Anuidades Variáveis e seus Cálculos

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Profº: José Roberto Montello
Bibliografia:
1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975.
2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Impresso en La Prenta Lopez - Buenos Aires - Dezembro 1942.
Anuidades por Sobrevivência e Seguros em caso de morte Variáveis:
1. Anuidades por Sobrevivência Variáveis:
É frequente se encontrar formas de anuidades por sobrevivência nas quais os valores dos pagamentos variam ao longo do tempo. Essas anuidades são conhecidas como anuidades de sobrevivência variáveis.
O valor atual de anuidades (de sobrevivência) variáveis é usualmente expresso como uma combinação dos valores atuais de algumas anuidades constantes. Consideremos, por exemplo, uma anuidade variável para (x) que provê pagamentos anuais de 1 durante n anos e posteriormente pagamentos anuais de 2 para os demais anos de sobrevivência. Este valor atual é obviamente igual à soma dos valores atuais de uma anuidade de sobrevivência de 1 com o de uma anuidade vitalícia diferida por n anos de 1, 
�; ou poderia ser expresso como a soma de uma anuidade de sobrevivência temporária de 1 com uma anuidade vitalícia diferida de 2, 
�.
Como segundo exemplo, vamos supor que uma anuidade variável antecipada provê pagamentos anuais de 1 nos primeiros n anos, pagamentos anuais de 2 nos m anos seguintes e novamente pagamentos anuais de 1 nos demais anos de sobrevivência de (x). Esta série de pagamentos é evidentemente igual à soma de uma anuidade constante antecipada vitalícia de 1 com uma anuidade constante antecipada diferida por n anos e temporária por m anos de 1, 
�ou 
� + 
�.
Símbolos especiais foram criados para representar certas formas mais comuns de anuidades variáveis nas quais o padrão de pagamento segue alguma lei regular. O caso no qual os pagamentos anuais crescem ou decrescem em progressão aritmética é de especial importância. 
O símbolo (Ia)x, denota o valor atual na idade x de uma anuidade crescente postecipada vitalícia que provê pagamentos de 1 na idade exata de x + 1 anos, 2 na idade exata x + 2, 3 na idade exata x + 3, continuando a crescer de 1 para cada ano enquanto (x) sobreviver. Então:
(Ia)x = 
�
Este padrão de pagamentos é claramente equivalente ao que provê a seguinte série de níveis de anuidades: uma anuidade vitalícia de 1 (ax), uma anuidade vitalícia diferida por um ano de 1, uma anuidade vitalícia por 2 anos de 1, e assim por diante.
Desse ponto de vista,
(Ia)x = 
�
Se agora definirmos a seguinte nova comutação: Sx = 
�
= 
�, teremos:
(Ia)x = 
�
Para a anuidade crescente postecipada temporária por n anos, na qual os pagamentos crescentes cessam com o enésimo pagamento, o valor atual pode ser expresso como a soma de n anuidades diferidas, cada uma tendo seus pagamentos cessados na idade x+n:
�
Outro tipo de anuidades crescentes postecipadas provê pagamentos crescentes de 1 a cada ano até o enésimo ano, com pagamentos permanecendo constantes em n durante os restantes anos de vida de (x). O valor atual, denotado por 
�, pode ser expresso como a soma dos valores de n anuidades diferidas:
�= 
�
Uma anuidade temporária decrescente postecipada que provê um pagamento de n na idade x+1 decrescendo de 1 a cada ano e cessando com o enésimo pagamento de 1, pode ser expresso como uma soma de n anuidades temporárias:
�
As fórmulas das correspondentes anuidades variáveis antecipadas são facilmente obtidas das fórmulas anteriores de anuidades postecipadas fazendo simplesmente cada numerador se referir a uma idade um ano menor. Os seguintes exemplos, portanto, podem ser facilmente verificados:
�
�
�
�
NOTA: Embora as fórmulas sejam úteis em certos casos especiais, deve ser notado que a fórmula de qualquer anuidade variável, com regular ou irregular variações, pode ser desenvolvida a partir do princípio inicial das anuidades, ou seja, expressando-as como uma soma de capitais diferidos.
2. Anuidades por Sobrevivência Variáveis Fracionárias:
Se os pagamentos são efetuados com frequência maior que uma vez ao ano, crescendo ou decrescendo somente no início ou no fim de cada ano, a anuidade variável desse tipo pode ser expressa como a soma de uma série de anuidades fracionárias, e consequentemente é possível obter as fórmulas das anuidades variáveis pagáveis m vezes ao ano por extensão do processo utilizado na apostila nº 2 para se obter as fórmulas das anuidades constantes pagáveis m vezes por ano. Por exemplo, uma anuidade crescente vitalícia postecipada pagável m vezes ao ano é equivalente a uma série de sucessivas anuidades constantes vitalícias postecipadas pagáveis m vez ao ano, Então:
�
Para se obter algumas das fórmulas das anuidades crescentes mais utilizadas basta substituir nas fórmulas apresentadas no final da apostila nº 2 as comutações D e N respectivamente pelas comutações N e S. Portanto, em termos de comutações algumas das anuidades de sobrevivência crescentes fracionadas mais usuais têm as seguintes expressões:
Postecipadas:
� (fórmula análoga a de 
�);
� (fórmula análoga a de 
� ),
� (fórmula análoga a de 
� ).
Antecipadas:
� (fórmula análoga a de 
�),
� (fórmula análoga a de 
� ),
� (fórmula análoga a de 
� ).
Atenção: É preciso salientar que a fórmula 
� não é análoga a de 
� e nem 
a fórmula de 
� não é análoga a de 
�.
As fórmulas dessas anuidades podem ser obtidas através das seguintes diferenças:
�
�
Exercício:
Formular em termos de comutação as seguintes anuidades: 
�:
�
�
�
�
Caso especial de anuidades de sobrevivência - anuidades contínuas:
Quando a frequência m de pagamentos tende a infinito nas fórmulas aqui apresentadas, obtemos as expressões das anuidades variáveis contínuas. Correspondendo a anuidade crescente sob a qual os pagamentos são constantes durante cada ano de idade, nós temos a anuidade crescente contínua, com o valor atual denotado por 
�, que provê pagamento de 1 ao ano a cada instante ao longo do 1º ano (da idade x a x+1), de 2 ao ano no segundo ano, e assim por diante.
Então:
�
�
�
�
Podemos demonstrar facilmente que: 
� pois:
�
�
3. Seguros Variáveis em caso de morte:
Um Seguro que provê um crescente ou decrescente seguro em caso de morte é chamado de Seguro Variável. Existem vários tipos usuais desses seguros para os quais fórmulas simples podem ser desenvolvidas. A comutação Rx é usada:
Rx= 
�
Um Seguro de Vida Inteira Crescente provê um benefício em caso de morte de 1 no 1º ano, de 2 no 2º ano, e assim por diante, crescendo de 1 a cada ano até o fim da vida. O seu valor atual é dado pela seguinte expressão:
�
�
Um Seguro de Vida Crescente Temporário por n anos provê um benefício em caso de morte de 1 no 1º ano, crescendo de 1 a cada ano, mas nenhum pagamento será feito se a morte ocorrer após n anos. O seu valor atual é dado por:
�
Um Seguro de Vida Inteira Crescente durante n anos e constante nos anos remanescentes provê um benefício em caso de morte que cresce apenas durante n anos e então permanece constante em n.
Seu Prêmio Único é dado por:
�
Um Seguro de Vida Decrescente Temporário provê um benefício inicial em caso de morte de n decrescendo de 1 a cada ano, sem pagamento portanto se a morte ocorrer depois de decorridos n anos:
�
A relação existente entre anuidades crescentes e seguros crescentes é facilmente obtida. Desde que 
�, segue-se que 
�, e, dividindo-se por Dx, obtêm-se:
�
Desde que (Ia)x = 
�a relação pode ser transformada para:
�
�
Se o pagamento é devido imediatamente após o falecimento e não no final do ano do falecimento, o Prêmio Único Puro 
� pode ser expresso da seguinte forma:
�
Definindo o símbolo de comutação 
� como 
�é fácil verque:
�, nós temos: 
�
Conforme vimos na apostila nº 3 é fácil desenvolver a relação entre o seguro pago imediatamente após o falecimento e o seguro pago no final do falecimento:
Desde que: 
�é fácil verificar que:
APOSTI4.DOC/.lcs
 APOSTILA Nº 4 DE MATEMÁTICA ATUARIAL
 
�PAGE �
Pág. �PAGE �9�
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