Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Ca´lculo Diferencial e Integral I Integral Indefinida Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Integral Indefinida Introduc¸a˜o Em aulas anteriores no´s estudamos o conceito de antiderivada. No´s vimos atrave´s do Teorema Fundamental do Ca´lculo que esse conceito e´ muito importante na determinac¸a˜o de uma integral definida. Nesta aula no´s veremos uma forma de representar a fam´ılia de antiderivadas de uma func¸a˜o, atrave´s do que chamamos de integral indefinida. Ale´m disso, no´s estudaremos duas te´cnicas que nos permitem calcular uma integral indefinida: integrac¸a˜o por substituic¸a˜o; integrac¸a˜o por partes. Integral Indefinida Definic¸a˜o Seja F (x) + c a fam´ılia de antiderivadas de f . Essa fam´ılia corresponde a integral indefinida de f , que e´ representada por∫ f (x) dx . Em resumo, no´s escrevemos a seguinte expressa˜o∫ f (x) dx = F (x) + c . Observac¸a˜o Lembre-se que ∫ b a f (x) dx e´ um nu´mero, enquanto que ∫ f (x) dx e´ uma fam´ılia de func¸o˜es. Integral Indefinida Definic¸a˜o Seja F (x) + c a fam´ılia de antiderivadas de f . Essa fam´ılia corresponde a integral indefinida de f , que e´ representada por∫ f (x) dx . Em resumo, no´s escrevemos a seguinte expressa˜o∫ f (x) dx = F (x) + c . Observac¸a˜o Lembre-se que ∫ b a f (x) dx e´ um nu´mero, enquanto que ∫ f (x) dx e´ uma fam´ılia de func¸o˜es. Integral Indefinida Nota Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que∫ b a f (x) dx = F (b)− F (a), sendo F(x) uma antiderivada de f(x). Esse teorema nos mostra que para calcular uma integral definida precisamos determinar uma antiderivada de f . Ou seja, isso significa que primeiro precisamos calcular uma integral indefinida. Em algumas situac¸o˜es o ca´lculo da integral indefinida na˜o e´ ta˜o evidente. Portanto, precisamos estudar te´cnicas que nos permitam determinar essas integrais. Integral Indefinida Propriedades Sejam f e g func¸o˜es integra´veis em um mesmo intervalo I . Sa˜o va´lidas as afirmac¸o˜es abaixo. (i) ∫ f (x) + g(x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx ; (ii) ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx , com k uma constante. Integral Indefinida Tabela Ba´sica Utilizando o conhecimento da tabela ba´sica de antiderivadas constru´ıda em aula anterior, podemos criar uma tabela ba´sica de integrais indefinidas. Func¸a˜o Integral indefinida xn, com n 6= −1 ∫ xn dx = 1 n + 1 xn+1 + c 1 x ∫ 1 x dx = ln |x |+ c ax , com a > 0 e a 6= 1 ∫ ax dx = 1 ln a ax + c sen x ∫ sen x dx = − cos x + c cos x ∫ cos x dx = sen x + c Integral Indefinida Tabela Ba´sica Ampliada Lembrando-se da aula sobre as regras operato´rias das derivadas e da aula sobre derivada de func¸o˜es inversas, podemos ampliar a tabela ba´sica de integrais indefinidas. Func¸a˜o Integral indefinida sec2 x ∫ sec2 x dx = tg x + c 1√ 1− x2 ∫ 1√ 1− x2 dx = arcsen x + c 1 x2 + 1 ∫ 1 x2 + 1 dx = arctg x + c Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ x2 + 4 cos x dx . Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de sua tabela ba´sica, temos que:∫ x2 + 4 cos x dx = ∫ x2 dx + 4 ∫ cos x dx = ( x3 3 + c1 ) + 4( sen x + c2) = x3 3 + 4 sen x + (c1 + 4c2) = x3 3 + 4 sen x + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ x2 + 4 cos x dx . Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de sua tabela ba´sica, temos que:∫ x2 + 4 cos x dx = ∫ x2 dx + 4 ∫ cos x dx = ( x3 3 + c1 ) + 4( sen x + c2) = x3 3 + 4 sen x + (c1 + 4c2) = x3 3 + 4 sen x + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ x2 + 4 cos x dx . Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de sua tabela ba´sica, temos que:∫ x2 + 4 cos x dx = ∫ x2 dx + 4 ∫ cos x dx = ( x3 3 + c1 ) + 4( sen x + c2) = x3 3 + 4 sen x + (c1 + 4c2) = x3 3 + 4 sen x + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ x2 + 4 cos x dx . Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de sua tabela ba´sica, temos que:∫ x2 + 4 cos x dx = ∫ x2 dx + 4 ∫ cos x dx = ( x3 3 + c1 ) + 4( sen x + c2) = x3 3 + 4 sen x + (c1 + 4c2) = x3 3 + 4 sen x + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ x2 + 4 cos x dx . Aplicando as propriedades da integral indefinida e lembrando-se de sua tabela ba´sica, temos que:∫ x2 + 4 cos x dx = ∫ x2 dx + 4 ∫ cos x dx = ( x3 3 + c1 ) + 4( sen x + c2) = x3 3 + 4 sen x + (c1 + 4c2) = x3 3 + 4 sen x + c . Integral Indefinida Nota E´ evidente que muitas func¸o˜es na˜o esta˜o diretamente na tabela ba´sica de integrais indefinidas. Quando isso acontece precisamos reescrever a integral de modo a fazer aparecer as func¸o˜es da tabela ba´sica. Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o Considere uma integral indefinida do tipo∫ f (g(x))g ′(x) dx . Fazendo a substituic¸a˜o u = g(x), podemos escrever que du dx = g ′(x). Ou ainda, que du = g ′(x)dx . Dessa maneira, a integral pode ser reescrita como∫ f (u) du. Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ x4 sen x5 dx . Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo, podemos escrever ∫ x4 sen x5 dx = ∫ 5x4 5 sen x5 dx = ∫ 1 5 sen u du = −1 5 cos u + c = −1 5 cos x5 + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ x4 sen x5 dx . Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo, podemos escrever ∫ x4 sen x5 dx = ∫ 5x4 5 sen x5 dx = ∫ 1 5 sen u du = −1 5 cos u + c = −1 5 cos x5 + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ x4 sen x5 dx . Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo, podemos escrever ∫ x4 sen x5 dx = ∫ 5x4 5 sen x5 dx = ∫ 1 5 sen u du = −1 5 cos u + c = −1 5 cos x5 + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ x4 sen x5 dx . Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo, podemos escrever ∫ x4 sen x5 dx = ∫ 5x4 5 sen x5 dx = ∫ 1 5 sen u du = −1 5 cos u + c = −1 5 cos x5 + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ x4 sen x5 dx . Vamos definir u = x5. Temos enta˜o que du = 5x4dx . Desse modo, podemos escrever ∫ x4 sen x5 dx = ∫ 5x4 5 sen x5 dx = ∫ 1 5 sen u du = −1 5 cos u + c = −1 5 cos x5 + c . Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Partes Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que [f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x). Podemos reescrever essa equac¸a˜o como f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x). Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫ f (x)g ′(x) dx = ∫ [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx , ∫ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx . Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Partes Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que [f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x). Podemos reescrever essa equac¸a˜o como f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x). Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫ f (x)g ′(x) dx = ∫ [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx , ∫ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx . Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Partes Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que [f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x). Podemos reescrever essa equac¸a˜o como f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x). Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o,obtemos∫ f (x)g ′(x) dx = ∫ [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx , ∫ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx . Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Partes Considere o produto f(x)g(x). Sabemos que [f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x). Podemos reescrever essa equac¸a˜o como f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x). Integrando ambos os membros dessa equac¸a˜o, obtemos∫ f (x)g ′(x) dx = ∫ [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) dx , ∫ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx . Integral Indefinida Integrac¸a˜o por Partes Sabemos que∫ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx . Fazendo u = f (x) e v = g(x), temos que du = f ′(x)dx e dv = g ′(x)dx . Podemos enta˜o reescrever a equac¸a˜o anterior como∫ u dv = uv − ∫ v du. Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ xex dx . Vamos definir: u = x dv = exdx du = dx v = ex Usando a integrac¸a˜o por partes,∫ u dv = uv − ∫ v du, ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx , ∫ xex dx = xex − ex + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ xex dx . Vamos definir: u = x dv = exdx du = dx v = ex Usando a integrac¸a˜o por partes,∫ u dv = uv − ∫ v du, ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx , ∫ xex dx = xex − ex + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ xex dx . Vamos definir: u = x dv = exdx du = dx v = ex Usando a integrac¸a˜o por partes,∫ u dv = uv − ∫ v du, ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx , ∫ xex dx = xex − ex + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ xex dx . Vamos definir: u = x dv = exdx du = dx v = ex Usando a integrac¸a˜o por partes,∫ u dv = uv − ∫ v du, ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx , ∫ xex dx = xex − ex + c . Integral Indefinida Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ xex dx . Vamos definir: u = x dv = exdx du = dx v = ex Usando a integrac¸a˜o por partes,∫ u dv = uv − ∫ v du, ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx , ∫ xex dx = xex − ex + c .
Compartilhar