AnexoCorreioMensagem_500242_calculo-diferencial-e-integral-i-civil

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UNIVERSIDADE POTIGUAR UNIVERSIDADE POTIGUAR UNIVERSIDADE POTIGUAR UNIVERSIDADE POTIGUAR ---- UNPUNPUNPUNP 
 
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Cálculo Diferencial e Cálculo Diferencial e Cálculo Diferencial e Cálculo Diferencial e 
Integral IIntegral IIntegral IIntegral I 
ENGENHARIA CIVILENGENHARIA CIVILENGENHARIA CIVILENGENHARIA CIVIL 
Prof.:Esp. Miguel Aquino de Lacerda NetoProf.:Esp. Miguel Aquino de Lacerda NetoProf.:Esp. Miguel Aquino de Lacerda NetoProf.:Esp. Miguel Aquino de Lacerda Neto 
TURMA: 2MA/2MB/2NA/2NBTURMA: 2MA/2MB/2NA/2NBTURMA: 2MA/2MB/2NA/2NBTURMA: 2MA/2MB/2NA/2NB 
 
1 
 
1. LIMITES 
 
 Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima 
indefinidamente de *+. 
Exemplo: ,: - → - ⟹ * ⟶ *1 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 4. 
 
Exemplo: O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0,da função ,2*3 4
5
√57898. 
 
 
 x - 0,01 - 0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 
 f(x) 1,994987 1,999500 1,999950 2,000050 2,00500 2,0049 
 
Neste caso, dizemos que a função ,2*3 4 5√57898 4 2. Ainda podemos ler como 
:;<5⟶+ = 5√57898 . > 4 2. 
Exemplo: Qual o limite da função ,2*3 4 55 , quando x tende a zero ? 
SOLUÇÃO: 
 Como a função é: :;<5⟶+ 55 4 1 e analisando a seguinte situação: 
 
,2*3 4 @ 1 AB * C 0EãG BAHI JB,;E;JI KILI * 4 0 
 
 
:;<5→+ ,2*3 4 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2.DEFINIÇÃO DE LIMITE. 
 
 Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos 
x arbitrariamente próximos de *+, dizemos que: 
 
 :;<5→5M ,2*3 4 N 
 
Onde lemos: ‘limite de f(x) quando x tende a x inicial’. 
 
 
 
3.DEFINIÇÃO RIGOROSA DE LIMITE 
TEOREMA: 
 Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função 
definida para * O P Q RIS. Dizemos que o limite de ,2*3, quando x tende a a, é L e 
escrevemos :;<5→T ,2*3 4 N, se para todo U V 0, existir W V 0 tal que se 
0 X |* Q I| X W então |,2*3 Q N| X U. Ou seja: 
:;<5→T ,2*3 4 N ⟺ ∀ U V 0, ∃ W V |0 X * Q I| X W ⟹ |,2*3 Q N| X U . 
 
 
 
 
 
 
 
→Exemplos: 
1).Seja f uma função tal que ,2*3 4 3* _ 2, * ∈ -. Se :;<5→8 ,2*3 4 5, encontre um W 
para U 4 0,01 tal que 0 X |* Q 1| X W ⟹ |,2*3 Q 5| X 0,01. 
 Resp.b 4 c, ccd. 
 
2).Dado U 4 0,03,determinar um valor W positivo tal que |23* _ 73 Q 1| X U sempre 
que 0 X |* Q 2Q23| X W. 
 Resp. b 4 c, cf. 
 
3).Dada a função f tal que ,2*3 4 5 Q 2*, * ∈ -.Determine um número W para 
U 4 0,001 de modo que 0 X |* _ 2| X W ⟹ |,2*3 Q 9| X U, sabendo que 
:;<5→91 ,2*3 4 9. 
 Resp. b 4 c, ccch. 
 
 
3 
4).Usando a definição, demonstre que: :;<5→8 3* _ 2 4 5. 
 
 
 ●EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO● 
 
1.No seguinte problema, ,2*3 4 5* _ 7; N 4 17; I 4 2; U 4 0,01; :;<5→1 5* _ 7 4 17 
para U dado, determinar um W positivo tal que |,2*3 Q N| X U e sempre que 
 0 X |* Q I| X W. 
 
2.Mostre usando a definição de limite que::;<5→j24* _ 13 4 13. 
 
3.Nos problemas 1 a 7, para o U dado, determine um W positivo tal que |,2*3 Q N| X U 
e sempre que 0 X |* Q I| X W. 
 
 a).,2*3 4 * _ 3; N 4 5; I 4 2; U 4 0,01; :;<5→12* _ 33 4 5. 
 
 b).,2*3 4 4* Q 1; N 4 11; I 4 3; U 4 0,01; :;<5→j24* Q 13 4 11. 
 
 c).,2*3 4 3 Q 4*; N 4 7; I 4 Q1; U 4 0,02; :;<5→j23 Q 4*3 4 7. 
 
 d). ,2*3 4 5l91m59m ; N 4 10; I 4 5; U 4 0,01; :;<5→m
5l91m
59m 4 10. 
 
 e).,2*3 4 * Q 1; N 4 0; I 4 1; U 4 0,1; :;<5→82* Q 13 4 0. 
 
 f). ,2*3 4 5781 ; N 4 3; I 4 5; U 4 0,1; :;<5→m
578
1 4 3. 
 
 g).,2*3 4 *1; N 4 4; I 4 2; U 4 0,1; :;<5→1 *1 4 4. 
 
4.Demonstre, usando a definição, que: 
 
a):;<5→124* Q 13 4 7 b):;<5→j24 Q 2*3 4 Q2 c):;<5→9823* Q 23 4 Q5 
 
5.Nos problemas a seguir, verifique se cada limite está correto, pelo o uso direto da 
definição. Isto é, para U V 0, ache W V 0 de tal maneira que |,2*3 Q N| X U válido 
sempre que 0 X |* Q I| X W. 
 
 a).:;<5→n22* Q 53 4 3 
 
 b).:;<5→j24* Q 13 4 11 
 
 c).:;<5→j I 4 I, onde a é uma constante. 
 
 
 
 
 
4 
4.PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES. 
 
 Vamos usar a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma 
função. É um processo relativamente simples para funções lineares. A seguir 
introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem 
apelar para a pesquisa do número b que aparece na definição do item anterior. 
 
1.Se f é a função definida por f(x)=C onde C O	o,para todo x real,então,:;<5→T p 4 p. 
 
2.Se q	O	o e :;<5→T ,2*3 4 N então ,:;<5→Trp	,2*3s 4 q ∙ :;<u→T ,2*3 4 q ∙ N 
 
3.Se :;<5→T ,2*3 4 N e :;<5→T v2*3 4 w,então,:;<5→T2, x v3 2*3=N xw 
 
4.Se :;<5→T ,2*3 4 N e :;<5→T v2*3 4 w,então,:;<5→T2, ∙ v32*3 4 N ∙ w 
 
5.Se :;<5→T ,2*3 4 N então,:;<5→T2,y3 ∙ 2*3 4 Ny, E	O	z∗ 
 
6.Se :;<5→T ,2*3 4 N e :;<5→T v2*3 4 w C 0,então,:;<5→T =|}> 2*3 4 ~ 
 
7.Se :;<5→T ,2*3 4 N então,€,2*3 4 √N ,com N ‚ 0	e E	O	z∗ ou N X 0 e n é ímpar. 
 
8.Se :;<5→Tr:E	,2*3s 4 :E	r:;<5→T ,2*3s,se :;<5→T ,2*3 V 0 
 
9. :;<5→T A;E ,2*3=2:;<5→T ,2*33 
 
10.:;<5→T℮|253 4 ℮„…†‡→ˆ |253 
 
4.1.RESOLUÇÃO DE LIMITES ANALISANDO O GRÁFICO 
 
1.Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a ):;<5→j‰ ,2*3 (b)	:;<5→jŠ ,2*3 (c)	:;<5→j ,2*3 
 
(d)	:;<5→9‹ ,2*3 (e)	:;<5→7‹ ,2*3 (f)	:;<5→n ,2*3 
 
GABARITO: 
(a)-1 (b)3 (c)∄ (d) -1 (e)3 (f) 3 
 
 
 
5 
2.Seja a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a):;<5→1Š ,2*3 (b)	:;<5→1‰ ,2*3 (c)	:;<5→7‹ ,2*3 
 
(d)	:;<5→9‹ ,2*3 (f)	:;<5→8 ,2*3 
 
 
GABARITO: 
(a)0 (b)0 (c)_∞ (d) Q∞ (e)1 
 
 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
1.Seja a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a):;<5→1Š ,2*3 (b)	:;<5→91‰ ,2*3 (c)	:;<5→91 ,2*3 (d)	:;<5→7‹ ,2*3 
 
2. Seja a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a):;<5→+Š ,2*3 (b)	:;<5→+‰ ,2*3 (c)	:;<5→+ ,2*3 (d)	:;<5→7‹ ,2*3 
(e):;<5→9‹ ,2*3 (f) :;<5→1 ,2*3 
 
6 
3. Seja a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a):;<5→8Š ,2*3 (b)	:;<5→8‰ ,2*3 (c)	:;<5→8 ,2*3 (d)	:;<5→7‹ ,2*3 
(e):;<5→9‹ ,2*3 
 
GABARITO: 
1. 
(a)0 (b)0 (c)0 (d)	_∞ 
2. 
(a)0 (b)0 (c)0 (d)	_∞ (e)Q∞ (f)4 
3. 
(a) _∞ (b)1/2 (c)∄ (d)1/2 (e)Q∞ 
 
 
5.LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
 Para se resolver alguns limites de uma função polinomial, usaremos algumas 
técnicas de fatoração e alguns artifícios. Veja: 
 
1).Fator comum:I* _ Ž* 4 * ∙ 2I _ Ž3 
 
2).Diferença de quadrados:*1 Q 1 4 2* _ 3 ∙ 2* Q 3 
 
3).Soma e Produto:*1 x * x ‘ 4 0 
 
4).Quadrado da soma e Quadrado da diferença:2* _ 31 4 *1 _ 2* _ 1 e 2* Q 31 4 *1 Q 2* _ 1 
 
5).Cubo e Quarta Potência 
 Ij _ Žj 4 2I _ Ž3 ∙ 2I1 Q IŽ _ Ž13 
 Ij Q Žj 4 2I Q Ž3 ∙ 2I1 _ IŽ _ Ž13 
 
 
→Exemplos: Calcular os seguintes limites: 
a):;<5→1 5l9n5l915 
 
SOLUÇÃO: 
 Os polinômios 2*1 Q 43 e 2*1 Q 2*3, anulam-se para * 4 2, portanto,pelo 
Teorema de D’ALEMBERT,são divisíveis por * Q 2.Então: 
 
7 
 
 :;<5→1 25913∙257135∙25913 
 
 :;<5→1 5711 ⟹ :;<5⟶ n1 4 4. 
 
b):;<5→j 5l9n57j5l9’ 
SOLUÇÃO: 
 
:;<5→j 259j3∙25983257j3∙259j3 ⟹ :;<5⟶j59857j ⟹ :;<5⟶j j98j7j 4 1“ 4 8j . 
 
 6.POLINÔMIOS DE GRAU 3 E MAIOR QUE 3. 
 
 Para resolver este tipo de limite, usaremos um dispositivo prático chamado de 
BRIOT RUFFINI e o TEOREMA D’ALEMBERT. Vejamos: 
 
 1.Dispositivo prático de BRIOT RUFFINI: 
 Consiste em dividir uma equação polinomial de grau maior ou igual a 3,da 
seguinte forma: 
 
 ”2*3 4 IE*y _ IE*y98 _⋯_ I* _ I , por * Q I,obtemos um quociente –2*3 4 ŽE Q 1*y98 _⋯_ Ž* _ Ž e resto r. 
 
 2.Teorema D’ALEMBERT: 
 Um polinômio P(x) é divisível por * Q I		se, e somente se, P(x)=0. 
 
→ Exemplos: Calcular os limites usando o dispositivo prático. 
 a)	:;<5→9—l “5
l78857j
15l9m5981 b)	:;<5→˜l 15
l7m59j
15l9m571 c)	:;<5→8 5—9j5715l98 
→Exemplos: Calcular os seguintes limites usando a fatoração: 
 a) :;<5→8 5—985l98 b)	:;<5→91 ™75—n95l c)	:;<5→1 5š98“™95— 
 
 
 3.Calculando limites usando o conjugado. 
→Exemplos: Calcular os limites usando o conjugado. 
a):;<5→j √8759159j resp. 1/4 b)	:;<5→1 √j59191√n5789j resp. 9/8. 
 
 
 
 
8 
 →LISTA DE EXERCÍCIOS – 1 
1.Calcular os seguintes limites: 
 
a):;<5→122*1 _ 3* Q 43 f):;<5→T 5l9Tl59T 
 
b):;<5→8 5l9m57n598 g):;<5→9T Tl95lT—75— 
 
c):;<5→8 5—9j5715l98 h):;<5→8 √598598 
 
d):;<5→+ √57j9√j5 i):;<5→+ 89√8955 
 
e):;<5→+2pGA * _ A;E *3 j):;<5→j 19√5785l9’ 
 
7.LIMITES LATERAIS. 
 
Observando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 • :;<5→T7 ,2*3 4 Ž, é chamado de limite lateral à direita da a. 
 
 • :;<5→T9 ,2*3 4 p, é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
→Exemplo: É dada a função definida por ,2*3 4 @*1 _ 4*, * ‚ 16* Q 1, * X 1 ,calcular se existir: 
 
a):;<5→87 ,2*3 b):;<5→89 ,2*3 :;<5→8 ,2*3 
 
→Exemplo.: Dada a função definida por ,2*3 4 |5|5 , para todo *Oo∗ , calcule ,se 
existir: 
 
a):;<5→+7 ,2*3 b):;<5→+9 ,2*3 c):;<5→+ ,2*3 
 
OBS.: 
 Lembramos a definição de função modular: 
 
 |*| 4 œ *, AB	* ‚ 0Q*, AB	* X 0 ∴ žŸ Çã	w£¤ŸN”- 
 
9 
 →LISTA DE EXERCÍCIOS – 2 
►Calcular os limites laterais, caso existam em cada situação dada: 
1.Dada ,2*3 4 |578|578 definida em o Q RQ1S.Calcular : 
 
a):;<5→98Š ,2*3 b):;<5→98‰ ,2*3 c):;<5→98 ,2*3 
 
2.Dada ,2*3 4 |j591|19j5 definida em o Q œQ 1j¥.Calcular: 
 
a):;<5→l—Š ,2*3 b):;<5→l—‰ ,2*3 c):;<5→l— ,2*3 
 
3.Dada ,2*3 4 5l9m57n|598| definida em oQ R2S. Calcular: 
 
a):;<5→8Š ,2*3 b):;<5→8‰ ,2*3 c):;<5→8 ,2*3 
 
4.Dada ,2*3 4 5—9“5l78859“|591| definida em oQ R2S.Calcular: 
 
a):;<5→1Š ,2*3 b):;<5→1‰ ,2*3 c):;<5→1 ,2*3 
 
5.Dada a função , ,definida por: 
 
 
 ,2¦3 4 §3* Q 2, AB	* V Q13, AB	* 4 Q15 Q I*, AB	* X Q1 
 
Determine a∈ o para que exista :;<5→98 ,2*3. 
 
8.LIMITES TRIGONOMÉTRICOS. 
 
 O que já devemos saber sobre trigonometria: 
 
1).Relação Fundamental da Trigonometria: 
 
 ABE1* _ pGA1* 4 1 QABE1* 4 pGA1* Q 1 
 
 ABE1* 4 1 Q pGA1* QpGA1* 4 ABE1* Q 1 
 
 pGA1* 4 1 Q ABE1* Hv	* 4 ¨…y 5©ª¨ 5 
 
 pGH * 4 ©ª¨ 5¨…y 5 ABp * 4 8©ª¨ 5 
 
 pGABp	* 4 8¨…y 5 ABE1* 4 ABE	* ∙ ABE	* 
 
 
10 
2).Ciclo trigonométrico: 
 
 Para se calcular os limites trigonométricos, devemos calcular no sentido horário e ou 
anti – horário. Vejamos o ciclo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limite trigonométrico fundamental: 
 
 					:;<5→+ ¨…y 55 4 1 
 
 Visualizando o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 Vejamos alguns exemplos de limites trigonométricos: 
Calcular os limites trigonométricos: 
 
a):;<5→+ ¨…y 155 
 
•SOLUÇÃO: 
:;<5→+ =2 ∙ ¨«y	155 > ⟹ 2 ∙ 1 4 2 
 
 
b):;<5→+ ¨…y j5¨…y m5 
 
•SOLUÇÃO: 
 
11 
:;<5→+ j∙¬­—‡—‡m∙¬­®‡®‡ ⟹ :;<5⟶+
j∙8
m∙8 =
j
m 
 
c):;<5→+ 89©ª¨55l 
 
•SOLUÇÃO: 
 
:;<5→+ =89©ª¨ 55l > ∙ 287©ª¨53287©ª¨53 ⟹ :;<5⟶+ 89©ª¨l55l∙287©ª¨53 ⟹ :;<5⟶+ ¨«yl55l∙287©ª¨53 ⟹ 
 :;<5⟶+ ¨…y 5∙¨…y 55∙5∙287©ª¨ 53 ⟹ :;<5⟶+ 887©ª¨ 5 ⟹ :;<5⟶+ 887©ª¨ + ⇒ 81 . 
 
•LISTA DE EXERCÍCIO. 
 Encontre: 
 
a):;<5⟶+ ¨…y j515 f):;<5→+ 89¨«© 55l 
 
b):;<5⟶+ ¨…y 15¨…y 5 g):;<5→+ °Ty 57¨…y 55 
 
c):;<5⟶+ ¨…y T5¨…y ±5 h):;<5→+ 89©ª¨ 55∙¨…y 5 
 J3:;<5⟶+ °Ty 15j5 i):;<5→+ m∙¨…y j59“∙¨…y 15²∙¨…y m57™∙¨…y 5 
 
e):;<5⟶+ 89©ª¨55 j):;<5→+ ¨…y T5±5 
 
 ►TABELA COMPLEMENTAR DOS LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
1.	A;E * _ A;E I 4 2 ∙ A;E 57T1 ∙ pGA 59T1 
2.	A;E * Q A;E I 4 2 ∙ A;E 59T1 ∙ pGA 57T1 
 3. pGA * _ pGA I 4 2 ∙ pGA 57T1 ∙ pGA 59T1 
 
4.pGA * Q pGA I 4 Q2 ∙ A;E 57T1 ∙ ABE 59T1 
 5. A;E2* _ I3 4 A;E I ∙ pGA Ž _ A;E Ž ∙ pGA I 
 6. pGA2* _ I3 4 pGA * ∙ pGA I Q A;E * ∙ A;E I 
 7. pGA 2I 4 pGA2I _ I3 4 pGA I ∙ pGA I Q A;E I ∙ A;E I 4 pGA1I Q ABE1I 
 
8.	Hv	* Q Hv	I 4 ¨«y	259T3©ª¨	5	∙©ª¨	T 
 
 
12 
Vejamos alguns exemplos: 
 
►Com o auxílio das fórmulas complementares da trigonometria, calcular os seguintes 
limites: 
 
a):;<5→T ©ª¨ 59©ª¨ T59T 			 ∴ LBAK.QABE	I. 
 
b):;<5→T °}	59°}	T59T 					 ∴ LBAK. ABp1*. 
 
c):;<5→³š ¨«y	59©ª¨ 589°}	5 		 ∴ LBAK.Q √11 . 
 
d):;<5→T ¨«y	59¨«y	T59T 	 ∴ LBAK. pGA I.	 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule os limites trigonométricos: 
 
a):;<5→+ °}59¨«y	5¨«yl5 					 ∴ LBAK. ´BLG. b):;<5→+ ¨«y	j59¨«y	15¨«y	5 					 ∴ LBAK. 1 
 
c):;<5→+ ¨«y	257T39¨«y	T5 		 ∴ LBAK. pGA I d):;<5→+ ©ª¨257T39©ª¨T5 		 ∴ LBAK. QABE	I. 
 
2.Calcule o valor de :;<5→+ 89©ª¨—5¨«yl5 .					 ∴ LBAK. j1 . 
 
3.Mostre que: :;<5→+ √87¨«y	59√89¨«y	55 4 1. 
 
4. Calcule os limites trigonométricos: 
a) :;<5→³š ©ª¨ 15©ª¨ 59¨«y	5 b) :;<5→+ ¨«y	T59¨«y	±55 
►Limites Exponenciais: 
 Chamamos de ℮ o limite da função ,2E3 4 =1 _ 8y>y, definida em z∗,quando n 
tende a _∞. 
 ℮ 4 :;<y→7‹ =1 _ 8y>y 
 o número e é um número irracional. Um valor aproximado de e é 2,7182818284... . 
 
Devemos saber algumas regras de limites exponenciais, vejamos: 
 
a):;<5→‹ =1 _ 85>5 4 B b):;<5→+21 _ *38 5µ 4 B 
 
c):;<¶→+21 _ ·3¹¸ 4 Bº∙„ d):;<5→‹ =1 _ º5>„∙5 4 Bº„ 
 
 
13 
e):;<5→+ T‡985 4 :E	I f):;<5→+ «‡985 4 1 
 
OBS. 
 •»¼½¾→7‹ f¾¿ 4 c •»¼½¾→9‹ f¾¿ 4 c 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Calcular os seguintes limites: 
 
a):;<5→‹ =1 _ j5>n5 b):;<5→‹Š =1 _ 85>15 
 
c):;<5→‹Š =578598>5 d):;<5→+ j‡9815 
 
 
 ►EXERCÍCIOS: 
1.Calcular os seguintes limites exponenciais: 
 
a):;<5→7‹ =1 _ 85>j5 b):;<5→9‹ =1 _ 85>571 c):;<5→7‹ =1 _ n5>5 
 
d):;<5→9‹ =1 _ 15>j5 e):;<5→9‹ =1 _ j5>
‡š f):;<5→9‹ =57159j>5 
 
 
g):;<5→9‹ =15981578>5 h):;<5→7‹ =59n598>571 i):;<5→7‹ =5l785l9j>5
l
 
 
 
2.Calcular os seguintes limites exponenciais: 
 
a):;<5→7‹ «‡98¨…y m5 b):;<5→9‹ ¨…y j5«‡98c):;<5→7‹ 1‡985 
 
d):;<5→+ «l‡985 e):;<5→+ 1—‡985 d):;<5→+ jl‡981®‡98 
 
 
2.DERIVADAS. 
 
 Seja, uma função definida em um intervalo aberto I e *ª um elemento de I.Chama-
se derivada de , no ponto	*+ o limite 
 
 :;<5→5M |2539|25M3595M , se existir e for finito. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 A derivada de ,´2*+3 ou ÁÂ|Â5Ã * 4 *+ ou ¤,2*+3. 
 
 
 Frisemos que a derivada de f no ponto *+ pode ser indicada das seguintes formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.)Ä´2¾c3 4 »¼½¾→¾c Ä2¾39Ä2¾c3¾9¾c 
 
 
2.)Ä´2¾c3 4 »¼½¾→¾c ∆Æ∆¾ 
 
 
3.)Ä´2¾c3 4 »¼½∆¾→c Ä2¾c7∆¾39Ä2¾c3∆¾ 
 
OBS.: Para se resolver o mais rápido possível, usaremos a condição ‘’ 3 ‘’. 
 
 
2.2.A DERIVADA USANDO A RETA TANGENTE: 
 
 Quando queremos obter a equação de uma reta passando por ‘2*+, +3 e 
coeficiente angular m, utilizamos a fórmula de Geometria Analítica: 
  Q + 4 < ∙ 2* Q *+3 
 
Graficamente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 Em particular, se queremos a equação da reta tangente t ao gráfico de uma função f 
no ponto 2*+, +3, em que f é derivável, basta fazer	+ 4 ,2*+3 e < 4 ,Ç2*+3. A 
equação da reta t fica: 
 Æ Q Ä2¾c3 4 ÄÇ2¾c3 ∙ 2¾ Q ¾c3 
Exemplos: 
 
1.Qual é a equação da reta tangente à curva  4 *1 Q 3* no seu ponto de abscissa 4 ? 
 
2.Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função ,2*3 4 *1 no ponto: 
(a)(2; 4) e (b)(*+; *+13 como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) resp. 2*+ (a)resp. 4 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função ,2*3 4 *j Q *		no ponto: 
 (a)( 2; 6) ,(b)(xo, f (xo)), como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a)resp. 11 (b)3*+1 Q1 
 
1º.)Calcularmos a derivada de f(x)=2x no ponto *+ 4 3. 
Resp.:2 
 
2º.)Calcularmos a derivada de f(x)=*1 _ * no ponto *+ 4 1. 
Resp.: 3 
 
3º.)Calcular a derivada de ,2*3 4 A;E * no ponto *+ 4 Èj. 
Resp.: ½ 
 
4º.)Calcular a derivada de ,2*3 4 √*— no ponto *+ 4 0. 
Resp.:não existe. 
 
 
16 
2.3.INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA-APLICAÇÃO NA FÍSICA 
 
 A derivada da função A 4 A2H3 no ponto H 4 H+ é igual à velocidade escalar do 
móvel no instante H+. 
 
 A derivada da função É 4 É2H3 no ponto H 4 H+ é igual à aceleração escalar do 
móvel no instante H+. 
 
•Exemplos: 
 
1.Um ponto material percorre uma curva obedecendo à equação horária 
A 4 H1 _ H Q 2. Calcule a sua velocidade no instante H+ 4 2. 
 
2.Calcule a aceleração de uma partícula no instante H+ 4 5,sabendo que sua 
velocidade obedece à equação É 4 2 _ 3H + 5H1. 
 
2.4.DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES: 
 
a)Derivada da função constante: 
 
					,(*) = p ⟹ ,´(*) = 0 
 
b)Derivada da função potência: 
 
 ,(*) = *y ⟹ ,´(*) = E ∙ *y98 
 
c)Derivada da função seno: 
 
			,(*) = A;E * ⟹ ,´ (*) = pGA * 
 
d)Derivada da função cosseno: 
 
			,(*) = pGA * ⟹ ,´ (*) = −A;E * 
 
e)Derivada da função exponencial: 
 
 ,(*) = I5 ⟹ ,´(*) = I5 ∙ :E	I 
No caso particular da função exponencial de base e,,(*) = B5,temos o resultado 
notável: 
 
 ,´(*) = B5 ∙ :E	B = B5 , logo: 
 
 
 
 ,(*) = B5 ⟹ ,´(*) = B5 
 
f)Derivada da função logarítmica natural (base e):f(x)=ln x 
 
					, ´(*) = 85 ou ,
´(*) = 85∙„y	T 
 
17 
2.5.REGRAS DE DERIVAÇÃO- IMPORTANTE 
 
•I.Derivada da soma ou da diferença. 
 
,(*) = Ê(*) ± É(*) ⟹ ,´(*) = Ê´(*) ± É´(*) 
 
•II.Derivada do produto: 
 
,(*) = Ê(*) ∙ É(*) ⟹ ,´(*) = Ê´(*) ∙ É(*) + Ê(*) ∙ É´(*) 
 
•III.Derivada do quociente: 
 
,(*) = Ë(5)Ì(5) ⟹ ,
´(*) = Ë
´(5)∙Ì(5)9Ë(5)∙Ì´(5)
rÌ(5)sl 
 
 
►Conseqüências: 
 
 1ª)Derivada da função tangente: 
 ,(*) = HIE * ⟹ ,´(*) = ABp1 * 
 
2ª)Derivada da função Ä(¾) = rÍ(¾)s9¿, ¿Îℕ∗. 
 ,(*) = *9y ⟹ ,´(*) = −E ∙ *9(y78) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
a),(*) = 8*88 b),(*) = 5 + * + 3*1 
c),(*) = *j + *1 + * + 5 d),(*) = 3 + 2*y + *1y,(EOℕ) 
e),(*) = ABE²* ∙ pGAj* f),(*) = * ∙ B5 + pGA * 
g),(*) = (3*1 + *) ∙ (1 + * + *j) h),(*) = *n ∙ I15 
 
2.Obtenha a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um 
segmento de reta obedecendo à equação horária A = B98 ∙ pGA H,com IOℝ. 
 
3.Usando a derivada do quociente, derive as seguintes funções: 
a),(*) = 5
l
578 b),(*) =
„y 5
5 c),(*) = HIE * 
 
d),(*) = pGH * e),(*) = 5
š78m
5 f),(*) =
5l98+
5l 
 
•IV. Derivada de uma função composta: 
 ž(*) = vÐ,(*)Ñ ⟹ ž´(*) = v´Ð,(*)Ñ ∙ ,´(*) 
 
 
Exemplos: Derivar: 
 
a)ž(*) = pGA 2* resp.: - 2 . sen 2x 
 
b)ž(*) = ABEj* resp.: 3∙ ABE1* ∙ pGA * 
 
18 
 
c)ž(*) = B²5l915 resp.: (14* − 2) ∙ B²5l915 
 
•V.Derivada da função inversa: 
 * = ,98() ⟹ (,98)() = 8|´(5) 
►Conseqüência 
 
1.Derivada da função logarítmica: 
 
 
 
 
No caso particular em que a=e,temos: 
 
 
 
 
 
2.Derivada da função potência com expoente real: 
 
 
  = *y ⟹ ´ =∝∙ *∝98 
 
 
3.Derivada da função arc sen: 
 
 
  = ILp A;E * ⟹ ´ = 8€89¶l 
 
 
4.Derivada da função arc cos: 
 
 
  = ILp pGA * ⟹ ´ = − 8€89¶l 
5.Derivada da função tangente: 
 
 
  = ILp HIE * ⟹ ´ = 887¶l 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Determinar a função derivada das seguintes funções: 
 
a) = :Gv1 * b) = :Gv1 pGA * c) = √* d) = √*— 
 
e) = √A;E * f) = ILp A;E *1 g) = ILp pGA B5 h) = ILp HIE(:E *) 
 
 = :GvT * ⟹ ´ =
1
* ∙ :E I 
 = :GvT * ⟹ ´ =
1
* ∙ :E I 
 
19 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1.Calcularmos a derivada de f(x)=2x+4 no ponto *+ = 4. 
 
2.Calcularmos a derivada de f(x)=3*1 + 2* no ponto *+ = 2. 
 
3.Calcular o valor da derivada da função ,(*) = 85l + B
95 + ABp1*, quando *+ = Èn. 
 
4.Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a),(*) = 8*88 b),(*) = 5 + * + 3*1 
c),(*) = *j + *1 + * + 5 d),(*) = 3 + 2*y + *1y,(EOℕ) 
e),(*) = ABE²* ⋅ pGAj* f),(*) = * ∙ B5 + pGA * 
g),(*) = (3*1 + *) ∙ (1 + * + *j) h),(*) = *n ∙ I15 
 
5.Usando a derivada do quociente, derive as seguintes funções: 
a),(*) = 5
l
578 b),(*) =
√j
5 c),(*) = HIE * 
 
d),(*) = pGH * e),(*) = 5
š78m
5 f),(*) =
5l98+
5l 
 
6.Mostre que: a derivada da função HIE *	 = 	 ABp1 *. 
 
7. Usando a definição, ,Ç(*+) = :;<Ô→+ |
(5M7Ô)9|(5M)
Ô calcular a taxa de variação de 
cada função dada: 
 
a),(*) = 3* − 2, para *+ = 2 
 
b),(*) = *1 − 2* + 1, para *+ = 2 
 
8.Calcule no instante H+ = 3 a velocidade de uma partícula que se move obedecendo à 
equação horária A = 8°. (Unidades SI) 
 
9.Calcule a aceleração de uma partícula no instante H+ = 6, sabendo que sua 
velocidade obedece à equaçãoÉ = 2 + 7H + 3H1. (unidades SI) 
 
10.Seja q(*) = 2000 + 15*1 o custo de produção de x unidades de um determinado 
artigo. Em economia, custo marginal é a taxa de variação de q(*) em relação a x, ou 
seja, a derivada qÇ(*). Qual o custo marginal para a produção de 30 unidades. 
 
11.A taxa de variação da velocidade de um móvel em relação ao tempo é a sua 
aceleração. Se a velocidade do objeto é Õ(H) no instante t, sua aceleração, no instante 
H+, é dada por I(H+) = ÉÇ(H+) = ÂÌ° = :;<°→°M
Ì(°)9Ì(°M)
°9°M
 . Com base no que foi exposto, 
calcule a aceleração de subida (no SI) de um projétil que é lançado para o ar no 
instante H = 0 com velocidade É(H) = 120 − 4,9H. 
 
20 
12.Uma cidade é atingida por uma epidemia e o número de pessoas atingidas após um 
tempo t é dado por ,(H) = 32H − °
—
j . Qual a razão de desenvolvimento da epidemia em 
H = 4	? 
 
13.A função posição de uma pedra em queda livre é dada por ,(*) = 4,9H1.Calcule a 
velocidade da pedra nos instantes H = 1A	B	H = 3A. 
 
14.Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico ,(*) = B5 no ponto de abscissa 2. 
 
15.Um móvel desloca-se sobre um segmento de reta obedecendo à equação horária 
A = pGA 	H	(UNIDADES SI).Determinar: 
 
a)sua velocidade no instante H = Èn 	A. 
 
b)sua aceleração no instante H = ȓ 	A. 
 
16.Um móvel desloca-se sobre uma reta obedecendo à equação horária A = Hn. 
Determine: 
 
a)sua velocidade no instante H = 2A. 
 
b)sua aceleração no instante H = 3A. 
 
 
c)em que instante sua velocidade é de 108	< ∕ A. 
 
d)em que instante sua aceleração é de 48	< ∕ A1. 
 
3.INTEGRAIS. 
 
3.1.Integral indefinida: 
 
 Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a 
operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. 
 Uma função F satisfazendo a condição ž´ = ,(*) é chamada primitiva de f ou 
ainda, integral indefinida de f. Se F é uma primitiva de f, então ž(*) + p, em que c é 
uma constante, também é. De um modo geral, representamos uma primitiva genérica de 
f por Ø,(*) J*. Assim, por exemplo, se ,(*) = *1,são primitivas de f as funções : 
 
5—
j ,
5—
j + 5 , ou, de um modo geral,
5—
j + p, e escrevemos: 
 
 Ø*1 J* = 5
—
j + p 
 
 
Outros exemplos: 
 
1.Ø*m J* = 5
Ù
“ + p 
 
 
21 
2.Ø*y J* = 5
Š˜
y78 + p, (n≠ −1) 
 
3.Ø1J* = ØJ* = * + p 
 
4.Ø pGA * J* = A;E * + p 
 
5.Ø A;E * J* = − pGA * + p 
 
6.Ø B5 J* = B5 + p 
 
7.Ø 85 J* = :E|*| + p 
 
8.Ø ABp * ∙ HIE * J* = ABp * + p, p ∈ ℝ 
 
 
3.2.Propriedades das integrais indefinidas. 
 
 a)ØrÄ(¾) ± Ú(¾)s Û¾ = ØÄ(¾)Û¾ ± ØÚ(¾)Û¾ 
 
 b)ØÜÄ(¾)Û¾ = ÜØÄ(¾)Û¾ 
 
→Exemplos: 
Calcular: 
 
a)Ø(*1 + *j − 2*) J* resp.: 5
—
j +
5š
n − *
1 + p 
 
b)Ø = 85l + √*j> J* resp.: −
8
5 +
1
m ∙ √*m + p 
 
c)Ø(2B5 + 25) J* resp.: 2B5 + 1
‡
„y 1+ p 
 
d)Ø =pGA * + 81 ∙ A;E * −
8
5> J* resp.: A;E * −
8
1 ∙ pGA * − :E|*| + p 
 
 
 Exercícios 
 
1.Calcular as seguinte integrais indefinidas. 
 
a)Ø(*n − *j + 2*1 + 4* − 3) J* d)Ø(2 ∙ ABp * ∙ HIE *) J* 
 
b)Ø = 15l +
j
5—>J* e)Ø(2B
5 + 3 ∙ 45) J* 
 
c)Ø =√* + 8√5>J* f)Ø =
5—78
5l >J* 
 
 
 
 
22 
2.Determine as primitivas para as funções: 
 
a) = (*j − 4*1 − 2* + 6) d) = =5
Ý
j +
5—
² > 
 
b) = (A;E * + 3 pGA *) e) = 5
—78
² 
 
c) = (−*m + 3) 
 
3.Calcule: 
 
a)Ø =985l>J* f)Ø =
8
5—> J* 
 
b)Ø(ABp1*) J* g)Ø(*9j) J* 
 
c)ØÐ√*® Ñ J* h)Ø(*m − 2*) J* 
 
d)ØÐ√*1— Ñ J* i)Ø(2*j − 5*1 + 6* + 7) J* 
 
e)Ø = 8√5>J* j)Ø(7 − *) J* 
 
 
►O CÁLCULO DE ÁREAS ENVOLVENDO AS INTEGRAIS: 
 Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real rI, Žs. A integral 
definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: 
 
 Ø ,(*)J*±T 
Onde: 
• a é o limite inferior de integração; 
• b é o limite superior de integração; 
• f(x) é o integrando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
►CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA: 
 
 Na prática, a integral de f sobre rI, Žs não é avaliada empregando-se a definição, 
pois, a não ser em casos particulares, a determinação do limite da soma de Riemann de 
f é bastante difícil. 
 Felizmente, o Cálculo da integral de f sobre rI, Žs pode ser facilmente realizado 
quando conhecemos uma primitiva P de f, pois, neste caso, o valor da integral é dado 
simplesmente por: ž(Ž) − ž(I). Precisamente, é possível demostrar o seguinte 
Teorema: 
 Se f é uma função contínua em rI, Žs e se P é uma primitiva de f, então 
 
 
 
 
 
 
 
 
•OBS: A diferença: ž(Ž) − ž(I) poderá ser indicada pela notação ‘(*)│T± 
 
No gráfico, podemos observar que: 
 
 
 
 
 ÁLBI = Ø ,(*)±T J* 
 
 
 
 
 
 a b 
 
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as situações 
que comumente ocorrem. 
 
•CASO I: 
-Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas * = I	B	* = Ž e 
o eixo dos x, onde f é contínua e ,(*) ‚ 0, ∀	*	 ∈ 	 rI, Žs(ver figura): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área é dada por: à = Ø Ä(¾)Û¾áâ . 
Ø ,(*)±T J* = ž(Ž) − ž(I) 
 
24 
Exemplo 1: Encontre a área limitada pela curva  = 4 − *1 e os eixos dos x. 
SOLUÇÃO: 
 A curva  = 4 − *1 intercepta o eixo x nos pontos de abscissa – 2 e 2. Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a área da integral é: ” = Ø (4 − *1)J* = =4* − 5
—
j >
1
91 	│91			1 =	
j1
j 	Ê. I. 
 
•CASO II: 
-Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas * = I	B	* = Ž e 
o eixo dos x, onde f é contínua e ,(*) ã 0, ∀	*	 ∈ 	 rI, Žs(ver figura): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral. Logo, a área da 
integral é:	à = Ø Ä(¾)Û¾áâ , GÊ	ABäI, ” = åØ Ä(¾)Û¾
á
â å. 
 
Exemplo 2:Encontre a área limitada pela curva  = −4 + *1e o eixo dos x. 
RESP. 32/3 u.a. 
 
•CASO III: 
-Cálculo de área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e 
 x = b, onde f e g são funções contínuas em rI, Žs e ,(*) ‚ v(*), ∀	* ∈ rI, Žs, Neste 
caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos 
para todo	* ∈ rI, Žs . Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Então, a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o 
gráfico de g, ou ainda: 
 
 à = Ø Ä(¾)Û¾áâ − Ø Ú(¾)Û¾
á
â = Ø (Ä(¾) − Ú(¾))
á
â Û¾ 
 
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x deslocado 
de tal maneira que às funções se tornem não-negativas , ∀	* ∈ 	 rI, Žs.Observando a 
figura, concluímos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
													àÇ = à = Ø (Äf(¾) − Úf(¾))Û¾áâ ⟹àÇ = à = Ø (Ä(¾) − Ú(¾))
á
â Û¾ 
 
EXEMPLOS: 
1.Encontre a área limitada por  = *1		B		 = * + 2. 
Resp.: A = 9/2 u.a. 
 
2.Encontre a área limitada pelascurvas  = *j		 = *. 
Resp.: A = 0,5 u.a. A = ½ u.a. 
 
3.Encontre a área da região limitada pelas curvas  = *1 − 1	B	 = * + 1. 
Resp.:A = - 9/2 u.a. 
 
4.Encontre a área da região S limitada pelas curvas  − * = 6*,  − *j = 0	B	 
2 + * = 0. 
Resp.:A = 22u.a. 
 
5.Encontre a área da região S, limitada pela curva  = ABE	* e pelo eixo dos x de 0 até 
2æ, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: A = 4u.a. 
 
26 
•TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO: 
 
 1.INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO. 
 Seja a expressão Øvr,(*)s ∙ ,Ç(*) J*. Através da substituição Ê = ,(*) por 
ÊÇ = ,Ç(*) ou ÂËÂ5 = ,
Ç(*), ou ainda, JÊ = ,Ç(*)J*, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Admitindo que se conhece Øv(Ê) JÊ. 
 O método da substituição de variável exige a identificação de Ê e ÊÇ ou Ê e JÊ na 
integral dada. 
 
EXEMPLOS: Calcular as integrais indefinidas por substituição: 
 
a)Ø 8y75 J* resp. :E|E + *| + q 
 
b)Ø√*1 − 1 ∙ 2* J* resp. 1j€(*1 − 1)j + q 
 
c)Ø℮°}	5 ∙ ABp1* J* resp. ℮°}	5 + q 
 
d)Ø pGA(:E *) ∙ 85 J* resp. ABE(:E *) + q 
 
e)Ø ABEn* ∙ pGA * J* resp. ¨«y
®5
m + q 
 
f)Ø Hv	* ∙ ABp1* J* resp. °}
l5
1 + q 
 
g)Ø pGA 7* J* resp. 8² ∙ ABE	7* + q 
h)Ø(*j − 1)n ∙ *1 J* resp. Ð5
—98Ñ®
m + q 
 
2.INTEGRAIS POR PARTES. 
 
 Sabemos que para a derivada de um produto Ê(*) ∙ É(*) vale a igualdade: 
 
 (Ê(*) ∙ É(*))Ç = ÊÇ(*) ∙ É(*) + ÉÇ(*) ∙ Ê(*) ⇒ ‘-£¤Ÿç£. 
 
 Então: 
 
 Øè(¾) ∙ ÍÇ(¾)Û¾ = Í(¾) ∙ è(¾) − ØÍ(¾) ∙ èÇ(¾)Û¾									 ∴FÓRMULA 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Øvr,(*)s ∙ ,Ç(*) J* = Øv(Ê) JÊ = ℎ(Ê) + q = ℎr,(*)s + q 
 
27 
•Calcular as integrais usando o método da integração por partes. 
 
a)Ø *B915 J* resp.− 81*B
915 − 8n B
915 + p 
 
b)Ø ln * J* resp.*	:E* − * + p 
 
c)Ø*1ABE	* J* resp.−*1 cos * + 2*	ABE	* + 2 cos * + p 
 
d)Ø B15ABE	* J* resp.8m (2B
15	ABE	* − B15 cos *) + p 
 
e) Ø ABEj* J* resp.−ABE1* cos * − 2 ©ª¨
—5
j + p 
 
 
►TABELA DAS INTEGRAIS ELEMENTARES: 
 
1)Ø1J* = ØJ* = * + p, pG<	p ∈ 	ℝ 17)Ø 8895l J* =
8
1 ∙ :E å
875
895å + p 
 
2)ØI	J* = I* + p 
 
3)Ø*yJ* = 5
Š˜
y78 + p 
 
4)Ø 85 	J* = :E * + p 
 
5)ØI5J* = T
‡
„y T + p 
 
6)Ø B5J* = B5 + p 
 
7)Ø pGA * J* = A;E * + p 
 
8)Ø A;E *	J* = −pGA * + p 
 
9)Ø ABp1 *	J* = HIE * + p 
 
10)Ø pGAABp1*	J* = −pGHv	* + p 
 
11)Ø ABp *	. Hv	*	J* = ABp * + p 
 
12)Ø pGAABp	*	. pGHv	*	J* = −pGAABp	* + p 
 
13)Ø 8875l J* = ILp	Hv	* + p 
 
14)Ø 8√895l J* = ILp	ABE	* + p 
 
15)Ø− 8√895l 	J* = ILp pGA * + p 
 
16)Ø 8√875l J* = :Eê* + √*
1 + 1ê + p 
 
 
28 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA: 
•IEZZI, Gelson, 1939- 
 Fundamentos de Matemática Elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral-
6.ed.-São Paulo: Atual, 2005. 
 
•GUIDORIZZI, Hamilton Luiz, 
 Um curso de Cálculo, vol. 1 / Hamilton Luiz Guidorizzi. – 5.ed.-Rio de Janeiro: 
LTC, 2008. 
 
OBS. Este material faz parte da aula. Estudar também pelos livros indicados.