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Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física Geral – Eletromagnetismo Professor: Rudi Gaelzer Cursos: Engenharias, Química, Matemática Semestre: 2016/1 Primeira Verificação 08 de abril de 2016 Nome: Nota: 1) Na figura abaixo, a partícula 1 possui carga elétrica igual a+1, 0µC e a partícula 2 possui carga igual a−3, 0µC. Ambas são mantidas fixas e separadas a uma distância L = 10, 0 cm ao longo do eixo x. Deseja-se posicionar uma partícula 3, de carga q3 (desconhecida), de tal forma que a força eletrostática resultante sobre a mesma seja nula. Quais devem ser suas coordenadas (x, y) se a sua carga for (a) positiva, ou (b) negativa? 2) Na figura abaixo, as quatro partículas são mantidas fi- xas e possuem cargas q1 = q2 = +5e, q3 = +3e e q4 = −12e. Se d = 5, 0µm, qual é o campo elétrico (magnitude, direção e sentido) resultante no ponto P? 3) (a) O painel (a) da figura abaixo mostra um barra de um material dielétrico com uma carga elétrica +Q dis- tribuída de maneira uniforme ao longo da mesma. A barra forma um semicírculo de raio R e produz um campo elétrico Ebarra no seu centro de curvatura (ponto P ). Quanto vale Ebarra (módulo, direção e sentido)? (b) Se o material da barra for comprimido a um ponto situ- ado a uma distância R do mesmo ponto P , como mostra o painel (b) da figura, por que fator numérico o módulo Ebarra será multiplicado? A direção e sentido do campo elétrico em P são modificados? 4) A figura abaixo mostra um arranjo retangular de 06 cargas elétricas, mantidas fixas em suas posições. Os va- lores das cargas elétricas são múltiplos de q1 = 3, 4 pC e q2 = 6, 0 pC, e o lado menor do retângulo mede a = 39, 0 cm. (a) Sendo V = 0 no infinito, qual é potencial elétrico resul- tante no centro geométrico do retângulo? (b) Qual é o campo elétrico E resultante no centro do re- tângulo? Valor de cada questão: 2,5 pontos. ::::::::::::::::::::::::: RESOLUÇÃO 1) As duas figuras abaixo ilustram diversos posicionamentos possíveis: painel esquerdo: carga positiva; painel direito: carga negativa. O valor da carga não é conhecido e será identificado por q3. Os vetores vermelhos representam as forças repulsivas, enquanto que os vetores azuis representam as forças atrativas. Observa-se claramente nas figuras que somente posicionando-se a carga positiva (negativa) sobre o eixo x que as forças podem ser exatamente opostas. Porém, não entre as cargas 1 e 2, pois neste intervalo as forças sempre se somam. Então, consideraremos somente a situação onde a carga positiva (negativa) é posicionada sobre o eixo x. (a) Se a carga q3 é positiva (painel esquerdo), então o módulo da força repulsiva (vermelha) entre a mesma e a carga 1 é identificado por F1, enquanto que o módulo da força atrativa (azul) entre q3 e a carga 2 é identificado por F2. Estes módulos são: F1 (x) = k q1q3 x2 , F2 (x) = k |q2| q3 (x− L)2 , lembrando que q2 < 0. No ponto x = x0 ambas as forças são exatamente opostas, então a força resultante sobre q3 é F1 (x0)− F2 (x0) = k q1q3 x20 − k |q2| q3 (x0 − L)2 = 0 =⇒ �k q1ZZq3 x20 = �k |q2|ZZq3 (x0 − L)2( x0 − L x0 )2 = |q2| q1 . Lembrando que se desejamos isolar a quantidade a na equação abaixo, a2 = b, se b > 0, existem 2 possibilidades de sinais quando tomamos a raiz quadrada em ambos os lados: a = ± √ b. Portanto, x0 − L x0 = ± √ |q2| q1 =⇒ x0 = L1±√|q2| /q1 . Note que ainda estão mantidas ambas as possibilidades de sinais (±) que surgiram quando tomamos a raiz quadrada em ambos os lados. Como |q2| q1 = 3, 0µC1, 0µC = 3 > 1, então se for escolhido o sinal (+) resulta x0 = L 1 + √ 3 < L, o que indica que a carga q3 deveria ser posicionada entre as cargas 1 e 2. Porém, a análise vetorial das forças sobre q3, realizada a partir da visualização das figuras acima, mostrou que a força total sobre q3 nesta região nunca é nula. Portanto, esta solução não faz sentido físico. Por outro lado, se for escolhido o sinal (−), resulta x0 = L 1−√3 = − L√ 3− 1 = − 10, 0 cm√ 3− 1 =⇒ x0 = −13, 66 cm, y0 = 0. Ou seja, se q3 > 0, então a mesma deve ser posicionada 13, 66 cm à esquerda da carga 1, para que a força total sobre q3 seja nula. Este resultado faz sentido, uma vez que q1 < |q2| e a carga q3 deve portanto estar mais próxima de 1 para que as forças possam se anular. (b) Agora q3 < 0 (Painel direito). Claramente, a solução continua a mesma: x0 = −13, 66 cm. Para verificar esta conclusão, agora a força F 1 é atrativa e F 2 é repulsiva. Os módulos destas forças são: F1 (x) = k q1 |q3| x2 , F2 (x) = k |q2| |q3| (x− L)2 . Fazendo F1 (x0)− F2 (x0) = 0 novamente, chegaremos ao mesmo resultado obtido na letra (a). Note também que o valor de x0 é independente de q3. 2) Considere a figura abaixo, onde os campos elétricos individuais no ponto P foram traçados. Os vetores azuis indicam campos elétricos das cargas positivas enquanto que o vetor vermelho é o campo elétrico da carga negativa. E1 E2 E3 E4 x Realizando a soma vetorial dos campos, claramente os campos E1 e E2 se cancelam, uma vez que q1 = q2 e o ponto P está à mesma distância de ambas. Agora, a soma vetorial entre E3 e E4 terá como resultante um campo elétrico em P cuja direção está ao longo da reta Pq3q4. Orientemos o eixo x ao longo dessa reta, como também está ilustrado na figura. Então, o campo elétrico resultante em P pode ser escrito ET = ET ıˆ, onde ıˆ é o vetor unitário na direção x, sentido positivo. Portanto, ET = E3 +E4 =⇒ ET = −E3 + E4 = −kq3 d2 + k |q4| (2d)2 = k d2 ( |q4| 4 − q3 ) = k d2 ( 12e 4 − 3e ) = 0. Portanto, o campo elétrico em P é nulo. 3) A figura abaixo ilustra os campos resultantes. Ebarra,a Ebarra,b (a) De acordo com a discussão realizada em aula, como o ponto P está no centro de curvatura do arco e como a reta corta o arco exatamente no seu centro, então o campo elétrico resultante da barra está na direção ilustrada pelo vetor azul. Como a carga da barra é positiva, o seu sentido também é o ilustrado. De acordo com o formulário, na situação ilustrada acima o módulo do campo elétrico é dado por Ebarra = 2 kλ R sen ( θ 2 ) , sendo: λ a densidade linear de carga e θ a abertura angular do arco (em radianos). De acordo com o desenho, θ = pi rad (= 180◦) e, portanto, λ = Q piR . Portanto, Ebarra = 2 k R Q piR sen (pi 2 ) =⇒ Ebarra = 2 kQ piR2 . (b) Agora, toda a carga Q é comprimida em um ponto que está à distância R do ponto P . A figura acima mostra que o campo resultante continua na mesma direção e sentido, mas agora o seu módulo é Eb = kQ R2 . Comparando os dois resultados obtidos para o módulo do campo elétrico: Eb Ebarra = �kSSQ/� �>R2 2�kSSQ/pi��>R2 = pi2 =⇒ Eb Ebarra = pi2 ≈ 1, 57. Ou seja, o campo elétrico da partícula de carga Q é cerca de 1,57 vezes mais intenso que o campo elétrico da barra semicircular de carga Q. 4) Na figura abaixo, as linhas tracejadas azuis localizam o centro geométrico do retângulo (C) e as quantidades {b, c} são as distâncias das cargas a C. b b b bc c C As distâncias são: c = a2 = 0, 195m, b = 1 2 √ (2a)2 + a2 =⇒ b = √ 5 2 a = 0, 44m. (a) O potencial elétrico de uma carga puntiforme q a uma distância r da mesma é dado por V = k q r , sendo convencionado que o potencial em r →∞ é nulo. Portanto, o potencial elétrico total no centro do retângulo é VC = � ��k 2q1 b − � �k q1 b − � ��k 3q1 b + � ��k 2q1 b + k 4q2 c + k 4q2 c = 8kq2 c = 16kq2 a VC = 2, 21V. (b) Já o campo elétrico resultante no ponto C é obtido da seguinte maneira: os campos das cargas +2q1 e das cargas +4q1 cancelam-se aos pares. Já os campos das cargas −q1 e −3q1 são opostos; portanto, o módulodo campo resultante será dado pela diferença dos módulos dos campos individuais: EC = |Eq1 − Eq3 | = ∣∣∣∣k |q1|b2 − k 3 |q1|b2 ∣∣∣∣ = 2k |q1|b2 = 85k |q1|a2 . Portanto, EC = 0, 32V/m Direção: ao longo da reta (−q1) (−3q1) Sentido: de C para− 3q1. O vetor vermelho na figura ilustra EC .
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