Séries de Fourier

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Notas de aula --- Parte III 
 
 
 
 
 
 
 
SÉRIES DE FOURIER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escritas pelo Professor Wilson Canesin 
 
 
Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade 
Braz Cubas 
3. – Séries de Fourier 
 
Servem para o desenvolvimento em série de funções periódicas ou 
repetitivas. Uma função é dita periódica de período T, quando para 
qualquer x, se tenha f(x+T) = f(x). A série de Fourier transforma uma 
função descontínua, mas periódica em uma função contínua. Se f(x) é 
uma função periódica, então ela pode ser representada por uma série 
trigonométrica da forma: 
 f(x)= a0 + )sencos(
1
nxbnxa n
n
n +∑∞
=
 
Se esta série for multiplicada por cosnx ou sennx e for integrada de -π 
até π, (ou de 0 a 2π),determina-se os coeficientes a0, an e bn que, são 
chamados de coeficientes de Euler, e são: 
 
a0 = ∫−πππ dxxf )(21 , an = ∫−
π
ππ nxdxxf cos)(
1
 , bn= ∫−πππ nxdxxf sen)(1 
 
 
Esses coeficientes são facilmente calculados, quando a função f(x) é 
uma função par ou ímpar. Pois a integral de -π até π, de uma função 
par no período dado, é duas vezes esta integral,de zero a π, e de uma 
função ímpar é zero. Exemplo: 
 
Função ímpar 
f(-x)= - f(x) 
f(x)=x3
f(x)=4-x2 
x
 
x 
 função par f(-x)=f(x) 
 ∫− =aa dxxf 0)(∫ ∫− =aa a dxxfdxxf 0 )(2)( 
 
Funções Pares: Funções ímpares 
f(x)= x2 , x4 , x2+x4 f(x) = x, x3 , x+x3, …. 
f(x)=cosx f(x) =senx 
 
Sendo assim, quando f(x) for par, a0 e an são não nulos e bn=0, e 
quando f(x) é ímpar, a0 e an são nulos e bn é diferente de zero. É útil 
lembrar que o se f(x) é ímpar e g(x) é par, então f(x).g(x) é ímpar, e 
f(x).f(x) é par e g(x).g(x) é par. 
 50
Exemplos de funções periódicas que podem ser desenvolvidas: 
Ex.1 – Desenvolver em série de Fourier, a função (ímpar) definida por 
 
⎩⎨
⎧
<<
<<−−= π
π
xsek
xsek
xf
0
0
)( 
 
f(x) 
π -π 
-k 
k 
f(-x)=-f(x)=ímpar x 
 
Primeiro calcula os coeficientes de Euler (a0 e an são nulos, função ímpar) 
 
[ ] [ ] 0]}0[)](0[{
2
}{
22
1)(
2
1)(
2
1
0
00
0
0 =−+−−−=+−=+−== −− −∫ ∫ ∫ πππππππ ππ
π
π π
π kxxkkdxdxkdxxfa 
 
∫∫∫ +−== −− ππππ πππ 0
0
cos1cos)(1cos)(1 dxnxkdxnxkdxnxxfan (dá zero porque é ímpar) 
 
 0}sensen{1
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−
ππ
ππ n
nxk
n
nxk (porque sennx=0 , para todo x=π) 
 
dxnxkdxnxkdxnxxfbn ∫∫ ∫− − +−== πππ π πππ 0
0
sen1sen)(1sen)(1 
 
]0coscos)cos(0cos[}coscos{1
0
0
+−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
ππππ
π
π
nn
n
k
n
nxk
n
nxkbn 
 
)cos1(2 ππ nn
kbn −= , ou .,5
4,0,
3
4,0,4 54321 etc
kbbkbbkb πππ ===== 
 
O único coeficiente não nulo é o bn e a série correspondente é 
 
f(x) = = nxbn
n
sen
1
∑∞
=
...}5sen
5
13sen
3
1{sen4 +++ xxxkπ 
 
Cada termo adicionado da série, representa uma de suas somas 
parciais e pode ser representada graficamente da forma 
 
 
 
 
 
 
x 
f(x) 
S1 
 
S1 =(4k/π)senx 
 51
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
S1 
S2 
 
S2 = (4k/π){sex + sen3x/3} x 
 
 
 
 
 
 
 
S3 
x 
f(x) S2 
S1 
S3=S2 + (4k/π)sen5x/5 
 
Note que a função contínua gerada pela série de Fourier, vai se 
aproximando cada vez mais do formato da função dada que é 
descontínua. 
Desenvolver as funções: 
 
1 
π x 
f(x) 
-π 
 
⎩⎨
⎧
<<
<<−= π
π
xse
xse
xf
01
00
)( 
 a) 
 
 
 
 
-π 
f(x) 
-1 
1 
π π/2 -π/2 
 
 
 
 
 
b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
<<−
−<<−−
=
ππ
ππ
ππ
xse
xse
xse
xf
2/1
2/2/0
2/1
)(
 
 
π 
-π 
y 
x 
 
 
 
 
c) 
⎩⎨
⎧
<<−
<<−= π
π
xsex
xsex
xf
0
0
)( 2
2
 
 
 
 52
Ex.2 – Desenvolver em série de Fourier a função 
 
f(x) = x + π , se -π<x<π e f(x+2π) = f(x) (periódica) 
 
 
 
 
 
 x 
f(x) 
π 2π -π -2π 
π Essa função é a soma de duas funções, uma f1 = x (ímpar) e uma constante 
 f2 = π. 
 
 
a0 = ∫−πππ dxxf )(21 , a n= ∫−
π
ππ nxdxxf sen)(
1
 
 
a0= ∫− +ππ ππ dxx )(21 = π21 a
 
an = ∫−πππ nxdxx cos.1 + π1
 
bn = ∫− +ππ ππ nxx sen)(1
 
 
a segunda integral dá
produto de funções im
 
bn = ∫ππ 0 sen2 nxdxx , 
 
 
 
 
bn = ∫ππ 0 sen2 dxnxx = + π2
 
Então: b1=2 , b2 = -2/
 
 
 
n = ∫−πππ nxdxxf cos)(1 , b
π
π π⎞⎛ x 2
 [ ] π
π π −−
+⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
x
22
 = π (a 1 integral é ímpar) 
∫−πππ nxdxcos. =0 (porque sennx=0 , para todo x=π) 
dx = ∫−πππ nxdxx sen1 + ∫−
π
πππ nxdxsen
1
 
 zero porque o senx é uma função ímpar, mas o 
pares, x.sen(nx) é uma função par, então 
 
Integra por partes: faz 
u=x e dv=sen(nx)dx 
du=dx 
v=
ππ
0
0
cossen ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∫ nnxnxdx 
∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
− ππ
π 00 cos
2cos dxnx
nn
nxx = πn
n
cos2− 
2=-1 , b3 = 2/3 , b4= -2/4 ,.... 
53
f(x) = π + 2.{senx – (1/2).sen2x + (1/3).sen3x -.....} 
 
 
O gráfico dessa função, para um, dois,três e mais termos é 
 
 
9.42 0.02478 9.38
1.14
3.14
5.14
f1(x)=pi+2.(senx)
9.42 0.02478 9.38
0.54
3.14
5.74
f2(x)=pi+2.(senx-sen(2x)/2)
9.42 0.02478 9.38
0.26
3.14
6.03
f3(x)=pi+2.(senx-sen(2x0/2+sen(3x)/3)
9.42 0.02478 9.38
0.08725
3.14
6.19
f4(x)=pi+2.(senx-sen(2x)/2+sen(3x)/3 +.)
f1 x( )
f2 x( )
f3 x( )
f4 x( )
x
9.42 0.02478 9.38
0.08725
3.14
6.19
Todas as funções juntas 
 
 
 
 
 
 
 
 54
FUNÇÕES DE PERÍODO ARBITRÁRIO 
 
Existem funções periódicas cujo período é T qualquer, e assim , as 
fórmulas dos coeficientes de Euler devem ser adaptadas para esse 
novo período, tornando-se: 
 
a0 = ∫− 2/ 2/ )(1 TT dttfT , an = ∫− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
2/
2/
2cos)(2
T
T
dt
T
tntf
T
π
 , 
 
 bn= ∫− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
2/
2/
2sen)(2
T
T
dt
T
tntf
T
π
 
 
Ex.3 –Desenvolver a função 
 f(t) 
2 t -1 0 1 -2 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
=<<−
−<<−
=
210
411
120
)(
tse
Ttsek
tse
xf 
 
 
A função é par, logo bn = 0 , e os coeficientes a0 e an são calculados, 
para função par, da forma ∫ ∫− =aa a dxxfdxxf 0 )(2)(
 
∫∫∫ ==== 20202/00 221)(21)(2 kdtkdttfdttfTa
T 
 
2
sen2
2
cos
2
cos)(
1
0
2
0
π
π
ππ n
n
kdttnkdttntfan ∫∫ ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛= 
 
an=0, quando n é par, e an=2k/nπ quando n=1,5,9,... e vale 
an= -2k/nπ , para n=3,7,11,... Assim a função desenvolvida em série é 
 
 
f(x)= }...
2
5cos
5
1
2
3cos
3
1
2
cos{2
2
−+−+ tttkk ππππ 
 
 
 
 
 55
Gráfico tomando k = 2 , para as 4 primeiras somas 
 
f2 t( )
t
5 0 5
1
0
1
2
3
f1 t( )
t
5 0 5
2
0
2
4
f3 t( )
t
5 0 5
1
0
1
2
3
f4 t( )
t
5 0 5
1
0
1
2
3
 
 
 
Outras funções que podem ser desenvolvidas dessa forma 
 
 
 T = L 
 0 L/2 L t 
k 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−
<<
=
LtLsetL
L
k
Ltset
L
k
xf
2
)(2
2/02
)( 
 
 
 -π/ω 0 π/ω t 
f(t) 
 
⎩⎨
⎧
<<
<<−=
2/0sen
02/0
)(
TtsetE
tTse
xf ω 
 Função do retificador de meia onda 
 
 
 56
	Ex.3 –Desenvolver a função