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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral Indefinida
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral Indefinida
Introduc¸a˜o
Em aulas anteriores no´s estudamos o conceito de antiderivada.
No´s vimos atrave´s do Teorema Fundamental do Ca´lculo que esse
conceito e´ muito importante na determinac¸a˜o de uma integral
definida.
Nesta aula no´s veremos uma forma de representar a fam´ılia de
antiderivadas de uma func¸a˜o, atrave´s do que chamamos de integral
indefinida. Ale´m disso, no´s estudaremos duas te´cnicas que nos
permitem calcular uma integral indefinida: integrac¸a˜o por
substituic¸a˜o; integrac¸a˜o por partes.
Integral Indefinida
Definic¸a˜o
Seja F (x) + c a fam´ılia de antiderivadas de f . Essa fam´ılia
corresponde a integral indefinida de f , que e´ representada por∫
f (x) dx .
Em resumo, no´s escrevemos a seguinte expressa˜o∫
f (x) dx = F (x) + c .
Observac¸a˜o
Lembre-se que
∫ b
a
f (x) dx e´ um nu´mero, enquanto que
∫
f (x) dx
e´ uma fam´ılia de func¸o˜es.
Integral Indefinida
Definic¸a˜o
Seja F (x) + c a fam´ılia de antiderivadas de f . Essa fam´ılia
corresponde a integral indefinida de f , que e´ representada por∫
f (x) dx .
Em resumo, no´s escrevemos a seguinte expressa˜o∫
f (x) dx = F (x) + c .
Observac¸a˜o
Lembre-se que
∫ b
a
f (x) dx e´ um nu´mero, enquanto que
∫
f (x) dx
e´ uma fam´ılia de func¸o˜es.
Integral Indefinida
Nota
Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a),
sendo F(x) uma antiderivada de f(x).
Esse teorema nos mostra que para calcular uma integral definida
precisamos determinar uma antiderivada de f . Ou seja, isso
significa que primeiro precisamos calcular uma integral indefinida.
Em algumas situac¸o˜es o ca´lculo da integral indefinida na˜o e´ ta˜o
evidente. Portanto, precisamos estudar te´cnicas que nos permitam
determinar essas integrais.
Integral Indefinida
Propriedades
Sejam f e g func¸o˜es integra´veis em um mesmo intervalo I . Sa˜o
va´lidas as afirmac¸o˜es abaixo.
(i)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx ;
(ii)
∫
kf (x) dx = k
∫
f (x) dx , com k uma constante.
Integral Indefinida
Tabela Ba´sica
Utilizando o conhecimento da tabela ba´sica de antiderivadas
constru´ıda em aula anterior, podemos criar uma tabela ba´sica de
integrais indefinidas.
Func¸a˜o Integral indefinida
xn, com n 6= −1
∫
xn dx =
1
n + 1
xn+1 + c
1
x
∫
1
x
dx = ln |x |+ c
ax , com a > 0 e a 6= 1
∫
ax dx =
1
ln a
ax + c
sen x
∫
sen x dx = − cos x + c
cos x
∫
cos x dx = sen x + c
Integral Indefinida
Tabela Ba´sica Ampliada
Lembrando-se da aula sobre as regras operato´rias das derivadas e
da aula sobre derivada de func¸o˜es inversas, podemos ampliar a
tabela ba´sica de integrais indefinidas.
Func¸a˜o Integral indefinida
sec2 x
∫
sec2 x dx = tg x + c
1√
1− x2
∫
1√
1− x2 dx = arcsen x + c
1
x2 + 1
∫
1
x2 + 1
dx = arctg x + c
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x2 + 4 cos x dx .
Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de
sua tabela ba´sica, temos que:∫
x2 + 4 cos x dx =
∫
x2 dx + 4
∫
cos x dx
=
(
x3
3
+ c1
)
+ 4( sen x + c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + (c1 + 4c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x2 + 4 cos x dx .
Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de
sua tabela ba´sica, temos que:∫
x2 + 4 cos x dx =
∫
x2 dx + 4
∫
cos x dx
=
(
x3
3
+ c1
)
+ 4( sen x + c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + (c1 + 4c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x2 + 4 cos x dx .
Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de
sua tabela ba´sica, temos que:∫
x2 + 4 cos x dx =
∫
x2 dx + 4
∫
cos x dx
=
(
x3
3
+ c1
)
+ 4( sen x + c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + (c1 + 4c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x2 + 4 cos x dx .
Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de
sua tabela ba´sica, temos que:∫
x2 + 4 cos x dx =
∫
x2 dx + 4
∫
cos x dx
=
(
x3
3
+ c1
)
+ 4( sen x + c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + (c1 + 4c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x2 + 4 cos x dx .
Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de
sua tabela ba´sica, temos que:∫
x2 + 4 cos x dx =
∫
x2 dx + 4
∫
cos x dx
=
(
x3
3
+ c1
)
+ 4( sen x + c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + (c1 + 4c2)
=
x3
3
+ 4 sen x + c .
Integral Indefinida
Nota
E´ evidente que muitas func¸o˜es na˜o esta˜o diretamente na tabela
ba´sica de integrais indefinidas.
Quando isso acontece precisamos reescrever a integral de modo a
fazer aparecer as func¸o˜es da tabela ba´sica.
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Considere uma integral indefinida do tipo∫
f (g(x))g ′(x) dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = g(x), podemos escrever que
du
dx = g
′(x). Ou ainda, que du = g ′(x)dx . Dessa maneira, a
integral pode ser reescrita como∫
f (u) du.
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x4 sen x5 dx .
Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo,
podemos escrever
∫
x4 sen x5 dx =
∫
5x4
5
sen x5 dx
=
∫
1
5
sen u du
= −1
5
cos u + c
= −1
5
cos x5 + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x4 sen x5 dx .
Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx .
Desse modo,
podemos escrever
∫
x4 sen x5 dx =
∫
5x4
5
sen x5 dx
=
∫
1
5
sen u du
= −1
5
cos u + c
= −1
5
cos x5 + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x4 sen x5 dx .
Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo,
podemos escrever
∫
x4 sen x5 dx =
∫
5x4
5
sen x5 dx
=
∫
1
5
sen u du
= −1
5
cos u + c
= −1
5
cos x5 + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x4 sen x5 dx .
Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo,
podemos escrever
∫
x4 sen x5 dx =
∫
5x4
5
sen x5 dx
=
∫
1
5
sen u du
= −1
5
cos u + c
= −1
5
cos x5 + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x4 sen x5 dx .
Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo,
podemos escrever
∫
x4 sen x5 dx =
∫
5x4
5
sen x5 dx
=
∫
1
5
sen u du
= −1
5
cos u + c
= −1
5
cos x5 + c .
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Partes
Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
Podemos reescrever essa equac¸a˜o como
f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x).
Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫
f (x)g ′(x) dx =
∫
[f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx ,
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Partes
Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
Podemos reescrever essa equac¸a˜o como
f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x).
Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫
f (x)g ′(x) dx =
∫
[f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx ,
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Partes
Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
Podemos reescrever essa equac¸a˜o como
f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x).
Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o,obtemos∫
f (x)g ′(x) dx =
∫
[f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx ,
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Partes
Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
Podemos reescrever essa equac¸a˜o como
f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x).
Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫
f (x)g ′(x) dx =
∫
[f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx ,
∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Integral Indefinida
Integrac¸a˜o por Partes
Sabemos que∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Fazendo u = f (x) e v = g(x), temos que du = f ′(x)dx e
dv = g ′(x)dx . Podemos enta˜o reescrever a equac¸a˜o anterior como∫
u dv = uv −
∫
v du.
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
xex dx .
Vamos definir:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Usando a integrac¸a˜o por partes,∫
u dv = uv −
∫
v du,
∫
xex dx = xex −
∫
ex dx ,
∫
xex dx = xex − ex + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
xex dx .
Vamos definir:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Usando a integrac¸a˜o por partes,∫
u dv = uv −
∫
v du,
∫
xex dx = xex −
∫
ex dx ,
∫
xex dx = xex − ex + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
xex dx .
Vamos definir:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Usando a integrac¸a˜o por partes,∫
u dv = uv −
∫
v du,
∫
xex dx = xex −
∫
ex dx ,
∫
xex dx = xex − ex + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
xex dx .
Vamos definir:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Usando a integrac¸a˜o por partes,∫
u dv = uv −
∫
v du,
∫
xex dx = xex −
∫
ex dx ,
∫
xex dx = xex − ex + c .
Integral Indefinida
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
xex dx .
Vamos definir:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Usando a integrac¸a˜o por partes,∫
u dv = uv −
∫
v du,
∫
xex dx = xex −
∫
ex dx ,
∫
xex dx = xex − ex + c .

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