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� �Centro Universitário Carioca�Raciocínio Lógico – NDC A10�� 1 – Conjuntos e Elementos 1.1 – Noção de Conjunto Os conceitos de conjunto, elementos e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição. Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleção (agrupamento, classe, sistema) bem definida de objetos. Cada um dos membros que entra na formação do conjunto é denominado elemento do conjunto. Exemplos: 1) O conjunto dos livros de uma biblioteca. 2) O conjunto das vogais do alfabeto português. 3) O conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21. 1.2 – Notação dos Conjuntos Representamos um conjunto por uma letra maiúscula do alfabeto, os elementos ficam entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos: 1) Conjunto das vogais do alfabeto português 2) Conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21 1.3 – Relação de Pertinência O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relação de pertinência. Sendo podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b não pertence ao conjunto A. Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se . x pertence a A ou x é um elemento de A. y não pertence a A ou y não é um elemento de A. 1.4 – Tipos de Conjuntos 1.4.1 – Conjunto Universo Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto é chamado de Conjunto Universo e representado por U. 1.4.2 – Conjunto Unitário Todo conjunto constituído de um único elemento é chamado de Conjunto Unitário. Exemplo: 1.4.3 – Conjunto Vazio O conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e é representado por . Exemplo: M é o conjunto formado pela capital de Brasília. Como não existe a capital de Brasília, o conjunto é vazio. 1.5 – Determinação de um Conjunto Diz-se que um conjunto A é definido num universo quando se conhece um critério que permita sempre saber se um elemento ou , devendo verificar-se apenas uma destas duas hipóteses. Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: I – Por enumeração II – Por compreensão, isto é, através de um critério de pertinência que satisfeito por todos os elementos do conjunto e somente por esses elementos. 1.6 – Conjuntos Finitos e Infinitos Diz-se que um conjunto A é finito e contém n elementos quando existe um número natural n tal que se pode estabelecer uma correspondência entre os elementos do conjunto A e Um conjunto não finito diz-se infinito. O número de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A). Exemplos: ( conjunto finito com 0 elemento. 1.7 – Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se . Notação: Exemplos: 1) 2) 3) 4) 1.7.1 – Propriedades 1) Reflexiva: 2) Simétrica: 3) Transitiva: 1.8 – Relação de Inclusão Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B. Notação: : A está contido em B. , isto é, B contém A. : A não está contido em B. Exemplos: 1) 2) 3) 1.8.1 – Propriedades 1) Reflexiva: 2) Transitiva: 3) Anti-simétrica: 4) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, . 5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U, isto é, Obs.: ( ( relação entre elemento e conjunto. ( ( relação entre conjuntos. Exemplos: � 1.9 – Conjuntos Numéricos 1.9.1 – Números Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais Inteiros positivos: 1, 2, 3, ... Inteiros negativos: ..., -3, -2, -1 A coleção de números inteiros positivos e o zero chamamos de conjunto dos números naturais e representamos por: A coleção de números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero chamamos de conjunto dos números inteiros e representamos por: Se p e q são números inteiros então p+q e p.q são inteiros. Se p e q são inteiros e , então x é um número racional se e somente se . Se x e y são racionais então x+y e x.y são racionais. Exemplos: Os números racionais podem ser postos sob a forma de frações decimais finitas ou infinitas. Exemplos: Finitas - Infinitas - Os números expressos pelas frações decimais infinitas não periódicas são denominados irracionais. Exemplo: Q ( Conjunto dos números racionais. I ( Conjunto dos números irracionais. O conjunto constituído por todos os números chamamos de números reais e representamos por IR. Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta horizontal chamada eixo numérico ou reta numérica. Origem – ponto sobre o eixo numérico para representar o número zero. Unidade de distância – cada número positivo n é representado pelo ponto com uma distância de n unidades à direita da origem. O número negativo n é representado pelo ponto com uma distância n à esquerda da origem. A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo. Exemplo: A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo. Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do ponto que representa o número b. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lembrete: Regra de Sinais Soma ou Subtração: Sinais iguais: soma e repete o sinal; Sinais diferentes: subtraí e dá o sinal do maior; Multiplicação ou Divisão: Sinais iguais: positivo; Sinais diferentes: negativos; Operações Básicas com Frações: Sejam : Soma ou subtração, onde b ( 0 e d ( 0; Multiplicação, onde b ( 0 e d ( 0; Divisão, onde b ( 0, d ( 0 e c ( 0; Obs.: Sempre que possível simplifique as frações. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.10 – Desigualdades Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade. 1.10.1 – Desigualdades estritas a > b se, e somente se, a – b é positivo a < b se, e somente se, b – a é positivo 1.10.2 – Desigualdades não estritas se, e somente se, a < b ou a = b se, e somente se, a > b ou a = b 1.10.3 – Propriedades: 1) Se a > b e b > c, então a > c 2) Se a < b, então c em IR, a + c < b + c 3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d 4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c 5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c 6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d 1.11 – Valor Absoluto Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real não negativo, que satisfaz as seguintes condições: Exemplo: Teorema: 1.12 – Intervalos 1.12.1 – Intervalo Aberto Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado por ou . Ou seja, 1.12.2 – Intervalo Fechado Se juntarmos ao intervalo aberto os pontos extremos a e b, temos um intervalo fechado denotado por . Ou seja, . 1.12.3 – Outros Intervalos - Semi-aberto à esquerda: - Semi-aberto à direita: - Ilimitado fechado à esquerda: - Ilimitado aberto à esquerda: - Ilimitado fechado à direita: - Ilimitado aberto à direita: � 2 – Subconjuntos 2. 1 – Noção de Subconjunto Todo conjunto A que está contido num conjunto B , diz-se subconjunto ou parte de B. Se , , então diz-se que A é subconjunto próprio de B. Exemplos: 1) é subconjunto próprio de 2) Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem 2 n subconjuntos. Exemplo: Seja . Então A tem 22 subconjuntos. 2.2 – Conjunto das Partes de um Conjunto Chama-se conjunto daspartes de um conjunto E, o conjunto cujos elementos são todas as partes de C, inclusive a parte cheia E e a parte vazia . Representação: 2.2.1 – Propriedades 1) 2) Observação: Se E é um conjunto finito com n elementos, então P(E) também é um conjunto finito com 2 n elementos. Exemplos: 1) 2) 3) 2.3 – Complementar de um Conjunto: Seja A uma parte (subconjunto) de D. Chama-se complementar (complemento) de A em relação a D, o conjunto de todos os elementos de D que não pertencem a A. Representação: Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A, ficando subentendido que se trata do complementar em relação a U, e representa-lo por A’ ou . Exemplo: Sejam os conjuntos 2.3.1 – Propriedades do Complementar Sejam A e B partes de um conjunto E 1) 2) 3) 4) Observação: Sejam A e B conjuntos quaisquer num universo U, então: 1) 2) 3) 3 – Álgebra dos Conjuntos 3.1 – Interseção de dois Conjuntos Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B Representação: Exemplos: 1) 2) 3.1.1 – Conjuntos Disjuntos Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se não tem elementos comuns. A e B disjuntos Exemplo: são disjuntos, porque 3.1.2 – Propriedades da Interseção Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 1) 2) 3) 4) 5) 3.2 – União de Conjuntos Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Representação: Exemplos: 1) 2) 3.2.1 – Propriedades da União Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 3.3 – Diferença de dois Conjuntos Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Representação: Se A e B são conjuntos num universo U temos Exemplos: 1) 2) Sejam os conjuntos: Note que , isto é, a diferença não é comutativa. 3.3.1 – Propriedades da Diferença Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 1) 2) 3) 4) 5) Exercícios Uma pesquisa feita entre 500 leitores dos jornais que circulam pela cidade constatou que: 100 pessoas lêem o jornal A e B; 200 pessoas lêem o jornal A. É possível determinar o número de pessoas que lêem o jornal B? Se sim quantas lêem, se não justifique sua resposta. Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas pessoas são altas e magras? Sendo , , , , , e , determine os conjuntos A, B e C. Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram à prova? Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentração nazista e de lá resgataram 979 prisioneiros. Desses 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 não tinham nenhum dessas duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças? Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis. Quantos jogam: a) Tênis e não jogam vôlei? b) Xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Vôlei e não jogam xadrez? Uma pequena cidade do interior possuía dois candidatos a prefeito: Ricardinho, concorrendo pelo PD (partido da direita) e André, concorrendo pelo PE (partido de esquerda). Foi feita uma pesquisa, uma semana antes da eleição, com 500 eleitores, que deveriam indicar em uma cédula em quem votariam. Os pesquisadores poderiam votar nos dois candidatos se assim desejassem, em apenas um deles ou então votar em branco. Não era permitido anular o voto. Os resultados foram os seguintes: 200 eleitores votaram em branco 320 eleitores não votaram no PD 330 eleitores não votaram no PE O numero de pesquisadores que votou em ambos os candidatos é: a) 25 b) 35 c) 50 d) 350 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca � PAGE \* MERGEFORMAT �12� _1154086727.unknown _1154539606.unknown _1154541455.unknown _1154983944.unknown _1154984997.unknown _1198071433.unknown _1198072104.unknown _1199601619.unknown _1199601673.unknown _1280145990.unknown _1199601660.unknown _1199601554.unknown _1198071890.unknown _1198072024.unknown _1198071809.unknown _1154985782.unknown _1154985835.unknown _1154985920.unknown _1198071392.unknown _1154985947.unknown _1154985864.unknown _1154985804.unknown _1154985030.unknown _1154985743.unknown _1154985010.unknown _1154984584.unknown _1154984777.unknown _1154984920.unknown _1154984955.unknown _1154984810.unknown _1154984713.unknown _1154984746.unknown _1154984673.unknown _1154984183.unknown _1154984492.unknown _1154984522.unknown _1154984415.unknown _1154984125.unknown _1154984154.unknown _1154984068.unknown _1154983424.unknown _1154983670.unknown _1154983833.unknown _1154983877.unknown _1154983702.unknown _1154983579.unknown _1154983620.unknown _1154983524.unknown _1154983039.unknown _1154983170.unknown _1154983286.unknown _1154983423.unknown _1154983102.unknown _1154541619.unknown _1154541681.unknown _1154541572.unknown _1154540856.unknown _1154541198.unknown _1154541348.unknown _1154541398.unknown _1154541305.unknown _1154540999.unknown _1154541098.unknown _1154540909.unknown _1154540178.unknown _1154540495.unknown _1154540769.unknown _1154540263.unknown _1154540349.unknown _1154539982.unknown _1154540038.unknown _1154539794.unknown _1154086881.unknown _1154086908.unknown _1154087248.unknown _1154087325.unknown _1154087528.unknown _1154087305.unknown _1154087092.unknown _1154087106.unknown _1154087031.unknown _1154086896.unknown _1154086902.unknown _1154086905.unknown _1154086899.unknown _1154086888.unknown _1154086893.unknown _1154086885.unknown _1154086764.unknown _1154086783.unknown _1154086796.unknown _1154086876.unknown _1154086791.unknown _1154086771.unknown _1154086780.unknown _1154086767.unknown _1154086745.unknown _1154086752.unknown _1154086756.unknown _1154086748.unknown _1154086738.unknown _1154086741.unknown _1154086731.unknown _1154086661.unknown _1154086693.unknown _1154086710.unknown _1154086717.unknown _1154086723.unknown _1154086714.unknown _1154086704.unknown _1154086707.unknown _1154086697.unknown _1154086679.unknown _1154086685.unknown _1154086690.unknown _1154086682.unknown _1154086669.unknown _1154086672.unknown _1154086665.unknown _1154086510.unknown _1154086646.unknown _1154086655.unknown _1154086658.unknown _1154086651.unknown _1154086520.unknown _1154086640.unknown _1154086516.unknown _1154086490.unknown _1154086501.unknown _1154086505.unknown _1154086493.unknown _1154071220/ole-[42, 4D, 82, A2, 00, 00, 00, 00] _1154086454.unknown _1154086477.unknown _1154086486.unknown _1154086474.unknown _1154086441.unknown _1154086450.unknown _1154071722.unknown_1154074116.unknown _1154014868.unknown _1154016216.unknown _1154013965.unknown
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