Cálculo 2

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Suma´rio
Disciplina 3
Unidade 1: Integrais 5
A Integral Definida – A´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ca´lculo de A´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
O Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Sugesto˜es e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Unidade 2: Me´todos de Integrac¸a˜o 37
Mudanc¸a de Varia´vel – Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . 40
Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
O Me´todo das Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Produto de Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . 47
Integrais Envolvendo Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Sugesto˜es e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Unidade 3: Aplicac¸o˜es da Integral 59
Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ca´lculo de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Sugesto˜es e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1
2 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
BOAS VINDAS
Ola´, pessoal, bem-vindos ao nosso curso de Elementos de Ma-
tema´tica 1. Nosso objetivo geral nesse curso e´ revisar algumas noc¸o˜es
da matema´tica do ensino me´dio, concernentes a`s func¸o˜es. A apro-
priac¸a˜o dessas noc¸o˜es e´ indispensa´vel para a compreensa˜o das disci-
plinas que voceˆs va˜o cursar na Licenciatura em Matema´tica.
O curso esta´ subdividido em temas ou unidades tema´ticas, os
quais se encontram listados no suma´rio deste caderno. No in´ıcio do
desenvolvimento de cada tema voceˆs encontrara˜o as expectativas de
aprendizagem relativas a` unidade tema´tica em foco. No final de cada
uma delas, na sec¸a˜o “Respostas e sugesto˜es: avalie seu desempenho”
voceˆs encontrara˜o as respostas ou as sugesto˜es de soluc¸a˜o das ativi-
dades e dos exerc´ıcios propostos; desse modo, podera˜o avaliar suas
pro´prias aprendizagens. Ale´m disso, tambe´m encontrara˜o na sec¸a˜o
“Saiba mais” sugesto˜es de textos e de sites complementares.
Esperamos contar com o seu empenho e seu envolvimento durante
este curso, lendo os textos, tirando du´vidas, fazendo as atividades
propostas, participando dos fo´runs e dos chats.
Lembrem-se: aprender sempre vale a pena.
3
4 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
UNIDADE 1:
Integrais
Disciplina 3
5
6
Integrais
Disciplina 3
Metas da Aula
• Calcular a a´rea de regio˜es planas
• Introduzir o noc¸a˜o de integral definida
• Calcular primitivas de uma func¸a˜o
• Construir novas func¸o˜es via integrais definidas
O ca´lculo integral se originou com problemas de quadratura e cur-
vatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o
valor exato da a´rea de uma regia˜o bidimensional delimitada por uma
ou mais curvas, ou de uma superf´ıcie do espac¸o tridimensional, cuja
fronteira consiste de pelo menos uma curva de classe razoa´vel. Para
um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um
so´lido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superf´ıcies
curvas.
Historicamente, Hipo´crates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou
as primeiras quadraturas quando encontrou a a´rea de certas lu´nulas,
regio˜es que se parecem com a lua pro´xima do seu quarto crescente.
Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia “quadrar o c´ırculo”
(isto e´, encontrar a a´rea de um c´ırculo) com uma sequ¨eˆncia infinita
de pol´ıgonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um
octo´gono, a seguir um hexadecaedro, etc. Seu problema era o “etc.”.
Como a quadratura do c´ırculo de Antiphon requeria um nu´mero in-
finito de pol´ıgonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter
usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com
rigor matema´tico. Mas Antiphon tinha o in´ıcio de uma grande ide´ia
agora chamado de me´todo de exausta˜o. Mais de 2000 anos depois,
creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento deste
me´todo: uma te´cnica de aproximac¸a˜o da a´rea de uma regia˜o com um
nu´mero crescente de pol´ıgonos, com aproximac¸o˜es melhorando a cada
etapa e a a´rea exata sendo obtida depois de um nu´mero infinito destas
etapas. Esta te´cnica foi modificada para atacar cubaturas tambe´m.
Arquimedes (287–212 A.C.), o maior matema´tico da antiguidade,
usou o me´todo de exausta˜o para encontrar a quadratura da para´bola.
Arquimedes aproximou a a´rea com um nu´mero grande de triaˆngulos
constru´ıdos engenhosamente e enta˜o usou o argumento da reduc¸a˜o ao
absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente. Para o c´ırculo,
Arquimedes primeiro mostrou que a a´rea depende da circunfereˆncia.
Isto e´ muito fa´cil de se verificar hoje em dia, uma vez que ambas as
fo´rmulas dependem de pi.
Vejamos um esboc¸o do me´todo da exausta˜o, para os casos da regia˜o
plana envolvida por um c´ırculo de raio r e da regia˜o sob a para´bola
y = x2, acima do intervalo [0, 1].
Para primeiro caso, consideremos um pol´ıgono regular de n lados,
inscrito no c´ırculo, como vemos na figura a seguir. Cada lado ln do
pol´ıgono e´ a base de um triaˆngulo iso´sceles de altura hn. As somas
das a´reas de todos esses triaˆngulos da´ a a´rea An do pol´ıgono, isto e´,
An =
nlnhn
2
=
pnhn
2
,
onde pn = nln e´ o per´ımetro do pol´ıgono. Agora, vamos tomar o
7Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
hnr
ln
limite quando n, o nu´mero de lados do pol´ıgono, tende a +∞. Nessas
condic¸o˜es, a altura hn se aproxima do raio r e o per´ımetro pn se
aproxima de um nu´mero, que e´ exatamente o comprimento do c´ırculo,
que admitiremos conhecido, que vale 2pir. Em outras palavras,
lim
n→+∞
hn = r e lim
n→+∞
pn = 2pir.
Teremos enta˜o
An =
nlnhn
2
=
pnhn
2
,
onde pn = nln e´ o per´ımetro do pol´ıgono. Portanto
lim
n→∞
An =
2pir · r
2
= pir2,
que, claro, e´ a a´rea da regia˜o envolvida pelo c´ırculo, como sabemos.
Para o segundo caso, no lugar de triaˆngulos, como fez Arquimedes,
vamos considerar retaˆngulos convenientemente escolhidos sob a curva
y = f(x) = x2. Indicaremos a regia˜o considerada por B. Agora, para
cada n ∈ N, vamos decompor o intervalo [0, 1] em n subintervalos de
largura iguais a ∆x = 1
n
. Portanto,
[0, 1] =
[
0,
1
n
]
∪
[
1
n
,
2
n
]
∪
[
2
n
,
3
n
]
∪· · ·∪
[
n− 1
n
,
1
n
]
=
n⋃
j=1
[
j − 1
n
,
j
n
]
.
Sobre o j-e´simo intervalo,
[
j − 1
n
, j
n
]
montamos o retaˆngulo Rj de
altura f
(
j − 1
n
)
=
(
j − 1
n
)2
. Logo, a a´rea de Rj e´ igual a
a´rea(Rj) =∆x f
(
j − 1
n
)
=∆x
(
j − 1
n
)2
=
(j − 1)2
n3
.
x
B
y
Somando as a´reas destes retaˆngulos, obtemos uma aproximac¸a˜o para
a a´rea de B que, a` medida que n cresce, torna-se cada vez melhor.
Em outras palavras, se indicamos tal soma por por Sn (a figura 3
mostra S5 e S10), podemos esperar que
lim
n→+∞
Sn = a´rea(B).
8 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3Figura 3: Duas Aproximac¸o˜es para a´rea(B).
S5 = 0 +
1
125
+ 4
125
+ 9
125
+ 18
5
= 6
25
= 0, 24
S10 = 0 +
1
1000
+ 1
250
+ 9
1000
+ 2
125
+ 1
40
+ 9
250
+ 49
1000
+ 8
125
+ 81
1000
= 57
200
= 0, 285...
xx
B3
B3
B4
B4
B5
B3
B4
B5
B5
B10
yy
Mais precisamente,
lim
n→+∞
(a´rea(R1) + a´rea(R2) + · · ·+ a´rea(Rn)) = a´rea(B),
ou,
lim
n→+∞
(
02 + 12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2
n3
)
= a´rea(B). E.1
Como no limite acima aparece uma soma com o nu´mero de par-
celas variando com n, na˜o podemos calcula´-lo como soma de limi-
tes (concorda?). Felizmente, dispomos de uma bela fo´rmula (veja o
lema 1.12 ) que permitira´ contornar esta dificuldade. Ei-la:
Fato 1.1m ∈ N =⇒ 12 + 22 + · · ·+m2 = m(m+ 1)(2m+ 1)
6
.
De posse desta fo´rmula, com m = n− 1, E.1 fica assim:
a´rea(B) = lim
n→+∞
(n− 1)n(2n− 1)
6n3
=
1
6
lim
n→+∞
(
1− 1
n
)(
2− 1
n
)
=
1
3
.
O que significa este 1/3? Imagine que estamos querendo pintar a
regia˜oB. Qual a quantidade de tinta? A resposta e´ simples: usar´ıamos
1/3 da quantidade de tinta que seria usada para pintar um quadrado
de aresta 1. Por esta raza˜o, escreveremos:
a´rea(B) =
1
3
u.a,
onde u.a significa unidades de a´rea.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.1
Considere B com acima. Observe que as alturas dos retaˆngulos
Bj foram tomadas calculando f(x) = x
2 nos extremos esquerdos
dos intervalos [xj−1, xj ], xj = jn , para 1 ≤ j ≤ n. Proceda de
forma similar, so´ que tomando as alturas nos extremos direitos
dos intervalos.
(a) Verifique que a altura de Bj e´ f(xj) = x
2
j =
(
j
n
)2
.
(b) A soma das a´reas e´
12 + 22 + · · ·+ n2
n3
.
(c) Deduza, outra vez, que a´rea(B) = 1
3
u.a.
9Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
A Integral Definida – A´reas
A partir das ideias lanc¸adas nos exemplos acima, vamos agora
introduzir a noc¸a˜o de integral de Riemann ou integral definida de uma
func¸a˜o real em um intervalo fechado [a, b]. Iniciamos com a noc¸a˜o de
partic¸a˜o em [a, b].
Dado um intervalo fechado [a, b], uma partic¸a˜o de [a, b] e´ um sub-
conjunto da forma
P = {x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b},
onde n e´ um inteiro positivo. Escrevendo
∆xi = xi − xi−1, i = 1, 2, . . . , n,
definimos a malha (ou norma) de P como sendo o nu´mero real
|P| = max{∆xi, i = 1, 2, . . . , n},
isto e´, |P| e´ a largura do maior intervalo da partic¸a˜o P. Portanto,
podemos escrever
∆xi ≤ |P|, ∀i = 1, 2, . . . , n. E.2
Sejam f : [a, b] −→ R e P uma partic¸a˜o de [a, b] como acima. Es-
colhendo arbitrariamente um ponto ci em cada intervalo [xi−1, xi],
1 ≤ i ≤ n, a soma de Riemann de f e´ definida por
S(f,P, {ci}) = f(c1)∆x1+f(c2)∆x2+· · ·+f(cn)∆xn =
n∑
i=1
f(ci)∆xi,
que, claro, depende de f , P e das escolhas que fizemos. A figura 4
da´ uma boa interpretac¸a˜o geome´trica para as somas de Riemann, pelo
menos no caso que f e´ na˜o-negativa: S(f,P, {ci}) e´ a soma das a´reas
dos retaˆngulos Bi de base ∆xi e altura f(ci), 1 ≤ i ≤ n. Note que
quando a partic¸a˜o P tem malha bastante pequena, S(f,P, {ci}) da´
uma razoa´vel
Figura 4
∆xi
x2x1 xn = bxixi−1 xn−1x0 = a
x
c1 c2 ci cn
BnBi
B1
B2
f(cn)
f(ci)
f(c1)
f(c2)
y = f(x)
y
aproximac¸a˜o para a a´rea da regia˜o situada sob a curva y = f(x), e
acima do intervalo [a, b].
Agora, fazemos o limite destas somas, quando a malha de P tende
a zero, isto e´, consideramos P com intervalos cada vez mais estreitos,
e obtemos
lim
|P|→0
S(f,P, {ci}) = lim|P|→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi. E.3
A princ´ıpio este limite (quando existe) deve depender da particular
famı´lia de partic¸o˜es com malha tendendo a zero, e das escolhas feitas
em cada uma de suas partic¸o˜es. Entretanto, para algumas func¸o˜es, as
integra´veis, isto na˜o ocorre: o limite existe e independe das partic¸o˜es,
10 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
com malha tendendo a zero, e, tambe´m, das escolhas. Neste caso, o
limite em E.3 e´ chamado integral de Riemann, ou integral definida,
ou, simplesmente, integral de f em [a, b]. A integral de f em [a, b] e´
indicada por ∫ b
a
f(x) dx .
Portanto,∫ b
a
f(x) dx = lim
|P|→0
S(f,P, {ci}) = lim|P|→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi. E.4
Observac¸a˜o 1.2 Se a varia´vel independente de f e´ indicada por ou-
tra letra, digamos t, a integral de f em [a, b] fica∫ b
a
f(t) dt.
Observac¸a˜o 1.3 A integral no intervalo [a, b] costuma ser lida como
integral de f de a ate´ b e esses nu´meros a e b sa˜o chamados os limites
de integrac¸a˜o (inferior e superior, respectivamente); a func¸a˜o f e´ cha-
mada integrando. O s´ımbolo
∫
de integral e´ devido a Leibniz: ele e´
uma antiga grafia da letra S da palavra soma, usado para lembrar que
estamos lidando com o limite de uma sequ¨eˆncia de somas: f(x) dx se-
ria, na forma de ver de Leibniz, a a´rea de um “retaˆngulo infinitesimal”
de base “infinitamente pequena” dx e altura f(x); a integral de f , de
a ate´ b, seria, enta˜o, a soma de todos esses retaˆngulos infinitesimais.
Observac¸a˜o 1.4 Neste ponto o leitor deve observar que no estudo
da regia˜o sob y = x2, que fizemos, a func¸a˜o f e´ f(x) = x2, a famı´lia
de partic¸o˜es e´
Pn =
{
x0 = 0 < x1 =
1
n
< x2 =
2
n
< · · · < xn−1 = n− 1
n
< xn = b
}
e as escolhas sa˜o ci = xi−1, 1 ≤ i ≤ n, que sa˜o os extremos esquerdos
dos intervalos de Pn.
A seguir abordaremos alguns exemplos (poss´ıveis), usando apenas
a definic¸a˜o.
Exemplo 1.5 Se f e´ constante, digamos f(x) = k, x ∈ [a, b], enta˜o a
soma de Riemann S(f,P, {ci}) fica assim:
S(f,P, {ci}) =
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
n∑
i=1
f(ci)∆xi
=k
n∑
i=1
∆xi = k(b− a),
que independe de P e de {ci}. Logo,
lim
|P|→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi = k(b− a),
Figura 5: Curva a´rea(B) =
∫ b
a
k dx = k(b− a)
xba
B
k
y
11Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
para qualquer famı´lia de partic¸o˜es com malha tendendo a zero, e
para toda escolha {ci}. Isto mostra que as func¸o˜es constantes sa˜o
integra´veis e que ∫ b
a
k dx = k(b− a).
Exemplo 1.6 Vejamos um exemplo que na˜o admite integral. A fun-
c¸a˜o que usaremos e´ um pouco diferente daquelas que estamos acostu-
mados, mas serve para auxiliar na compreensa˜o do conceito. Ela e´ a
func¸a˜o de Dirichlet.
f : [a, b] −−−−−→ R
x −−−−−→ f(x) =
{
1, se x na˜o e´ racional
0, se x e´ racional.
Por exemplo, f(
√
2) = 1 e f(1/2) = 0. Agora, fixaremos uma famı´lia
de partic¸o˜es com malha tendendo a zero, e estudaremos o comporta-
mento das somas de Riemann, considerando dois tipos de escolhas: (i)
ci ∈ Q; (ii) c˜i /∈ Q. Para o primeiro tipo de escolha, temos que
S(f,P, {ci}) =
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
n∑
i=1
∆xi = (b− a).
Ja´ para o segundo tipo de escolha, S(f,P, {c˜i}) = 0. Logo,
lim
|P|→0
S(f,P, {ci}) = (b− a) e lim|P|→0S(f,P, {c˜i}) = 0.
Segue-se, portanto, que f na˜o tem integral, pois o limite de suas somas
de Riemann depende das escolhas que fazemos em seus intervalos.
Exemplo 1.7 Agora, vamos modificar um pouco uma func¸a˜o cons-
tante, tornando-a descont´ınua, e explorar a existeˆncia de sua integral.
Consideremos, portanto, x ∈ [0, 2], definamos, f(1) = 2 e, para x 6= 1,
fac¸amos f(x) = 1. E´ claro que f na˜o e´ cont´ınua em x = 1. Agora,
vamos estudar as poss´ıveis somas de Riemann para f . Fixada uma
partic¸a˜o P de [0, 2],
x1 = 0 < x2 < x3 < · · · < xi < · · · < xn = 2,
seja [xk−1, xk] o intervalo de P que conte´m 1. Agora, quando fazemos
as escolhas {ci}, pode ser que ck = 1 e pode ser que ck 6= 1, como
vemos na figura 6 . No primeiro caso, e´ claro que
S(f,P, {ci}) = 2,
Figura 6-(a): Caso ck 6= 1 Figura 6-(b): Caso ck = 1
1 2xk−1ck xxk xk−1 xkck x
11
2 2
yy
pois tudo se passa como se f fosse constante e igual a 1. No segundo
caso,
S(f,P, {ci}) =
n∑
i=1
f(ci)∆xi = ∆x1 + ∆x2 + · · ·+ 2∆xk + · · ·+ ∆xn
=(∆x1 + ∆x2 + · · ·+ ∆xk + · · ·+ ∆xn) + ∆xk
=2 + ∆xk ≤ 2 + |P|,
12 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
de acordo com desigualdade E.2 . Logo, em qualquer caso,
2 ≤ S(f,P, {ci}) ≤ 2 + |P|
e, portanto,
lim
|P|→0
S(f,P, {ci}) = 2,
o que mostra que ∫ 1
0
f(x) dx = 2.
Assim, mesmo sendo descont´ınua, f e´ integra´vel. Diante da noc¸a˜o de
a´rea que temos e de
∫ 1
0
f(x) dx = 2, o que pensar da figura 6 ? Bem,
o que se passa e´ que a` medida que a partic¸a˜o vai ficando bem estreita
(|P| → 0), aquele retaˆngulomais alto, tambe´m, vai ficando estreito e,
portanto, sua a´rea, assim como a dos outros retaˆngulos, vai ficando
pequena, na˜o interferindo no resultado final, que e´ dois.
O leitor deve estar convencido que o ca´lculo de integrais, a partir
da definic¸a˜o, e´ uma tarefa bastante dif´ıcil. Para sentir isto, tente
calcular limites de somas de Riemann para partic¸o˜es arbitra´rias com a
func¸a˜o f(x) = x2. Entretanto, temos a nosso favor um belo teorema,
cuja prova na˜o sera´ dada aqui, que reduz o ca´lculo da integral ao
ca´lculo do limite de somas de Riemann induzidas por uma particular
famı´lia de partic¸o˜es, com uma particular escolha. O seu enunciado e´
o seguinte.
Teorema 1.8 Se f : [a, b] −→ R e´ cont´ınua, enta˜o f e´ integra´vel.
Observac¸a˜o 1.9 Na verdade, mesmo que a func¸a˜o f : [a, b] −→ R,
limitada, seja descont´ınua em um nu´mero finito de pontos, o teorema
ainda funciona: f e´ integra´vel.
Corola´rio 1.10 Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
(b− a)
n
n∑
i=1
f
(
a+ i
b− a
n
)
.
Demonstrac¸a˜o
Do teorema 1.8 , vem que f e´ integra´vel. Logo,∫ b
a
f(x) dx = lim
|P|→0
S(f,P, {ci}),
limite que existe e independe da famı´lia de partic¸o˜es P e da esco-
lha {ci}. Portanto, para obter esta integral, podemos considerar
uma particular famı´lia junto com uma particular escolha. Neste
momento, consideramos a famı´lia de partic¸o˜es homogeˆneas, Pn,
que e´ definida assim:
Pn = {x0 = a < x1 = a+ ∆x < x2 = a+ 2∆x < · · · < xn = b},
onde
∆x =
b− a
n
.
Portanto, Pn decompo˜e [a, b] em n intervalos de comprimento
∆x, o que faz com que |Pn| seja igual a ∆x e que tende a zero,
quando n tende a +∞. Agora fazemos a seguinte escolha: em
cada intervalo
[xi−1, xi] =
[
a+ (i− 1) b− a
n
, a+ i
b− a
n
]
escolhemos ci como o seu extremidade direita, a saber ci = a +
i
b− a
n
. Feito isto, esta´ pronto o corola´rio.
13Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Exemplo 1.11 Seja f(x) = x2, x ∈ R. Como f e´ cont´ınua, vem f
e´ integra´vel em qualquer intervalo [a, b]. Calcularemos, via corola´-
rio 1.10 , a integral definida de f em [0, 1]. Neste caso, a partic¸a˜o Pn
e´ dada por
Pn =
{
xi ∈ [0, 1]; xi = i
n
}
,
onde 1 ≤ i ≤ n, e a escolha ci = xi ∈ [xi−i, xi], isto e´, xi = i
n
, que e´
a extremidade direita de [xi−i, xi].
S(f,Pn, {ci}) = 1
n
n∑
i=1
x2i =
1
n2
n∑
i=1
i2
=
1
n2
(1 + 22 + 32 + · · ·+ n2)
=
1
n3
n (n+ 1) (2n+ 1)
6
,
de acordo com (ii) do lema 1.12 que faremos a seguir (ou o fato 1.1 )
(Veja o exerc´ıcio 1-1 .) Portanto,∫ 1
0
x2 dx = lim
n→+∞
1
n3
n (n+ 1) (2n+ 1)
3
=
1
3
.
Conve´m observar que este resultado coincide com aquele que obtive-
mos na pa´gina 9 .
O lema a seguir conte´m algumas identidades nota´veis, e que sera˜o
utilizadas nos exemplos e exerc´ıcios.
Lema 1.12 Dado n ∈ N, valem as seguintes identidades:
(i)
n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
.
(ii)
n∑
i=1
i2 = 1 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n (n+ 1) (2n+ 1)
6
.
(iii)
n∑
i=1
i3 = 1 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
(
n(n+ 1)
2
)2
.
Demonstrac¸a˜o
As provas destas identidades podem ser feitas por induc¸a˜o
sobre n, e podem ser encontradas nos textos elementares de
A´lgebra. Daremos aqui uma prova direta para (ii). O leitor pode
seguir a mesma linha de ide´ias e elaborar uma prova ana´loga
para (iii). Note que (i) e´ a soma de uma progressa˜o aritme´tica,
sendo, portanto, de deduc¸a˜o simples. Vejamos (ii). Temos que
13 =1
23 =(1 + 1)3 = 13 + 3 · 12 · 1 + 3 · 1 · 12 + 13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n3 =((n− 1) + 1)3 = (n− 1)3 + 3 · (n− 1)2 · 1 + 3 · (n− 1) · 12 + 13
(n+ 1)3 =n3 + 3 · n2 · 1 + 3 · n · 12 + 13.
Somando a coluna da esquerda e a da direita, obtemos
n+1∑
i=1
i3 =
n∑
i=1
i3 + 3
n∑
i=1
i2 + 3
n∑
i=1
i+ (n+ 1).
14 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Logo,
(n+ 1)3 = 3
n∑
i=1
n2 + 3
n(n+ 1)
2
+ (n+ 1).
Donde,
n∑
i=1
n2 =
1
3
(
(n+ 1)3 − 3n(n+ 1)
2
− (n+ 1)
)
=
n (n+ 1) (2n+ 1)
6
,
como quer´ıamos.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.2
Verifique que
∫ 1
0
x3 dx =
1
4
.
Exemplo 1.13 Vamos calcular
∫ b
a
x2 dx. De acordo com o corola´-
rio 1.10 , temos que
∫ b
a
x
2
dx = lim
n→∞
(b− a)
n
n∑
i=1
(
a+ i
b− a
n
)2
= lim
n→∞
(b− a)
n
n∑
i=1
(
i
2
(
a2
n2
− 2 a b
n2
+
b2
n2
)
+
+i
(
−2 a2
n
+
2 a b
n
)
+ a
2
)
= lim
n→∞
(b− a)
n
((
a2
n2
− 2 a b
n2
+
b2
n2
)
n∑
i=1
i
2
+
+
(
2 a3
n2
− 4 a
2 b
n2
+
2 a b2
n2
)
n∑
i=1
i+ na
2
)
=(b− a) lim
n→∞
a2 − 2 a b+ b2 − 3 a2 n+ 3 b2 n+ 2 a2 n2 + 2 a b n2 + 2 b2 n2
6n2
=(b− a)
(
a2 + a b+ b2
3
)
=
b3 − a3
3
.
Em resumo, dados a < b,∫ b
a
x2 dx =
b3 − a3
3
. E.5
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.3
Verifique que
∫ b
a
x3 dx =
b4 − a4
4
.
Ate´ aqui, vimos como calcular certas integrais, usando uma famı´lia
particularmente simples de partic¸o˜es (as homogeˆneas) e particulares
escolhas, as extremidades direitas dos intervalos das partic¸o˜es. Isto foi
poss´ıvel, porque sab´ıamos que a func¸a˜o dada tinha integral. Portanto,
quando f e´ integra´vel, sempre que conhecemos as somas de Riemann
de f ao longo de uma particular famı´lia de partic¸o˜es, com norma
15Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
tendendo a zero, obtemos sua integral. Esta e´ a ideia essencial da
prova que apresentaremos do famoso teorema fundamental do Ca´lculo,
o qual estabelece a ligac¸a˜o nota´vel entre as operac¸o˜es de derivac¸a˜o
e integrac¸a˜o e, por isso mesmo, e´ a pec¸a chave de todo o Ca´lculo
Diferencial e Integral.
Teorema 1.14 [Teorema Fundamental do Ca´lculo] Se f e´ uma
func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b], F , tambe´m definida em [a, b], e´
deriva´vel no intervalo aberto (a, b) e
dF
dx
(x) = F ′(x) = f(x),
para todo x ∈ (a, b), enta˜o∫ b
a
f(x) = F (b)− F (a). E.6
Demonstrac¸a˜o
A continuidade de f garante a existeˆncia da integral. Agora,
vamos achar, para cada partic¸a˜o,
P = {x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b}
dada, uma particular escolha, determinada a partir do teorema do
valor me´dio (veja o teorema 4.3 do curso de Ca´lculo 1) aplicado
a` func¸a˜o F em cada intervalo da partic¸a˜o. Temos que
F (x1)− F (a) =F ′(c1)(x1 − a) = f(c1)(x1 − a), a < c1 < x1,
F (x1)− F (a) =F ′(c2)(x2 − x1) = f(c2)(x2 − x1), x1 < c2 < x2,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
F (xi)− F (xi−1) =F ′(ci)(xi − xi−1) = f(ci)(xi − xi−1), xi−1 < ci < xi,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
F (b)− F (xn−1) =F ′(cn)(xn − xn−1) = f(cn)(xn − xn−1), xn−1 < ci < xn.
Somando os elementos das colunas da esquerda e da direita, vem
que
F (b)−F (a) = f(c1)(x1−a)+f(c2)(x2−x1)+· · ·+f(cn)(xn−xn−1),
isto e´,
S(f,P, {ci}) = F (b)− F (a),
e isto independe de famı´lia de partic¸o˜es tomadas. Em particular,∫ b
a
f(x) dx = lim
|P|→0
S(f,P, {ci}) = F (b)− F (a).
Agora, temos uma ferramenta poderosa para o ca´lculo de integrais,
limitada, claro, pelo nosso poder de resolver F ′ = f , para uma dada
f . Devido a sua importaˆncia, uma tal soluc¸a˜o F recebe um nome
especial.
Definic¸a˜o 1.15 Dizemos que uma func¸a˜o F e´ primitiva de f se
dF
dx
= F ′ = f.
16 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Exemplo 1.16
(i) x
3
3
e´ uma primitiva de x2, pois
d
(
x3
3
)
dx
= x2.
(ii) x3 e´ uma primitiva de 3x2, pois dx
dx
3
= 3x2.
(iii) senx e´ uma primitiva do cosx, pois d sen
dx
x = cosx.
(iv) cosx e´ uma primitiva do − senx, pois d cos
dxx = − senx.
(v)
√
x e´ uma primitiva de 1
2
√
x
, pois d
√
x
dx
= 1
2
√
x
.
(vi) (4x−7)
3
12
e´ uma primitiva de (4x− 7)2, pois
d
(
(4x−7)3
12
)
dx
= (4x−
7)2.
A pro´xima parte deste curso, intitulada Me´todos de Integrac¸a˜o,
abordara´, principalmente, me´todos para obtenc¸a˜o de primitivas de
func¸o˜es elementares. Por uma func¸a˜o elementar, entendemos os po-
linoˆmios as frac¸o˜es destes, as func¸o˜es trigonome´tricas... As func¸o˜es
conhecidas do nosso dia-a-dia.
Vejamos, agora, o ca´lculo de algumas integrais, via o teorema fun-
damental do Ca´lculo.
Exemplo 1.17 Para calcular
∫ b
a
x2 dx, a < b, precisamos de uma
primitiva de f(x) = x2. E´ claro que F (x) = x3/3 resolve o problema.
Portanto, ∫ b
a
x2 dx = F (b)− F (a) = b
3
3
− a
3
3
,
com ja´ hav´ıamos obtido no exexmplo 1.13 . Em particular, fazendo
a = 0 e b = 1, vem que∫ 1
0
x2 dx = F (1)− F (0) = 1
3
.
Ainda com a atenc¸a˜o voltada para f(x) = x2, observe que
G(x) =
x3
3
+ C,
onde C ∈ R e´ uma constante qualquer, tambe´m e´ primitiva de f . O
que aconteceria se usa´ssemos G no lugar de F acima? Vejamos: pelo
teorema 1.14 , devemos ter
∫ b
a
x2 dx = G(b)−G(a) =
(
b3
3
+ C
)
−
(
a3
3
+ C
)
=
b3
3
+ C − a
3
3
− C
=
b3
3
− a
3
3
.
Portanto, usar outra primitiva na˜o muda nada. Claro que isto devia
ser esperado, pois a diferenc¸a F (b)− F (a) e´ a integral de f em [a, b],
que e´ um nu´mero real bem definido. Mais uma pequena questa˜o:
existiria um outro tipo de primitiva para x2 que na˜o aquela G? A
resposta e´ na˜o, e a proposic¸a˜o a seguir estabelece este fato, de uma
vez por todas.
Proposic¸a˜o 1.18 Se F e G sa˜o duas primitivas de f : [a, b] −→ R,
enta˜o existe uma constante C tal que G(x) = F (x) + C.
17Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Demonstrac¸a˜o
De fato, temos que
G′(x) = F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ [a, b]. Logo,
(G(x)− F (x))′ = G′(x)− F ′(x) = f(x)− f(x) = 0.
Do corola´rio 4.7 , do curso de Ca´lculo 1, obtemos que a diferenc¸a
G(x)− F (x) e´ constante, digamos C. Portanto,
G(x) = F (x) + C,
o que completa a demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 1.19 Dada uma func¸a˜o f , e uma primitiva F , a dife-
renc¸a F (b) − F (a), no teorema fundamental do Ca´lculo, e´ indicada
em muito textos por F (x)
∣∣∣∣∣
b
a
. Portanto, o citado teorema aparece,
tambe´m, sob a forma ∫ b
a
f(x) dx = F (x)
∣∣∣∣∣
b
a
.
Agora, diante da proposic¸a˜o 1.18 , as outras primitivas de F sa˜o da
forma
G(x) = F (x) + C,
C constante. Vamos escrever este fato assim∫
f(x) dx = F (x) + C,
o que leremos a integral indefinida de f e´ F (x) + C. Observe que
neste contexto, o s´ımbolo
∫
e´ usado como uma espe´cie de “inversa˜o”
da derivada. Por isto, muitas vezes, ele e´ chamado de anti-derivada.
Exemplo 1.20 Agora, o exemplo 1.16 pode ser reescrito assim:
(i)
∫
x2 dx =
x3
3
+ C.
(ii)
∫
3x2 dx = x3 + C.
(iii)
∫
cos dx = senx+ C.
(iv)
∫
sen dx = − cosx+ C.
(v)
∫
1
2
√
x
dx =
√
x+ C.
(vi)
∫
(4x− 7)2 dx = (4x− 7)
3
12
+ C.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.4
Verifique, usando o teorema fundamental do Ca´lculo, que∫ 1
0
x3 dx =
1
4
.
18 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Ca´lculo de A´reas
Vamos estabelecer, inicialmente, algumas propriedades da inte-
gral, que, embora simples, sa˜o muito importantes.
Proposic¸a˜o 1.21
(i) Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis no intervalo [a, b], enta˜o o mesmo
e´ verdade para f + g e vale∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx .
(ii) Se f e´ integra´vel no intervalo [a, b] e c e´ uma constante, enta˜o
o mesmo e´ verdade para cf e vale∫ b
a
cf(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx .
(iii) Se f e´ integra´vel nos intervalos [a, c] e [c, b], enta˜o ela e´ integra´vel
em [a, b] e vale∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx .
Todas essas propriedades sa˜o de fa´cil demonstrac¸a˜o, a partir da
definic¸a˜o de integral. As duas primeiras constituem a chamada pro-
priedade de linearidade da integral, e a terceira e´ a propriedade de
aditividade da integral.
Uma vez estabelecida a aditividade da integral, podemos recon-
siderar a interpretac¸a˜o da integral como a´rea. Se f for estritamente
positiva, enta˜o, como ja´ vimos, a integral de f em [a, b] e´ usada para
definir a a´rea da figura delimitada pelo gra´fico de f , o eixo-x e as retas
x = a e x = b. Numa situac¸a˜o mais geral, f pode ser positiva num
intervalo [a, c] e negativa noutro intervalo [c, b]. Vamos escrever∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx,
separando a integral em duas partes. A primeira destas partes, a
integral de f no intervalo [a, c], onde a func¸a˜o e´ positiva, representa
a a´rea indicada na figura 7 com um sinal +. A segunda integral, no
intervalo [c, b], onde f e´ negativa, e´ um nu´mero negativo pela pro´pria
definic¸a˜o, ja´ que ela e´ limite de somas de Riemann, e estas somas levam
em considerac¸a˜o valores que a func¸a˜o assume (nas escolhas). Tambe´m
neste caso a integral representa a a´rea da regia˜o compreendida entre
o gra´fico de f e o eixo-x, so´ que afetada por um sinal negativo. Esta
a´rea esta´ demarcada na figura 7 com um sinal −.
Figura 7
−
a c x
b
+
y
Destas considerac¸o˜es e´ fa´cil ver, em geral, que a integral de f num
intervalo [a, b] representa a soma das a´reas da figura delimitada pelo
gra´fico de f , o eixo-x e as retas x = a e x = b, sendo que essa a´rea
e´ computada negativamente nos trechos em que f e´ negativa. Assim,
quando tivermos ∫ b
a
f(x) = 0,
19Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
se a func¸a˜o na˜o e´ a func¸a˜o identicamente nula, devemos ver a´ı que as
regio˜es situadas sob e acima do eixo-x, entre x = a e x = b, teˆm a´reas
iguais.
Exemplo 1.22 Vamos calcular a a´rea da regia˜o B delimitada pela
curva y = cosx e as retas x = pi/4 e x = 3pi/4. Grosseiramente,
somos levados a calcular∫ 3pi
4
pi
4
cosx dx = senx
∣∣∣∣∣
3pi
4
pi
4
= sen
(
3pi
4
)
− sen
(pi
4
)
=
√
2
2
−
√
2
2
= 0.
−
x
+
y
Portanto, para calcular a a´rea pedida devemos ser um pouco mais
cuidadosos e fazer
a´rea(B) =
∫ pi
2
pi
4
cosx dx−
∫ 3pi
4
pi
2
cosx dx
=2
∫ pi
2
pi
4
cosx dx = 2 senx
∣∣∣∣∣
pi
2
pi
4
=2
(
1−
√
2
2
)
= 2−
√
2.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.5
Considere f(x) = x+ 1 e B a regia˜o delimitada por seu gra´fico e
as retas x = 0 e x = 1.
(a) Calcule
∫ 1
−1
f(x) dx.
(b) Esboce B e calcule sua a´rea.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.6
Considere f(x) = x3 e B a regia˜o delimitada por seu gra´fico e as
retas x = ±1.
(a) Calcule
∫ 1
−1
f(x) dx.
(b) Esboce B e calcule sua a´rea.
20 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Exemplo 1.23 Vamos calcular a a´rea da regia˜o delimitada pelas cur-
vas dadas por
y = f1 (x) = x
2 e y = f2 (x) = 2x.
Fazendo o gra´fico destas curvas obtemos a regia˜o de interesse, que esta´
situada no primeiro quadrante.
21 x−1
1
4
y = x2
y = 2xy
Observe agora que estas curvas se interceptam na origem (0, 0) e
no ponto (2, 4), pois fazendo f1 (x) = f2 (x) obtemos x
2 = 2x, ou seja,
x2 − 2x = 0 que implica x (x− 2) = 0. Portanto, x = 0 ou x = 2 e
para estes valores de x temos y = 0 ou y = 4. Note agora que quando
x varia de 0 ate´ 2 a curva y = 2x esta´ sempre acima da curva y = x2.
Portanto, a a´rea de interesse e´ dada por
A =
∫ 2
0
(
2x− x2) dx = (x2 − 1
3
x3
) ∣∣∣∣∣
2
0
= 4− 8
3
=
4
3
u.a.
Exerc´ıciosde Aprendizagem 1.7
Calcule as seguintes a´reas.
(a) A a´rea delimitada pelas curvas y = cosx, y = senx, x = 0
e x = pi
2
.
(b) A a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = x2 e y =
3− 2x.
(c) A a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas x = 0, y = −2x
3
e
y = x− 5.
O Logaritmo Natural
Dado n ∈ Z, n 6= −1, considere a func¸a˜o
F (x) =
xn+1
n+ 1
, x ∈ R.
Observe que F na˜o esta´ bem definida se n = −1. E´ claro que F e´
uma primitiva de f(x) = xn. Assim,∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ C
e, dados a < b,∫ b
a
xn dx = F (b)− F (a) = b
n+1
n+ 1
− a
n+1
n+ 1
=
bn+1 − an+1
n+ 1
.
21Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
E para n = −1, como ficamos? Isto e´, o que seria∫
x−1 dx =
∫
1
x
dx?
Em outras palavras, f(x) = x−1 = 1
x
, x 6= 0, tem primitiva? A
resposta e´ afirmativa e tal primitiva constitui uma das mais belas
func¸o˜es do Ca´lculo, a saber o logaritmo natural ou neperiano 1 , que
1 John Napier (leˆ-se e escreve-se, em
geral, Neper) (1550-1617) introduziu o
ca´lculo logar´ıtmico em 1614. e´ indicado por ln, ou log. Esta u´ltima e´ a notac¸a˜o que usaremos. A
func¸a˜o logar´ıtmica log se caracteriza pelas seguintes propriedades:
(i) seu domı´nio e´ o intervalo (0,+∞).
(ii) log 1 = 0.
(iii) log e´ deriva´vel e sua derivada em x ∈ (0,+∞) vale 1
x
, isto e´,
d log x
dx
=
1
x
.
Portanto, para x > 0,∫
x−1 dx =
∫
1
x
dx = log x+ C.
Algumas propriedades nota´veis da func¸a˜o log decorrem das pro-
priedades acima. A proposic¸a˜o a seguir estabelece algumas delas.
Proposic¸a˜o 1.24 A func¸a˜o log tem as seguintes propriedades.
(i) log e´ estritamente crescente.
(ii) log tem concavidade voltada para baixo.
(iii) Dados a, b > 0, log(ab) = log a+ log b.
(iv) Dado a > 0, log 1
a
= − log a.
(v) Dados a, b > 0, log a
b
= log a− log b.
(vi) Dados a > 0 e n ∈ N, log an = n log a.
(vii) limx→+∞ log x = +∞.
(viii) limx→0+ log x = −∞.
(ix) A curva y = log x e´ dada abaixo.
Figura 10: y = log x, x > 0
1
x
y
22 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Demonstrac¸a˜o
De log′(x) = 1
x
., vem que log e´ estritamente crescente. De
log′′(x) = − 1
x2
< 0, vem que a concavidade de y = log x esta´
voltada para baixo (veja Ca´lculo 1, proposic¸a˜o 4.15 -(ii)). Para
(iii), consideremos
f(x) = log(xb)− log x− log b,
onde x > 0 varia e b esta´ fixado. Temos que
f ′(x) = b log′(xb)− log′ x = b 1
bx
− 1
x
= 0,
(Note que usamos a regra da cadeia quando derivamos log(xb).)
Logo, f deve ser constante. Como
f(1) = log b− log 1− log b = 0,
devemos ter f(x) =, sempre. Portanto,
f(x) = log(xb)− log x− log b = 0,
donde vem que
log(xb) = log x+ log b.
Agora e´ so´ fazer x = a. De
0 = log 1 = log a
1
a
= log a+ log
1
a
obtemos (iv). As demais propriedades sera˜o deixadas como
exerc´ıcio para o leitor. Observamos apenas que a proprie-
dade (vii) vem do fato que
log 2n = n log 2
junto com os fatos que log 2 > log 1 = 0 e que 2n tende a +∞
quando n tende para +∞.
Observac¸a˜o 1.25 O leitor que ja´ teve contato com logaritmos em
cursos elementares pode estar se perguntando que logaritmo e´ este
que acabamos de introduzir. Deve estar pensando: os logaritmos que
conhec¸o tem uma base, digamos a e o logaritmo de x, nesta base,
indicado por loga(x) e´ a poteˆncia a qual deve-se elevar a base a para
obter-se o nu´mero real x: aloga(x) = x. Por exemplo, log10 100 = 2,
posto que 102 = 100. Claro que log10 2 na˜o e´ assim ta˜o fa´cil de calcu-
lar! Em qualquer base a, loga 1 = 0, pois, por definic¸a˜o, temos a
0 = 1.
Como resposta para as divagac¸o˜es do leitor, antecipamos que existe
sim, uma base para os logaritmos naturais, ela e´ o nu´mero irracional e,
chamado nu´mero de Euler, de valor aproximado 2,718281828459045.
Portanto, no contexto dos logaritmos que o leitor ja´ conhece, temos
que: eln x = elog x = x.
Observac¸a˜o 1.26 O leitor deve estar convencido que no mundo dos
logaritmos a noc¸a˜o de exponenciac¸a˜o (func¸a˜o exponencial) e´ a ce´lula
maior. O que sabemos sobre este tipo de func¸a˜o? Vejamos um caso
bem particular. Considere a func¸a˜o f(x) = 3x, x ∈ R. Quanto vale
f(2)? E´ fa´cil: f(2) = 32 = 3 · 3 = 9. Quanto vale f( 1
2
)? Bem, isto e´
igual a 3
1
2 , que significa
√
3, que e´ o nu´mero real cujo quadrado vale
3, e esta e´ a melhor resposta que podemos dar. E agora, quanto vale
f(
√
2) = 3
√
2? Quem sabe responder? Bem, e´ nesse momento que
percebemos que na˜o sabemos muito sobre poteˆncias quaisquer. De
certa forma, o que sabemos e´ a
p
q = ( q
√
a)
p
= q
√
ap, sempre que a ∈ R,
a > 0 e p, q ∈ Z, q 6= 0. Agora, se x /∈ Q, isto e´, x e´ irracional,
23Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
precisamos de uma boa definic¸a˜o para ax. Uma maneira de se fazer
isto e´ pensar numa sequeˆncia de nu´meros racionais rn =
pn
qn
que se
aproxima de x, e definir:
ax = lim
n→+∞
arn .
Esta na˜o e´ a melhor definic¸a˜o para no´s, visto que na˜o fizemos nenhuma
abordagem sobre sequeˆncias e seus limites 2 . Faremos isto, usando
2 Em ( http://www.fund198.ufba.br/expo/praiz.pdf ),
o autor faz uma abordagem bastante
completa sobre poteˆncias racionais,
ale´m de alguns comenta´rios sobre
poteˆncias irracionais, via limite
sequeˆncias.
o logaritmo natural, como veremos a seguir.
Tendo feito estas observac¸o˜es, voltemos ao nosso logaritmo natu-
ral. Vamos retoma´-lo perguntando: quanto vale log 3?
Figura 11: log 3 = a´rea(B)
x
B
y
Seria poss´ıvel dar uma resposta razoa´vel para esta questa˜o, a partir
das propriedades acima? A resposta e´ sim! De fato, pelo teorema
fundamental do Ca´lculo, temos que
∫ 3
1
1
x
dx = log 3− log 1 = log 3,
posto que log 1 = 0. Isto mostra que log 3 e´ exatamente a a´rea da
regia˜o B delimitada por y = 1
x
e as retas y = 0, x = 1 e x = 3. Por-
tanto, considerando somas de Riemann convenientes, podemos obter
valores aproximados para log 3. E´ exatamente isto que faremos. Di-
vidiremos [1, 3] em oito pedac¸os de comprimento ∆x = 1/4, obtendo
a seguinte partic¸a˜o
P =
{
1,
5
4
,
3
2
,
7
4
, 2,
9
4
,
5
2
,
11
4
, 3
}
.
Associadas a` esta partic¸a˜o, faremos dois tipos de escolhas. Na primeira
delas, escolheremos as extremidades esquerdas dos intervalos de P:
c1 = 1, c2 =
5
4
, c3 =
3
2
, c4 =
7
4
, c5 = 2, c6 =
9
4
, c7 =
5
2
, c8 =
11
4
,
que dara´ origem a` seguinte soma de Riemann, que pode ser vista a`
esquerda, na figura 12 :
S
(
1
x
,P, {ci}
)
=∆x (f(c1) + f(c2) + f(c3) + f(c4) + f(c5) + f(c6)
+f(c7) + f(c8))
=∆x
(
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+
1
c4
+
1
c5
+
1
c6
+
1
c7
+
1
c8
)
=
1
4
(
1 +
4
5
+
2
3
+
4
7
+
1
2
+
4
9
+
2
5
+
4
11
+
1
3
)
=
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
+
1
10
+
1
11
=
32891
27720
' 1, 18654.
24 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Figura 12: Aproximac¸oes para log 3
Agora, escolheremos as extremidades direitas:
c1 =
5
4
, c2 =
3
2
, c3 =
7
4
, c4 = 2, c5 =
9
4
, c6 =
5
2
, c7 =
11
4
, c8 = 3
que dara´ origem a` seguinte soma de Riemann, como vemos a` direita,
na figura 12 :
S
(
1
x
,P, {ci}
)
=∆x
(
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+
1
c4
+
1
c5
+
1
c6
+
1
c7
+
1
c8
)
=
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
=
28271
27720
' 1, 01988.
Como 1x
e´ decrescente, o primeiro caso da´ uma aproximac¸a˜o por ex-
cesso, o segundo da´ uma aproximac¸a˜o por falta e ficamos com:
1, 01988 < log 3 < 1, 18654.
(Na verdade, 1.09861 e´ o valor correto para log 3, considerando apenas
5 casas decimais, claro.)
Figura 13: log e = a´rea(B) = 1
e x
B
y
Em particular, podemos concluir que log 3 > 1, o que garante que
existe um nu´mero real cujo logaritmo natural vale 1. Este e´ o nu´mero
de Euler, e, ja´ citado: log e = ln e = 1. Note que, como log e´ crescente,
devemos ter e < 3. De fato, log e = 1 < 1, 01 < log 3, como vimos
acima. Esta e´ a primeira propriedade do nu´mero e: ele e´ menor do
que 3. (E´ poss´ıvel provar que e e´ um nu´mero irracional com valor
aproximado 2,71828.)
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.8
Considere f(x) = 1
x
, x > 0, e B a regia˜o delimitada por seu
gra´fico o eixo-x e as retas x = 1 e x = 2.
(a) Esboce B.
(b) Mostre que
∫ 2
1
1
x
dx = log 2.
(c) Conclua que a´rea(B) = log 2.
(d) Mostre que a´rea(B) < 1 e prove que e > 2.
25Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Ate´ aqui vimos que log 3 =
∫ 3
1
1
x
dx e, no exerc´ıcio 1-8 , que
log 2 =
∫ 2
1
1
x
dx. Generalizando estes procedimentos, dado um nu´mero
real s > 1 qualquer, podemos escrever
log s = log s− log 1 =
∫ 2
1
1
x
dx .
Agora, se 0 < s < 1, ficamos com
− log s = log 1− log s =
∫ 1
s
1
x
dx,
ou,
log s = −
∫ 1
s
1
x
dx .
Observac¸a˜o 1.27 Sempre que integramos uma func¸a˜o f , o fazemos
em um intervalo [a, b] com, claro, a < b. Para os casos a ≥ b, escreve-
mos:
(i)
∫ b
a
f(x) dx = 0, se a = b.
(ii)
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx, se a > b.
Por exemplo,∫ 1
1
cosx dx = 0 e
∫ 0
pi/2
cosx dx = −
∫ pi/2
0
cosx dx = − senx
∣∣∣∣∣
pi
2
0
= −1.
A partir da observac¸a˜o acima, podemos escrever
log s =
∫ s
1
1
x
dx, para s > 0,
o que, seguindo a tradic¸a˜o, vamos reescrever como
log x =
∫ x
1
1
t
dt, para x > 0. E.7
(Esperamos que o leitor compreenda que ao colocarmos x como limite
de integrac¸a˜o, devemos aboli-lo do integrando, para evitar confusa˜o,
pois a varia´vel do integrando deve percorrer o intervalo dado pelos
limites de integrac¸a˜o.)
A equac¸a˜o E.7 acima, na verdade, e´ a definic¸a˜o do logaritmo
natural, cuja existeˆncia (veja a pa´gina 22 ), vimos admitindo ate´ aqui.
Portanto, para tudo se concretizar, so´ falta mostrar que a derivada da
integral de E.7 e´ de fato 1/x. Isto e´ um caso particular de um fato
nota´vel, que funciona para todo integrando cont´ınuo, como mostra o
pro´ximo teorema.
Teorema 1.28 Seja f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo I.
Fixado a ∈ I, considere a func¸a˜o F , tambe´m definida em I, definida
por
F (x) =
∫ t
a
f(t) dt.
Enta˜o, F e´ deriva´vel em todos os pontos x internos do intervalo I, e
dF
dx
(x) = F ′(x) = f(x).
26 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Demonstrac¸a˜o
Seja ∆x > 0, como vemos na figura 14 a seguir. Pela aditi-
vidade da integral (veja proposic¸a˜o 1.21 -(iii)), temos que∫ x+∆x
a
f(t) dt =
∫ x
a
f(t) dt+
∫ x+∆x
x
f(t) dt,
ou seja,
F (x+ ∆x) = F (x) +
∫ x+∆x
x
f(t)dt.
Figura 14
x ξa x + ∆x x
∫x+∆x
x f(x) dx
f(ξ)
y
Mas, pela primeira desigualdade do valor me´dio para integrais
(proposic¸a˜o 1.30 , a seguir), existe ξ entre x e ∆x, tal que∫ x+∆x
x
f(t) dt = f(ξ) ∆x.
Portanto,
∆F = F (x+ ∆x)− F (x) = f(ξ)∆x,
ou ainda,
∆F
∆x
=
F (x+ ∆x)− F (x)
∆x
= f(ξ).
Quando ∆x tende a zero, ξ tende a x. Logo, f(ξ) tende a f(x),
visto
que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Portanto,
lim
∆x→0
F (x+ ∆x)− F (x)
∆x
= lim
∆x→0
f(ξ) = f(x).
Para a demostrac¸a˜o ficar completa, o leitor deve considerar o caso
∆x < 0.
Definic¸a˜o 1.29 Uma func¸a˜o F definida como no teorema 1.28 , isto
e´,
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt,
e´ chamada integral indefinida de f .
Portanto, as integrais indefinidas de f , quando esta e´ cont´ınua,
sa˜o primitivas de f . Isto mostra que a noc¸a˜o de integral, tambe´m, e´
uma ferramenta que permite construir novas func¸o˜es, partir de outra,
integra´vel, dada. O logaritmo natural e´ um dos mais belos exem-
plos desta ferramenta: ele e´ uma integral indefinida de f(x) = 1/x.
Portanto, log existe e sua derivada e´ a func¸a˜o 1/x:
d log x
dx
=
1
x
.
27Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Na linguagem da observac¸a˜o 1.19 , podemos escrever, para x > 0:∫
1
x
dx = log x+ C.
Vejamos, agora, a primeira desigualdade do valor me´dio para in-
tegrais, que usamos na prova do teorema 1.28 .
Proposic¸a˜o 1.30 Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], enta˜o existe
ξ ∈ [a, b] tal que ∫ b
a
f(x) dx = f(ξ)(b− a).
Demonstrac¸a˜o
Lembramos, a definic¸a˜o de integral:∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci)∆x,
onde ci e´ um ponto qualquer do i-e´simo intervalo no qual [a, b] e´
dividido. Sejam m e M o mı´nimo e o ma´ximo de f em [a, b], os
quais existem devido ao teorema 4.25 , da unidade 4 do Curso
de Ca´lculo 1, atingidos, digamos, nos pontos xm e xM , isto e´:
m = f(xm) e M = f(xM ). Enta˜o, para todo ponto ci do intervalo
[a, b],
m ≤ f(ci) ≤M.
ξ b xa
m
f(ξ)
M
y
Multiplicando esta desigualdade por ∆xi > 0, chegamos a
nova desigualdade
m∆xi ≤ f(ci)∆x ≤M∆xi.
Somando em relac¸a˜o a i, de 1 a n, esta u´ltima desigualdade,
obtemos
n∑
i=1
m∆xi ≤
n∑
i=1
f(ci)∆x ≤
n∑
i=1
M∆xi,
ou seja,
m(b− a) ≤
n∑
i=1
f(ci)∆xi ≤M(b− a).
Passando ao limite, com n→∞, estas desigualdades produzem
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤M(b− a),
ou ainda
m ≤ 1
b− a
∫ b
a
f(x) dx ≤M.
28 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Vemos, assim, que o membro do meio dessas desigualdades e´ um
nu´mero compreendido entre f(xm) = m e f(xM ) = M e, como
tal, ele e´ deve ser atingido em um certo ξ entre a e b (Isto e´
garantido pelo teorema do valor intermedia´rio). Logo,
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx = f(ξ).
Conve´m observar que, geometricamente, este teorema, no caso
f ≥ 0, diz que existe um retaˆngulo (de altura f(ξ)) cuja a´rea
(f(ξ)(b − a)) coincide com a a´rea da regia˜o delimitada por y =
f(x), o eixo-x e as retas x = a e x = b.
A Func¸a˜o Exponencial
Dentro da observac¸a˜o 1.25 , dissemos que o logaritmo natural,
log = ln, tinha a propriedade: log x e´ o nu´mero real ao qual devemos
elevar o nu´mero e para obter x, isto e´, elog x = x. No que segue,
faremos uma abordagem rigorosa deste fato.
Comec¸amos assim: se n = 2, usando a proposic¸a˜o 1.24 -(iii),
enta˜o
log(e2) = log e+ log e = 2 log e = 2,
visto que log e = 1, por definic¸a˜o. Se n = 3,
log(e3) = log e+ log e+ log e = 3 log e = 3.
Seguindo este racioc´ınio, vem que log(en) = n, para todo n ∈ N.
Agora se n < 0, n ∈ Z, temos −n > 0 e
0 = log 1 = log(ene−n) = log(en) + log(e−n) = log(en)− n.
Portanto, log(en) = n, tambe´m par n < 0. Com um pouco mais de
trabalho, que deixamos para o leitor, podemos verificar que
log(e
p
q ) =
p
q
, p, q ∈ Z, q 6= 0.
Em outras palavras,
log(ex) = x, para todo nu´mero racional x. E.8
Bem, visando estender esta equac¸a˜o para nu´mero irracionais, e´ bom
olha´-la sob o ponto de vista das func¸o˜es inversas. Como a func¸a˜o log e´
estritamente crescente, ela e´, em particular, injetiva. Tambe´m vimos
na proposic¸a˜o 1.24 , itens (vii) e (viii), que sua imagem coincide com
todo R. Portanto, temos uma bijec¸a˜o deriva´vel
log : (0,+∞) −→ R
com derivada na˜o-nula (positiva) em todo ponto, a saber:
log′(x) =
1
x
.
Portanto, esta´ bem definida a func¸a˜o inversa da func¸a˜o log, que indi-
caremos por g:g : R −→ (0,+∞),
29Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Figura 16: O log e sua Inversa g = Exp
10 y = log x
+∞−∞
g = Explog
e1 x = g(y)
+∞0
e que funciona assim: dado y ∈ R, x = g(y) e´ o u´nico nu´mero real
positivo tal que log(x) = y. (Nos textos de Ana´lise Real, no lu-
gar de g e´ usado Exp.) Por exemplo, g(0) = 1, porque log 1 = 0
e g(1) = e, porque log e = 1. Agora, algo de belo ocorre: reescre-
vendo a equac¸a˜o E.8 para y ∈ Q, temos log(ey) = y. Mas, tambe´m,
log(g(y)) = y, porque g e´ a inversa de log. Portanto, g(y) = ey, sem-
pre que y e´ racional. Portanto, para y racional, g(y) coincide com a
exponencial que sabemos fazer ey. Neste momento, podemos definir
naturalmente ey para y irracional. E´ so´ escrever ey = g(y), porque
g(y) existe. Finalmente, temos a func¸a˜o exponencial.
Definic¸a˜o 1.31 Dado y ∈ R, a func¸a˜o exponencial Exp e´ definida
assim
Exp : R −−−−−→ (0,+∞)
y −−−−−→ Exp(y) = g(y) = ey.
Por um momento, vamos admitir que g = Exp e´ deriva´vel (isto decor-
rera´ do teorema da func¸a˜o inversa (teorema 1.35 ) que enunciaremos
logo a seguir). Usando a regra da cadeia, temos, para x ∈ R,
(log(Exp(x)))′ = log′(Exp(x)) Exp ′(x) =
1
Exp(x)
Exp ′(x). E.9
Por outro lado,
log(Exp(x)) = x,
o que implica que
(log(Exp(x)))′ = 1. E.10
De E.9 e E.10 , vem que
1
Exp(x)
′
Exp(x) = 1
e, portanto,
Exp ′(x) = Exp(x).
Em outras palavras,
dex
dx
= ex,
e acabamos de construir uma func¸a˜o cuja derivada e´ ela mesma. Vol-
tando nossa atenc¸a˜o para a integral, vem que∫
ex dx = ex + C. E.11
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.9
Se a 6= 0 e´ uma constante, mostre que∫
eax dx =
eax
a
+ C.
30 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais
Disciplina 3
Agora, podemos definir a func¸a˜o exponencial de base a, ax.
Definic¸a˜o 1.32 Dado a > 0 e x ∈ R, definimos ax = ex log a.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.10
Se x = p
q
∈ Q, mostre que ax coincide com a poteˆncia usual:
ap/q = q
√
ap = q
√
a · a · · · a.
Visando compreender um pouco mais as func¸o˜es ax, vamos calcu-
lar suas duas primeiras derivadas.
Proposic¸a˜o 1.33 Dado a > 0, valem
(i) da
x
dx
= ax log a.
(ii) d
2ax
dx2
= ax(log a)2.
Demonstrac¸a˜o
Temos que ax = ex log a = Exp (log a)x, que e´ a composta da
func¸a˜o Exp com o monoˆmio p(x) = (log a)x. Portanto,
dax
dx
= Exp ′(p(x))p′(x) = Exp(x(log a)) log a = ax log a,
o que prova (i). Deixaremos (ii) como exerc´ıcio.
Corola´rio 1.34 Dado a > 0, considere f(x) = ax. Enta˜o, a curva
y = f(x) = ax tem concavidade voltada para cima e
(i) f e´ constante e igual a 1, se a = 1.
(ii) f e´ estritamente crescente, se a > 1.
(iii) f e´ estritamente decrescente, se a < 1.
Portanto, temos os seguintes gra´ficos:
Figura 17-(a): y = ax, a > 1 Figura 17-(b): y = ax, a < 1
a
a
31Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
A Integral Definida – A´reas
Exerc´ıcios de Aprendizagem 1.11
Se a > 0 e´ uma constante, mostre que∫
ax dx =
ax
log a
+ C.
Para finalizar esta parte, enunciaremos o teorema da func¸a˜o in-
versa.
Teorema 1.35 Seja f : I ⊂ R −→ J ⊂ R uma bijec¸a˜o entre os inter-
valos I e J . Se f ′(x) 6= 0, para todo x ∈ I, enta˜o a func¸a˜o inversa de
f , f−1 : J −→ I, e´ deriva´vel e, para cada y = f(x) ∈ J , vale(
f−1
)′
(y) =
1
f ′(x)
.
32 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
UNIDADE 1:
Sugesto˜es e Respostas
Disciplina 3
33
34
Sugesto˜es e Respostas
Disciplina 3
1-1 Voltar
(c) Note que 1
2+22+···+n2
n3
= n(n+1)(2n+1)
6n3
e fac¸a n→ +∞.
1-2 Voltar
S(f,Pn, {ci}) = 1
n
n∑
i=1
x3i =
1
n4
n∑
i=1
i3
=
1
n4
(1 + 23 + 33 + · · ·+ n3)
=
1
n4
(
n(n+ 1)
2
)2
.
1-4 Voltar F (x) = x4/4 e´ uma primitiva para f(x) = x3.
1-5 Voltar
(a) 3/2.
(b) Observe que B e´ um trape´zio e a´rea(B) = 3
2
u.a.
B
1-6 Voltar
(a) 0.
(b) a´rea(B) = 1
2
u.a
1-7 Voltar
(a) 2u.a.
(b) 10 2
3
u2u.a.
(c) 7, 5u.a.
1-8 Voltar
(a)
B
35Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Sugesto˜es e Respostas
(b)
∫ 2
1
1
x
dx = log 2− log 1 = log 2.
(c) a´rea(B) =
∫ 2
1
1
x
dx = log 2.
(d) Combine a figura de (a) com o quadrado de altura 1 mon-
tado sobre o intervalo [1, 2].
1-9 Voltar E´ so´ observar que
d
(
eax
a
)
dx
= eax.
1-10 Voltar Comece com x = n ∈ N. Neste caso,
ax = an = en log a = elog(a···a···a) = a · · · a · · · a.
1-11 Voltar E´ so´ observar que
d
(
ax
log a
)
dx
= ax.
36 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
UNIDADE 2:
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
37
38
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
Metas da Aula
• Introduzir te´cnicas para o ca´lculo de primitivas
Muitas vezes, em um exerc´ıcio de Ca´lculo, nos defrontamos com
uma integral de apareˆncia complicada, mas que, na verdade, se enqua-
dra dentro de uma famı´lia de integrais bastante simples de se efetuar,
isto e´, descreveˆ-la em termos de func¸o˜es elementares, tais como as poli-
nomiais, trigonome´tricas, exponencial, logar´ıtmica, etc. Por exemplo,
consideremos a seguinte integral (indefinida)∫
x2ex
3
dx,
que, claro, pretende achar F tal que F ′(x) = x2ex
3
. A princ´ıpio
parece dif´ıcil fazer isto. Mas so´ a princ´ıpio, porque depois de alguns
segundos, percebemos que
x2 =
d
(
x3
3
)
dx
e, via regra da cadeia,
d
(
ex
3
3
)
dx
=
1
3
dex
3
dx
= x2ex
3
.
Portanto, ∫
x2ex
3
dx =
ex
3
3
+ C.
A ideia principal aqui foi “enxergar” uma func¸a˜o u = u(x) = x3 que
torna ex
3
= eu, o que fica mais simples, e ale´m disto, a derivada
du
dx
= u′(x) = 3x2
aparece, a menos de um fator constante, como o outro fator do in-
tegrando, que e´ x2. Agora, vamos introduzir uma forma bastante
pra´tica de refazer o que fizemos. Tudo acontece, quando introduzi-
mos a diferencial du que e´ escrita assim:
du = u′(x) dx = 3x2 dx,
que e´ motivada pela notac¸a˜o du
dx
= u′. Portanto, escrevemos,
x2 dx =
du
3
e ficamos com
∫
x2ex
3
dx =
∫
eu
du
3
=
1
3
∫
eu du =
1
3
eu + C =
1
3
ex
3
+ C.
Observe que usamos a seguinte propriedade ba´sica das integrais inde-
finidas: ∫
cf(x) dx = c
∫
f(x) dx,
se c e´ constante, cuja prova sera´ dada na proposic¸a˜o 2.1 , a seguir.
Usamos tambe´m a equac¸a˜o E.11 , pa´gina 30 da parte 1, que diz
39Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Mudanc¸a de Varia´vel – Substituic¸a˜o
∫
ex dx = ex + C.
Entretanto, devemos dizer que nem sempre e´ poss´ıvel explicitar uma
integral em termos de func¸o˜es elementares, mesmo o integrando sendo
elementar. De fato, e a´ı o leitor deve acreditar, a integral∫
e−x
2
dx
faz parte desta situac¸a˜o e, mesmo assim, representa uma pec¸a ma-
tema´tica muito importante: a func¸a˜o
F (x) =
∫ x
−∞
e−t
2
dt,
aparece nas aplicac¸o˜es, sobretudo em Probabilidade e Estat´ıstica, onde
ela esta´ ligada a` chamada distribuic¸a˜o normal 1
1
φ(x) =
1
2pi
e
− x2
2 e
Φ(x) =
1
2pi
∫ x
−∞
e
− t2
2 dt
sa˜o as func¸o˜es densidade de proba-
bilidade e distribuic¸a˜o normal da Es-
tat´ıstica.
A ideia lanc¸ada acima e´ conhecida como me´todo da substituic¸a˜o,
e sera´ estudado, com mais detalhes, a seguir.
Mudanc¸a de Varia´vel – Substituic¸a˜o
Iniciaremos esta sec¸a˜o com um proposic¸a˜o de conteu´do ba´sico para
o ca´lculo de integrais indefinidas.
Proposic¸a˜o 2.1 Dadas func¸o˜es f e g e constantes c1 e c2, temos que∫
(c1f(x) + c2g(x)) dx = c1
∫
f(x) dx+c2
∫
g(x) dx .
Demonstrac¸a˜o
De fato, consideremos duas primitivas F (x) e G(x) para f e
g, respectivamente.Enta˜o,
d(c1F (x) + c2G(x))
dx
= c1
dF
dx
(x) + c2
dG
dx
(x) = c1f(x) + c2g(x),
com quer´ıamos.
Sejam f e F duas func¸o˜es, definidas em algum intervalo I, e tais
que F ′ = f . Da regra da cadeia, vem que
d
dx
F (g (x)) = F ′ (g (x)) g′ (x) = f (g (x)) g′ (x) .
Logo, ∫
f (g (x)) g′ (x) dx = F (g (x)) + C.
Se colocamos u = g (x) e escrevemos, como antes, du = u′(x) dx,
teremos∫
f (g (x)) g′ (x) dx =
∫
f (u) du = F (u) + C = F (g(x)) + C.
A rigor, temos o seguinte teorema, que acabamos de provar.
Teorema 2.2 [Me´todo da Substituic¸a˜o] Sejam f, g : J −→ R, f
cont´ınua e g deriva´vel, e F uma primitiva (integral indefinida) de f .
Enta˜o, escrevendo u = g(x) e du = u′(x) dx, vale∫
f(g(x))g′(x) dx =
∫
f(u) du = F (u) + C = F (g(x) + C.
40 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
No que tange a`s integrais definidas, temos o corola´rio abaixo.
Corola´rio 2.3 Sejam f, g : [a, b] −→ R, f cont´ınua e g deriva´vel, e
F uma primitiva (integral indefinida) de f . Enta˜o∫ b
a
f(g(x))g′(x) dx =
∫ d
c
f(u) du = F (u)
∣∣∣∣∣
d
c
,
onde c = g(a) e d = g(b)
Demonstrac¸a˜o
Pelo teorema 1.14 , da parte 1, temos que
∫ b
a
f(g(x))g′(x) dx =F (g(x))
∣∣∣∣∣
b
a
= F (g(b))− F (g(a))
=F (d)− F (c) = F (u)
∣∣∣∣∣
d
c
.
Observac¸a˜o 2.4 Daremos a seguir va´rios exemplos ilustrativos de
aplicac¸a˜o dessa fo´rmula de integrac¸a˜o. O que temos de fazer, em
cada caso, e´ procurar reduzir o integrando a` forma
f (g (x)) g′ (x) ,
onde f seja fa´cil de integrar. Em termos mais pra´ticos: achar no
integrando o u e o du, e ficar com
∫
f(u) du!
Antes dos exemplos, poremos aqui uma pequena tabela contendo
algumas integrais indefinidas, algumas que ja´ estabelecidas.
∫
um du =
um+1
m+ 1
+ C, m 6= −1
∫
du
u
= log |u|+ C
∫
du
u± a = log |u± a|+ C
∫
cosu du = senu+ C∫
sec
2
u du = tg u+ C∫
secu tg u du = secu+ C
∫
senu du = − cosu+ C
∫
cossec
2
u du = − cotu+ C
∫
cossecu cotg u du = − cossecu+ C
∫
secu du = log | secu+ tg u|+ C
∫
cossecu du = − log | cossecu+ cotg u|+ C
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.1
Verifique as integrais da tabela acima.
41Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Mudanc¸a de Varia´vel – Substituic¸a˜o
Exemplo 2.5 Vamos calcular∫
2x
1 + x2
dx .
Como vemos facilmente,
2x =
d
(
1 + x2
)
dx
.
Logo, podemos colocar u =
(
1 + x2
)
e du = 2x. Com isto, ficamos∫
2x
1 + x2
dx =
∫
du
u
du = log u+ C = log
(
1 + x2
)
+ C.
Para testar o resultado, simplesmente derivamos a func¸a˜o obtida:
d
(
log
(
1 + x2
))
dx
=
d
dx
(
1 + x2
)
1 + x2
=
2x
1 + x2
,
e estamos corretos. Agora, vamos calcular a integral definida de
2x
1 + x2
no intervalo [−1, 1]. Isto e´ simples: quando x = a = −1,
u = 1 + x2 vale c = 1 + (−1)2 = 2; quando x = b = 1, u = d =
1 + 12 = 2. Logo, usando o corola´rio 2.3 ,
∫ 1
−1
2x
1 + x2
dx =(log u)
∣∣∣∣∣
2
2
=log 2− log 2 = 0,
Figura 21: a´rea(B1) = a´rea(B2)
B1
x
B2
y = 2x
1+x2
y
resultado que podemos ver na figura 21 , analisando as a´reas das
regio˜es B1 e B2. Elas coincidem, mas B1 esta´ abaixo do eixo-x.
Exemplo 2.6 Consideremos a integral∫
x
(1 + x2)3
dx .
Este caso e´ similar ao anterior, exceto pela auseˆncia do fator 2 no
numerador do integrando. A func¸a˜o u e´ a mesma, u = g(x) = 1 + x2,
so´ que devemos introduzir alguma constante multiplicativa para obter
du = g′(x) dx = 2x dx. Neste caso, o fator e´ 2. Fazemos assim:
∫
x
(1 + x2)3
dx =
1
2
∫
2x
(1 + x2)3
dx =
1
2
∫
du
u3
=
1
2
∫
u−3 du = − 1
4u2
+ C =
−1
4 (1 + x2)2
+ C.
Sugerimos ao leitor que derive o resultado obtido e confronte-o com o
integrando do problema.
42 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
Exemplo 2.7 Vejamos o ca´lculo de∫
x sen
(
3x2
)
dx .
Pondo u = 3x2, obtemos∫
x sen
(
3x2
)
dx =
1
6
∫
sen (u) du
=
1
6
− cosu
6
+ C =
− cos 3x2
6
+ C.
Exemplo 2.8 Vamos, agora, calcular a integral definida∫ 2
−1
x2
√
x3 + 1 dx .
Claramente a integral pede para colocarmos u = x3 + 1, pois du /3
e´ o que resta no integrando. Note que para x = −1, u = 0 e, para
x = 2, u = 9. Portanto,∫ 2
−1
x2
√
x3 + 1 dx =
1
3
∫ 9
0
√
u du =
1
3
u3/2
3
2
∣∣∣∣9
0
=
2
3
u
√
u
3
∣∣∣∣9
0
=
2
9
9
√
9 = 6.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.2
Calcule as seguintes integrais.
(a)
∫
x3
√
1 + x4 dx .
(b)
∫ √
ax+ b dx, onde a > 0.
(c)
∫
cos (2x+ 1) dx .
(d)
∫
ex
1 + ex
dx .
(e)
∫
(secx)2(tg x)5 dx .
(f)
∫
sen(log x)
x
dx .
(g)
∫
dx
(x−2)2 .
(h)
∫ 1
0
(1− x)3√1 + (1− x)4 dx .
(i)
∫ pi
0
(cosx)3 senx dx .
(j)
∫ 1
0
x
√
x2 + 1 dx.
(k)
∫ 1
0
xex
2
dx
Integrac¸a˜o por Partes
O me´todo de integrac¸a˜o por partes se encarrega de integrais do
tipo ∫
f(x)g′(x) dx . E.12
43Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrac¸a˜o por Partes
Da regra de derivac¸a˜o do produto, o integrando da integral acima
pode ser reescrito como
f(x)g′(x) = (f(x)g(x))′ − f ′(x)g(x).
Portanto, E.12 fica∫
f(x)g′(x) dx =
∫
((f(x)g(x))′ − f ′(x)g(x)) dx
=
∫
(f(x)g(x))′ dx−
∫
f ′(x)g(x) dx .
Lembrando que ∫
(f(x)g(x))′ dx = f(x)g(x) + C,
conclu´ımos que∫
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx . E.13
Portanto, a ideia principal aqui e´ torcer para que a integral do segundo
membro de E.13 seja de fa´cil execuc¸a˜o.
A forma mais popular de se escrever E.13 e´ a seguinte: fazemos
u = f(x) e v = g(x). Donde du = f ′(x) dx, dv = g′(x) dx e∫
u dv = uv −
∫
v du . E.14
Em se tratando de integral definida, a fo´rmula de integrac¸a˜o por
partes e´, evidentemente,
∫ b
a
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)
∣∣∣∣∣
b
a
−
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx,
ou ∫ b
a
u dv = u(x)v(x)
∣∣∣∣∣
b
a
−
∫ b
a
v du .
Exemplo 2.9 Vamos calcular∫
xex dx .
usando a integrac¸a˜o por partes. O primeiro passo e´ decidir o que e´
u = f(x) e o que e´ dv = g′(x) dx. Temos duas opc¸o˜es: uma e´ fazer
u = ex e dv = x dx; a outra e´ u = f(x) = x e dv = ex dx. No
primeiro caso, obtemos du = f ′(x) dx = ex dx e
v =
∫
dv =
∫
g′(x) dx =
∫
x dx = x2/2.
A fo´rmula de integrac¸a˜o por partes, portanto, ficaria∫
xex dx =
x2
2
ex − 1
2
∫
x2ex dx,
que, convenhamos, so´ pioraria a situac¸a˜o. Vamos usar a segunda
opc¸a˜o. Neste caso, temos du = dx e
v =
∫
dv =
∫
ex dx = ex.
A fo´rmula de integrac¸a˜o por partes, portanto, ficaria∫
xex dx = xex −
∫
ex dx,
o que da´, rapidamente,
44 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
∫
xex dx = xex − ex + C.
Basicamente, o que fizemos foi fazer desaparecer o fator x do inte-
grando, o que simplificou a integrac¸a˜o. Esta e´ a ideia maior do me´todo.
E´ claro que a mesma ide´ia se aplica a` integral de xnex, n inteiro po-
sitivo: na primeira integrac¸a˜o por partes, integramos ex e derivamos
xn, e assim ca´ımos na integral de xn−1ex, e continuamos ate´ atingir
a integral de ex.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.3
Integre por partes duas vezes para calcular a integral
∫
x2ex dx .
Exemplo 2.10 Vamos integrar x cosx. Como no exemplo anterior, a
integrac¸a˜o seria imediata se na˜o tive´ssemos o fator x. Da´ı a ide´ia de
usar integrac¸a˜o por partes para eliminar o x. Vamos escrever direta-
mente d(senx) no lugar de dv = cosx dx.∫
x cosx dx =
∫
x d (senx) = x senx−
∫
senx dx = x senx+cosx+C.
Novamente, podemos verificar a exatida˜o do resultado derivando esta
u´ltima func¸a˜o para obterx cosx.
Se fosse x2 cosx a func¸a˜o a integrar, ter´ıamos de fazer duas inte-
grac¸o˜es por partes, na primeira derivando x2 e integrando cosx :∫
x2 cosx dx =
∫
x2 d (senx) = x2 senx− 2
∫
x senx dx
= x2 senx+ 2
∫
xd (cosx)
= x2 senx+ 2x cosx− 2
∫
cosx dx
=
(
x2 − 2) senx+ 2x cosx+ C.
Exemplo 2.11 Vamos provar que∫
(senx)2 dx =
x− senx cosx
2
+ C.
A esseˆncia deste exemplo esta´ no fato que a integrac¸a˜o por partes leva
de volta a integral inicial:∫
(senx)2 dx =
∫
senx senx dx = −
∫
senxd (cosx)
= − senx cosx+
∫
(cosx)2 dx
= − senx cosx+
∫ (
1− (senx)2) dx
= x− senx cosx−
∫
(senx)2 dx .
Portanto,
2
∫
(senx)2 dx = x− senx cosx,
ou seja, ∫
(senx)2 dx =
1
2
(x− senx cosx) + C.
45Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
O Me´todo das Frac¸o˜es Parciais
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.4
Usando duas sucessivas integrac¸o˜es por partes mostre que∫
ex cosx dx =
1
2
ex (senx+ cosx) + C.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.5
Mostre que
∫
(tg x)2 dx = tanx− x+ C..
Exemplo 2.12 Para calcular
∫
log x dx, observamos que podemos
escrever log x = 1 log x e com isso integramos por partes, derivando
log x e integrando 1 :∫
log x dx =x log x−
∫
x d (log x)
=x log x−
∫
x
1
x
dx = x(log x)− x+ C
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.6
Usando integrac¸a˜o por partes e verifique os seguintes resultados.
(a)
∫
x3ex dx = ex
(
x3 − 3x2 + 6x− 6)+ C.
(b)
∫
x senx dx = senx− x cosx+ C.
(c)
∫
ex senx dx = e
x
2
(senx− cosx) + C.
(d)
∫
x log x dx = x
3
2
(
log x− 1
2
)
+ C.
(e)
∫
xr log x dx (r 6= −1) = xr+1
r+1
(
log x− 1
r+1
)
+ C.
(f)
∫
(cosx)3 dx = 1
3
senx
(
(cosx)2 + 2
)
+ C.
(g)
∫
(senx)4 dx = 3
8
(x− senx cosx)− 1
4
(senx)3 cosx+ C.
(h)
∫
(cosx)4 dx = 3
8
(x+ senx cosx) + 1
4
senx cos3 x+ C.
O Me´todo das Frac¸o˜es Parciais
Apresentaremos este me´todo, que se ocupa das func¸o˜es racionais,
com um exemplo que ilustra a ideia principal: decompor uma func¸a˜o
racional numa soma de func¸o˜es racionais mais simples. Vejamos.
46 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
Exemplo 2.13 Vamos integrar a func¸a˜o racional
f (x) =
4x+ 13
(x− 4) (x+ 1) .
Apo´s va´rias tentativas, o bom senso sugere transformar esta func¸a˜o
numa soma de frac¸o˜es parciais do tipo
4x+ 13
(x− 4) (x+ 1) =
A
x− 4 +
B
x+ 1
,
pois feito isto a integrac¸a˜o fica mais simples. Para determinar os
coeficientes A e B, primeiro eliminamos os denominadores:
4x+ 13 = A (x+ 1) +B (x− 4) = (A+B)x+ (A− 4B) .
Em seguida, notamos que a igualdade de polinoˆmios exige a igualdade
de termos semelhantes, que no caso em questa˜o significa
A+B = 4 e A− 4B = 13.
Resolvendo essas equac¸o˜es em A e B obtemos A = 5 e B = −2.
Portanto,
4x+ 13
(x− 4) (x+ 1) =
5
x− 4 −
2
x+ 1
e finalmente∫
4x+ 13
(x− 4) (x+ 1) dx = 5
∫
dx
x− 4 − 2
∫
dx
x+ 1
= 5 log |x− 4| − 2 log |x+ 1|+ C
= log
(
|x−4|5
|x+1|2
)
+ C,
onde usamos nesta u´ltima igualdade propriedades dos logaritmos.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.7
Mostre que∫ (
x2 − 16x− 11
(x− 3) (x+ 2)2
)
dx = log
|x+ 2|3
|x− 3|2 +
5
x− 2 + C.
Produto de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Inicialmente, usamos as identidades
(senx)2 + (cosx)2 = 1 e (cosx)2 − (senx)2 = cos 2x
e chegamos a`s fo´rmulas de reduc¸a˜o:
(cosx)2 =
1
2
(1 + cos 2x) e (senx)2 =
1
2
(1− cos 2x) .
Com isso as poteˆncias (senx)m , e (cosx)n, com m,n ∈ Z, e suas
combinac¸o˜es podem ser integradas mais facilmente.
Exemplo 2.14 Usando as fo´rmulas de reduc¸a˜o obtemos facilmente
que ∫
(cosx)2 dx = x
2
+ sen 2x
4
+ C = x
2
+ 2 sen x cos x
4
+ C,∫
(senx)2 dx = x
2
− sen 2x
4
+ C = x
2
− 2 sen x cos x
4
+ C.
47Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Produto de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.8
Usando as ide´ias acima verifique que∫
(cosx)4 dx =
12x+ 8 sen(2x) + sen(4x)
32
+ C.
e que ∫
(senx)4 dx =
12x− 8 sen(2x) + sen(4x)
32
+ C.
48 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
Observac¸a˜o 2.15 Observe que como
sen6 x cos10 x =
(
1− cos 2x
2
)3(
1 + cos 2x
2
)5
,
para integrar esta primeira expressa˜o podemos usar a reduc¸a˜o ob-
tida (segundo membro) que apo´s desenvolvida fornece uma soma de
poteˆncias positivas de cos 2x. Em geral, para integrar produto de
poteˆncias pares positivas do tipo (senx)m . (cosx)n , podemos sempre
proceder como acima. No caso de um produto de poteˆncias ı´mpares,
o que fazemos e´ reduzi-lo de forma conveniente e, a seguir, usamos a
substituic¸a˜o u = senx ou u = cosx. Por exemplo,∫
(cosx)2n+1 dx =
∫
(cosx2n cosx dx
=
∫ (
1− (senx)2)n cosx dx = ∫ (1− u2)n du
Esta u´ltima integral e´ simplesmente a integral de um polinoˆmio em u
e na˜o oferece maior dificuldade.
Exemplo 2.16 Vamos calcular, agora, a integral
∫
(cosx)7 dx . Com
u = senx, temos que∫
(cosx)7 dx =
∫ (
1− (senx)2)3 cosx dx
=
∫ (
1− u2)3 du
=
∫ (
1− 3u2 + 3u4 − u6) du
= u− u3 + 3
5
u5 − 1
7
u7 + C
= senx− (senx)3 + 3
5
(
senx5 − 1
7
(senx)7
)
+ C.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.9
Verifique que∫
(cosx)2 sen3 x dx =
1
5
cos5 x− 1
3
cos3 x+ C.
Integrais Envolvendo
√
a2 ± x2
A exemplo do que fizemos nos dois u´ltimos to´picos, vamos traba-
lhar aqui com alguns exemplos que ilustrara˜o o comportamento que o
leitor deve adotar, quando encontrar pela frente integrais envolvendo o
radical
√
a2 ± x2 (ou poteˆncias dele), onde a e´ uma constante positiva.
Para justificar a escolha deste tipo de integral, consideremos o
ca´lculo, via integral definida, da a´rea da regia˜o B (disco) envolvida
pelo c´ırculo x2 +y2 = 1. Para fazer este ca´lculo precisamos identificar
B com uma regia˜o delimitada por gra´ficos de func¸o˜es. Fazemos isto
simplesmente observando que ela esta´ situada acima de
y = g(x) = −
√
a2 − x2
e abaixo de
y = f(x) =
√
a2 − x2,
49Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais Envolvendo Radicais
ambas definidas em −a ≤ x ≤ a. Deve ficar claro para o leitor que es-
tas func¸o˜es foram obtidas explicitando y como func¸a˜o de x, na equac¸a˜o
x2 + y2 = 1. Portanto,
a´rea(B) =
∫ a
−a
(f(x)− g(x)) dx
=
∫ a
−a
2
√
a2 − x2 dx = 2
∫ a
−a
√
a2 − x2 dx .
Usando a simetria da regia˜o, podemos reescrever
a´rea(B) = 4
∫ a
0
√
a2 − x2 dx,
e temos diante de no´s uma tal integral. Vamos calcula´-la.
Figura 22: a´rea(B) = 4 a´rea(B0)
−a a x
B0
y =
√
a2 − x2
y
Figura 23: x = a sen θ
√
a2 − x2
θ
x
a
Primeiro, observe que
√
a2 − x2 lembra o valor de um cateto de
um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa a, sendo x como o outro ca-
teto. Isto sugere que substituamos, na integral em tela, x por a sen θ,
considerando 0 ≤ θ ≤ pi
2
. Donde,√
a2 − x2 =
√
a2(1− (sen θ)2) = a| cos θ| = a cos θ,
pois, no intervalo considerado, cos θ > 0. Tambe´m temos
dx = cos θ dθ
e, portanto,
a´rea(B) = 4
∫ a
0
√
a2 − x2 dx = 4a2
∫ pi/2
0
(cos θ)2 dθ .
Note que usamos o fato que quando x = 0, θ deve valer zero e para
x = a, devemos ter θ = pi/2, pois, neste caso, a sen θ = a, isto e´ sen θ =
1. Assim, reca´ımos em uma integral como aquelas que estudamos na
sec¸a˜o anterior, que pode ser calculada facilmente com o resultado do
exemplo 2.14 que diz:∫
(cos θ)2 dθ =
θ
2
+
sen 2θ
4
+ C. E.15
Portanto,
a´rea(B) = 4a2
∫ pi/2
0
(cos θ)2 dθ = 4a2
(
θ
2
+
sen 2θ
4
∣∣∣∣pi/2
0
)
= pia2,
como sabemos. Observe que acabamos de provar, com rigor, a fo´rmulaque da´ a a´rea de um disco de raio a.
Bem, acabamos de obter a integral definida∫ a
0
√
a2 − x2 dx,
a qual vale
pia2
4
. Uma pergunta natural surge agora: o que fazer se,
no lugar da integral definida, quise´ssemos calcular uma primitiva para
50 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
f(x) =
√
a2 − x2? Temos uma bela resposta, pois nela somos levados
a falar na func¸a˜o inversa da func¸a˜o sen. Com efeito, olhando com
cuidado para E.15 , obtemos que∫ √
a2 − x2 dx = a
2θ
2
+
a2 sen θ cos θ
2
+ C, E.16
onde x = a sen θ. Usando o triaˆngulo da figura 23 acima, vemos que
cos θ =
√
a2 − x2
a
e sen θ =
x
a
.
Portanto, fica fa´cil de expressar a segunda parcela em E.16 , e fica-
mos com ∫ √
a2 − x2 dx = a
2θ
2
+
x
√
a2 − x2
2
+ C. E.17
E agora? E θ/2 como fica? Ora, como x
a
= sen θ, θ, como func¸a˜o
de x, deve ser a func¸a˜o inversa do sen, sen−1, a qual denotamos por
arcsen, isto e´,
sen θ = x⇔ θ = arcsenx,
Figura 24: O sen e sua Inversa arcsen
−√2/2 x = sen θ0
1−1
arcsensen
−pi/4 θ = arcsen x0
−pi/2 pi/2
Para construir esta nova func¸a˜o, consideramos θ ∈ [−pi/2, pi/2],
onde o sen e´ injetiva. Finalmente,
∫ √
a2 − x2 dx = a
2 arcsen(x/a)
2
+
x
√
a2 − x2
2
+ C, E.18
e, pelo menos agora, devemos verificar se resultado esta´ correto, isto
e´, se
a2 arcsen(x/a)
2
+
x
√
a2 − x2
2
e´, de fato, uma primitiva para f(x) =
√
a2 − x2. Para isto, precisamos
conhecer a derivada da func¸a˜o arcsen. Na verdade, faremos isto e
um pouco mais na proposic¸a˜o 2.19 , onde obteremos as derivadas
das inversas das func¸o˜es trigonome´tricas mais conhecidas, a saber: o
arcsen, a inversa do sen, o arccos, a inversa do cos e o arctg, a inversa
da tg. Do item (i), de tal proposic¸a˜o, colhemos que
d arcsenx
dx
=
1√
1− x2 , − 1 < x < 1,
Logo, usando a regra da cadeia,
d arcsen x
a
dx
=
1
a
1√
1− (x
a
)2
=
1√
a2 − x2 , − a < x < a.
Donde,
d
(
a2
2
arcsen x
a
)
dx
=
a2
2
√
a2 − x2 . E.19
Agora, um ca´lculo direto mostra que
51Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais Envolvendo Radicais
d
(
x
√
a2−x2
2
)
dx
=
a2 − 2x2
2
√
a2 − x2 . E.20
Portanto, somando E.19 e E.20 , obtemos(
a2 arcsen(x/a)
2
+
x
√
a2 − x2
2
)′
=
√
a2 − x2,
e E.18 esta´ correta.
Observac¸a˜o 2.17 Neste ponto, vem uma preocupac¸a˜o do autor: ape-
sar de as derivadas acima serem calculadas para x no intervalo aberto
(−a, a), o lado direito de E.18 pode ser estendido continuamente
para o intervalo [−a, a]. Portanto, podemos usa´-lo para calcular qual-
quer integral ∫ d
c
√
a2 − x2 dx,
onde [c, d] ⊂ [−a, a], isto e´,
∫ d
c
√
a2 − x2 dx =
(
a2 arcsen( da )
2
+
d
√
a2 − d2
2
)
−
(
a2 arcsen( ca )
2
+
c
√
a2 − c2
2
)
.
Em particular, para c = 0 e d = a,
∫ a
0
√
a2 − x2 dx = a
2 arcsen(a
a
)
2
− a
2 arcsen( 0
a
)
2
=
a2 pi
2
2
− 0 = pi
4
a2,
como ja´ vimos.
Observac¸a˜o 2.18 A substituic¸a˜o que fizemos ha´ pouco deve ser com-
parada com aquelas que fizemos na sec¸a˜o Mudanc¸a de Varia´vel – Substituic¸a˜o ,
onde as substituic¸o˜es eram bastante natural e saltavam aos nossos
olhos dentro do integrando. Diferentemente, no caso acima, a subs-
tituic¸a˜o foi constru´ıda de forma mais sutil, inspirada no triaˆngulo
retaˆngulo: x = sen θ. Em casos assim, a nova varia´vel de integrac¸a˜o e´
dada pela inversa de uma certa func¸a˜o (no exemplo em tela, a inversa
do sen). Por isto, quando fazemos algo similar, dizemos que estamos
usando o me´todo da substituic¸a˜o inversa.
As func¸o˜es sen e tg sa˜o injetiva no intervalo (−pi
2
, pi
2
). O sen cobre
[−1, 1] e a tg cobre R. Portanto, suas inversas, chamadas, respectiva-
mente, arcsen e arctg esta˜o definidas em [−1, 1] e R, respectivamente.
O arccos, tambe´m definida em [−1, 1], e´ a inversa do cos restrita ao
intervalo [0, pi], onde ele e´ injetivo. Por exemplo, arctg 0 = 0, pois
tg 0 = 0. Tambe´m, arctg 1 = pi
4
, posto que tg pi
4
= 1. Ok? O que
valeria arccos
√
3
2
? E´ claro que isto vale pi
6
.
Proposic¸a˜o 2.19 Temos as seguintes derivadas:
(i)
d arcsenx
dx
=
1√
1− x2 , −1 < x < 1.
(ii)
d arccosx
dx
= − 1√
1− x2 , −1 < x < 1.
(iii)
d arctg x
dx
=
1√
1 + x2
, −∞ < x < +∞.
52 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Me´todos de Integrac¸a˜o
Disciplina 3
Demonstrac¸a˜o
Vamos usar o teorema da func¸a˜o inversa (teorema 1.35 ),
enunciado na parte 1. Ele diz que
(f−1)′(y) =
1
f ′(x)
,
onde f(x) = y e, claro, x = f−1(y). Portanto, vamos calcular a
derivada do θ = arcsen em x, olhando para o outro lado, isto e´,
para o sen em θ, onde sen θ = x. Temos que
arcsen′(x) =
1
sen′ θ
=
1
cos θ
.
Como queremos o resultado em func¸a˜o de x, simplesmente ob-
servamos, sem esquecer que x = sen θ, que
1
cos θ
=
1√
1− (sen θ)2 =
1√
1− x2 .
Portanto,
arcsen′(x) =
1√
1− x2 .
Como exerc´ıcio, convidamos o leitor a provar (ii). Vejamos (iii).
Escrevendo θ = arctg x e x = tg θ, vem que
arctg′(x) =
1
tg′ θ
=
1
(sec θ)2
=
1
1 + (tg θ)2
=
1
1 + x2
.
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.10
Calcule as seguintes integrais.
(a)
∫
1√
1− u2 du .
(b)
∫
x
√
a2 − x2 dx, onde a > 0.
(c)
∫
1√
4− x2 dx .
(d)
∫ 1
0
1
1 + x2
dx .
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.11
Esboce as curvas y = arcsenx e y = arctg x.
53Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Integrais Envolvendo Radicais
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.12
Deˆ uma olhada na tabela de integrais de
( http://integral-table.com/integral-table.pdf ).
Exerc´ıcios de Aprendizagem 2.13
Considere a hipe´rbole x2 − y2 = 1 e a regia˜o B delimitada por
seus ramos e pelas retas y = ±√3. Use a fo´rmula (29) da tabela
acima para calcular a a´rea(B).
−√3
−1 1−2 2 x
B
√
3
y
54 Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
UNIDADE 2:
Sugesto˜es e Respostas
Disciplina 3
55
56
Sugesto˜es e Respostas
Disciplina 3
2-2 Voltar
(a)
(1+x4)
3
2
6
+ C. (Fac¸a u = 1 + x4.)
(b) 2(ax+b)
3
2
3a
+ C. (Fac¸a u = ax+ b.)
(c) sen(2x+1)
2
+ C. (Fac¸a u = 2x+ 1.)
(d) log(1 + ex) + C. (Fac¸a u = 1 + ex. A integral fica:∫
ex
1 + ex
dx =
∫
du
u
= log u+ C.)
(e) (tg x)
6
6
+ C. (Fac¸a u = tg x.)
(f) − cos(log(x)) + C. (Fac¸a u = log x.)
(g) − 1
3(x−4)2 + C.
(h) 2
√
2−1
6
.
(i) 0.
(j) 2
√
2−1
3
.
(k) e
x2
2
+ C.
2-3 Voltar Inicialmente, fazemos u = x2 e dv = ex dx. Logo,∫
x2ex dx = x2ex − 2
∫
xex dx .
Agora, calculamos, com u = x e dv = ex dx,∫
xex dx = xex −
∫
ex dx = xex − ex.
Portanto,∫
x2ex dx = x2ex − 2
∫
xex dx = x2ex − 2(xex − ex) + C.
2-5 Voltar Escreva (tg x)2 = senx sen x
(cos x)2
e use o fato que
senx
cos2 x
dx = d
(
1
cosx
)
.
Agora, integre por partes.
2-7 Voltar Escreva
x2 − 16x− 11
(x− 3) (x+ 2)2 =
A
x− 3 +
B
x+ 2
+
C
(x+ 2)2
e em seguida proceda como no exemplo anterior.
2-9 Voltar Escreva (cosx)2(senx)3 = (cosx)2
(
1− cos2 x) senx e
use a substituic¸a˜o u = cosx.
2-10 Voltar
(a) arcsenu+ C.
(b)
−(a2−x2)
3
2
3
+ C. (Na˜o se precipite, note que temos uma
substituic¸a˜o direta simples: fac¸a u = a2 − x2.)
(c) arcsin(x
2
) + C. Primeiro fac¸a uma substituic¸a˜o simples
u = x/2 e recaia na integral do item (a):∫
1√
4− x2 dx =
1
2
∫
1√
1− (x
2
)2 dx =
∫
1√
1− u2 du .
(d) pi/4. Voceˆ vai usar o arctg.
57Educac¸a˜o a` Distaˆncia
Livro de Conteu´do
Sugesto˜es e Respostas
2-11 Voltar
x x
y =