Cálculo 3 - Aula 6 - Séries de potência

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CÁLCULO 3
AULA 6 – SÉRIES DE POTÊNCIA
PLANEJAMENTO
CÁLCULO 3
AULA 6
SÉRIES DE 
POTÊNCIA
SÉRIES DE 
POTÊNCIA 
CENTRADAS
3 12
RAIO E 
INTERVALO DE 
CONVERGÊNCIA
17
FÓRMULAS E 
CONCEITOS 
PRINCIPAIS
37
o Expressões algébricas formadas pela adição de dois ou mais 
monômios
• Monômios são constituídos pelo produto entre números 
conhecidos e variáveis
▪ Monômio: 3𝑥2
▪ Polinômio: 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 3𝑥2 + 4𝑥1 + 2𝑥0
REVISÃO - POLINÔMIOS1
1
o Vantagens de trabalhar com polinômios:
• Fáceis de derivar 
• Fáceis de integrar 
REVISÃO - POLINÔMIOS1
2
𝑓 𝑥 = 3𝑥2
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥
න3𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3
SÉRIES DE POTÊNCIA
o São uma “junção” de conceitos de polinômios e de séries
• Utilizamos séries para escrever polinômios de maneira mais 
condensada
IMPORTÂNCIA1
4
o São uma maneira de representar funções importantes que 
aparecem na matemática, na física e na química
o Funções de Bessel
• Aplicadas em diversas situações físicas
▪ Distribuição de temperatura em uma placa circular 
▪ Descrição da forma de uma membrana vibrante
IMPORTÂNCIA1
5
IMPORTÂNCIA1
6
Modelo gerado por computador com auxilio das funções de Bessel, que 
se assemelha a foto de uma membrana de borracha vibrando
o São caracterizadas por:
• σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥
3 +⋯
• 𝑐𝑛 são constantes e 𝑥 é a variável
o Gera uma função polinomial com infinitos termos
• 𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥
3 +⋯
• O domínio são todos os valores para os quais a série converge
SÉRIES DE POTÊNCIA2
7
o Se 𝑐𝑛= 1 para todos os valores de 𝑛, a série de potência se 
transforma em uma série geométrica
o σ𝑛=0
∞ 1𝑥𝑛 =1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯
o σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯
• 𝑟 = 𝑥
• 𝑎 = 1
RELAÇÃO COM SÉRIES GEOMÉTRICAS3
8
Para 𝑟 = 1 a série diverge
Para |𝑟| < 1 a série converge em 𝑎
1−𝑟
Para |𝑟| > 1 a série diverge
Para 𝑥 = 1 a série diverge
Para |𝑥| < 1 a série converge em 
1
1−𝑥
Para |𝑥| > 1 a série diverge
▪ Para quais valores a série σ𝑛=0
∞ 𝑛! 𝑥𝑛 é convergente ?
o Se 𝑥 = 0
• σ𝑛=0
∞ 𝑛! 𝑥𝑛 = 0 + 0 + 0 + 0 +⋯
• A série se torna uma somatória de parcelas nulas, logo, 
converge
EXEMPLO 14
9
▪ Para quais valores a sérieσ𝑛=0
∞ 𝑛! 𝑥𝑛 é convergente ?
o Se 𝑥 ≠ 0
• Aplicando o teste da razão:
• lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛+1 ! 𝑥𝑛+1
𝑛! 𝑥𝑛
• lim
𝑛→∞
𝑛+1 ! 𝑥𝑛+1
𝑛! 𝑥𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛+1 𝑛! 𝑥𝑛𝑥
𝑛! 𝑥𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 𝑥 = ∞ = Diverge
EXEMPLO 14
10
Temos que manter o módulo
pois não sabemos se 𝑥 é 
positivo ou negativo
No teste da razão, a série diverge para 𝐿 > 1
▪ Para quais valores a série σ𝑛=0
∞ 𝑛! 𝑥𝑛 é convergente ?
o A série converge apenas quando 𝑥 = 0
EXEMPLO 14
11
https://www.geogebra.org/classic/x83gmbpg
Testar para 𝑥 = −0,8, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 0,6
SÉRIE DE POTÊNCIAS CENTRADAS
o Uma série de potência centrada em 𝑎 é dada por: 
• σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛= 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 +⋯
• 𝑎 é responsável por deslocar a série 
• σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 é uma série centrada na origem !
SÉRIES DE POTÊNCIA CENTRADAS1
13
REVISÃO - DESLOCAMENTO2
14
𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)2
𝑓 𝑥 = (𝑥 + 1)2
𝑥2 + 𝑦2 = 9
(𝑥 − 1)2+(𝑦 − 1)2= 9
(𝑥 + 1)2+(𝑦 + 1)2= 9
o Uma série de potência centrada em 𝑎 é dada por 
• σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛= 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 +⋯
o Observações:
• Quando 𝑛 = 0 existe a convenção de que (𝑥 − 𝑎)0= 1, mesmo 
que 𝑥 = 𝑎
SÉRIES DE POTÊNCIA CENTRADAS3
15
00 normalmente é uma indeterminação matemática
o Uma série de potência centrada em 𝑎 é dada por 
• σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛= 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 +⋯
o Observações:
• Para 𝑥 = 𝑎, todos os termos da série para 𝑛 ≥ 1 são 0
• Logo, a série de potência sempre converge quando 𝑥 = 𝑎
SÉRIES DE POTÊNCIA CENTRADAS3
16
RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
o Para uma série de potências σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 existem três 
possibilidades:
o 1 - Converge apenas para 𝑥 = 𝑎
o 2 - Converge para todo valor de 𝑥
o 3 - Existe um raio 𝑅 de convergência onde a série: 
• Converge se 𝑥 − 𝑎 < 𝑅
• Diverge se |𝑥 − 𝑎| > 𝑅
TEOREMA1
18
O 𝑥 é a parte mais importante para analisar a convergência
ou divergência, já que pode assumir vários valores
o O valor 𝑅 é chamado de raio de convergência
• No caso 1, 𝑅 = 0
• No caso 2, 𝑅 = ∞
• No caso 3, 𝑅 depende de características da série, que devem 
ser analisadas
RAIO DE CONVERGÊNCIA2
19
Normalmente, o teste da razão e o teste da raiz são 
indicados para determinar o raio de convergência
o Um intervalo de convergência são todos os valores de 𝑥 em 
que a série converge
• No caso 1, ele é o ponto 𝑎
• No caso 2, o intervalo é (−∞,∞)
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA3
20
o No caso 3:
• A inequação |𝑥 − 𝑎| < 𝑅 pode ser reescrita como:
• 𝑎 − 𝑅 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑅
• Quando 𝑥 está exatamente em uma extremidade do intervalo, 
ou seja, em 𝑥 = 𝑎 ± 𝑅, a série pode divergir ou convergir, então, 
mais análises precisam ser feitas
• Existem 4 possibilidades de intervalo de convergência:
• 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 [𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅]
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA3
21
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA3
22
▪ Encontre o raio e o intervalo de convergência da série a seguir: 
▪ σ𝑛=0
∞ 𝑛(𝑥+2)
𝑛
3𝑛+1
o Com o teste da razão:
• lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛+1)(𝑥+2)𝑛+1
3𝑛+2
𝑛(𝑥+2)𝑛
3𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑛+1 𝑥+2 𝑛+1
3𝑛+2
.
3𝑛+1
𝑛 𝑥+2 𝑛
EXEMPLO 14
23
Temos que manter o módulo
pois não sabemos se 𝑥 é 
positivo ou negativo
• lim
𝑛→∞
𝑛+1 𝑥+2 𝑛+1
3𝑛+2
.
3𝑛+1
𝑛 𝑥+2 𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛+1 (𝑥+2) 𝑥+2 𝑛
3𝑛+1. 31
.
3𝑛+1
𝑛 𝑥+2 𝑛
• = lim
𝑛→∞
𝑛+1 (𝑥+2)
3
.
1
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛+1 (𝑥+2)
3𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛+1)
𝑛
.
𝑥+2
3
• = lim
𝑛→∞
1+
1
𝑛
1
.
𝑥+2
3
=
𝑥+2
3
= 𝐿
o 𝐿 =
𝑥+2
3
, logo, temos que analisar os valores de x
EXEMPLO 14
24
•
𝑥+2
3
< 1
• −1 <
𝑥+2
3
< 1
• −3 < 𝑥 + 2 < 3
• −5 < 𝑥 < 1
o A série converge para 𝑥 + 2 < 3 e diverge para 𝑥 + 2 > 3
EXEMPLO 14
25
Converge absolutamente para 𝐿 < 1
Diverge para 𝐿 > 1
Para 𝐿 = 1, o teste é inconclusivo
o A série converge para 𝑥 + 2 < 3 e diverge para 𝑥 + 2 > 3
o Logo, o raio de convergência é 3
EXEMPLO 14
26
3 − Existe um raio 𝑅 de convergência onde a série 
converge se |𝑥 − 𝑎| < 𝑅 e diverge para |𝑥 − 𝑎| > 𝑅
o Já sabemos que a série converge para −5 < 𝑥 < 1
o Agora vamos avaliar o que acontece nos extremos:
o 𝑥 = −5 a série se torna:
• σ𝑛=0
∞ 𝑛(𝑥+2)
𝑛
3𝑛+1
= σ𝑛=0
∞ 𝑛(−3)
𝑛
3𝑛+1
=
1
3
σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛𝑛 que é divergente
o 𝑥 = 1 a série se torna:
• σ𝑛=0
∞ 𝑛(𝑥+2)
𝑛
3𝑛+1
= σ𝑛=0
∞ 𝑛(3)
𝑛
3𝑛+1
=
1
3
σ𝑛=0
∞ 𝑛 que é divergente
o Logo, ela continua convergindo só em −5 < 𝑥 < 1
EXEMPLO 14
27
EXEMPLO 14
28
https://www.geogebra.org/classic/dhuc6ttn
Testar valores de 𝑛 altos com 𝑥 = 1, 𝑥 = 0,9, 𝑥 = −4,9 e 𝑥 = −5
▪ Para quais valores a série σ𝑛=1
∞ (𝑥−3)
𝑛
𝑛
é convergente ?
o Aplicando o teste da razão:
• lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑥−3)𝑛+1
𝑛+1
(𝑥−3)𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑥−3 𝑛+1
𝑛+1
.
𝑛
𝑥−3 𝑛
EXEMPLO 25
29
Por mais que a teoria mostre a série começando 
de 𝑛 = 0, o exercício pediu pra começar de 𝑛 = 1, 
então devemos seguir essa especificação
Temos que manter o módulo pois não sabemos se 𝑥 é positivo ou negativo
lim
𝑛→∞
𝑥−3 𝑛+1
𝑛+1
.
𝑛
𝑥−3 𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑥−3 (𝑥−3)𝑛
𝑛+1
.
𝑛
𝑥−3 𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑥−3)
𝑛+1
.
𝑛
1
= lim
𝑛→∞
𝑥−3 𝑛
𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑥 − 3
𝑛
𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑥 − 3
1
1+
1
𝑛
= 𝑥 − 3 = 𝐿
EXEMPLO 25
30
o O resultado do teste é 𝐿 = |𝑥 − 3|
o Como o resultado de 𝐿 depende da variável 𝑥, então temos que 
analisar
EXEMPLO 25
31
Converge absolutamente para 𝐿 < 1
Diverge para 𝐿 > 1
Para 𝐿 = 1, o teste é inconclusivo
• 𝐿 = |𝑥 − 3|
• |𝑥 − 3| < 1
• −1 < 𝑥 − 3 < 1
• 2 < 𝑥 < 4
o A série convergeabsolutamente para 2 < 𝑥 < 4
o Diverge para 𝑥 < 2 e 𝑥 > 4
o O teste é inconclusivo quando |𝑥 − 3| = 1, ou seja, temos que 
analisar novamente
EXEMPLO 25
32
• |𝑥 − 3| = 1
• Temos 𝑥 = 2 e 𝑥 = 4
o Para 𝑥 = 2, a série se transforma em σ
(−1)𝑛
𝑛
, uma série alternada 
e convergente de acordo com o teste da série alternada
o Para 𝑥 = 4, a série se transforma em uma série harmônica σ
1
𝑛
, 
que é sempre divergente
o A série inicial σ𝑛=1
∞ (𝑥−3)
𝑛
𝑛
converge para 2 ≤ 𝑥 < 4
EXEMPLO 25
33
o A série inicial σ𝑛=1
∞ (𝑥−3)
𝑛
𝑛
converge para 2 ≤ 𝑥 < 4
EXEMPLO 25
34
https://www.geogebra.org/classic/vtnzbseg
Testar para 𝑥 = 4, 𝑥 = 5, 𝑥 = 2 e 𝑥 = 1
▪ Qual o intervalo de convergência da série σ𝑛=0
∞ (𝑥 − 3)𝑛 ?
o Aplicando o teste da raiz:
• lim
𝑛→∞
𝑛 |(𝑥 − 3)𝑛| = 𝑥 − 3 = 𝐿
• |𝑥 − 3| < 1
• 2 < 𝑥 < 4
EXEMPLO 36
35
Temos que manter o módulo
pois não sabemos se 𝑥 é 
positivo ou negativo
Converge absolutamente para 𝐿 < 1
Diverge para 𝐿 > 1
Para 𝐿 = 1, o teste é inconclusivo
• |𝑥 − 3| < 1
• 2 < 𝑥 < 4
o O centro da série é 𝑎 = 3 e a distância desse ponto até as 
bordas é 1, ou seja, o raio 𝑅 = 1
o Verificando os extremos da série, vemos que ela diverge em 
𝑥 = 2 e 𝑥 = 4, logo, o intervalo continua 2 < 𝑥 < 4
EXEMPLO 36
36
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥
3 +⋯
𝑐𝑛 são constantes e 𝑥 é a variável
Gera uma função polinomial com infinitos termos
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥
3 +⋯
O domínio são todos os valores para os quais a série converge
Se 𝑐𝑛= 1 para todos os valores de 𝑛, a série de potência se 
transforma em uma série geométrica
Séries de potência
38
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
39
Uma série de potência centrada em 𝑎 é dada por: 
σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛= 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 +
𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 +⋯
𝑎 é responsável por deslocar a série 
σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 é uma série centrada na origem !
Quando 𝑛 = 0 existe a convenção de que (𝑥 − 𝑎)0= 1, mesmo que 𝑥 = 𝑎
Para 𝑥 = 𝑎, todos os termos da série para 𝑛 ≥ 1 são 0
Logo, a série de potência sempre converge quando 𝑥 = 𝑎
Séries de potência centradas
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
40
σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 existem três 
possibilidades:
1 - Converge apenas para 𝑥 = 𝑎
2 - Converge para todo valor de 𝑥
3 - Existe um raio 𝑅 de convergência 
onde a série 
Converge se 𝑥 − 𝑎 < 𝑅
Diverge se |𝑥 − 𝑎| > 𝑅
𝑅 é chamado de raio de convergência
No caso 1, 𝑅 = 0
No caso 2, 𝑅 = ∞
No caso 3, 𝑅 depende de características 
da série, que devem ser analisadas
Todos os valores de 𝑥 em que a série converge
No caso 1, ele é o ponto 𝑎
No caso 2, o intervalo é (−∞,∞)
No caso 3:
Quando 𝑥 está exatamente em uma extremidade do 
intervalo ou seja, em 𝑥 = 𝑎 ± 𝑅, a série pode divergir ou 
convergir, então análises precisam ser feitas
Existem então 4 possibilidades de intervalo de 
convergência:
𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 [𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅]
Convergência
Raio de convergência
Intervalo de convergência
o Aulas de cálculo 3 – UNICAMP – Professora Elaine Cristina Poletti
o Livro – Stewart, Cálculo, vol II, 7ª edição 
o Conteúdo de cálculo 3 – RespondeAi -
https://www.respondeai.com.br/materias
o Conteúdo de cálculo 3 – KhanAcademy - https://pt.khanacademy.org
o Polinômios – Brasil Escola -
o https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-
polinomio.htm#:~:text=Polinômios%20são%20expressões%20algébricas%20for
madas%20pela%20adição%20de%20monômios.
FONTES:
https://www.respondeai.com.br/materias
https://pt.khanacademy.org/
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-polinomio.htm#:~:text=Polinômios%20são%20expressões%20algébricas%20formadas%20pela%20adição%20de%20monômios