1 - Estruturas Algébricas - Conjuntos, Aplicações e Operadores

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Estruturas Algébricas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Ana Paula Teles de Oliveira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
Conjuntos, Aplicações e Operadores
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• Aspectos Teóricos
• Conjuntos
• Operações com dois Conjuntos
• Aplicação, Função e Operador
 · Revisar assuntos relacionados a conjuntos, aplicações e operações para 
fundamentar o estudo sobre as estruturas algébricas.
Caro(a) aluno(a), 
Nesta unidade, veremos alguns assuntos importantes para o estudo das estruturas algébricas, 
como conjuntos, aplicações e operações. Ao término deste estudo, esperamos que você consiga 
distinguir o que é uma operação. 
Para um bom aproveitamento da aula, realize a leitura integral do conteúdo teórico, 
acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos. Quando aparecer alguma dúvida, entre 
em contato com seu(sua) tutor(a), utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas.
Não se esqueça de acessar o link Materiais Didáticos, onde encontrará o conteúdo e as 
atividades propostas.
Bons estudos!
Conjuntos, Aplicações e Operadores
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Contextualização
Talvez, por utilizarmos com frequência símbolos em matemática para a representação de 
números ou operações, tornando muitas vezes essa ação algo mecânico, nunca pensamos 
como foi complexa essa formação. Porém, a notação adequada foi fundamental para o 
desenvolvimento da matemática.
Para você ter uma ideia, a obra mais antiga que faz referência ao uso do número zero está 
datada de 876 d.C.
No período da álgebra clássica, existia interesse em resoluções de equações algébricas. 
Apesar dos gregos, babilônios e egípcios terem métodos para resolver alguns tipos de equações, 
não havia notações e métodos gerais.
A primeira vez em que encontramos uma letra para indicar uma incógnita de uma equação 
é no séc. IV d.C., na obra de Diophanto. Ali o autor a denominava como o número do 
problema.
Os gregos utilizavam interpretações geométricas, portanto a potência até o terceiro grau 
tinha significado concreto. Porém, na obra de Diophanto, aparecem potências superiores ao 
terceiro grau, como você pode ver na Tabela 1.
Tabela 1: Nomes utilizados por Diophanto para designar a potência de uma incógnita
Potência Diophanto
Quadrado Quadrado
Cubo Cubo
Quarta Quadrado-quadrado
Quinta Quadrado-cubo
Sexta Cubo-cubo
Observamos que, além de Diophanto utilizar potências maiores que três para designar 
a potência da incógnita, ele utilizava esses termos com notação diferente da que utilizamos 
atualmente.
Para a representação de igualdade, durante muito tempo, pesquisadores como Kepler, 
Galileo, Torricelli, Cavalieri, Pascal, Napier e Fermat utilizaram palavras como aequales, 
esgale, faciunt, gheljck ou a abreviatura aeq. Robert Recorde introduziu o símbolo = em 
1557. Agora, temos consciência de que é mais adequado à utilização de = do que qualquer 
palavra para a representação da igualdade. A aceitação de algo novo, contudo, é sempre 
complexa. Para termos uma ideia, apesar do símbolo de igual ter sido introduzido em 1557, 
somente em 1618 ele reapareceu em uma obra impressa.
E para representar as operações de adição e subtração, alguns utilizavam as letras p e m, 
iniciais das palavras latinas plus e minus. O símbolo + e – aparecem primeiramente em um 
material impresso no ano de 1489. O autor desse trabalho foi Johannes Widman; porém, 
existe um manuscrito de um aluno seu utilizando esses símbolos em 1486. 
7
No século VX, Nicolas Chuquet utilizou uma notação de expoente ao descrever expressões. 
Podemos ver como representamos as mesmas expressões atualmente na Tabela 2:
Tabela 2: Utilização de expoente em expressões utilizada por Nicolas Chuquet e atualmente.
Expressões Nicolas Chuquet Expressões atual
123 12x3
103 10x3
1203 120x3
120 12x0
71m 7-1
Em 1585, Simon Stevin escreveu um trabalho em que utilizava símbolos para a 
representação das unidades, dízimas, centésimas, como descrito na Tabela 3.
Tabela 3: Símbolos utilizados por Simon Stevin para indicar unidades, dízimas, centésimas
Indicação da posição Símbolo utilizado por Stevin
Unidades 0
Dízimas 1
Centésimas 2
Stevin também faz uma notação parecida para representar os diferentes expoentes de uma 
variável. 
A partir de trabalhos conhecidos, como os de Diophanto e Stevin, Viéte, letras passam a ser 
utilizadas para representar tanto a incógnita como os coeficientes, as quantidades conhecidas 
de uma equação algébrica. No entanto, havia uma limitação, já que as letras representavam 
somente números positivos.
Em 1657, John Hudde é o primeiro a utilizar letras em uma equação algébrica para 
representar coeficientes números tanto positivos como negativos. A utilização de letras no 
expoente, da maneira como utilizamos atualmente, foi introduzida por Isaac Newton em uma 
carta no ano de 1676
Stevin também faz uma notação parecida para representar os diferentes expoentes de uma 
variável. 
A partir de trabalhos conhecidos, como os de Diophanto e Stevin, Viéte, letras passam a ser 
utilizadas para representar tanto a incógnita como os coeficientes, as quantidades conhecidas 
de uma equação algébrica. No entanto, havia uma limitação, já que as letras representavam 
somente números positivos.
Em 1657, John Hudde é o primeiro a utilizar letras em uma equação algébrica para 
representar coeficientes números tanto positivos como negativos. A utilização de letras no 
expoente, da maneira como utilizamos atualmente, foi introduzida por Isaac Newton em uma 
carta no ano de 1676.
MILIES, C. P. Breve história da Álgebra Abstrata. In: II 
Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática. Salvador. 
2004. Disponível em: http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Aspectos Teóricos
Talvez você esteja até este momento acostumado a estudar a Matemática a partir de um 
conjunto, dando enfoque à natureza de seus elementos. Mas nesta disciplina daremos um 
enfoque diferente, focalizaremos os conjuntos com operações que possuem determinadas 
propriedades, isto é, algumas estruturas algébricas.
Mas você poderá estar se perguntando: “Qual o objetivo de estudar as estruturas algébricas?”. 
Pois bem, quando estudamos uma determinada estrutura, de imediato, podemos generalizar 
todos os teoremas e resultados a todos os conjuntos que satisfazem essa estrutura, sendo então 
muito importante para os estudos em outras áreas da Matemática.
Nesta unidade, nossa preocupação estará em recapitular assuntos presentes em toda a 
disciplina. Elaboramos um estudo sobre conjuntos, funções e operadores. Assim, estaremos 
preparados para estudar as estruturas algébricas, tema central desta disciplina.
Conjuntos
Quando falamos em conjunto, pensamos em uma coleção de objetos. Para designarmos 
um conjunto, usualmente utilizamos letras do nosso alfabeto, onde a letra maiúscula é utilizada 
para representar um conjunto e a minúscula para representar seus elementos. Assim, quando 
dizemos que o “elemento a pertence ao conjunto A" , a notação utilizada é a A∈ ; mas se o 
“elemento a não pertence ao conjunto A" , descrevemos a A∉ .
Importante!
Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elementos 
e conjuntos.
Apesar de estarmos preocupados em estudar os conjuntos, algumas vezes é interessante 
descrever um conjunto e seus elementos. Podemos fazer isso de diversas maneiras, entretanto, 
nesse curso, utilizaremos:
• Lista dos elementos – Para descreve(rmos um conjunto A, com um número finito de 
elementos, listamos todos eles separando-os com vírgulas e delimitando com chaves, por 
exemplo: 
A = { }1 2 3, ,
9
Para representar conjuntos com um número de elementos que seja complicado 
listar todos, utilizamos a reticências entre vírgulas, onde iniciamos descrevendo alguns 
elementos do conjunto, que possuem alguma regra, e terminamos com o último elemento 
do conjunto. Por exemplo: 
B = { }2 3 4 5 102, , , , ...,
Sendo B o conjunto de números inteiros maioresdo que 1 e menores do que 103. 
Para representar conjuntos infinitos também podemos utilizar reticências, como por 
exemplo o conjunto dos números inteiros, que poderá ser representado por
{ }Z : , , , , , , ,... = − − −3 2 1 0 1 2 3
• Através de uma propriedade do conjunto – O conjunto B citado como exemplo no 
item anterior pode ser representado pela propriedade que seus elementos são números 
inteiros maiores do que 1 e menores do que 103, como por exemplo: 
B b Z b = ∈ < <{ | }1 103
Assim podemos descrever os elementos de um conjunto de diversas maneiras. Vejamos 
outros exemplos: 
a) Seja A = { ..., – 4, -2, 0, 2, 4,... }. Vamos descrever os elementos do conjunto A através de 
uma propriedade que caracterize seus elementos. 
Iniciamos observando o conjunto A, sabemos que:
i. A é um conjunto infi nito;
ii. Todo elemento de A é um número inteiro;
iii. Todo elemento de A é par.
Assim, o conjunto A pode também ser representado desta forma:
A x Z x m onde m Z= ∈ = ∈{ } | 2
b) Seja B = { x ∈ Z | -3 < x ≤ 2}. Vamos descrever os elementos do conjunto B listando-os.
Vejamos quais as características dos elementos de B, temos:
i. Os elementos de B são números inteiros;
ii. Os elementos de B são maiores do que -3;
iii. Os elementos de B são menores ou iguais a 2;
iv. B é um conjunto fi nito.
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Assim, podemos descrever o conjunto B listando todos os seus elementos:
B = − −{ }2 1 0 1 2, , , ,
Quando falarmos em conjunto nulo ou vazio, estaremos nos referindo ao conjunto que não 
possui elemento, o que representamos pelo símbolo ø ou { }. A seguir, descreveremos outros 
conjuntos que utilizaremos:
• O conjunto dos números naturais é representado por N = {0, 1, 2, 3, ...};
• O conjunto dos números racionais é representando por 
Q p q p q Z q = ∈ ≠{ }/ , ,| 0
• O conjunto dos números reais é representado por R;
• O conjunto dos números complexos é representado por C.
C z a bi a b R e i = = + ∈ = −{ }| , 2 1
• O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, com as entradas sendo números reais 
– Ao nos referirmos a matrizes quadradas, pensamos nas matrizes que possuam a 
quantidade de números de linhas iguais à quantidade de números de colunas. Dessa 
forma, ao dizermos que a ordem de uma matriz é igual a 2, significa que a matriz tem 
2 linhas e 2 colunas. A representação é:
M R
a b
c d
a b c d R2 ( ) | , , , }=





 ∈
 
 
 
Atenção
Apesar de utilizarmos letras minúsculas para representar um 
elemento de um conjunto, ao considerarmos o conjunto de 
matrizes convencionalmente, utilizamos a letra maiúscula 
para a representação de uma matriz e as minúsculas para a 
representação das suas entradas.
Por exemplo: 
Sejam D E
i
F=
−




 = −





 =






3 1
2 1
 
 0 
 10
 , ,
2
4
5
11
Vejamos, quais desses elementos pertencem ao conjunto M2(R) e expliquemos o motivo:
i. Temos que D ∈ M2(R), pois D é uma matriz quadrada de ordem 2 e suas 
entradas (os números 3, -1, 2 e 1) são todos números reais;
ii. Temos que E ∉ M2(R), apesar de E ser uma matriz quadrada de ordem 2, a 
entrada i não é um número real e sim um número complexo;
iii. F ∉ M2(R), apesar de F ter todas suas entradas (os números 4 e 5) pertencentes 
ao conjunto dos números reais, temos que F não é uma matriz quadrada. 
Uma observação interessante é que, para um elemento pertencer a um conjunto, o elemento 
tem que satisfazer todas as propriedades do conjunto.
Reflita
Qual o conjunto representado por M3(R)? 
E o conjunto M3(N)? 
Enfim, o que representa Mn(K), onde n é um inteiro 
positivo e K é um conjunto numérico?
Para aprofundar o conhecimento sobre matrizes, estude o 
capítulo 3 intitulado Matrizes e Álgebra Matricial, de Howard, 
p. 94 a 179. 
Acesso em Minha Biblioteca: http://goo.gl/iIFmTG
• O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 5 com coeficientes reais. A 
representação é: P R a a x a x a x a a R5 0 1 2
2
5
5
0 5( ) { }= + + + + ... ...,| , ε .
Vejamos alguns exemplos de elementos do conjunto P5(R):
i. O número 2, pois podemos escrevê-lo: 
2 2 0 0 0 0 0
2 3 4 5= + + + + +x x x x x
Dessa forma, temos:
a) 2 = a0,
b) 0 = a1 = a2 = a3 = a4 = a5 
Observemos que podemos escrever o número 2 como um polinômio de grau 0, 
isto é, menor ou igual a 5 e com todos os coeficientes sendo reais. 
ii. O polinômio x2 – x, pois posso escrevê-lo: 
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Dessa forma, temos:
a) 0 = a0 = a2 = a3 = a4 = a5.
b) -1 = a1.
c) 1 = a2.
Assim, o polinômio x2 – x tem grau 2, ou seja, menor ou igual a 5, e todos os 
seus coeficientes são números reais.
iii. O polinômio 7 2 3 42 3 4 5+ − − + − x x x x x pois reescrevemos:
7 2 3 4 7 2 3 4 1
2 3 4 5 2 3 4+ − − + − = + + − + − + + −( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x 11 5( ) x
Assim, temos:
a) 7 = a0.
b) 2 = a1.
c) -3 = a2.
d) -4 = a3.
e) 1 = a4.
f) -1= a5.
Desta forma, o polinômio 7 2 3 42 3 4 5+ − − + − x x x x x tem grau 5 e seus 
coeficientes são todos os números reais.
Agora consideremos alguns exemplos de elementos que não pertence ao conjunto P5(R):
i. O número 2 + i, pois não é um número real (é um número complexo), e todos 
os coefi cientes dos polinômios que pertencem ao conjunto têm que ser números reais;
ii. O polinômio x7 + x, pois o grau desse polinômio é 7, ou seja, o grau é maior 
do que 5. Porém, seus coefi cientes são todos reais. 
Em síntese
• Ao falarmos em conjunto, estamos nos referindo a diferentes tipos de coleções, 
como: conjuntos dos números reais, conjuntos de matrizes, conjuntos de polinômios.
São muitos os conjuntos que utilizamos em Matemática. Além de descrever os seus elementos, 
podemos compará-los e combiná-los. Esse será o assunto abordado no próximo tópico.
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Operações com dois Conjuntos
Neste tópico, referimo-nos a conjuntos que não são vazios, salvo os momentos que 
identificarmos o contrário. 
Sejam A e B dois conjuntos, se todo elemento de A 
é elemento de B, dizemos que A é subconjunto de B, e 
indicamos isso por A ⊂ B. Graficamente representamos 
da forma apresentada ao lado. 
Exemplificamos com os conjuntos numéricos:
a) N ⊂ Z
b) Z ⊂ Q
c) Q ⊂ R
d) {1, 2, 5} ⊂ { -3, 0, 1, 2, 4, 5, 9} 
O conjunto vazio { } é subconjunto de qualquer conjunto A, pois não existe elementos no 
conjunto vazio { }, tal qual não pertence ao conjunto A.
E quando será que podemos dizer que dois conjuntos são iguais? Podemos dizer que o 
conjunto A é igual ao conjunto B, A = B, se A é subconjunto de B (A ⊂ B) e B é subconjunto 
de A (B ⊂ A).
Para pensar
Um conjunto é formado por elementos distintos! 
Dessa forma, o conjunto {1, 2} é o mesmo que o 
conjunto {2, 1, 1, 1, 2, 2}, ou seja, são dois conjuntos 
iguais! Por quê?
Ao combinarmos dois conjuntos A e B, podemos formar novos conjuntos, como:
1) O conjunto A união B, que indicamos por A ∪ B, será o conjunto de todos os elementos 
pertencentes ao conjunto A ou ao conjunto B.
A B x x A ou x B ∪ = ∈ ∈{ }|
Graficamente podemos representar desta forma:
A
A U B
B
B
A
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Vejamos alguns exemplos. 
a) N ∪ Z = Z. Sabemos que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos 
números inteiros, isto é, N ⊂ Z. E quando fi zemos a união do conjunto dos números 
naturais e dos números inteiros, o novo conjunto obtido foi o conjunto número inteiros. 
Esse fato é válido. Como poderíamos generalizá-lo?
b) Sejam A e B conjuntos tais que A = { 1, 2, 7, 8} e B = { -1, 5, 2, 8, 20}, então temos:
A B ∪ = −{ }1 1 2 5 7 8 20, , , , , ,
Observamos nesse exemplo que A não é subconjunto de B e que B não é subconjunto 
de A. O conjunto A U B é distinto dos conjuntos A e B.
Sejam A = { x ∈ Z | x = 2m, onde m ∈ Z} é o conjunto dos números pares, e 
B= { x ∈ Z | x = 2m + 1, onde m ∈ Z} é o conjunto dos números impares, temos:
A ∪ B = Z
2) O conjunto A interseção B, que indicamospor A ∩ B, consiste nos elementos que 
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B:
A B x x A e x B∩ = ∈ ∈{ } |
Graficamente podemos representar desta forma:
BA
A B
U
Quando o conjunto A ∩ B é um conjunto vazio, dizemos que os conjuntos A e B são 
disjuntos. 
Vejamos alguns exemplos:
a) N ∩ Z = N. Sabemos que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos 
números inteiros, isto é, N ⊂ Z. E quando fi zemos a interseção do conjunto dos números 
naturais e dos números inteiros, o novo conjunto obtido foi o conjunto números naturais. 
Esse fato é sempre válido. Como poderíamos generalizá-lo?
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b) Sejam A = { 1, 2, 7, 8} e B = { -1, 5, 2, 8, 20}, então temos:
A ∩ B = {2, 8}
Observamos, nesse exemplo, que A não é subconjunto de B e que B não é subconjunto 
de A. O conjunto A ∩ B é distinto dos conjuntos A e B.
c) Sejam A = { x ∈ Z | x = 2m, onde m ∈ Z} é o conjunto dos números pares, e
B = { x ∈ Z | x = 2m + 1, onde m ∈ Z} é o conjunto dos números ímpares, temos:
A ∩ B = ø
Uma observação interessante é que o conjunto dos números pares e o conjunto dos 
números ímpares são conjuntos disjuntos.
3) O conjunto diferença de A em B, que indicamos por A-B, é o conjunto composto pelos 
elementos de A que não pertencem a B:
A B x A x B − = { | }∈ ∉
Graficamente podemos representar desta forma:
BA
A - B
A B
U
Vejamos alguns exemplos:
a) Z - N = { ... , -4, -3, -2, -1}. 
b) Sejam A = { 1, 2, 7, 8} e B = { -1, 5, 2, 8, 20}, então temos:
A - B = {1, 7}
Qual é o conjunto B – A? Esse conjunto é diferente de A – B? O que podemos concluir?
c) Sejam A = { x ∈ Z | -10 < x < 10} e B = { x ∈ Z | -15 < x < 5}, temos:
A - B = {5, 6, 7, 8, 9}
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
4) O conjunto A produto cartesiano B, representado por A x B, é o conjunto formado por 
todos os pares ordenados, em que o primeiro termo será os elementos pertencentes ao 
conjunto A e o segundo termo os elementos que pertencem ao conjunto B: 
A x B a b a A e b B = ∈ ∈( ){ }, |
Sejam (a,b), (c,d) ∈ A x B, dizemos que (a,b) = (c,d) se, e somente se, a = c e b= d.
Vejamos alguns exemplos:
a) Sejam A = {1, 2} e B = {5, 8}. Então, temos:
A x B = {(1, 5), (1, 8), (2,5), (2, 8)}
b) Sejam A = {3, 4, 7} e B= {1}, temos:
A x B = { (3, 1), (4, 1), (7,1)}
O conjunto R x R, ou seja, o conjunto dos pares ordenados onde a primeira e a segunda 
coordenada são números reais também pode ser representado por R2. 
Atenção
Seja A um conjunto, outra maneira de representarmos A x A é A2.
Será que o conjunto A x B é o mesmo que B x A? A resposta é negativa. 
Exemplifique isso! Sugestão: defina um conjunto A distinto do um conjunto B.
Até este momento estudamos conjuntos. Podemos também fazer uma aplicação de 
um conjunto em outro. Esse é um dos conceitos mais abrangentes em matemática e será 
tratado na próxima seção.
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Aplicação, Função e Operador
Sejam X e Y dois conjuntos não vazios, então uma aplicação f de X em Y será uma regra 
que associa cada elemento x ∈ X a um único elemento f(x) ∈ Y. Denotamos por: 
f X Y→
x f x→ ( )
Denominamos o elemento f(x) ao elemento que pertence a Y e é a imagem de x por f. A 
coleção desses elementos é representada pelo conjunto:
O conjunto X chamamos de domínio de f, representamos ele por Df = X; e o conjunto Y, 
de contradomínio de f. 
Quando restringimos as aplicações em conjuntos numéricos, podemos representá-las 
graficamente em um plano cartesiano pelo conjunto dos pontos (x, f(x)) tal que x ∈ X. 
Alguns nomes que utilizaremos para a aplicação pode ser função ou correspondência.
Consideremos i : R → R tal que i(x) = x. Essa 
função é considerada função identidade e podemos 
representá-la graficamente no plano cartesiano.
Observamos que tanto o domínio quanto o 
contradomínio da aplicação f são o conjunto dos 
números reais.
Seja f : X → Y, dizemos que f é uma função bijetora 
se f é:
• Injetora, ou seja, se dois elementos diferentes de X (x1, x2 ∈ X) têm imagens diferentes 
(f(x1) ≠ f(x2)); mas usualmente para verificarmos se uma aplicação é bijetora consideramos 
que f(x1) = f(x2) e mostramos que x1 = x2;
• Sobrejetora, ou seja, se a imagem de f é o contradomínio (Im f = Y).
Para aprofundar o estudo sobre a aplicação, estude da p.92 à 
107 do livro Álgebra Moderna. (2003)
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Consideremos a aplicação det: 
M2(R) → R tal que det 
a b
c d
 
 





 = ad – bc, que é conhecida como determinante da matriz 
a b
c d
 
 





. 
Consideremos D M R= −




 ∈
3 1
2 1
2
 
 
 ( ). Temos: 
det D det 
 
 
 
 
 ( )
−




 =
( )
=
= − =
=
3 1
2 1
3 1 1 2
3
..
++ = 2
5 
Portanto, det (D) = 5. Vemos que o domínio da função det é o conjunto M2(R), enquanto o 
contradomínio é R. Logo o domínio e contradomínio da aplicação det são distintos.
Vamos agora o considerar a função: f : Z x Z → Z 
(n,m) → n+m
Qual é o domínio da aplicação f? 
Isso mesmo, o domínio da f é o conjunto produto cartesiano Z x Z, isso é, Df = Z x Z. 
E o contradomínio? 
Parabéns, realmente é o conjunto dos números inteiros. Dessa forma, temos: 
f(n,m) = n + m
Exemplificamos com alguns elementos de Z x Z.
Tabela1: Valores da função: f : Z x Z → Z, tal que f(n,m) = n + m.
(n, m) f(n, m) = n + m
(0, 3) f(0, 3) = 0+3 = 3
(1, -2) f(1, 2) = 1+(-2) = -1
(10, 4) f(10, 4) = 10+4 =14
(100, 255) f(100, 255) = 100+255 = 355
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Observamos que tanto a abscissa quanto a ordenada do par ordenado do domínio são 
números inteiros e a imagem também é um número inteiro. Seja A um conjunto não vazio, 
todas as funções que satisfazem:
* : A x A → A
(n,m) → n*m
São denominadas de operações binárias internas fechadas em A. A palavra binária 
indica que o domínio é um produto cartesiano de dois conjuntos, interna significa que os 
conjuntos do produto cartesiano são os mesmos (A x A) e fechada porque o contradomínio 
é o conjunto A. Dessa forma, toda vez que neste curso nos referirmos à operação, estaremos 
nos referindo à operação binária interna fechada.
Seja (a, b) ∈ A x A, utilizamos *(a, b) = a * b, onde lemos “a operado b”.
Vejamos alguns exemplos de operações:
A operação adição em N:
+ : N x N → N
(n,m) ↦ n+m
A operação adição em M2(R):
+ × →

















 +
M
a b
c d
e f
g h
a b
c d
e f
2 2 2(R) M (R) M (R)
,( . )
gg h
a e f
c g d h





 =
+
+ +






 b + 
 
Sejam A, B ∈ M2(R), tais que A = 
3 2
0 5
 
 −





 , B = 
1 1
4 2
 
 
−





3 2
0 5
1 1
4 2
3 1 2 1
0 4
 
 
 
 
 
−





 +
−




 =
+ + −
+
( )
 
 
 
 
− +





 =
−





 ∈
5 2
4 1
4 3
2M R( )
20
Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
A operação adição em P R a a x a x a x a a R5 0 1 2
2
5
5
0 5( ) { }= + + + + ∈ ... ...,| , .
+ →
+ + + + +
( ) ( ) ( )
... ,
P R x P R P R
a a x a x a x b b x
5 5 5
0 1 2
2
5
5
0 1
 
 
 
 + + +
+ + + + + + +
( ) →
+ ( ) ( )
b x b x
a b a b x a b x a
2
2
5
5
0 0 1 1 2 2
2
5
...
... bb x5
5( )
Vejamos um exemplo no conjunto dos polinômios P5(R). Sejam p, f ∈ P5(R), tais que p(x) = 
2x + 3x2 -x5 e g(x) = 1 + 2x
2 + x3 + 2x5, temos que:
p g x p x g x
x x x x x x
 
 
+ = + =
+ − + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 3 1 2 22 5 2 3 5 ==
+ + + + − + + + + + + =
+(
( ) ( )0 2 3 0 0 1 0 2 0 2
0 1
2 3 4 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x
)) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + + + + + − + =
+ + +
2 0 3 2 0 1 0 0 1 2
1 2 5 1
2 3 4 5
2
x x x x x
x x x
 
 
( )
33 4 5
2 3 5
5
0 1
1 2 5
+ + =
+ + + + ∈ ( )
x x
x x x x P R 
Atenção
Ao falarmos em operação adição, estamos nos referindo à operação 
de adição em diferentes conjuntos: conjuntos dos naturais, conjuntos 
de matrizes, conjuntos de polinômios, etc.
A operação mutiplicação em Z:
.: Zx Z → Z
(c,d) ↦ c . d = cd.
A operação subtração em Z:
.: Z x Z → Z
(e, g) ↦ e - g.
Mas será que qualquer operação pode valer em qualquer conjunto numérico? Observemos 
o próximo exemplo:
Seja (11, 22) ∈ Z x Z, ao utilizarmos a operação subtração, temos:
11 – 22 =
-11 ∈ Z
21
Observemos que a subtração não é uma operação em N, pois, apesar de 
(11,22) ∈ N x N, temos a 11 - 22 = -11 ∉ N.
 As tábuas de operação de dupla entrada também são práticas e muito utilizadas. 
Exemplificamos com a e o conjunto A = {1, -1}. Na primeira linha da tábua e a primeira 
coluna colocamos os elementos do conjunto A.
Tabela 2: Elementos do conjunto A = {1, -1} na tábua de uma operação.
-1 1
-1
1
A operação multiplicação está localizada na primeira posição:
Tabela 3: Elementos do conjunto A = {1, -1} e a na tábua.
. -1 1
-1
1
As outras posições serão o valor dado pelos elementos que estão em interseção da linha 
pela coluna:
Tabela 4: Calculando os elementos do conjunto A = {1, -1} com na tábua de operação. 
. -1 1
-1 (-1)(-1) = 1 (-1)1= -1
1 1(-1)=-1 1.1=1
Finalmente, chegando à seguinte tabela:
Tabela 5: Tábua da no conjunto A = {1, -1}. 
. -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Vejamos outro exemplo. Seja A = {-1, 1}, construiremos a tábua com a adição e vejamos 
se é uma operação em A.
Tabela 6: Exemplo que a adição não é uma operação no conjunto A = { 1, -1}.. 
+ -1 1
-1 -2 0
1 0 2
Observemos que pela tabela a adição não é uma operação sobre o conjunto A, visto que o 
elemento -2 pertence ao contradomínio, porém -2 não pertence ao conjunto A. 
22
Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Exemplos:
1) Seja A = {... –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}, descreva os elementos do conjunto A através de 
uma propriedade que caracterize seus elementos. 
Iniciamos observando o conjunto A, sabemos que:
i. A é um conjunto infi nito;
ii. Todo elemento de A é um número inteiro;
iii. Todo elemento de A é ímpar. 
Assim, o conjunto A pode também ser representado desta forma:
A = { x ∈ Z | x = 2m+1, m ∈ Z}
2) Sejam P4(R) = {a0 + a1x + a2x
2 + ... + a4x
4 | a0, ..., a4 ∈ R} e P5(R) = {a0 + a1x + a2x
2 + 
... + a5x
5 | a0, ..., a5 ∈ R}, encontre os seguintes conjuntos:
a) P4(R) ∩ P5(R)
b) P4(R) ∪ P5(R)
c) P5(R) - P4(R) 
Resolução:
a) Por defi nição, temos P4(R) ∩ P5(R) = {p ∈ P(R) | p ∈ P4(R) e p ∈ P5(R)}. Assim, P4(R) 
∩ P5(R) = P4(R). 
b) Por defi nição, temos P4(R) ∪ P5(R) = {p ∈ P(R) | p ∈ P4(R) ou p ∈ P5(R)}. Assim, 
P4(R) ∪ P5(R) = P5(R).
c) Por defi nição, temos P5(R) – P4(R) = {p ∈ P(R) | p ∈ P5(R) e p ∉ P4(R)}. Assim, P5(R) 
– P4(R) = {ax
5 | a ∈ R}.
3) A subtração é uma operação em N?
Não. Neste curso consideramos operações sendo funções binárias internas e fechadas 
em um conjunto. Observamos que 4, 5 ∈ N e 4 - 5 = -1 ∉ N, ou seja, a subtração não é 
fechada em N. Como a subtração não é fechada em N, ela não será uma operação em N. 
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Material Complementar
Sites:
Matrizes: HOWARD, A. C. B. R. Álgebra Linear Contemporânea. 2006. [VitalSource 
Bookshelf version]. Disponível em: goo.gl/HPJX0m
O pensamento algébrico: WALLE, J. A. V. Matemática no Ensino Fundamental: 
formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. 2009. [VitalSource Bookshelf 
version]. Disponível em: http://goo.gl/XlpHVL
Software para estudar função: http://www.geogebra.org/about
Livros:
ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de álgebra abstrata. 4. ed. São Paulo: 
Nobel, 1988.
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Unidade: Conjuntos, Aplicações e Operadores
Referências
ALENCAR FILHO, E. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I, N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e Polígono, 1970.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1973.
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Anotações