Linhas isopóricas (Linhas que têm o mesmo valor de variação anual desta 
 declinação). 
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Declinação Magnética em 2012 
Diferença entre o Ano atual e o Ano da observação 
Fração de Ano (Ano atual e o Ano da observação) 
Variação anual da declinação magnética 
Declinação Magnética em 01/Jun/2012 
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DECLINAÇÃO MAGNÉTICA OBTIDA PELO SOFTWARE [DMAG] | UFSC 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
 Declinação magnética (Dm) 
Exercício 1) 
. 
. 
. 
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Exercício 2) 
. 
. 
Carta: 1980 
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Exercício 2) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
 Declinação magnética (Dm) | Roteiro resumo 
Em resumo, para a determinação da Declinação Magnética, pode-se seguir o seguinte roteiro: 
 
I) Obtenção das coordenadas geográficas do ponto onde se deseja determinar a declinação magnética 
(extraída da melhor carta disponível da região) ou com uso do receptor GPS portátil; 
II) Locação do ponto na carta isogônica e cálculo da declinação magnética para o ano da carta, obtida por 
interpolação linear; 
III) Locação na carta isopórica e cálculo da variação anual da declinação magnética, obtida por 
interpolação linear; 
IV) Cálculo da declinação magnética para a data desejada. 
 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência 
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 Convergência Meridiana (Cm) 
 
A Convergência Meridiana é o ângulo formado entre o Norte da Quadrícula e o Norte 
Verdadeiro. É o ângulo (C) que, em determinado ponto (P), é formado pela tangente ao 
meridiano desse, e, à paralela ao meridiano central. 
 
É utilizada para transformar o azimute verdadeiro em azimute plano, e vice-versa. 
 
 
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 MC 
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 MC 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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 Convergência Meridiana (Cm) 
 
Considerando o hemisfério terrestre e a posição 
relativa ao meridiano central, a convergência 
meridiana pode estar nas seguintes posições: 
 
 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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 Convergência Meridiana (Cm) 
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O Meridiano Central é determinado 
considerando-se que a sua variação ocorre de 6 ° 
em 6°. O primeiro meridiano central possui 
longitude igual a 177° e o último possui longitude 
igual a 3°. 
 
Os meridianos centrais possuem, portanto, 
valores iguais a: 3°, 9°, 15°, 21°, ...., 45°, 51°, 57°, e 
assim por diante. Para conhecer o valor da 
longitude do meridiano central de um ponto de 
longitude conhecida, basta situá-lo no fuso. 
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A relação por meridiano é dada pelas fórmulas: 
 
. 𝑀𝑐 = 183 − (6 × 𝐹𝑢𝑠𝑜) 
 
. 𝐹𝑢𝑠𝑜 =
183 − 𝑀𝑐
6
 
 
A relação entre Meridiano (Mc) e Fuso (F) será 
detalhadamente abordada no Capítulo V deste curso. No 
entanto, a relação acima, mesmo que na forma 
resumida, é necessária para o entendimentode assuntos 
subsequentes a este capítulo. 
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 Convergência Meridiana (Cm) 
 
Um cálculo aproximado da Convergência 
Meridiana pode ser dado pela seguinte 
fórmula: 
 
. 𝐶𝑚 = ∆𝜆 × 𝑠𝑒𝑛𝜑 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
Onde: 
 
. Cm = Convergência Meridiana; 
 
. ∆𝜆 = d𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑝o𝑛𝑡𝑜 
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑛𝑎𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙; e 
 
. 𝜑 = Latitude do ponto dado. 
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 Convergência Meridiana (Cm) 
 
Conforme já mencionado, a convergência meridiana é utilizada 
para transformar o azimute verdadeiro, determinando por 
via astronômica, em azimute plano (norte de quadrícula) e 
vice-versa. O azimute plano é utilizado, em geodésia, no 
cálculo do transporte de coordenadas planas sistema UTM 
(E,N). 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência meridiana (Continuação ...) 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.3 Orientação 
C) Declinação magnética e Convergência 
 Convergência Meridiana (Cm) 
 
O azimute verdadeiro é utilizado em topografia para cálculos das 
coordenadas locais (X, Y). O azimute geodésico é referenciado a 
superfície elipsoidal, enquanto o azimute verdadeiro é referenciado a 
superfície geoidal (superfície real da Terra). 
 
Em topografia de minas, para locação da área em campo, o azimute 
verdadeiro é determinado, a partir do azimute plano por técnica GNSS. 
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Exercício 1) 
 
Considerando um determinado 
alinhamento (A-B), cujas 
coordenadas dos vértices deste 
bem como o ângulo formado com 
o norte da quadrícula estão 
expresso ao lado, determine o 
valor do Azimute verdadeiro : 
 
 
 
 
 
𝜑 = - 19°55’47,0655” 
𝜆 = - 43°58’36,3171” 
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Exercício 1) – Resposta 
 
. Cálculo do Meridiano Central 
 
Mc = 183 – (6 x Fuso) 
Mc = 183 – (6 x –23°) = 
Mc = – 45° 
 
. Cálculo da Convergência Meridiana 
 
𝐶𝑚=∆𝜆×𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝐶𝑚=[(- 43°58’36,3171” – (– 45°)] x sen(- 19°55’47,0655”) 
𝐶𝑚= 01°01’23,68” x sen(- 19°55’47,0655”) 
𝐶𝑚= – 0°20’55,65” 
 
𝜑 = - 19°55’47,0655” 
𝜆 = - 43°58’36,3171” 
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T O P O G R A F I A 
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Exercício 1) 
 
Considerando um determinado 
alinhamento (A-B), cujas 
coordenadas dos vértices deste 
bem como o ângulo formado com 
o norte da quadrícula estão 
expresso ao lado, determine o 
valor do Azimute verdadeiro : 
 
 
 
 
 
𝜑 = - 19°55’47,0655” 
𝜆 = - 43°58’36,3171” 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Definições 
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A área que estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo é 
chamado de Goniologia, e pode ser dividido em: 
 
 Goniografia,e 
 
 Goniometria. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Definições 
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 Goniografia 
Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos. 
 
 Goniometria 
Estuda os processos e instrumentos necessários para a medição dos ângulos 
em campo. 
 
 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Definições 
T O P O G R A F I A 
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Pode ser definido como o ângulo horizontal que parte do norte ou do sul no sentido 
horário ou anti-horário até o alinhamento desejado, varia de 0° a 90°, podendo ser NE 
(Nordeste), NO (Noroeste), SE (Sudeste), SO (Sudoeste) e pode ser rumo verdadeiro ou 
magnético dependendo de sua partida. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Ângulo horizontal | Rumo 
T O P O G R A F I A 
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Note na figura ao lado que os valores dos rumos do ponto 
A para B e B para A são iguais, diferenciando-se apenas 
pelos indicativos NE e SO (indicativos de quadrante). Veja 
a figura a seguir para exemplificar os ângulos em seus 
quadrantes. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Ângulo horizontal | Rumo (Continuação ...) 
T O P O G R A F I A 
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T O P O G R A F I A 
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Indicações de rumos: R(0-1), R(0-2), 
R(0-3), R(0-4). 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
a) Ângulo horizontal | Rumo (Continuação ...) 
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É um ângulo horizontal que parte do norte, no 
sentido horário, até o alinhamento desejado, 
varia de 0° a 360°, e pode ser azimute verdadeiro 
ou magnético dependendo de sua partida (ver 
Figura 3.3). Indicações de azimutes: AZ(0-1), AZ(0-2), 
AZ(0-3), AZ(0-4). 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
b) Ângulo horizontal |Azimute 
T O P O G R A F I A 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
b) Ângulo horizontal |Azimute (Continuação ...) 
1º Q 2º Q 
3º Q 4º Q 
[ 
[ 
] 
] 
[ 
[ 
] 
] 
[ 
[ 
] 
] 
[ 
[ 
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T O P O G R A F I A 
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Rumo Azimute 
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 Transformar de Rumo 
para Azimute. 
 Transformar de 
Azimute para Rumo. 
Resolver os seguintes exercícios: 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
b) Ângulo horizontal |Azimute (Continuação ...) 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
c) Ângulo horizontal |Interno e Externo 
É o ângulo formado entre dois 
alinhamentos, contado no sentido 
horário e variável de (0º) a (360º), 
internamente ou externamente ao 
polígono. 
 
É o ângulo mais adotado nas 
poligonações. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.4 Medida de ângulos 
d) Deflexão|Direita e Esquerda 
É o ângulo formado entre o 
prolongamento do alinhamento 
anterior e o alinhamento seguinte em 
estudo, contado para a direita ou para 
a esquerda e com sua grandeza 
limitada entre (0º) e (180º). 
 
É muito aplicado em projeto devias. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.5 Medida de distâncias 
 
 
Para este assunto, verificar o documento anexo, leitura COMPLEMENTAR. 
 
 
T O P O G R A F I A 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.6 Métodos de Levantamento 
O Levantamento topográfico é o conjunto de operações necessárias para se obter, no 
campo, os elementos geométricos visando representar no plano topográfico um trecho 
da superfície terrestre. Os elementos geométricos são: 
 
. Ângulo horizontal; 
. Ângulo vertical; 
. Distância horizontal; 
. Distância inclinada; e 
. Diferença de nível 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.6 Métodos de Levantamento | (Continuação ...) 
O plano topográfico não deverá exceder as dimensões de um quadrado de 25Km de lado. É efetuado, 
no campo, através de poligonais com amarração de pontos de detalhes. 
 
Eventualmente, em situações especiais, pode-se utilizar a intersecção a vante (intersecções de retas) 
ou intersecção a ré (problema de Potenot) para completar o levantamento topográfico. Todo 
levantamento topográfico deve sair de vértices, implantados antecipadamente, amarrados em redes 
oficiais do Sistema Geodésico. 
 
É de suma importancia reportar as normas técnicas vigentes, destacando-se a NBR 13.133 da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.6 Métodos de Levantamento | (Continuação ...) 
Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento topográfico planimétrico, 
que são baseados em princípios matemáticos diversos, e considerando a importância e a precisão, os 
métodos podem ser normalmente classificados como: 
 
 Principais; 
 
 Secundários. 
 
T O P O G R A F I A 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.6 Métodos de Levantamento | (Continuação ...) 
7.1.6.1 Principais 
 
Os métodos definidos como principais estão relacionados com a maior utilização de métodos em 
campo, servindo geralmente para a implantação de pontos de apoio para o levantamento topográfico 
e, consequentemente, solicitando maior rigidez e controles. São exemplos de métodos principais: 
 
Triangulação Caminhamento Interseção 
. Ângulos 
. Distâncias 
T O P O G R A F I A 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.6 Métodos de Levantamento | (Continuação ...) 
7.1.6.2 Secundários 
Os métodos definidos como secundários são 
aqueles utilizados eventualmente durante um 
levantamento topográfico. Geralmente são 
aplicados para levantar aspectos naturais e 
artificiais, “amarrando” as informações à 
poligonal principal, a qual foi concebida pelos 
métodos principais já apresentados, podendo 
destacar os seguintes: 
T O P O G R A F I A 
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Conforme visto anteriormente, existem diversos tipos de poligonal empregadas nos 
trabalhos do cotidiano. Em destaque, faremos o cálculo daquela mais utilizada, que 
corresponde a Poligonal fechada. 
 
Esta poligonal é caracterizada por ter o último vértice coincidindo com o vértice inicial, 
formando, desta forma, um polígono. Não fugindo a regra, deve-se atentar para as 
prescrições normativas contidas na (NBR 13.133 e NBR 14.166), as quais foram feitas nos 
tópicos subsequentes. 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.7 Cálculo de Poligonais 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
O Roterio para o cálculo da poligonal corresponde ao seguinte: 
 
a) Transcrição da caderneta de campo 
b) Verificação angular 
i. Cálculo do valor esperado para o somatório dos ângulos internos 
ii. Cálculo do erro angular obtido 
iii. Verificação normativa quanto ao erro angular obtido 
iv. Cálculo dos ângulos internos compensados (corrigidos) 
c) Cálculo do Azimute/Rumo 
d) Cálculo das projeções 
i. Cálculo do erro linear obtido 
ii. Verificação normativa quanto ao erro linear obtido 
iii. Cálculo das projeções compensadas (Corrigidas) 
e) Cálculo das coordenadas 
f) Cálculo da área do polígono (será visto no tópico seguinte) 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
As informações abaixo correspondem ao croqui elaborado no campo: 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
As informações abaixo correspondem ao croqui elaborado no campo: 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
a) Transcrição da caderneta de campo 
 
As informações de campo, na forma compilada, ficam da seguinte forma: 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
b) Verificação angular | Cálculo do valor esperado para o somatório dos ângulos internos (i) 
 
A poligonal está geometricamente fechada angularmente se: 
 
Σ𝐴𝑖 = 𝑛 − 2 . 180° 
 
Sendo: 
 
. Σ𝐴𝑖 = Somatório dos ângulos internos o polígono; e 
. N = número de vértices. 
 
Desta forma, no presente caso, temos (n = 4), assim: 
 
Σ𝐴𝑖 = 4 − 2 . 180° = 360° 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
b) Verificação angular | Cálculo do erro angular obtido (ii) 
 
O erro angular é obtido pela diferença entre a soma dos ângulos lidos em campo e a soma calculada pela 
fórmula anteriormente citada 
 
Σ𝐴𝑖 = 𝑛 − 2 . 180° 
Σ𝐴𝑖 = 4 − 2 . 180° = 360° 
 
O somatório dos ângulos internos/horizontais (Hi) obtido, conforme mostrado na tabela do item (a) foi de: 
359° 59” 48”. 
 
Assim, o erro obtido no levantamento foi de: e= 359° 59” 48” - 360° = - 0° 00’ 12” (erro por falta !) 
 
Desta forma, precisa-se saber se este erro é admissível ou não, tomando como referência a NBR 13.133. 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
b) Verificação angular | Verificação normativa quanto ao erro obtido (iii) 
 A norma técnica Brasileira, NBR 13.133, estabelece que a tolerância deve atender o seguinte critério: 
 
Tolerância= 𝑏 . √𝑛 
 
Sendo: 
 
. b= Classe do levantamento (ver tabela na própria NBR). Para este exemplo, adotaremos Classe IV P= 40”. 
. n= Número de vértices do levantamento, que no presente caso é igual a 4. 
 
Assim: 
 
Tolerância= 𝑏 . √𝑛 = 40" . √4 = 80” = 1′ 20”. Ou seja, o erro de 12” é menor do que a Tolerância = 1′ 20”, portanto, o erro é admissível, podemos 
distribuí-lo nos ângulos do levantamento. 
 
Levando em consideração que o levantamento possui 4 vértices = 4 ângulos, temos que distribuir o erro angular obtido para os quatro 
ângulos/vértices = 
0° 00’ 12”
4
 = 3” por vértice (agora, o valor deve ser positivo). 
 
Observe que, para a 
distribuição, foi colocado o 
ângulo positivo, pois trata-se 
de um erro por falta. 
T O P O G R A F I A 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
b) Verificação angular | Cálculo dos ângulos internos compensados (iii) 
 
Para a compensaçãode todos os ângulos internos, atentar para as seguintes premissas: 
 
• O ângulo compensado é obtido adicionando o erro do ângulo lido. Desta forma, o ângulo compensado= â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑙𝑖𝑑𝑜 + 𝑒𝑟𝑟𝑜; 
• O sinal da correção deverá ser contrário do sinal do erro (observação feita na página anterior); 
• Após a correção dos ângulos, a soma dos ângulos lidos deve ser igual a soma determinada pela fórmula Σ𝐴𝑖 = 𝑛 − 2 . 180°. 
Cada ângulo lido em 
campo foi somado ao 
valor do erro de 
distribuição calculado. 
Do exposto, ao somar 
novamente os ângulos 
corrigidos, o valor final 
deve ser igual a 360°. 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
c) Cálculo do Azimute 
Sendo: 
 
. 𝐴𝑧 = 𝐴𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 | 𝐴𝑧 (𝑛−1)= Azimute do alinhamento anterior | 𝐴𝑛 = Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
c) Cálculo do Azimute 
 
Para determinar o Azimute de todos os alinhamentos, tendo em mãos somente o ângulo horizontal e o azimute de partida, considerar as 
condições abaixo: 
Condição: 
 
1) Se Az n − 1 + an < 180°, calcular da seguinte forma: Azn = Az n − 1 + an + 180°; ou 
2) Se 180° < Az n − 1 + an < 540°, calcular da seguinte forma: Azn = Az n − 1 + an − 180°; ou 
3) Se Az n − 1 + an > 540°, calcular da seguinte forma: Azn = Az n − 1 + an − 540°; ou 
 Se o resultado de Azn em qualquer uma das condições acima for maior que 360°, deve subtrair de 360° , pois conforme 
já visto anteriormente, o azimute varia de 0 a 360 °. 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
O Azimute de partida foi fornecido visto que foi determinado em campo: 𝐴𝑧(4-1)= 38 °15’02” . Desta forma, 
levando em consideração a equação 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧 𝑛 − 1 + 𝑎𝑛 ± 180° e suas condições, pode-se calcular o 
azimute de todos os alinhamentos: 
 
. 𝐴𝑧 1 − 2 = 38 °15’02” + 73 °53’28”+180 ° = 292 °08’30” 
 
. 𝐴𝑧 2 − 3 = 292 °08’30 + 141°15’41”−180 ° = 253 °24’11” 
 
. 𝐴𝑧 3 − 4 = 253 °24’11”+ 71 °33’11” − 180 ° = 144 °57’22” 
 
. 𝐴𝑧 4 − 1 = 144 °57’22”+ 73 °17’40” − 180 ° = 38 °15’02” 
Conforme pode ser visto, o azimute 
de chegada deverá ser igual ao 
azimute de saída. 
c) Cálculo do Azimute (Continuação ...) 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
As projeções são calculadas pelas 
seguintes fórmulas: 
 
. Δ𝑋′ = 𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑧 
 
. Δ𝑌′ = 𝐷 . 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑧 
 
Sendo: 
 
. Δ𝑋′= Projeção no eixo X; 
. Δ𝑌′= Projeção no eixo Y; 
. 𝐷= Distância; 
. 𝐴𝑧= Azimute do alinhamento 
d) Cálculo das projeções 
Representação das projeções em 
X e Y para o alinhamento (1-2). 
Para os demais alinhamentos, 
seguir semelhantemente a esta. 
Δ
y
’ (1
-2
) 
Δx’ (1-2) 
Alinhamento [1-2] 
 
. Δ𝑋′ 1 − 2 = 𝑑(1 − 2) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝐴𝑧 1 − 2) 
. Δ𝑌′ 1 − 2 = 𝑑(1 − 2) 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝑧 1 − 2) 
T
 
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Δ
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’ (2
-3
) 
Δx’ (2-3) 
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Alinhamento [2-3] 
 
. Δ𝑋′ 2 − 3 = 𝑑(2 − 3) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝐴𝑧 2 − 3) 
. Δ𝑌′ 2 − 3 = 𝑑 2 − 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧 2 − 3) 
Δ
y
’ (3
-4
) 
Δx’ (3-4) 
T
 
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Alinhamento [3-4] 
 
. Δ𝑋′ 3 − 4 = 𝑑(3 − 4) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝐴𝑧 3 − 4) 
. Δ𝑌′ 3 − 4 = 𝑑 3 − 4 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧 3 − 4) 
Δ
y
’ (4
-1
) 
Δx’ (4-1) 
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G
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T
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o
 
Alinhamento [4-1] 
 
. Δ𝑋′ 4 − 1 = 𝑑(4 − 1) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝐴𝑧 4 − 1) 
. Δ𝑌′ 4 − 1 = 𝑑 4 − 1 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧 4 − 1) 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
Alinhamento [1-2] 
 
. Δ𝑋′ 1 − 2 = 54,355 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (292°08′30") = −50,347𝑚 
. Δ𝑌′ 1 − 2 = 54,355 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (292°08′30") = 20,486𝑚 
 
Alinhamento [2-3] 
 
. Δ𝑋′ 2 − 3 = 50,015 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (253°24′11") = −47,931𝑚 
. Δ𝑌′ 2 − 3 = 50,015 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (253°24′11") = −14,286𝑚 
d) Cálculo das projeções 
Alinhamento [3-4] 
 
. Δ𝑋′ 3 − 4 = 84,588 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (144°57′22") = 48,571𝑚 
. Δ𝑌′ 3 − 4 = 84,588 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (144°57′22") = −69,253𝑚 
 
Alinhamento [4-1] 
 
. Δ𝑋′ 4 − 1 = 80,467 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (38°15′02") = 49,817𝑚 
. Δ𝑌′ 4 − 1 = 80,467 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (38°15′02") = 63,192𝑚 
Δ
y
’ (1
-2
) 
Δx’ (1-2) 
T
 
O
 
P
 
O
 
G
 
R
 
A
 
F
 
I
 
A
 
 
[
U
n
i
d
a
d
e
 
I
I
I
]
 
P
r
o
f
.
:
 
D
a
v
i
d
 
G
u
r
i
o
n
 
T
i
a
g
o
 
Δx’ (2-3) Δx’ (3-4) Δx’ (4-1) 
Δ
y
’ (2
-3
) 
Δ
y
’ (3
-4
) 
Δ
y
’ (4
-1
) 
ΣΔ
y
’ 
ΣΔx’ 
Σ|Δx’| 
Σ|Δ
y
’| 
𝑥(𝑚) 
𝑦
(𝑚
) 
. ΣΔx’ = Δx’ (1-2) + Δx’ (2-3) + Δx’ (3-4) + Δx’ (4-1) 
. ΣΔy’ = Δy’ (1-2) + Δy’ (2-3) + Δy’ (3-4) + Δy’ (4-1) 
. Σ|Δx’| = | Δx’ (1-2) + Δx’ (2-3) + Δx’ (3-4) + Δx’ (4-1) | 
. Σ|Δy’| = | Δy’ (1-2) + Δy’ (2-3) + Δy’ (3-4) + Δy’ (4-1) | 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
. Δ𝑋′ 1 − 2 = −50,347𝑚 
. Δ𝑋′ 2 − 3 = −47,931𝑚 
. Δ𝑋′ 3 − 4 = 48,571𝑚 
. Δ𝑋′ 4 − 1 = 49,817𝑚 
 +__________________ 
 ΣΔ𝑋′ = 0,110𝑚 
 
. Δ𝑌′ 1 − 2 = 20,486𝑚 
. Δ𝑌′ 2 − 3 = −14,286𝑚 
. Δ𝑌′ 3 − 4 = −69,253𝑚 
. Δ𝑌′ 4 − 1 = 63,192𝑚 
 +__________________ 
 ΣΔ𝑌′ = 0,139𝑚 
d) Cálculo das projeções | Cálculo do erro linear obtido (i) 
 
Deve-se fazer o somatório das projeções para a determinação do erro linear. Desta forma, segue: 
 
 
. |Δ𝑋′| 1 − 2 = 50,347𝑚 
. |Δ𝑋′| 2 − 3 = 47,931𝑚 
. |Δ𝑋′| 3 − 4 = 48,571𝑚 
. |Δ𝑋′| 4 − 1 = 49,817𝑚 
 +______________________ 
 Σ|Δ𝑋′| = 196,666𝑚 
 
. |ΔY′| 1 − 2 = 20,486𝑚 
. |Δ𝑌′| 2 − 3 = 14,286𝑚 
. |Δ𝑌′| 3 − 4 = 69,253𝑚 
. |Δ𝑌′| 4 − 1 = 63,192𝑚 
 +______________________ 
 Σ|Δ𝑌′| = 167,217𝑚 
Em toda a extensão 
(perímetro) levantada(o), 
o erro na direção X e Y 
correspondem aos valores 
destacados ao lado. 
O valor total 
percorrido na direção 
X e Y corresponde 
aos valores 
destacados ao lado. 
A relação destes com 
o valor dos erros Δ𝑋′ 
e Δ𝑌′ indicará qual 
foi o erro relativo 
linear, a ser visto no 
tópico seguinte. 
Δ
y
’ (1
-2
) T
 
O
 
P
 
O
 
G
 
R
 
A
 
F
 
I
 
A
 
 
[
U
n
i
d
a
d
e
 
I
I
I
]
 
P
r
o
f
.
:
 
D
a
v
i
d
 
G
u
r
i
o
n
 
T
i
a
g
o
 
ΣΔx’ 
ΣΔ
y’ . 𝐸𝐿 = ΣΔ𝑋
′2 + ΣΔ𝑌′2Δx’ (1-2) Δx’ (2-3) Δx’ (3-4) Δx’ (4-1) 
Δ
y
’ (2
-3
) 
Δ
y
’ (3
-4
) 
Δ
y
’ (4
-1
) 
ΣΔ
y
’ 
ΣΔx’ 
Σ|Δx’| 
Σ|Δ
y
’| 
𝑥(𝑚) 
𝑦
(𝑚
) 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
d) Cálculo das projeções | Cálculo do erro linear obtido (i) 
O erro linear é obtido pela seguinte forma: 
 
. 𝐸𝐿 = ΣΔ𝑋′2 + ΣΔ𝑌′2 = . 𝐸𝐿 = 0,1102 + 0,1392 = 0,177𝑚. 
 
Quanto a precisão do levantamento (P), pode ser obtido pela seguinte expressão: 
 
. 𝑃 = 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝐸𝐿
=
269,425
0,177
= 1:1.523. O valor obtido indica o perímetro de levantamento para se obter o erro de 
1,00m. 
Resumo: 
 
. Erro Linear= 0,177m 
. Precisão= 1:1.523 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
d) Cálculo das projeções | Verificação normativa quanto ao erro linear obtido (ii) 
Desta forma: 
 
T= 𝑑 . √𝐿 
 
Sendo: 
 
. 𝑑 = coeficiente que expressa a tolerância para o erro de fechamento linear em “m/Km” de desenvolvimento e depende do tipo da 
poligonal (conforme NBR). No presente caso, foi considerado IVP= 0,56. 
 
. 𝐿 = Perímetro medido, expresso em “Km”. 
 
Assim, T= 𝑑 . √𝐿 = 0,56 . 0,269425 = 0,291m = 29,1cm. Ou seja, o erro de 17,7cm é menor do que a Tolerância = 29,1cm, portanto, o erro é 
admissível, podemos distribuí-lo em todos os alinhamentos do levantamento. 
 
OBS.: Caso o erro não fosse tolerável, dever-se-ia voltar ao campo e executar um novo levantamento topográfico. 
Δ
y
’ (1
-2
) T
 
O
 
P
 
O
 
G
 
R
 
A
 
F
 
I
 
A
 
 
[
U
n
i
d
a
d
e
 
I
I
I
]
 
P
r
o
f
.
:
 
D
a
v
i
d
 
G
u
r
i
o
n
 
T
i
a
g
o
 
Δx’ (1-2) Δx’ (2-3) Δx’ (3-4) Δx’ (4-1) 
Δ
y
’ (2
-3
) 
Δ
y
’ (3
-4
) 
Δ
y
’ (4
-1
) 
ΣΔ
y
’ 
ΣΔx’ 
Σ|Δx’| 
Σ|Δ
y
’| 
𝑥(𝑚) 
𝑦
(𝑚
) 
 𝐾𝑥 = 
ΣΔ𝑋′
Σ|Δ𝑋′|
 
 𝐾𝑦 = 
ΣΔ𝑌′
Σ|Δ𝑌|
 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
d) Cálculo das projeções | Cálculo das projeções compensadas/Corrigidas (iii) 
As projeções devem ser corrigidas utilizando a seguinte fórmula: 
 
. 𝐶𝑥 = 
Δ𝑋′. ΣΔ𝑋′
Σ|Δ𝑋′|
 
 
Fazendo: 
 
𝐾𝑥 = 
ΣΔ𝑋′
Σ|Δ𝑋′|
 ; 
 
Logo: 
 
. 𝐶𝑥= Δ𝑋′ . Kx 
 
 𝐾𝑥 = 
ΣΔ𝑋′
Σ|Δ𝑋′|
 = 
0,110
196,666|
 = 0,0005593239299 
As projeções devem ser corrigidas utilizando a seguinte fórmula: 
 
. 𝐶𝑦 = 
Δ𝑌′. ΣΔ𝑌′
Σ|Δ𝑌′|
 
 
Fazendo: 
 
𝐾𝑥 = 
ΣΔ𝑌
Σ|Δ𝑌′|
 ; 
 
Logo: 
 
. 𝐶𝑦= Δ𝑌′ . Ky 
 
 𝐾𝑦 = 
ΣΔ𝑌′
Σ|Δ𝑌′|
 = 
0,139
167,217|
 = 0,00083125519534 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
d) Cálculo das projeções | Cálculo das projeções compensadas/Corrigidas (iii) 
De posse do valor de Kx, basta multiplicar pelas projeções anteriormente calculadas: 
 
. 𝐶𝑥 1 − 2 = 50,347. 0,0005593239299 = - 0,028 
. 𝐶𝑥 2 − 3 = 47,931. 0,0005593239299 = - 0,027 
. 𝐶𝑥 3 − 4 = 48,571. 0,0005593239299 = - 0,027 
. 𝐶𝑥 4 − 1 = 49,817. 0,0005593239299 = - 0,028 
 Soma = - 0,110m 
 
De posse do valor de Ky, basta multiplicar pelas projeções anteriormente calculadas: 
 
. 𝐶𝑦 1 − 2 = 20,486. 0,00083125519534 = - 0,017 
. 𝐶𝑦 2 − 3 = 14,286. 0,00083125519534 = - 0,012 
. 𝐶𝑦 3 − 4 = 69,253. 0,00083125519534 = - 0,058 
. 𝐶𝑦 4 − 1 = 63,192. 0,00083125519534 = - 0,052 
 Soma = - 0,139m 
Atentar para o sinal 
da correção que 
deverá ser contrário 
do sinal do erro. 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
d) Cálculo das projeções | Cálculo das projeções compensadas/Corrigidas (iii) 
Por final, o cálculo das projeções 
compensadas são calculadas pelas 
seguintes fórmulas: 
 
. Δ𝑋 = Δ𝑋’ + Cx 
 
. Δ𝑌 = ΔY’ + Cy 
 
Mais uma vez, observar o sinal das 
projeções e do erro. O sinal da correção 
deve ser contrário do sinal do erro. 
 
 
 
[Correção das projeções em X] 
 
. Δ𝑋 (1 − 2) = −50,347 − 0,028 = − 50,375𝑚 
. Δ𝑋 (2 − 3) = −47,931 − 0,027 = − 47,958𝑚 
. Δ𝑋 (3 − 4) = 48,571 − 0,027 = 48,544𝑚 
. Δ𝑋 (4 − 1) = 49,815 − 0,028 = 49,789𝑚 
 Soma = 0,000m 
 
[Correção das projeções em Y] 
 
. Δ𝑌(1 − 2) = 20,486 − 0,017 = 20,469𝑚 
. Δ𝑌 (2 − 3) = − 14,286 − 0,012 = − 14,298𝑚 
. Δ𝑌 (3 − 4) = − 69,253 − 0,058 = − 69,311𝑚 
. Δ𝑌 (4 − 1) = 63,192 − 0,052 = 63,140𝑚 
 Soma = 0,000m 
A soma das 
projeções 
compensadas deve 
ser igual a zero. 
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7.1.7 Cálculo de Poligonais (Continuação ...) 
e) Cálculo das Coordenadas 
As coordenadas (abcissa = X e ordenada = Y) são 
calculadas pela fórmula: 
 
. 𝑋𝑛 = 𝑋 𝑛 − 1 + Δ𝑋 
 
. 𝑌𝑛 = 𝑌 𝑛 − 1 + Δ𝑌 
 
Sendo: 
 
. 𝑋𝑛 = 𝐴𝑏𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 
. 𝑌𝑛 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 
. 𝑋 𝑛 − 1 = Abcissa/coordenada X do ponto anterior 
. 𝑌 𝑛 − 1 = Ordenada/Coordenada Y do ponto anterior 
. Δ𝑋 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑋 
. Δ𝑌 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 Y 
 
 
 
[Coordenadas no eixo X] 
 
. 𝑋2 = 108,310 + − 50,375 = 57,935𝑚 
. 𝑋3 = 57,935 + − 47,958 = 9,977𝑚 
. 𝑋4 = 9,977 + 48,544 = 58,521m 
. 𝑋1 = 58,521 + 49,789 = 108,310m 
 
[Correção das projeções em Y] 
 
. 𝑌2 = 106,215 + 20,469 = 126,684𝑚 
. 𝑌3 = 126,684 + − 14,298 = 112,386𝑚 
. 𝑌4 = 112,386 + − 69,311 = 43,075m 
. 𝑌1 = 43,075 + − 63,140 = 106,215m 
As coordenadas do 
vértice de chegada 
deverão ser iguais 
as coordenadas do 
vértice de saída. De 
posse destas 
coordenadas, pode-
se proceder com o 
cálculo da área do 
polígono. 
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Existem diversos métodos para o cálculo de áreas. Destacam-se os seguintes: 
 
• Analíticos 
 Fórmula de Gauss 
• Métodos geométricos (ou gráficos) 
 Método de Garceau e método de Collignon 
 Método de decomposição (decomposição em polígonos) 
 Métodos mecânicos ou digital (planímetro polar) 
 Método da comparação (quadrícula) 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.8 Cálculo de Áreas 
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Destaca-se o método de Gauss, pois através do mesmo é possível calcular analiticamente a área de um 
polígono, tomando como referência as coordenadas relativas e absolutas dos vértices. 
 
Esse método de cálculo é obtido colocando as coordenadas do polígono na disposição Y/E sobre X/E ou X/E 
sobre Y/N, conforme a fórmula, não esquecendo de repetir no final a primeira coordenada, em seguida 
multiplica-se na diagonal a linha superior com a linha inferior, a multiplicação da diagonal à direita é positiva 
e da esquerda é negativa. 
 
7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.8 Cálculo de Áreas 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.8 Cálculo de Áreas 
Executam-se as devidas somas e subtrações, por fim, divide-se o resultadopor dois, o módulo do valor 
obtido é o da área. Essa forma de calcular área de polígonos pode ser utilizada para polígonos 
fechados de quaisquer números de lados. 
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7.1.8 Cálculo de Áreas | Exemplo 
Exercício 1) Calcule a área do polígono 
abaixo e esboce um desenho utilizando 
o plano cartesiano. 
 
a) A (120; 50), B (400; 50), C (400; 180), 
D (120; 180). 
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7.1.8 Cálculo de Áreas | Exemplo 
Exercício 2) Calcule as área dos polígono abaixo e esboce um 
desenho utilizando o plano cartesiano. 
 
b) A (20; 50,105), B (42; 12), C (86; 12), D (108; 50,105), E (86; 
88,210), F (42; 88,210). 
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7.0 SUBDIVISÃO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
7.1 PLANIMETRIA 
7.1.9 Memorial Descritivo 
O Memorial Descritivo de uma propriedade é um documento solicitado pelo Cartório de Registro de Imóveis 
e contém a descrição do imóvel, como: 
 
• Nome da propriedade e do proprietário. 
• Perímetro limítrofe, descrevendo os ângulos horizontais e as distâncias que definem a área; 
• Endereço e nome dos confrontantes; 
• Área, perímetro, nome do profissional, registro de classe. 
 
Na página seguinte apresenta-se um modelo de Memorial Descritivo, padrão Incra para o Georrefenciamento 
de Imóveis Rurais. 
 
 
 
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