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Série de Fourier 
 
Físico Jean Baptiste Fourier ( 1768 – 1830 ) 
 
As funções que reproduzem eventos periódicos no tempo podem ser representadas por uma somatória de 
senoides ( cossenoides ) por meio da série de Fourier : 
 
f ( x ) = a0 + ∑
∞
=
+
1
).sen..cos.(
n
nn xnbxna 
 
a0 = ∫
−
π
ππ
dxxf )(
2
1
 
an = ∫
−
π
ππ
dxxnxf ..cos).(1 
bn = ∫
−
π
ππ
dxxnxf ..sen).(1 
 
Ex : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -k qdo -π < x <0 
 f ( x ) = 
 k qdo 0 < x <π e 
 
 f ( x + 2π ) = f ( x ) periódica 
 
 
 
a0 = 





+−∫ ∫
−
0
0
..
2
1
π
π
π
dxkdxk = 


 +−
−
]] 0
0
..
2
1 π
ππ
xkxk = [ ]0..0
2
1
−+− ππ
π
kk = 0 
 
a0 = 0 
 
 
x 
π 2π -π
k 
-k 
a n = ∫
−
π
ππ
dxxnxf ..cos).(1 = 





+−∫ ∫
−
0
0
..cos...cos.1
π
π
π
dxxnkdxxnk 
 
a n = 



+−
−
]] 0
0 ....1
π
ππ n
xsennk
n
xsennk = 0 
 
a n = 0 
 
b n = ∫
−
π
ππ
dxxnxf ..sen).(1 = 





+−∫ ∫
−
0
0
..sen...sen.1
π
π
π
dxxnkdxxnk 
 
b n = 



−
−
]] 0
0 .cos..cos.1
π
ππ n
xnk
n
xnk 
 
b n = [ ]0cos.cos).cos(0cos. +−−− πππ nnn
k
 = ).cos1(
.
2
π
π
n
n
k
− 
 
 
 
 -1 p / n ímpar 
cos n.π = 
 1 p / n par 
 
 
b1 = 
π
k4 ; b2 = 0 ; b3 =
π3
4k ; b4 = 0 ; b5 = 
π5
4k ; … 
 
 
 
Na Figura a seguir é possível observar a função f(x) : 
 
f(x) = 
π
k4 sen( 1.x) + 0 . sen(2.x) + 
π3
4k sen( 3.x) 
 
para x variando de 10 em 10o de 0 a 180o . 
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
1
3
1+3