Volume_de_solidos_de_revolucao

Prévia do material em texto

Volume de sólidos de Revolução 
 
Método do disco 
 
 Seja R uma região do plano limitada por y = f(x), onde f(x) é contínua e não 
negativa em [a, b], y = 0, x = a e x = b. Seja S um sólido gerado pela rotação de R em torno 
de OX. Consideremos uma partição P em [a, b] dada por a x x x bn    1 2 ... . Seja 
 x x x e c x xi i i i i i   1 1 , . Se Ri é o retângulo de base xi e altura f ci( ) , então Si é 
o sólido formado pela rotação de Ri em torno de OX. Neste caso, Si é um disco, cujo raio é 
f ci( ) e altura xi . Portanto,   iii xcfSV  .)()( 2 . A soma dos volumes dos n discos, Vi é 
dada por  


n
i
iii xcfV
1
2 .)( . Então     


b
a
n
i
iiP
dxxfxcfV 2
1
2
0
)(.)(lim  . 
 
        








x
y
 
 
Obs.: Se OY for o eixo de rotação e R é a região limitada por x = f(y), x = 0, y = a e y = b, 
então  
b
a
dyyfV 2)( . 
 Exemplo 1: A região delimitada pelo eixo OX, pelo gráfico da equação 12  xy 
e pelas retas x = -1 e x = 1, gira em torno do eixo OX. Determine o volume do sólido 
resultante. 
 
        








x
y
 V x dx  

 2
1
1 2
1 56
15 
 
Exemplo 2: A região delimitada pelo eixo OY e pelos gráficos de y x y e y  
3 1 8, , 
gira em torno do eixo OY. Determine o volume do sólido resultante. 
 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Calculo II 2010.2 
Professora: Edmary S. Barreto Araújo 
f 
a b 
 
   











x
y
 
 V y dy  3
1
8 2 93
5 
 
 
Método do Anel 
 
 Seja R uma região do plano limitada por y = f(x) e y = g(x) onde f(x) e g(x) são 
contínuas e não negativas em [a, b], x = a e x = b. Seja S um sólido gerado pela rotação de 
R em torno de OX. O volume do sólido resultante é dado por:      
b
a
dxxgxfV .)()( 22 
Obs.: Se OY for o eixo de rotação e R é a região limitada por x = f(y), x = g(y), x = 0, y = a 
e y = b, então      
b
a
dyygyfV .)()( 22 
Exemplo 1: A região delimitada pelos gráficos das equações 1
2
22  xyexy e 
pelas retas x = 0 e x = 1, gira em torno do eixo OX. Determine o volume do sólido 
resultante. 
 
        








x
y
   
20
791
2
2
1
0
2
22 













   dx
xxV 
 
Exemplo 2: A região delimitada pelos gráficos das equações 1
2
22  xyexy e 
pelas retas x = 0 e x = 1, gira em torno da reta y = 3. Determine o volume do sólido 
resultante. 
 
        








x
y
 V x x dx 


 








 2 2
1 51
20
2
2 2
0
1