Cálculo 3 - Aula 7 - Séries de Taylor e Mclaurin

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CÁLCULO 3
AULA 7 – SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN
PLANEJAMENTO
CÁLCULO 3
AULA 7
FUNÇÕES, DERIVAÇÃO 
E INTEGRAÇÃO
SÉRIES DE TAYLOR 
E MCLAURIN
FÓRMULAS E 
CONCEITOS 
PRINCIPAIS
1 11 21
FUNÇÕES, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 
COM SÉRIES DE POTÊNCIA
o Por que expressar uma função conhecida como uma soma 
infinita de termos através das séries ?
• Integrar funções que não têm integrais elementares
• Resolver as equações diferenciais 
• Aproximar funções por polinômios
• Simplificar expressões e representar as funções em 
calculadoras e computadores
IMPORTÂNCIA1
2
o Já sabemos que em uma série geométrica:
• Para |𝑟| < 1 a série é convergente e sua soma é 
𝑎
1−𝑟
▪ Exercício:
▪ Encontrar o valor da soma de σ𝑛=0
∞ 𝑥𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯
sabendo que 𝑥 < 1
• Perceba que isso é uma série geométrica com 𝑎 = 1 e 𝑟 = 𝑥
• Logo, σ𝑛=0
∞ 𝑥𝑛 =
1
1−𝑥
RELEMBRANDO2
3
𝑥0 = 1 mesmo que 𝑥 = 0
Vamos usar esse 
resultado futuramente !
o Se a série de potências σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 tiver um raio de
convergência 𝑅 > 0
o A função gerada 𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2 +⋯
• É contínua em (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) e pode ser derivada e integrada
TEOREMA3
4
A vantagem é que polinômios são fáceis de derivar e integrar 
Só posso derivar e integrar no intervalo que ela é convergente
O domínio da função são todos os valores para os quais a série converge
o 𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 +⋯
• = σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
o 𝑓′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2(𝑥 − 𝑎) + 3𝑐3(𝑥 − 𝑎)
2 +⋯
• = σ𝑛=1
∞ 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1
o 𝑓׬ 𝑥 𝑑𝑥 =𝐶 + 𝑐0 𝑥 − 𝑎 + 𝑐1
(𝑥−𝑎)2
2
+ 𝑐2
(𝑥−𝑎)3
3
• = 𝐶 + σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛
(𝑥−𝑎)𝑛+1
𝑛+1
TEOREMA3
5
▪ Represente a função 𝑓 𝑥 = ln(1 + 𝑥) em uma soma infinita de 
polinômios e determine seu raio de convergência
o Derivando a função, temos 𝑓′ 𝑥 =
1
1+𝑥
• Esse resultado é parecido com o resultado que tínhamos 
relembrado:
• σ𝑛=0
∞ 𝑥𝑛 =
1
1−𝑥
EXEMPLO 4
6
o 𝑓′ 𝑥 =
1
1+𝑥
o σ𝑛=0
∞ 𝑥𝑛 =
1
1−𝑥
• Então, como 
1
1+𝑥
pode ser escrito como
1
1−(−𝑥)
, e sabemos que 
isso pode ser escrito como uma série geométrica, temos uma 
relação !
EXEMPLO 4
7
• A diferença agora é que temos 𝑟 = −𝑥, então a série fica
• 𝑓′ 𝑥 =
1
1+𝑥
= σ𝑛=0
∞ (−𝑥)𝑛 = σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛 (𝑥)𝑛 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 +⋯
o Mas o que queremos representar como uma série é a 𝑓(𝑥), não 
a sua derivada
o Por isso, vamos integrar os dois lados para voltar a 𝑓(𝑥)
EXEMPLO 4
8
Para |𝑥| < 1
• 𝑓′ 𝑥 =
1
1+𝑥
= σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛 𝑥 𝑛
• ׬
1
1+𝑥
𝑑𝑥 = σ𝑛=0׬
∞ (−1)𝑛 (𝑥)𝑛 𝑑𝑥
• ln 1 + 𝑥 = 𝑐 + σ𝑛=0
∞ (−1)
𝑛𝑥𝑛+1
𝑛+1
EXEMPLO 4
9
o 𝑐 + σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛
𝑥𝑛+1
𝑛+1
= c + σ𝑛=1
∞ (−1)𝑛−1
𝑥𝑛
𝑛
o 3 - Existe um raio 𝑅 de convergência onde a série converge se 
𝑥 − 𝑎 < 𝑅
• Como |𝑥| < 1
• O raio de convergência é 𝑅 = 1
• A convergência acontece em −1 < 𝑥 < 1
EXEMPLO 4
10
A mudança de número inicial na somatória foi 
feita pra ver mais claramente a série geométrica, 
já que normalmente ela começa de 𝑛 = 1
Para |𝑥| < 1
SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN
o Se uma função 𝑓(𝑥) tem uma representação em séries de 
potência em torno de 𝑎, ou seja, 𝑓(𝑥) = σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 para 
|𝑥 − 𝑎| < 𝑅
o Se 𝑐𝑛 =
𝑓 𝑛 (𝑎)
𝑛!
o Temos uma série de Taylor:
• 𝑓 𝑥 = σ𝑛=0
∞ 𝑓
𝑛 (𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
= 𝑓 𝑎 +
𝑓′(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2+
𝑓′′′(𝑎)
3!
(𝑥 − 𝑎)3+⋯
SÉRIE DE TAYLOR1
12
o Se em uma série de Taylor o valor de 𝑎 = 0
o Temos uma série de Maclaurin:
• 𝑓 𝑥 = σ𝑛=0
∞ 𝑓
𝑛 (0)
𝑛!
(𝑥 − 0)𝑛
= 𝑓 0 +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +⋯
SÉRIE DE MACLAURIN2
13
▪ Determinar a série de Maclaurin de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
o 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑓 0 +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′′(0)
3!
𝑥3 +⋯
= 0 + 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+⋯ = σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
2𝑛+1 !
EXEMPLO 13
14
o 𝑓 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+⋯
o 𝑇0 = Truncamento no termo 0
• 𝑓 𝑥 = 𝑥
o 𝑇2 = Truncamento no termo 2
• 𝑓 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
EXEMPLO 13
15
Truncar uma série em certo ponto 
significa “ignorar” seus termos a 
partir daquele ponto
0 1 2 3
o Quanto mais termos no truncamento, mais próxima da 
função real a aproximação fica
o Essa garantia de proximidade só é valida na vizinhança de 
𝑎 = 0 por causa do teorema de Maclaurin
EXEMPLO 13
16https://www.geogebra.org/classic/u3rxhjvk
▪ Determinar a série de Maclaurin de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
o 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 = 𝑓 0 +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +⋯
= 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+⋯ = σ𝑛=0
∞ 𝑥
𝑛
𝑛!
EXEMPLO 24
17
EXEMPLO 24
https://www.geogebra.org/classic/pc45ub6p
18
o Usamos séries de potência para representar funções de difícil 
manipulação
o Temos garantias de convergência, integrabilidade e 
derivabilidade na reescrita
o Devido a natureza dos teoremas, Taylor é usado quando não 
estamos centrados na origem e Maclaurin é pra quando 
estamos
IMPORTÂNCIA5
19
DICAS !6
20
Lista com séries de 
Maclaurin importantes 
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
22
σ𝑛=0
∞ 𝑥𝑛 =
1
1−𝑥
para |𝑥| < 1
Se a série de potências σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 tiver um raio de convergência 𝑅 > 0
A função 𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)3 +⋯
É contínua em (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) e pode ser derivada e integrada
Relembrando
Funções, derivadas e integrais em séries
𝑓′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2(𝑥 − 𝑎) + 3𝑐3(𝑥 − 𝑎)
2 +⋯ = σ𝑛=1
∞ 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1
𝑓׬ 𝑥 𝑑𝑥 =𝐶 + 𝑐0 𝑥 − 𝑎 + 𝑐1
(𝑥−𝑎)2
2
+ 𝑐2
(𝑥−𝑎)3
3
= 𝐶 + σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛
(𝑥−𝑎)𝑛+1
𝑛+1
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
23
Taylor
Se uma função 𝑓(𝑥) tem uma representação em séries de potência em torno de 𝑎, ou seja, 
𝑓(𝑥) = σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 para |𝑥 − 𝑎| < 𝑅
Se 𝑐𝑛 =
𝑓 𝑛 (𝑎)
𝑛!
Temos uma série de Taylor:
𝑓 𝑥 = σ𝑛=0
∞ 𝑓
𝑛 (𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑓 𝑎 +
𝑓′(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2+
𝑓′′′(𝑎)
3!
(𝑥 − 𝑎)3+⋯
Se em uma série de Taylor o valor de 𝑎 = 0
Temos uma série de Maclaurin:
𝑓 𝑥 = σ𝑛=0
∞ 𝑓
𝑛 (0)
𝑛!
(𝑥 − 0)𝑛 = 𝑓 0 +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +⋯
Maclaurin
o Aulas de cálculo 3 – UNICAMP – Professora Elaine Cristina Poletti
o Livro – Stewart, Cálculo, vol II, 7ª edição
o Conteúdo de cálculo 3 – RespondeAi -
https://www.respondeai.com.br/materias
o Conteúdo de cálculo 3 – KhanAcademy - https://pt.khanacademy.org
FONTES:
https://www.respondeai.com.br/materias
https://pt.khanacademy.org/