TEMA 7 - Séries uniformes de pagamento_ aplicações

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Séries uniformes de pagamento: 
aplicações
Apresentação
O conceito de série de pagamentos está ligado diretamente à questão dos fluxos de caixa, pois 
uma série de pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de 
tempo nada mais é que um fluxo de caixa.
Nesta Unidade de Aprendizagem, serão conceituados os elementos que compõem as séries 
uniformes de pagamentos e trabalhadas suas principais funções matemáticas, além de 
classificadas as séries levando em consideração: período de ocorrência, periodicidade, duração e 
valores.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os tipos de séries uniformes.•
Desenvolver séries antecipadas.•
Analisar séries postecipadas.•
Desafio
Você já deve ter percebido que, quando se vai a uma loja e se pede para o vendedor fazer o cálculo 
de quanto custa determinado produto parcelado em um período de tempo, ele recebe do gerente 
de vendas uma tabela que contém todos os coeficientes para efetuar os cálculos de prestações, 
conforme o pedido dos clientes. 
De modo geral, uma série de pagamentos é dita uniforme quando as quantias têm o mesmo valor e 
estão igualmente distribuídas no tempo. Por definição, uma série de pagamentos é caracterizada 
como uma sequência de pagamentos periódicos, consecutivos e que apresentem alguma lei de 
formação. 
 
Ou seja, quando uma pessoa financia um automóvel, uma geladeira, uma televisão, um pacote de 
viagens, um seguro de auto, ou qualquer outro bem/serviço em prestações mensais e iguais, por 
exemplo, a série de pagamentos é dita uniforme. A praticidade do dia a dia pode auxiliar no 
entendimento de algumas noções, como no Desafio a seguir. 
 
 
 
Qual seria o valor das prestações a serem pagas mensalmente se uma TV 4K que custa R$ 6.900,00 
à vista fosse vendida em 10 vezes sem entrada, à taxa de juros de 5% a.m.?
Infográfico
Nas aplicações financeiras, o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou mediante uma 
sucessão de pagamentos ou de recebimentos. O entendimento sobre série de pagamentos está 
relacionado com pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, distribuídos ao longo do tempo 
correspondente a n períodos estabelecidos, podendo esses pagamentos ser de valores constantes 
ou de valores distintos. Séries periódicas uniformes ou rendas certas é o nome que se dá aos 
pagamentos sucessivos, tanto em nível de financiamento (amortização) quanto de 
investimento (capitalização). 
 
Você sabe a diferença entre pagamento antecipado e postecipado? No Infográfico a seguir, você 
verá um comparativo entre essas duas formas de pagamento.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
Conteúdo do livro
No cálculo de prestação, recebimento e pagamento, existem dois tipos característicos de 
aplicação: as séries de pagamentos e recebimentos são divididas em uniformes e não 
uniformes. Esse sistema permite uma compreensão futura sobre informações financeiras ligadas a 
linhas de crédito, projetos de investimento, avaliação de ações e taxa de retorno sobre projetos de 
investimento. 
 
No capítulo Séries uniformes de pagamento: aplicações, da obra Matemática financeira, você verá 
que as séries uniformes de pagamentos podem ser compreendidas como uma sucessão de 
recebimentos, desembolsos ou prestações de mesmo valor divididos regularmente num período de 
tempo. 
 
Boa leitura!
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Rodolfo Vieira Nunes
Séries uniformes de 
pagamentos: aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os tipos de séries uniformes.
 � Desenvolver séries antecipadas.
 � Analisar séries postecipadas.
Introdução
De acordo com Assaf Neto (2016), uma série uniforme de pagamentos 
é vista como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou presta-
ções de mesmo montante, representadas pelo valor da parcela (PMT) e 
divididas regularmente num período de tempo. Em essência, uma série 
de capitais pode ser caracterizada como uma sequência de pagamentos 
ou recebimentos periódicos e consecutivos que apresentem alguma lei 
de formação.
Uma série de pagamentos se caracteriza pela definição dos critérios 
de quanto e quando deve ser paga cada parcela, como valor futuro, 
taxa de juros e número de períodos. Há basicamente cinco principais 
séries de pagamentos: antecipadas, postecipadas, infinitas, diferidas e 
variáveis. Essas modalidades diferem entre si pelo modo como o devedor 
pagará a dívida: à vista ou a prazo. Em essência, o pagamento poderá 
contar ou não com prazo de carência, além do valor do pagamento ou 
recebimento da série.
Neste capítulo, você vai entender alguns conceitos sobre as séries de 
pagamentos e estudar quais são os principais tipos de séries de paga-
mentos, bem como as diferenças existentes entre elas. Além disso, vai 
aprender ainda sobre as séries antecipadas e postecipadas.
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Tipos de séries uniformes
Antes de se aprofundar nos estudos sobre as séries uniformes, veja alguns 
aspectos importantes para a classificação das séries de pagamento, de acordo 
com Hoji (2016):
 � Quanto ao tempo:
 ■ temporária – quando há um número limitado de pagamentos;
 ■ infinita – quando há um número infinito de pagamentos.
 � Quanto à periodicidade:
 ■ periódica – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
iguais;
 ■ não periódica – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de 
tempo variáveis.
 � Quanto ao valor de pagamento:
 ■ uniforme – quando todos os pagamentos são iguais;
 ■ variável – quando os valores dos pagamentos variam.
 � Quanto ao vencimento do primeiro pagamento:
 ■ imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no 
primeiro período da série;
 ■ diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro 
período da série, ou seja, ocorrerá em períodos subsequentes.
 � Quanto ao momento do pagamento:
 ■ antecipada – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0” 
da série de pagamentos (ato do negócio);
 ■ postecipada – quando o primeiro pagamento ocorre após o momento 
de fechamento do negócio.
A compreensão sobre esses conceitos servirá como um pilar de apoio para 
esclarecer ou facilitar o seu entendimento sobre o assunto deste capítulo. Assim, 
entender os conceitos básicos é crucial para conhecer a temática estudada, de 
modo a ser capaz de explicar esses elementos.
 � Present value – PV (valor presente): é o capital inicial sobre o qual os 
juros, prazos e amortizações serão aplicados. Em outras palavras, é o valor 
de um fluxo de renda esperado, determinado a partir da data de avaliação.
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
 � Future value – FV (valor futuro): é o montante final resultante da soma 
dos juros acumulados com o capital inicial, descontados os pagamentos (se 
houver). Mede a soma nominal futura do dinheiro que determinada quantia 
de dinheiro é "válida" em um período especificado no futuro. Também pode 
ser visto como o valor presente multiplicado pela função de acumulação.
 � Número de períodos – (n): indica o prazo que deve ser considerado 
nas transações. Pode ser dado em dias, meses, trimestres, anos, desde 
que esteja de acordo com a taxa de juros.
 � Taxa de juros do período – (i): indica a taxa de juros usada no trabalho 
com o capital, ou seja, na remuneração do dinheiro. Deve estar de acordo, 
na mesma ordem de valor, com o indicador de tempo.
 � Payment - PMT (valor da parcela): é o valor de uma parcela que pode 
ser adicionada ou subtraída do montante a cada período. Desse modo, 
são pagamentos de mesmo valor, ou seja, registrados pelo fluxo de 
caixa (pessoal ou empresarial) de forma recorrente.
O foco deste capítulo é explicar e demonstrar as diferenças entre as séries de pagamento 
uniformes: antecipadas e postecipadas com carência. Não vamos abordar o modelo 
de séries de pagamentoinfinitas e diferidas. No caso da série variável, ela faz parte do 
estudo das séries não uniformes de pagamento.
Desenvolvimento de séries antecipadas
Séries antecipadas de pagamentos são aquelas que exigem um depósito inicial 
ou uma entrada, sendo mais utilizadas em investimentos (SILVA, 2012). 
Trata-se daquelas séries em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 
zero. Esse tipo de sistema de pagamento também é chamado de sistema de 
pagamento com entrada (1 + n).
No entanto, atente para o fato de que nem todas as operações que possuem 
entrada são séries antecipadas. Para que isso ocorra, é necessário que o valor 
da entrada seja o mesmo que o valor das demais prestações. Veja o compor-
tamento descrito na Figura 1.
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Figura 1. Séries de parcelas iguais e consecutivas 
com entrada, ou seja, a primeira parcela é paga ou 
aplicada na data zero.
Veja as principais fórmulas utilizadas para encontrar o PV, o FV e o PMT 
das séries antecipadas.
Veja esse sistema aplicado a um exemplo. Você está em uma loja comprando 
a sua tão sonhada TV de plasma, quando recebe a seguinte oferta: R$ 12.000 
à vista ou 10 suaves parcelas mensais de R$ 1.300, com entrada, com juros 
de 1%. Nessa situação, precisamos fazer o seguinte cálculo:
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Por meio dessa metodologia, a série uniforme de pagamento antecipada 
é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais (PMT) efetuada em 
intervalos regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na data da 
operação financeira que lhe deu origem (ASSAF NETO, 2016).
Ao analisarmos o resultado do exemplo acima e compararmos com o valor 
original (à vista), temos um montante maior: R$ 12.435,83. Assim, note que, 
em uma série de pagamento antecipada, haverá um aumento no valor final 
do produto ou serviço (HOJI, 2016).
Em síntese, o método de pagamento antecipado se refere a operações em 
que os pagamentos ou recebimentos começam no início do primeiro período, 
ou seja, no ato do fechamento do negócio. No mercado, é comum ver essa 
situação em ofertas de pagamentos com entrada mais “n” parcelas, ou 30% 
de entrada e o saldo restante em 30, 60 e 90 dias. 
5Séries uniformes de pagamentos: aplicações
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o 
primeiro período. O processo de calcular o valor presente, o valor futuro e a prestação 
de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido é comum no 
comércio varejista.
Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja ela uma série uniforme, 
uma série gradiente ou mesmo uma sequência qualquer de pagamentos, já que, em 
termos financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento.
Análise de séries postecipadas
Por definição, uma série de pagamento postecipada é aquela que não exige 
um depósito inicial, isto é, não existe uma entrada. Esse costuma ser o 
caso de empréstimos e financiamentos (CARVALHO; ELIA; DECOTELLI, 
2009), sendo caracterizados por séries cujo primeiro pagamento ocorre no 
momento 1. Esse sistema também é denominado sistema de pagamento ou 
recebimento sem entrada (0 + n). A Figura 2 descreve o comportamento 
dessa série de pagamento. 
Figura 2. Série de pagamento postecipada.
Assim, a Figura 2 demonstra que, quando ocorre uma sucessão de pagamen-
tos iguais (PMT), efetuados em intervalos regulares e constantes, o primeiro 
pagamento é realizado concomitantemente ao primeiro período posterior à 
data da operação financeira que lhes deu origem (GIMENES, 2006).
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Veja a seguir as principais fórmulas utilizadas para encontrar o PV, o FV 
e o PMT das séries postecipadas.
Portanto, retomando o exemplo anterior da compra da TV de plasma, você recebe 
a mesma oferta: R$ 12.000 à vista ou 10 suaves parcelas mensais de R$ 1.300, sem 
entrada. Veja a seguir a fórmula e o cálculo da série de pagamento postecipada.
Note que o valor presente também ficou distante do valor da TV à vista. 
Porém, se comparado ao fluxo antecipado, o valor presente pelo método do 
f luxo postecipado é mais barato (HOJI, 2016). Em resumo, as operações 
postecipadas caracterizam-se como sendo aquelas em que o vencimento 
da primeira prestação é no final do período. Um termo de mercado, por 
exemplo, para essa operação são as ofertas com o primeiro pagamento 
só em 30 dias. 
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
O vídeo do Mundo Financeiro, disponível no link a seguir, trata de dois conceitos 
essenciais da matemática financeira, partindo da compreensão de fluxo de caixa e 
da noção do valor do dinheiro no tempo. Assista ao material e entenda as principais 
diferenças entre valor presente e valor futuro.
https://qrgo.page.link/XRqqL
Se você tem R$ 1.500,00 aplicados na poupança e for colocando R$ 100,00 todos 
os meses durante 10 anos (120 meses), quanto dinheiro você vai ter no final desse 
período?
A taxa anual nominal da poupança é de 6% ao ano, mas é capitalizada mensalmente. 
Assim, a taxa mensal é de 0,5% (ao mês), que, capitalizada (composta) em 12 meses, 
resulta em 6,1678% ao ano.
Para fazer esse cálculo em uma calculadora HP 12C, você deverá digitar os valores 
e apertar os botões indicados:
1500 <CHS> <PV>
100 <CHS> <PMT>
0.5 < i>
120 <n>
<FV>
O resultado (FV) será de R$ 19.117,03
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas. 2016.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada. Rio de 
Janeiro: FGV, 2009.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel: uma abordagem descompli-
cada. São Paulo: Pearson, 2006.
HOJI, M. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016.
Leitura recomendada
BREALEY, R.; MYERS, S.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas. 12. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2018.
GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
ROSS, S. A. et al. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
SILVA, J. P. Análise financeira das empresas. 13. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
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Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
 
Dica do professor
Depois de tantas contas feitas no braço, chegou a hora de resolvê-las usando a clássica 
calculadora HP-12C. A diferença entre uma HP-12C e as calculadoras convencionais está na 
forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais executam cálculos de forma direta, ou 
seja, obedecendo à sequência natural da matemática. 
 
Na Dica do Professor, você irá conhecer um pouco da calculadora HP-12C, uma ferramenta 
fundamental para cálculos de séries de pagamentos.
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Exercícios
1) Após muitos anos de uso do seu carro, você decide que já é o momento adequado para fazer 
uma substituição, ou seja, comprar um carro novo.
O preço de um automóvel novo é R$ 30.000. Assim, você decide dar o seu automóvel usado 
como entrada e financiar a diferença em 12 prestações mensais iguais de R$ 1.353,90. 
Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 1,8% a.m., qual foi o valor pago pelo 
automóvel usado?
A) R$ 14.756,33.
B) R$ 15.243,67.
C) R$ 14.495,41.
D) R$ 15.504,59.
E) R$ 15.784,75.
2) Você começa a pensar que seria fundamental uma renda extra como forma de ajudar você e 
sua esposa a bancar o intercâmbio do seu filho, que irá ficar um ano na Irlanda após terminar 
o recém-iniciado curso de engenharia. Assim, pensa na possibilidadede ter um valor mensal 
a mais para não pesar no orçamento quando a data do intercâmbio estiver próxima.
Quanto você (investidor) deve aplicar hoje, à taxa de juros de 0,5% a.m., para que possa 
efetuar 15 saques mensais de R$ 1.000 para auxiliar seu filho nos meses de intercâmbio, 
sendo o primeiro saque no 60.o mês após a aplicação?
A) R$ 14.416,62.
B) R$ 10.741,53.
C) R$ 14.488,71.
D) R$ 10.795,23.
E) R$ 14.578,55.
3) 
Você faz parte de um grupo de empresários que são sócios na empresa Sunrise Alimentos. A 
empresa tem um planejamento de expansão para os próximos 3 anos, ou seja, uma nova 
planta fabril de produção. 
 
Vocês conseguem o empréstimo nas seguintes condições: prazo de 96 meses, valor do 
empréstimo de R$ 3.000.000,00, taxa efetiva de juros de 12% a.a. e parcelas iguais. Qual 
será o valor das parcelas se os pagamentos forem feitos mensalmente no início de cada 
período?
A) R$ 48.275,77.
B) R$ 47.304,17 
C) R$ 47.753,02.
D) R$ 48.576,52.
E) R$ 47.926,47.
4) Sua filha está prestes a terminar a faculdade de direito, à qual ela se dedicou com disciplina e 
afinco. Você e sua esposa pensam em uma forma de recompensa que ela merece. 
 
Suponha que você deseja comprar um carro para dar de presente a sua filha, porém sua 
disponibilidade máxima mensal é de R$ 800,00. O prazo máximo de financiamento 
concedido pela instituição financeira é de 60 meses, com juros de 1% ao mês. 
 
Assim, qual é o valor atual (valor presente) equivalente a essa série postecipada de 60 
pagamentos mensais futuros de R$ 800,00 cada um?
A) R$ 36.546,39.
B) R$ 35.964,03.
C) R$ 36.323,67.
D) R$ 35.074,15.
E) R$ 36.197,71.
Você e sua esposa planejam sair de férias e têm alguns meses para se 
prepararem financeiramente. A viagem que sonham fazer tem como destino a África do Sul. 
Vocês decidiram depositar todo mês um valor para resgatar apenas no mês em que irão 
5) 
viajar. 
 
Em uma série postecipada, qual será o saldo (valor futuro) ao final do quinto mês se 
efetuado um depósito mensal de R$ 1.000, aplicando-se uma taxa de juros de 12% ao mês?
A) R$ 7.115,19.
B) R$ 5.856,54.
C) R$ 6.785,34.
D) R$ 7.491,05.
E) R$ 6.352,85.
Na prática
As séries de pagamentos uniformes são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são 
constantes e ocorrem em intervalos de tempo iguais. Ou seja, são aquelas em que todos os 
elementos já estão predeterminados e podem ser classificados de acordo com o tempo, a variação 
dos elementos, o valor e o período do vencimento. Dessa forma, uma série de pagamentos 
caracteriza-se por uma sucessão de capitais iguais (pagamentos ou recebimentos, que podem ser 
antecipados ou postecipados). 
 
Neste Na Prática, você vai acompanhar um estudo de caso prático sobre o cálculo de série de 
pagamento via fórmula e também via HP-12C. A aplicação do exemplo via fórmula é um meio de 
fixar o conteúdo, enquanto a utilização da HP-12C é a forma prática utilizada no dia a dia para a 
solução desse exemplo. O propósito dessa etapa é a compreensão da aplicação de dois 
métodos para a resolução de um mesmo exercício financeiro.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Séries de Pagamentos Uniformes
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46% dos brasileiros não controlam seu orçamento, revela 
pesquisa do SPC Brasi
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