CALCULO II Roteiro_7

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Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O 
Semestre de 2013 - Mecânica 
Roteiro 7: Volumes de Sólidos de Revolução 
 
Objetivo: Utilizar a integral definida para a determinação de volumes de sólidos de 
revolução. 
 
1. Volumes de sólidos de Revolução. 
Vimos um método para a determinação da área de uma região plana. Esse método 
será estendido para a determinação do volume de um sólido de revolução. 
Seja R uma região do plano e uma reta r nesse plano. 
 
Definição: Um sólido é dito sólido de revolução, quando é obtido fazendo a rotação de 
uma região plana R em torno de uma reta r no plano. Tal reta é chamada eixo de revolução 
ou eixo de rotação. 
 
Exemplos: 
1. A esfera: Se a região R é uma semicircunferência limitada pelo seu diâmetro e a reta r é 
o próprio diâmetro, a rotação dessa região em torno de r gera a esfera. 
 
 
 Fig. 1: A esfera de revolução Fig. 2: O cone de revolução 
 
2. O cone circular reto: A região R é um triângulo retângulo e a reta r é um de seus 
catetos, obtém-se o cone circular reto. 
 
3. Cilindro: A região R é um retângulo e a reta r é um dos lados desse retângulo. 
 
 
Figura 3: O cilindro de revolução 
 
 
 
 
2 
2. Métodos para a Determinação de Volumes de sólidos de Revolução: Métodos do disco 
Circular e do Anel circular. 
Inicialmente é necessário que se defina o que se entende por volume de um sólido de 
revolução. 
 
Caso 1: O eixo de revolução é uma fronteira da região que sofre a rotação. Por 
exemplo, no caso da esfera. 
 
Seja f uma função contínua em [a, b] e admitamos que f(x)  0, para todo x  [a, b]. 
Sejam R a região R limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a, x = b e S é o 
sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x. 
Deseja-se determinar uma definição adequada para o número V que dá a medida do 
volume de S. 
Considere uma partição de [a, b], definida por: 
 
a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b. 
 
Tem-se, então n subintervalos [xi-1, xi], i = 1, ..., n, sendo o comprimento de cada 
subintervalo dado por ix = xi – xi-1. 
 Escolha um ponto qualquer i em cada subintervalo, tal que xi-1 ≤ i ≤ xi, e traça-se 
os retângulos de base ix e altura f(i). 
 Efetuando a rotação desse retângulo em torno do eixo x, obtém-se um disco circular 
na forma de um cilindro circular reto, cujo raio de base é dado por f(i) unidades e cuja 
altura é dada por ix. Como o volume de um cilindro é dado por r
2
h, tem-se que o 
volume desse anel, denotado por iV, é dado por: 
 
iV = (f(i))
2ix. 
 
 
Figura 4: O volume de sólidos de revolução. 
 
Como existem n retângulos, são obtidos n discos circulares e a soma dos volumes desses n 
discos é dada pela soma de Riemann: 
 
  x)(fV i
2n
1i
n
1i
ii  
 

. 
a b 
f(x) 
xi-1 xi 
f(i) 
i 
f(i) 
xi 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Quanto menor for a norma da partição, maior será a aproximação do número V que será 
designado para a medida do volume do sólido S. Tem-se, então, a seguinte definição. 
 
Definição: Seja f uma função contínua em [a, b] e admitamos que f(x)  0, para todo x  
[a, b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região 
limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b e se V for o número de 
unidades cúbicas no volume de S, então: 
V = 
   x f lim i
2
i
n
1i
0 P



 = 
 
b
a
2
dxf(x)
. 
 
Observação: Na determinação do volume do sólido de revolução, os elementos 
retangulares de área considerados são perpendiculares ao eixo de revolução. 
 
Exemplo: A região limitada pela curva y = x
2
, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2 sofre 
uma rotação em torno do eixo x. O volume do sólido de revolução gerado é dado por 

5
31
. 
 
Problema 1: Calcular o volume do sólido de revolução nos seguintes casos: 
(a) Pela rotação da região limitada pela curva 
2x
4
1
y 
, o eixo x e as retas x = 1 e x= 4, 
em torno do eixo dos x; 
(b) Pela rotação em torno do eixo x, da região entre o gráfico de y = senx, o eixo x, de 
2


 a 
2
3
. 
 
Observação: Definição análoga para o volume de um sólido de revolução é obtida quando 
o eixo de revolução for o eixo y ou uma reta qualquer paralela aos eixos x ou y. 
 
 
(a) Eixo de revolução paralelo ao eixo x (b) O eixo de revolução é o eixo y. 
Figura 5: O volume de sólidos de revolução. 
 
Na figura 5: (a), se L é o eixo de revolução, tem-se que: 
 
g(y) 
yi-1 
yi 
g(i) 
i 
a b 
f(x) 
xi-1 xi 
f(i) 
i 
 
 
 
 
4 
iV = (f(i) - L)
2ix e   xL)(fV i
2n
1i
n
1i
ii  
 

. 
 
Então: 
V = 
   x Lf lim i
2
i
n
1i
0 P
 


 = 
 
b
a
2
dxL-f(x)
. 
 
Na figura 5: (b), tem-se que: 
iV = (g(i))
2iy e   y)(gV i
2n
1i
n
1i
ii  
 

. 
 
Então: 
V = 
   y g lim i
2
i
n
1i
0 P



 = 
 
b
a
2
dyg(y)
. 
 
 
Problema 2: Calcular o volume do sólido de revolução nos seguintes casos: 
(a) Pela rotação da região limitada pela parábola y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, 
em torno do eixo y; 
(b) Pela rotação em torno da reta y = 4 da região limitada por 
x
1
y 
, y = 4 e x = 4. 
(c) A região R é delimitada pela parábola 
1y
2
1
x 2 
 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 
e gira em torno da reta x = -1. 
 
Caso 2: O eixo de revolução não coincide com a fronteira da região que sofre a rotação. 
 
Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e tal que f(x)  g(x)  0,  x  [a, b]. Sejam 
R a região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x = a e x = b e S é o sólido de 
revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x. 
Tome uma partição do intervalo [a, b], dada por: 
 
a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b, 
 
sendo o i-ésimo intervalo dado por [xi-1, xi] e de comprimento ix = xi – xi-1. 
Escolha um ponto qualquer i no i-ésimo subintervalo, tal que xi-1 ≤ i ≤ xi. 
Quando o i-ésimo retângulo sofre uma rotação em torno do eixo x, obtemos um anel 
circular (ou arruela). A medida da área desse anel é: 
 
iV = [(f(i))
2
 - g(i))
2
]ix. 
 
 
 
 
 
5 
 
Figura 6: O volume de sólidos de revolução. 
 
A soma das medidas dos volumes dos n anéis é dada por: 
 
     x)(g)(fV i
n
1i
n
1i
2
i
2
ii  
 

. 
 
Definição: Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e tal que f(x)  g(x)  0, x  [a, b]. 
Então, se V unidades cúbicas é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em 
torno do eixo x, da região limitada pela curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x = a e x = b, 
V = 
     x)(g)(f i
n
1i
2
i
2
i
0
lim 




 = 
     
b
a
22
dxg(x)f(x)
. 
 
Observações: 
(1) Definição análoga é obtida quando o eixo de revolução for o eixo y ou uma reta 
qualquer paralela aos eixos x ou y; 
(2) Na determinação do volume do sólido de revolução, os elementos retangulares de área 
considerados são perpendiculares ao eixo de revolução e os elementos de volume 
tomados são discos ou áreas circulares. 
 
Exemplo: O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada 
pela parábola y = x
2+ 1 e a reta y = x + 3 é V = 

5
117
. 
 
Problema 3: Calcular o volume do sólido de revolução nos seguintes casos: 
(a) Pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela parábola 
 2x13
4
1
y 
 e pela 
reta 
 5x
2
1
y 
; 
(b) Pela rotação em torno da reta x = - 4 da região limitada pelas duas parábolas x = y – y2 
e x = y
2
 – 3; 
 
 
3. Métodos para a Determinação de Volumes de sólidos de Revolução: Método do 
Invólucro Cilíndrico 
f(i
) 
g(i) 
a b xi-1 i 
f(i) 
g(i) 
xi 
 
 
 
 
6 
Na seção anterior, foi determinado o volume de um sólido de revolução, considerando-
se elementos retangulares de área, perpendiculares ao eixo de revolução e os elementos de 
volume eram discos ou áreas circulares. 
Se o elemento retangular de área for paralelo ao eixo de revolução, então quando esse 
elemento de área girar em torno do eixo de revolução, obtém-se o que se denomina 
invólucro cilíndrico. 
 
Definição: Um invólucro cilíndrico é um sólido compreendido entre dois cilindros com 
mesmo centro e eixo. 
 
Figura 7: O invólucro cilíndrico 
 
Então, o volume desse sólido é dado por 
h r h r ΔV 21
2
2i  
. 
 
Seja R a região limitada pela curva y = f(x) o eixo x e as retas x = a e x = b, sendo f 
contínua em [a,b], a  0 e f(x)  0,  x  [a,b]. Se a região R sofre uma rotação em torno 
do eixo y, obtém-se o sólido de revolução S. 
 
 
Figura 8: O invólucro cilíndrico como sólido de revolução. 
 
Consideremos o problema de determinar o volume V do sólido obtido pela rotação desta 
região em torno do eixo y. 
Seja uma partição do intervalo [a, b] dada por: 
 
r2 
r1 
h 
a b 
R 
f(x) 
No Invólucro cilíndrico tem-se 
que: 
 
 r1: raio interno; 
 r2: raio externo; 
 h: altura; 
 Vi: volume do invólucro 
cilíndrico. 
 
 
 
 
 
7 
a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b. 
 
Seja mi o ponto médio do subintervalo [xi-1, xi]. Então, 
 
2
xx
m i1ii

 
. 
 
 
Considere o retângulo de altura f(mi) e comprimento ix. Fazendo a rotação desse 
retângulo em torno do eixo y, obtemos um invólucro cilíndrico. 
 
 
 
Figura 9: O invólucro cilíndrico gerado por um elemento retangular. 
 
Seja iV a medida do volume deste invólucro cilíndrico, então: 
(a) r1 = xi-1, r2 = xi e h = f(mi); 
(b) 
)f(m x )f(m x VΔ i
2
1-ii
2
ii  
. 
 
Então, 
  )f(mx- x VΔ i21-i2ii 
 = 
   )f(mx xx- x i1-ii1-ii 
 = 
x)f(mm 2 iii 
. 
 
Assim, tem-se a seguinte soma de Riemann: 
 


n
1i
iV
 = 


n
1i
iii x)f(mm 2 
. 
 
Definição: Seja f função contínua em [a, b] e tal que f(x)  0, x  [a, b] e a  0. Se R é a 
região limitada pelas curvas y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b e se S é o sólido 
obtido pela rotação de R em torno do eixo y, e se V unidades cúbicas for o volume de S, 
então: 
V = 


n
1i
iii
0
x)f(mm 2lim 

 = 

b
a
f(x)dxx2
. 
 
a b 
R 
f(x) 
xi-1 xi m
i 
f(mi) 
 
 
 
 
8 
Exemplo: A região limitada pela curva y = x
2
, o eixo x e a reta x = 2 sofre uma rotação em 
torno do eixo dos y. Encontre o volume do sólido gerado. Tome os elementos de área 
paralelos ao eixo de revolução. 
 
Problema 4: Calcular o volume do sólido de revolução nos seguintes casos: 
(a) A região limitada pela curva y = x2, e as retas y = 1 e x = 2 sofre uma rotação em torno 
da reta y = -3; 
(b) Pela rotação em torno da reta y = -1, da região limitada pela curva y = x2, a reta x = 1 e 
x = 3.