Geometria Plana
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Geometria Plana


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circunfere\u2c6ncia. Seu raio e´ O1B.
6. Construamos, com centros nos pontos A,C, e raio
O1B, dois arcos que cortam OA e OC, respectivamente,
nos pontos O2 e O3. Estes sa\u2dco os centros das demais cir-
cunfere\u2c6ncias.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.26.
12.35 Problema. Descrever com raio dado, uma circunfere\u2c6ncia tangente a duas outras dadas.
Construc¸a\u2dco:
Sejam C (O1, r1) e C (O2, r2) as duas circunfere\u2c6ncias e AB o raio, dados.
..
B
A
Figura 12.27: Problema 12.35.
1. Centro em O1, raios iguais a
AB + r1 e AB \u2212 r1, tracemos duas cir-
cunfere\u2c6ncias.
2. Centro em O2, raios iguais a
AB + r2 e AB \u2212 r2, tracemos duas cir-
cunfere\u2c6ncias.
3. Estas quatro circunfere\u2c6ncias se
cortam em oito pontos. Com centros
nestes pontos e raio AB, constru´\u131mos
oito circunfere\u2c6ncias, sendo que cada
uma delas resolve o problema.
Desenho: Execute os trac¸ados indi-
cados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.27.
12.6 Exerc´\u131cios complementares
12.36 Exerc´\u131cio. Baseado na axioma´tica apresentada nos cap´\u131tulos anteriores, justifique as
construc¸o\u2dces propostas nos problemas das sec¸o\u2dces 12.2-12.5.
12.37 Exerc´\u131cio. Um aluno apresenta o seguinte problema de desenho geome´trico ao seu pro-
fessor: \u201cconstruir um tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo, dados o segmento soma dos catetos e a hipotenusa.\u201d
O professor deu ao aluno os seguintes passos para a construc¸a\u2dco:
1. Trace o segmento AB, que representa a soma dos catetos.
2. Pela extremidade A,construa um a\u2c6ngulo de 45\u25e6.
3. Com centro em B e raio igual a` hipotenusa, trace uma circunfere\u2c6ncia que corta o lado do
a\u2c6ngulo constru´\u131do em 2 no ponto C.
4. Por C, trace a reta perpendicular a AB obtendo o ponto D em AB .
5. O tria\u2c6ngulo CDB e´ o tria\u2c6ngulo procurado.
Justificar, geometricamente, a construc¸a\u2dco apresentada pelo professor.
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Exerc´\u131cios complementares
Sendo a, a medida da hipotenusa, b e c as medidas dos catetos, diga que relac¸a\u2dco deve existir
entre esses valores, para que os dados do problema sejam compat´\u131veis?
12.38 Exerc´\u131cio. Construir o sime´trico de um ponto P em relac¸a\u2dco a uma reta dada.
12.39 Exerc´\u131cio. Construir uma circunfere\u2c6ncia que passa por tre\u2c6s pontos na\u2dco colineares dados.
12.40 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medida a, b,construa um segmento de medida ab .
12.41 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medida a, b,construa um segmento de medida a+b2
(construc¸a\u2dco da me´dia aritme´tica).
12.42 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medida a, b construa um segmento de medida
\u221a
ab
(construc¸a\u2dco da me´dia geome´trica).
12.43 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medida a, b, c, construa um segmento de medida x
tal que ab =
c
x . O nu´mero x e´ dito a quarta proporcional dos nu´meros a, b, c.
12.44 Exerc´\u131cio. Inscrever, em um tria\u2c6ngulo dado ABC, um quadrado (isso significa que, um
lado contido do quadrado deve estar contido num dos lados do tria\u2c6ngulo, e todos os ve´rtices do
quadrado devem pertencer ao tria\u2c6ngulo).
12.45 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medidas a, b, construa um segmento de medida a\u2212 b.
12.46 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medidas a, b, construa um segmento de medida
\u221a
a2 + b2.
12.47 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medidas a, b, construa um segmento de medida
\u221a
a2 \u2212 b2.
12.48 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medidas a, b, construa um segmento de medida
\u221a
a+ b.
12.49 Exerc´\u131cio. Dados os segmentos de medidas a, b, c, construa um segmento de medida\u221a
a2 + b2 + c2.
12.50 Exerc´\u131cio. Dado o segmento de medida a, construa os segmentos de medidas a
\u221a
2 , a
\u221a
3,
a
\u221a
4, a
\u221a
5, a
\u221a
6...
12.51 Exerc´\u131cio. Dado o segmento de medida a
\u221a
n , construa um segmento de medida a.
12.52 Exerc´\u131cio. Construir um segmento de medida 4, 7.
12.53 Exerc´\u131cio. Resolva o sistema, geometricamente, dados a, b{
x+ y = a
xy = b2
.
12.54 Exerc´\u131cio. Resolva o sistema, geometricamente, dados a, b, sendo b um nu´mero positivo{
x2 \u2212 y2 = a2
x+ y = b
.
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Exerc´\u131cios complementares
12.55 Exerc´\u131cio. Resolva o sistema, geometricamente, dados a, b{
x2 + y2 = a2
x+ y = b2
.
12.56 Exerc´\u131cio. Resolva o sistema, geometricamente, dados a, b, sendo a positivo{
x\u2212 y = a
xy = b2
.
12.57 Exerc´\u131cio. Resolver, geometricamente, a equac¸a\u2dco x2 \u2212 ax\u2212 b2 = 0.
12.58 Exerc´\u131cio. Construir x tal que 1
x2
= 1
a2
+ 1
b2
, dados a, b .
12.59 Exerc´\u131cio. Construir x tal que 1x =
1
a +
1
b , dados a, b positivos.
12.60 Exerc´\u131cio. Dados a hipotenusa, a , e a diferenc¸a entre os catetos b \u2212 c , construa o
tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo que tem esses dados como lados (figura 12.28). De\u2c6 uma \u201creceita\u201d para a
construc¸a\u2dco e justifique-a geometricamente. Que relac¸a\u2dco a, b e c devem satisfazer, para o problema
estar bem posto?
a
b - c
Figura 12.28: Exerc´\u131cios 12.60.
12.61 Exerc´\u131cio. Construa um tria\u2c6ngulo com lado a, um a\u2c6ngulo adjacente a esse lado, B\u302 e a
bissetriz b do outro a\u2c6ngulo. Os dados esta\u2dco na figura 12.29.
a
bB ^
Figura 12.29: Exerc´\u131cios 12.61.
Para os exerc´\u131cios 12.62 a 12.66, utilize a figura 12.30.
12.62 Exerc´\u131cio. Construa um hexa´gono regular que esta´ inscrito numa circunfere\u2c6ncia dada.
Justifique, geometricamente, sua construc¸a\u2dco.
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Exerc´\u131cios complementares
Figura 12.30: Exerc´\u131cios 12.62 a 12.66.
12.63 Exerc´\u131cio. Construa um tria\u2c6ngulo regular que esta´ inscrito em uma circunfere\u2c6ncia dada.
Justifique, geometricamente, sua construc¸a\u2dco.
12.64 Exerc´\u131cio. Construa um quadrado que esta´ inscrito numa circunfere\u2c6ncia dada. Justi-
fique, geometricamente, sua construc¸a\u2dco.
12.65 Exerc´\u131cio. Construa um deca´gono regular que esta´ inscrito numa circunfere\u2c6ncia dada.
Justifique geometricamente sua construc¸a\u2dco.
12.66 Exerc´\u131cio. Construa um penta´gono regular que esta´ inscrito numa circunfere\u2c6ncia dada.
Justifique geometricamente sua construc¸a\u2dco.
12.67 Exerc´\u131cio. Construir um quadrado conhecendo sua diagonal.
12.68 Exerc´\u131cio. Construir um quadrado, dados em posic¸a\u2dco os pontos me´dios de dois lados
adjacentes.
12.69 Exerc´\u131cio. Construir a circunfere\u2c6ncia circunscrita a um tria\u2c6ngulo.
12.70 Exerc´\u131cio. Construir a circunfere\u2c6ncia inscrita em um tria\u2c6ngulo.
12.71 Exerc´\u131cio. Construir um trape´zio, conhecendo as bases a e b e os outros dois lados c e
d.
12.72 Exerc´\u131cio. Construir um hexa´gono regular, dado, em posic¸a\u2dco, um lado.
12.73 Exerc´\u131cio. Construir uma perpendicular ao segmento AB, pelo ponto A , estando este
ponto pro´ximo ao bordo do papel.
12.74 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo os lados a e b e a altura ha.
12.75 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo os lados b e c e a altura ha.
12.76 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo os lados b e c e a mediana ma.
12.77 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a , o a\u2c6ngulo A\u302 e a mediana
ma.
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Exerc´\u131cios complementares
12.78 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo os lados a e b e o a\u2c6ngulo A\u302.
12.79 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a , o a\u2c6ngulo A\u302 e a mediana
mb.
12.80 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a e as medianas mb e mc.
12.81 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a e as alturas hb e hc.
12.82 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo a mediana ma e as alturas ha e
hb.
12.83 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo a mediana ma e as alturas hb e
hc.
12.84 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a, o a\u2c6ngulo A\u302 e a soma, s =
b+ c, dos outros dois lados.
12.85 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o lado a, o a\u2c6ngulo A\u302 e a diferenc¸a,
d = b\u2212 c, dos outros dois lados.
12.86 Exerc´\u131cio. Construir um tria\u2c6ngulo ABC, conhecendo o per´\u131metro 2p e os a\u2c6ngulos B\u302 e
C\u302 .
12.87 Exerc´\u131cio. Construir