Apostila de Matemática Comercial e Financeira II
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Apostila de Matemática Comercial e Financeira II


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APOSTILA II
9. Juros simples 47
9.1. Juro 47
9.2. Regimes de Capitalização 47
9.3. Cálculo do juro simples 47
9.3.1. Taxas proporcionais 49
9.3.1.1. Cálculo de taxa proporcional 49
9.3.2. Taxas equivalentes 51
9.3.3. Juro comercial e juro exato 52
9.3.3.1. Determinação do número exato de dias entre duas datas 53
9.3.4. Montante de juros simples 58
10. Juros compostos 59
10.1. Cálculo do montante 59
10.2. Cálculo dos juros 59
10.3. Cálculo do fator de capitalização 59
10.4. Cálculo do capital 60
10.5. Cálculo da taxa de juros (i) - IRR 61
10.6. Cálculo do número de períodos (n) 61
10.7. Taxas proporcionais 62
10.8. Taxas equivalentes 63
10.9. Cálculo de taxas equivalentes 64
10.10. Montante para períodos não-inteiros 65
10.10.1. Convenção Linear 65
10.10.2. Convenção Exponencial 65
10.11. Taxa nominal 66
10.12. Taxa efetiva 67
10.13. Taxa aparente, taxa real e taxa de inflação 68
11. Desconto simples 72
11.1. Títulos de créditos 72
11.2. Dados das operações de descontos 72
11.3. Desconto comercial, bancário ou \u201cpor fora\u201d 73
11.3.1. Fórmula do desconto comercial 73
11.3.2. Fórmula do valor atual comercial 73
11.3.3. Taxa efetiva do desconto comercial 75
11.4. Desconto racional ou \u201cpor dentro\u201d 76
11.4.1. Valor do desconto racional 76
11.4.2. Valor do desconto racional em função de valor nominal 76
11.5. Equivalência de capitais no desconto comercial 77
12. Desconto composto 80
12.1. Desconto composto Comercial 80
12.2. Desconto composto racional 80
13. Capitalização e amortização composta 83
13.1. Introdução 83
13.2. Rendas 83
13.3. Capitalização composta 85
13.3.1. Renda imediata 85
13.3.2. Renda antecipada 87
13.4. Amortização composta 90
13.4.1. Renda imediata 90
13.4.2. Renda antecipada 91
13.4.3. Renda Diferida 92
Referências bibliográficas
9. JURO SIMPLES
9.1. Juro
É a remuneração atribuída ao capital, aplicado a uma taxa percentual, durante 
um intervalo de tempo. 
Este intervalo de tempo pode ser chamado de período financeiro ou período de 
capitalização.
9.2. Regimes de Capitalização
É o processo de formação dos juros, que podem ser formados a partir de um dos 
dois regimes: capitalização simples e capitalização composta.
\u2022 Regime de capitalização simples : apenas o capital inicial rende juros. Os juros 
formados no final de cada período não são incorporados ao capital inicial. Nesse 
caso, os juros não são capitalizados.
\u2022 Regime de capitalização composta : os juros formados no final de cada período 
são incorporados ao capital anterior, formando um montante, que passa a render 
juros no período seguinte. Neste caso, os juros são capitalizados.
9.3. Cálculo do Juro Simples
É aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
Fórmula: J = C\u22c5i\u22c5n Variáveis: 
\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u21d2
\u21d2
\u21d2
\u21d2
)Unitária(Taxai
períodosdeNúmeron
JurosJ
CapitalC
Para que esta fórmula seja aplicada corretamente, devemos utilizar:
1º) número de períodos (n) e a taxa (i) na mesma unidade;
2º) A taxa (i) na forma unitária ou decimal;
Abreviaturas d e Taxas :
a.a. \u2192 ao ano a.s. \u2192 ao semestre a.b. \u2192 ao bimestre
a.m. \u2192 ao mês a.t. \u2192 ao trimestre
a.d. \u2192 ao dia a.q. \u2192 ao quadrimestre
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Exemplos:
1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à 
taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago ?
2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% 
ao mês. Qual o valor do juro a receber ?
3) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00, à taxa de 5% ao 
trimestre, durante 3 trimestres.
4) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 
2,5 meses. Calcule o juro produzido.
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9.3.1. Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os 
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Dadas duas taxas i e i\u2019 (percentuais ou unitárias), relativo, respectivamente, a n e 
n\u2019 (tempos) referidos à mesma unidade, temos:
,i
i
= ,n
n
Exemplo:
1) As taxas 18% a.a. e 1,5% a.m. são proporcionais?
9.3.1.1. Cálculo de Taxa Proporcional
Para calcular uma taxa proporcional a outra dada, basta multiplicar ou dividir pelo 
número de períodos que a unidade maior possui em relação à unidade menor.
Variáveis \uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u21d2
\u21d2
\u21d2
unidadesasentreperíodosdenúmerok
procuradaalproporciontaxai
dadataxai
p
Ip = k
i
(da maior para a menor) \u2192 Ordem decrescente
Assim
Ip = i × k (da menor para a maior) \u2192 Ordem crescente
Na prática, para transformar uma taxa de um \u201cperíodo maior\u201d para um \u201cperíodo 
menor\u201d, efetua-se uma divisão:
De uma taxa:
Anual \u201cpara\u201d uma mensal: \u2192 dividir por 12
Mensal \u201cpara\u201d uma diária: \u2192 dividir por 30 (para taxa comercial)
Anual \u201cpara\u201d uma diária: \u2192 dividir por 360 (para taxa comercial)
Anual \u201cpara\u201d uma semestral: \u2192 dividir por 2 
Anual \u201cpara\u201d uma quadrimestral: \u2192 dividir por 3 
Anual \u201cpara\u201d uma trimestral: \u2192 dividir por 4
 
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E, para transformar uma taxa de um \u201cperíodo menor\u201d para um \u201cperíodo maior\u201d, 
efetua-se uma multiplicação:
De uma taxa:
Mensal \u201cpara\u201d uma anual: \u2192 multiplica-se por 12
Diária \u201cpara\u201d uma mensal: \u2192 multiplica-se por 30 (taxa comercial)
Diária \u201cpara\u201d uma anual: \u2192 multiplica-se por 360 (taxa comercial)
Semestral \u201cpara\u201d uma anual: \u2192 multiplica-se por 2 
Quadrimestral \u201cpara\u201d uma anual: \u2192 multiplica-se por 3
Trimestral \u201cpara\u201d uma anual: \u2192 multiplica-se por 4
Etc.
Exemplos:
1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0.08% ao dia.
3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.
Exercícios
1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
a) 9% a.t. b) 24% a.s. c) 0,04% a.d.
2) Calcule a taxa anual proporcional a: 
a) 1,5% a.m. b) 8% a.t. c) 21% a.s. d) 0,05% a.d.
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9.3.2. Taxas Equivalentes
Duas taxas referidas a períodos diferentes são equivalentes quando, aplicadas a 
um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
Exemplos:
Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00:
1º) à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;
2º) à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.
Primeiro:
C = 2.000,00
t = 6 meses
i1 = 4% a.m. = 0,04 a.m.
Segundo:
C = 2.000,00
t = 2 trimestres
i2 = 12% a.t. = 0,12 a.t.
Conclusão: i1 e i2 são proporcionais e equivalentes. Portanto, \u201cno regime de juros 
simples, duas taxas proporcionais são equivalentes\u201d.
Exemplos:
1. Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. 
Determine o juro obtido.
2. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 
2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.
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Exercícios
1) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00, à taxa de 18% ao 
ano durante 3 meses. 
2) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00, em regime de juros simples, 
durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. 
9.3.3. Juro Comercial e Juro Exato
\u2022 Juro Simples Comercial ou Ordinário 
Convenção: \uf8f3\uf8f2
\uf8f1
=
=
dias 360 ano 1
dias 30 mês 1
 Tempo aproximado
\u2022 Juro Simples Exato 
A contagem do tempo é feita entre duas datas;
1 ano = 365 dias ou 366 dias para o ano bissexto.
Exemplos:
1) Qual o juro (exato e comercial) produzido por um capital de R$ 5.000,00 pelo 
período de 120 dias, à taxa de 18% ao ano.
2) Qual o juro (exato e comercial) produzido por um capital de