Integral de Potencias de Secante

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Poteˆncias de Secante
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Poteˆncias de Secante
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo
poteˆncias de secante.
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx
=
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx
=
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de secante, temos que∫
sec x dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
cos x
cos2 x
dx =
∫
cos x
1− sen 2x dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
1− u2 du
=
1
2
(∫
1
1− u du +
∫
1
1 + u
du
)
=
1
2
(− ln |1− u|+ ln |1 + u|) + c
=
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Utilizando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar o
resultado obtido:∫
sec x dx =
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
=
1
2
ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣
1
2 + c
= ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Utilizando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar o
resultado obtido:∫
sec x dx =
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
=
1
2
ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣
1
2 + c
= ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Utilizando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar o
resultado obtido:∫
sec x dx =
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
=
1
2
ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣
1
2 + c
= ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Utilizando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar o
resultado obtido:∫
sec x dx =
1
2
(− ln |1− sen x |+ ln |1 + sen x |) + c
=
1
2
ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣
1
2 + c
= ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Por fim, podemos usar relac¸o˜es trigonome´tricas para fazer outra
simplificac¸a˜o:∫
sec x dx = ln
√∣∣∣∣1 + sen x1− sen x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)(1 + sen x)(1− sen x)(1 + sen x)
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1+ sen x)21− sen 2x
∣∣∣∣+ c
= ln
√∣∣∣∣(1 + sen x)2cos2 x
∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣1 + sen xcos x
∣∣∣∣+ c
= ln |sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx =
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx
=
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx =
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx =
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx =
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Agora que ja´ conhecemos o formato da integral da secante,
podemos criar um artif´ıcio que simplifica o seu ca´lculo.
No´s comec¸amos multiplicando e dividindo o integrando por
sec x + tg x . Ficamos enta˜o com∫
sec x dx =
∫
sec x(sec x + tg x)
sec x + tg x
dx =
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = sec x + tg x e
du = sec x tg x + sec2 x dx , temos que∫
sec x dx =
∫
1
u
du
= ln |u|+ c
= ln | sec x + tg x |+ c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x
∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sec3 x dx =
∫
sec x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sec x dv = sec2 x dx
du = sec x tg x dx v = tg x∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg 2x dx
= sec x tg x −
∫
sec x(sec2 x − 1) dx
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
2
∫
sec3 x dx = sec x tg x +
∫
sec x dx
∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
2
∫
sec3 x dx = sec x tg x +
∫
sec x dx
∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx
2
∫
sec3 x dx = sec x tg x +
∫
sec x dx
∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx
=
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sec6 x dx .
Vamos usar a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x para
reescrever o integrando como∫
sec6 x dx =
∫
sec2 x
(
sec2 x
)2
dx =
∫
sec2 x
(
tg 2x + 1
)2
dx .
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
sec6 x dx =
∫ (
u2 + 1
)2
du
=
∫
u4 + 2u2 + 1 du
=
u5
5
+
2u3
3
+ u + c
=
tg 5x
5
+
2 tg 3x
3
+ tg x + c
Integral de Poteˆncias de Secante
Procedimento
∫
secn x dx (n ∈ N e n ≥ 2).
(i) Se n e´ par, enta˜o ele tem o formato 2k (com k ∈ N). Desse
modo, reescreva o integrando como indicado abaixo e use a
substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx .
sec2k x = sec2 x
(
sec2 x
)k−1
= sec2 x
(
tg 2x + 1
)k−1
;
(ii) Se n e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato n = 2k + 1 (com
k ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando como indicado
abaixo e use integrac¸a˜o por partes com u = sec2k−1 x e
dv = sec2 x dx .
sec2k+1 x = sec2k−1 x sec2 x .
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de secante em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de secante.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
secn x dx =
∫
secn−2 x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = secn−2 x dv = sec2 x dx
du = (n − 2) secn−2 x tg x dx v = tg x
∫
secn x dx = secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x tg 2x dx
= secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x(sec2 x − 1) dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de secante em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de secante.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
secn x dx =
∫
secn−2 x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = secn−2 x dv = sec2 x dx
du = (n − 2) secn−2 x tg x dx v = tg x
∫
secn x dx = secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x tg 2x dx
= secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x(sec2 x − 1) dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de secante em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de secante.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
secn x dx =
∫
secn−2 x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = secn−2 x dv = sec2 x dx
du = (n − 2) secn−2 x tg x dx v = tg x
∫
secn x dx = secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x tg 2x dx
= secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x(sec2 x − 1) dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de secante em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de secante.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
secn x dx =
∫
secn−2 x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = secn−2 x dv = sec2 x dx
du = (n − 2) secn−2 x tg x dx v = tg x
∫
secn x dx = secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x tg 2x dx
= secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x(sec2 x − 1) dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de secante em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de secante.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
secn x dx =
∫
secn−2 x sec2 x dx .
Usando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = secn−2 x dv = sec2 x dx
du = (n − 2) secn−2 x tg x dx v = tg x
∫
secn x dx = secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x tg 2x dx
= secn−2 x tg x − (n − 2)
∫
secn−2 x(sec2 x − 1) dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Aplicando as propriedades de integral, temos que∫
secn x dx = secn−2 x tg x−(n−2)
∫
secn x dx+(n−2)
∫
secn−2 x dx
(n − 1)
∫
secn x dx = secn−2 x tg x + (n − 2)
∫
secn−2 x dx
∫
secn x dx =
secn−2 x tg x
n − 1 +
n − 2
n − 1
∫
secn−2 x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Aplicando as propriedades de integral, temos que∫
secn x dx = secn−2 x tg x−(n−2)
∫
secn x dx+(n−2)
∫
secn−2 x dx
(n − 1)
∫
secn x dx = secn−2 x tg x + (n − 2)
∫
secn−2 x dx
∫
secn x dx =
secn−2 x tg x
n − 1 +
n − 2
n − 1
∫
secn−2 x dx
Integral de Poteˆncias de Secante
Fo´rmula de Recorreˆncia
Aplicando as propriedades de integral, temos que∫
secn x dx = secn−2 x tg x−(n−2)
∫
secn x dx+(n−2)
∫
secn−2 x dx
(n − 1)
∫
secn x dx = secn−2 x tg x + (n − 2)
∫
secn−2 x dx
∫
secn x dx =
secn−2 x tg x
n − 1 +
n − 2
n − 1
∫
secn−2 x dx