Unidade_2_-_Teoria_dos_Conjuntos
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\ufffd
\ufffdCentro Universitário Carioca\ufffdRaciocínio Lógico \u2013 NDC A10\ufffd\ufffd
1 \u2013 Conjuntos e Elementos
1.1 \u2013 Noção de Conjunto
	Os conceitos de conjunto, elementos e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição.
	Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleção (agrupamento, classe, sistema) bem definida de objetos.
	Cada um dos membros que entra na formação do conjunto é denominado elemento do conjunto.
Exemplos:
1) O conjunto dos livros de uma biblioteca.
2) O conjunto das vogais do alfabeto português.
3) O conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21.
1.2 \u2013 Notação dos Conjuntos
	Representamos um conjunto por uma letra maiúscula do alfabeto, os elementos ficam entre chaves e separados por vírgulas.
Exemplos:
1) Conjunto das vogais do alfabeto português
2) Conjunto dos múltiplos de 2 entre 9 e 21
		
1.3 \u2013 Relação de Pertinência
	O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relação de pertinência.
Sendo 
 podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b não pertence ao conjunto A.
	Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se 
.
	
 x pertence a A ou x é um elemento de A.
	
 y não pertence a A ou y não é um elemento de A.
1.4 \u2013 Tipos de Conjuntos
1.4.1 \u2013 Conjunto Universo
	Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto é chamado de Conjunto Universo e representado por U.
1.4.2 \u2013 Conjunto Unitário
	Todo conjunto constituído de um único elemento é chamado de Conjunto Unitário.
Exemplo: 
1.4.3 \u2013 Conjunto Vazio
O conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e é representado por 
.
Exemplo: M é o conjunto formado pela capital de Brasília. Como não existe a capital de Brasília, o conjunto é vazio.
1.5 \u2013 Determinação de um Conjunto
	Diz-se que um conjunto A é definido num universo quando se conhece um critério que permita sempre saber se um elemento 
 ou 
, devendo verificar-se apenas uma destas duas hipóteses.
	Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:
I \u2013 Por enumeração
	
II \u2013 Por compreensão, isto é, através de um critério de pertinência que satisfeito por todos os elementos do conjunto e somente por esses elementos.
	
	
	
1.6 \u2013 Conjuntos Finitos e Infinitos
	Diz-se que um conjunto A é finito e contém n elementos quando existe um número natural n tal que se pode estabelecer uma correspondência entre os elementos do conjunto A e 
	Um conjunto não finito diz-se infinito.
	O número de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A).
Exemplos:
( conjunto finito com 0 elemento.
1.7 \u2013 Igualdade de Conjuntos
	Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se 
.
Notação: 
	
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.7.1 \u2013 Propriedades
1) Reflexiva: 
2) Simétrica: 
3) Transitiva: 
1.8 \u2013 Relação de Inclusão
	Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B.
Notação: 
: A está contido em B.
	 
, isto é, B contém A.
	 
: A não está contido em B.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
1.8.1 \u2013 Propriedades
1) Reflexiva: 
2) Transitiva: 
3) Anti-simétrica: 
4) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, 
.
5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U, isto é, 
Obs.: ( ( relação entre elemento e conjunto.
	( ( relação entre conjuntos.
Exemplos:
\ufffd
1.9 \u2013 Conjuntos Numéricos
1.9.1 \u2013 Números Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais
Inteiros positivos: 1, 2, 3, ...
Inteiros negativos: ..., -3, -2, -1
A coleção de números inteiros positivos e o zero chamamos de conjunto dos números naturais e representamos por:
	A coleção de números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero chamamos de conjunto dos números inteiros e representamos por:
	Se p e q são números inteiros então p+q e p.q são inteiros.
	Se p e q são inteiros e 
, então x é um número racional se e somente se 
.
	Se x e y são racionais então x+y e x.y são racionais.
Exemplos: 
	Os números racionais podem ser postos sob a forma de frações decimais finitas ou infinitas.
Exemplos: 
Finitas - 
Infinitas - 
	Os números expressos pelas frações decimais infinitas não periódicas são denominados irracionais.
Exemplo: 
Q ( Conjunto dos números racionais.
I ( Conjunto dos números irracionais.
	O conjunto constituído por todos os números chamamos de números reais e representamos por IR.
	Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta horizontal chamada eixo numérico ou reta numérica.
Origem \u2013 ponto sobre o eixo numérico para representar o número zero.
Unidade de distância \u2013 cada número positivo n é representado pelo ponto com uma distância de n unidades à direita da origem. O número negativo n é representado pelo ponto com uma distância n à esquerda da origem.
A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo.
Exemplo:
A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo.
Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do ponto que representa o número b.
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Lembrete:
Regra de Sinais
Soma ou Subtração:
Sinais iguais: soma e repete o sinal;
Sinais diferentes: subtraí e dá o sinal do maior;
Multiplicação ou Divisão:
Sinais iguais: positivo;
Sinais diferentes: negativos;
 Operações Básicas com Frações:
Sejam 
:
Soma ou subtração, onde b ( 0 e d ( 0; 
Multiplicação, onde b ( 0 e d ( 0;
Divisão, onde b ( 0, d ( 0 e c ( 0;
Obs.: Sempre que possível simplifique as frações.
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1.10 \u2013 Desigualdades
Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade.
1.10.1 \u2013 Desigualdades estritas
a > b se, e somente se, a \u2013 b é positivo
a < b se, e somente se, b \u2013 a é positivo
1.10.2 \u2013 Desigualdades não estritas
 se, e somente se, a < b ou a = b
 se, e somente se, a > b ou a = b
1.10.3 \u2013 Propriedades:
1) Se a > b e b > c, então a > c
2) Se a < b, então 
c em IR, a + c < b + c
3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d
4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c 
5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c
6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d
1.11 \u2013 Valor Absoluto
	Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real não negativo, que satisfaz as seguintes condições:
Exemplo: 
Teorema: 
1.12 \u2013 Intervalos
1.12.1 \u2013 Intervalo Aberto
Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado por 
 ou 
. Ou seja, 
1.12.2 \u2013 Intervalo Fechado
Se juntarmos ao intervalo aberto 
 os pontos extremos a e b, temos um intervalo fechado denotado por 
. Ou seja, 
.
1.12.3 \u2013 Outros Intervalos
- Semi-aberto à esquerda: 
- Semi-aberto à direita: 
- Ilimitado fechado à esquerda: 
- Ilimitado aberto à esquerda: 
- Ilimitado fechado à direita: 
- Ilimitado aberto à direita: 
\ufffd
2 \u2013 Subconjuntos
2. 1 \u2013 Noção de Subconjunto
	Todo conjunto A que está contido num conjunto B 
, diz-se subconjunto ou parte de B.
	Se 
, 
, então diz-se que A é subconjunto próprio de B.
Exemplos:
1) 
 é subconjunto próprio de 
2) 
Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem 2 n subconjuntos.
Exemplo: Seja 
. Então A tem 22 subconjuntos. 
2.2 \u2013 Conjunto das Partes de um Conjunto
	Chama-se conjunto das