Unidade_2_-_Teoria_dos_Conjuntos

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�Centro Universitário Carioca�Raciocínio Lógico – NDC A10��
1 – Conjuntos e Elementos
1.1 – Noção de Conjunto
	Os conceitos de conjunto, elementos e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição.
	Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleção (agrupamento, classe, sistema) bem definida de objetos.
	Cada um dos membros que entra na formação do conjunto é denominado elemento do conjunto.
Exemplos:
1) O conjunto dos livros de uma biblioteca.
2) O conjunto das vogais do alfabeto português.
3) O conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21.
1.2 – Notação dos Conjuntos
	Representamos um conjunto por uma letra maiúscula do alfabeto, os elementos ficam entre chaves e separados por vírgulas.
Exemplos:
1) Conjunto das vogais do alfabeto português
2) Conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21
		
1.3 – Relação de Pertinência
	O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relação de pertinência.
Sendo 
 podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b não pertence ao conjunto A.
	Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se 
.
	
 x pertence a A ou x é um elemento de A.
	
 y não pertence a A ou y não é um elemento de A.
1.4 – Tipos de Conjuntos
1.4.1 – Conjunto Universo
	Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto é chamado de Conjunto Universo e representado por U.
1.4.2 – Conjunto Unitário
	Todo conjunto constituído de um único elemento é chamado de Conjunto Unitário.
Exemplo: 
1.4.3 – Conjunto Vazio
O conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e é representado por 
.
Exemplo: M é o conjunto formado pela capital de Brasília. Como não existe a capital de Brasília, o conjunto é vazio.
1.5 – Determinação de um Conjunto
	Diz-se que um conjunto A é definido num universo quando se conhece um critério que permita sempre saber se um elemento 
 ou 
, devendo verificar-se apenas uma destas duas hipóteses.
	Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:
I – Por enumeração
	
II – Por compreensão, isto é, através de um critério de pertinência que satisfeito por todos os elementos do conjunto e somente por esses elementos.
	
	
	
1.6 – Conjuntos Finitos e Infinitos
	Diz-se que um conjunto A é finito e contém n elementos quando existe um número natural n tal que se pode estabelecer uma correspondência entre os elementos do conjunto A e 
	Um conjunto não finito diz-se infinito.
	O número de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A).
Exemplos:
( conjunto finito com 0 elemento.
1.7 – Igualdade de Conjuntos
	Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se 
.
Notação: 
	
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.7.1 – Propriedades
1) Reflexiva: 
2) Simétrica: 
3) Transitiva: 
1.8 – Relação de Inclusão
	Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B.
Notação: 
: A está contido em B.
	 
, isto é, B contém A.
	 
: A não está contido em B.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
1.8.1 – Propriedades
1) Reflexiva: 
2) Transitiva: 
3) Anti-simétrica: 
4) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, 
.
5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U, isto é, 
Obs.: ( ( relação entre elemento e conjunto.
	( ( relação entre conjuntos.
Exemplos:
�
1.9 – Conjuntos Numéricos
1.9.1 – Números Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais
Inteiros positivos: 1, 2, 3, ...
Inteiros negativos: ..., -3, -2, -1
A coleção de números inteiros positivos e o zero chamamos de conjunto dos números naturais e representamos por:
	A coleção de números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero chamamos de conjunto dos números inteiros e representamos por:
	Se p e q são números inteiros então p+q e p.q são inteiros.
	Se p e q são inteiros e 
, então x é um número racional se e somente se 
.
	Se x e y são racionais então x+y e x.y são racionais.
Exemplos: 
	Os números racionais podem ser postos sob a forma de frações decimais finitas ou infinitas.
Exemplos: 
Finitas - 
Infinitas - 
	Os números expressos pelas frações decimais infinitas não periódicas são denominados irracionais.
Exemplo: 
Q ( Conjunto dos números racionais.
I ( Conjunto dos números irracionais.
	O conjunto constituído por todos os números chamamos de números reais e representamos por IR.
	Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta horizontal chamada eixo numérico ou reta numérica.
Origem – ponto sobre o eixo numérico para representar o número zero.
Unidade de distância – cada número positivo n é representado pelo ponto com uma distância de n unidades à direita da origem. O número negativo n é representado pelo ponto com uma distância n à esquerda da origem.
A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo.
Exemplo:
A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo.
Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do ponto que representa o número b.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lembrete:
Regra de Sinais
Soma ou Subtração:
Sinais iguais: soma e repete o sinal;
Sinais diferentes: subtraí e dá o sinal do maior;
Multiplicação ou Divisão:
Sinais iguais: positivo;
Sinais diferentes: negativos;
 Operações Básicas com Frações:
Sejam 
:
Soma ou subtração, onde b ( 0 e d ( 0; 
Multiplicação, onde b ( 0 e d ( 0;
Divisão, onde b ( 0, d ( 0 e c ( 0;
Obs.: Sempre que possível simplifique as frações.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.10 – Desigualdades
Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade.
1.10.1 – Desigualdades estritas
a > b se, e somente se, a – b é positivo
a < b se, e somente se, b – a é positivo
1.10.2 – Desigualdades não estritas
 se, e somente se, a < b ou a = b
 se, e somente se, a > b ou a = b
1.10.3 – Propriedades:
1) Se a > b e b > c, então a > c
2) Se a < b, então 
c em IR, a + c < b + c
3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d
4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c 
5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c
6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d
1.11 – Valor Absoluto
	Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real não negativo, que satisfaz as seguintes condições:
Exemplo: 
Teorema: 
1.12 – Intervalos
1.12.1 – Intervalo Aberto
Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado por 
 ou 
. Ou seja, 
1.12.2 – Intervalo Fechado
Se juntarmos ao intervalo aberto 
 os pontos extremos a e b, temos um intervalo fechado denotado por 
. Ou seja, 
.
1.12.3 – Outros Intervalos
- Semi-aberto à esquerda: 
- Semi-aberto à direita: 
- Ilimitado fechado à esquerda: 
- Ilimitado aberto à esquerda: 
- Ilimitado fechado à direita: 
- Ilimitado aberto à direita: 
�
2 – Subconjuntos
2. 1 – Noção de Subconjunto
	Todo conjunto A que está contido num conjunto B 
, diz-se subconjunto ou parte de B.
	Se 
, 
, então diz-se que A é subconjunto próprio de B.
Exemplos:
1) 
 é subconjunto próprio de 
2) 
Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem 2 n subconjuntos.
Exemplo: Seja 
. Então A tem 22 subconjuntos. 
2.2 – Conjunto das Partes de um Conjunto
	Chama-se conjunto daspartes de um conjunto E, o conjunto cujos elementos são todas as partes de C, inclusive a parte cheia E e a parte vazia 
.
Representação: 
2.2.1 – Propriedades
1) 
2) 
Observação: Se E é um conjunto finito com n elementos, então P(E) também é um conjunto finito com 2 n elementos.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
2.3 – Complementar de um Conjunto:
	Seja A uma parte (subconjunto) de D.
	Chama-se complementar (complemento) de A em relação a D, o conjunto de todos os elementos de D que não pertencem a A.
Representação: 
	Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A, ficando subentendido que se trata do complementar em relação a U, e representa-lo por A’ ou 
 .
Exemplo: Sejam os conjuntos 
	
 	
	
2.3.1 – Propriedades do Complementar
Sejam A e B partes de um conjunto E 
1) 
2) 
3) 
4) 
Observação: Sejam A e B conjuntos quaisquer num universo U, então: 
1) 
2) 
3) 
3 – Álgebra dos Conjuntos
3.1 – Interseção de dois Conjuntos
	Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B
Representação: 
Exemplos:
1) 
2) 
3.1.1 – Conjuntos Disjuntos
	Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se não tem elementos comuns.
A e B disjuntos 
Exemplo: 
 são disjuntos, porque 
3.1.2 – Propriedades da Interseção
	Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
3.2 – União de Conjuntos
	Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B.
Representação: 
Exemplos:
1) 
2) 
3.2.1 – Propriedades da União
	Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
3.3 – Diferença de dois Conjuntos
	Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B.
Representação: 
Se A e B são conjuntos num universo U temos 
Exemplos:
1) 
2) Sejam os conjuntos: 
Note que 
, isto é, a diferença não é comutativa.
3.3.1 – Propriedades da Diferença
	Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Exercícios
Uma pesquisa feita entre 500 leitores dos jornais que circulam pela cidade constatou que: 100 pessoas lêem o jornal A e B; 200 pessoas lêem o jornal A.
É possível determinar o número de pessoas que lêem o jornal B? Se sim quantas lêem, se não justifique sua resposta.
Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas pessoas são altas e magras?
Sendo 
, 
, 
, 
, 
, 
 e 
, determine os conjuntos A, B e C.
Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram à prova?
Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentração nazista e de lá resgataram 979 prisioneiros. Desses 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 não tinham nenhum dessas duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças?
Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis. Quantos jogam:
a) Tênis e não jogam vôlei?
b) Xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) Vôlei e não jogam xadrez?
Uma pequena cidade do interior possuía dois candidatos a prefeito: Ricardinho, concorrendo pelo PD (partido da direita) e André, concorrendo pelo PE (partido de esquerda). Foi feita uma pesquisa, uma semana antes da eleição, com 500 eleitores, que deveriam indicar em uma cédula em quem votariam. Os pesquisadores poderiam votar nos dois candidatos se assim desejassem, em apenas um deles ou então votar em branco. Não era permitido anular o voto. Os resultados foram os seguintes:
200 eleitores votaram em branco
320 eleitores não votaram no PD
330 eleitores não votaram no PE
O numero de pesquisadores que votou em ambos os candidatos é:
a) 25
b) 35
c) 50
d) 350
Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca		� PAGE \* MERGEFORMAT �12�
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