série_potencias

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Ana´lise Matema´tica II, 2005/2006
Engenharias de Materiais e Teˆxtil
Folha no 1: Se´ries de poteˆncias
Se´ries de poteˆncias
Uma se´rie da forma
+∞∑
n=0
an(x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + ...
com a0, a1, a2, ..., an, ... ∈ R, n ∈ N e x ∈ R, denomina-se por se´rie de poteˆncias de x− c.
As constantes a0, a1, a2, ..., an, ... designam-se por coeficientes da se´rie de poteˆncias.
Como os termos da se´rie de poteˆncias sa˜o func¸o˜es da varia´vel x, o problema principal consiste
em determinar para que valores de x a se´rie e´ convergente ou e´ divergente.
Exemplo:
Considere-se a se´rie
+∞∑
n=0
(
2
3
)n (
x− 1
2
)n
Para x = 1 obte´m-se
+∞∑
n=0
(
2
3
)n (1
2
)n
=
+∞∑
n=0
(
1
3
)n → se´rie convergente.
Para x = 3 obte´m-se
+∞∑
n=0
(
2
3
)n (5
2
)n
=
+∞∑
n=0
(
5
3
)n → se´rie divergente.
Para os valores de x em que a se´rie de poteˆncias e´ convergente, a soma define uma
func¸a˜o de x.
Teorema: Dada a se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
an(x− c)n verifica-se uma das seguintes afirmac¸o˜es:
1. A se´rie so´ converge em x = c, ou
2. a se´rie converge para todo o nu´mero real, ou
3. existe um nu´mero real positivo R tal que a se´rie converge para todo o x pertencente ao
intervalo ]c−R, c+R[ e diverge para todo o x pertencente ao intervalo ]−∞, c−R[∪ ]c+R,+∞[ .
Neste caso, a se´rie pode ou na˜o convergir nos pontos fronteiros do intervalo x = c−R e x = c+R,
nestes pontos a se´rie tem que ser estudada separadamente.
Em qualquer dos casos a convergeˆncia e´ absoluta, excepto possivelmente em x = c−R e x = c+R,
no 3ocaso. Ao valor real R > 0 chama-se raio de convergeˆncia da se´rie.Assim, uma se´rie de
poteˆncias converge num intervalo centrado em c, com raio R.
1
Como determinar o raio de convergeˆncia R?
O raio de convergeˆncia R pode ser encontrado utilizando na se´rie dos mo´dulos correspondente,
o crite´rio da raza˜o ou outro crite´rio utilizado na determinac¸a˜o da natureza de uma se´rie nume´rica.
1- Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das seguintes se´ries de poteˆncias:
a)
+∞∑
n=0
xn
2n
b)
+∞∑
n=1
(−1)n+1 xn
n2
c)
+∞∑
n=1
2n
(2n)!
x2n d)
+∞∑
n=1
n2
23n
(x+ 4)n
Nota: Recorde o crite´rio da raza˜o para se´ries de termos positivos!
Como ja´ foi referido, para os valores de x em que a se´rie de poteˆncias e´ convergente, a soma
define uma func¸a˜o de x,
+∞∑
n=0
an(x− c)n = f(x)
Diz-se que a se´rie de poteˆncias e´ um desenvolvimento de f nesse intervalo.
Exemplo:
A se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
xn e´ convergente no intervalo ]−1, 1[ .
Nesse intervalo,
+∞∑
n=0
xn = 1
1−x .
Porqueˆ?
2- Sabendo que
+∞∑
n=1
xn−1 = 1
1−x quando x ∈ ]−1, 1[ e usando diferenciac¸a˜o na al´ınea a), integrac¸a˜o
e substituic¸a˜o na al´ınea b), determine representac¸o˜es em se´rie de poteˆncias das func¸o˜es:
a) 1
(1−x)2 b) ln(1 + x)
2
Se´ries de Taylor e MacLaurin
Qual a relac¸a˜o entre a func¸a˜o f e os coeficientes a0, a1, a2, ... da se´rie de poteˆncias que
a representa?
Suponha-se que a se´rie
+∞∑
n=0
an(x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + ...
converge para f(x) no intervalo ]c−R, c+R[ , com R > 0.
Enta˜o
ak =
f (k)(c)
k!
para k = 0, 1, 2, ...
Mostre que essa relac¸a˜o se verifica no exemplo b) do exerc´ıcio anterior.
Definic¸a˜o - Se f tiver derivadas de todas as ordens em x = c (isto e´, se f (k)(c) existe para
k = 0, 1, 2, ...) enta˜o a se´rie
+∞∑
n=0
f (k)(c)
k!
(x− c)n = f(c) + f ′(c)(x− c) + f
′′(c)
2
(x− c)2 + ..
designa-se por desenvolvimento em se´rie de Taylor da func¸a˜o f na vizinhanc¸a do ponto
x = c.
Se c = 0, enta˜o a se´rie e´ denominada por se´rie de MacLaurin em vez de se´rie de Taylor.
3- Determine os desenvolvimentos em se´rie de poteˆncias das func¸o˜es seguintes numa vizinhanc¸a
de c ∈ R :
a) f(x) = x3 + 4x2 − x+ 1 com c = 1 b) f(x) = cosx com c = pi
2
4- Determine os desenvolvimentos em Se´rie de MacLaurin de ordem n das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 1
cosx
, n = 6 b) f(x) = x
sinx
, n = 4 c) f(x) = log(x+ 3), n = 8
5- Desenvolva em se´rie de MacLaurin e determine o intervalo de convergeˆncia das func¸o˜es
seguintes:
a) f(x) = sinx
x
b) f(x) = e
x2−1
x
c) f(x) = arctg(−x)
x
6- Aplicando os desenvolvimentos limitados conhecidos calcule:
a) lim
x→0
1− cosx
x2
b) lim
x→0
1
x
(cotgx− 1
x
) c) lim
x→0
(
1
x2
− sin
2 x
x4
)
d)
∫ 1
0
e−x
2
dx
3