Lista Matriz (recesso)

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Departamento de Matemática 
Professor Adenilton J. da Silva 
Lista exercício recesso 
Data entrega: 08/01/2013 
 
1. Explique porque cada uma das operações elementares com linhas não afeta o conjunto 
das soluções de um sistema linear. 
 
2. Mostre que se as equações lineares 𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 𝑐 e 𝑥1 + 𝑙𝑥2 = 𝑑 tem o mesmo 
conjunto de soluções, então as duas equações são idênticas (isto é, 𝑘 = 𝑙 e 𝑐 = 𝑑). 
 
3. Resolva o sistema de equações lineares por eliminação de Gauss-Jordan. 
a) {
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8
−𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
3𝑥1 − 7𝑥2 + 4𝑥3 = 10
 
 
b) {
2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 0
−2𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 = 1
8𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −1
 
4. Dizemos que 𝐵 é uma raiz quadrada de uma matriz 𝐴 se 𝐵𝐵 = 𝐴. Encontre duas raízes 
quadradas de 𝐴 = [
2 2
2 2
]. 
5. Mostre que se 𝐴 e 𝐵 são matrizes 𝑛 × 𝑛, então 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵). 
6. Seja 0 a matrix 2 × 2 com todas as entradas nulas. 
a. Existe alguma matriz 𝐴 de tamanho 2 × 2 tal que 𝐴 ≠ 0 e 𝐴𝐴 = 0? Justifique 
sua resposta. 
b. Existe alguma matriz 𝐴 de tamanho 2 × 2 tal que 𝐴 ≠ 0 e 𝐴𝐴 = 𝐴? Justifique 
sua resposta. 
7. Encontre a inversa de 𝐴 = [
cos (𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
−𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (𝜃)
] 
8. Simplifique 𝐴𝐵𝐶𝑇𝐷𝐵𝐴𝑇𝐶 = 𝐴𝐵𝑇 . 
9. Prove que (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.