Trabalho - Equações Diferenciais 1

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INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo demonstrar a possibilidade de solucionar problemas relacionados a diversas áreas através da aplicação da equação diferencial ordinária de 1ª ordem.
Na investigação de um homicídio, por exemplo, é muitas vezes importante estimar o instante da morte. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e meio- ambiente.
Vamos descrever uma forma matemática que pode ser usada para resolução deste problema, sendo esta, resultado da modelagem matemática da Lei do resfriamento de Newton (que será abordada ao longo do estudo).
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Sabemos que inúmeros problemas de física encontram sua expressão natural através de uma equação diferencial ordinária, a qual descreve o comportamento desses fenômenos. Uma dessas equações resulta da aplicação da Lei de Resfriamento de Newton. Através dela podemos determinar a temperatura de um determinado corpo sem fonte interna ou externa de calor. Por exemplo: determinar o instante da morte de uma pessoa; determinar o tempo necessário para o resfriamento de uma barra de metal; etc. 
 A Lei de Resfriamento de Newton nos afirma o seguinte “a taxa de variação, no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio que o circunda, BRONSON e RICHARD (1994)”.
 Conforme BASSANEZZI e FERRERIA JR. (1988), sendo um corpo sem fonte interna de calor deixado em um ambiente com temperatura T, sua temperatura tende a entrar em equilíbrio com a temperatura do ambiente Tm, se T < Tm este corpo se aquecerá, mas se T > Tm ele se resfriará. Como a temperatura de um corpo é considerada uniforme, ela será uma função do tempo, ou seja, T = T(t), quanto maior for |T - Tm|, mais rápida será a variação
T(t).
DEDUÇÃO DOS CÁLCULOS DO MODELO MATEMÁTICO
Utilizando do modelo matemática da Lei de Resfriamento de Newton, podemos verificar que um dos itens descreve sobre a Taxa de Variação da temperatura em relação ao Tempo. E é exatamente esta relação que utilizaremos para encontrar a solução para o seguinte problema:
Investigando um assassinato
O Corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado a uma temperatura de 35 ºC, ás 18h, em uma sala com temperatura constante de 20 ºC. Duas horas depois a temperatura do corpo é de 33 ºC. A que horas ocorreu o assassinato?
Utilizando a derivada de 1ª ordem da Temperatura (T) em relação ao Tempo (t), juntamente com a afirmação da lei de resfriamento teremos a seguinte fórmula matemática:
Onde:
- T é a temperatura do corpo;
- Tm é a temperatura constante do ambiente em que o mesmo foi encontrado;
- k é a constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do ambiente;
 Agora iremos organizar nossa equação para que a mesma se torne uma equação homogênea:
 T(t) = . c + 20 
PROBLEMA COM A RESOLUÇÃO EM DETALHES
Investigando um assassinato
O Corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado a uma temperatura de 35 ºC, ás 18h, em uma sala com temperatura constante de 20 ºC. Duas horas depois a temperatura do corpo é de 33 ºC. A que horas ocorreu o assassinato?
T(t) = 
. c + 20Fórmula: 
1º Passo:
No tempo 0, teremos a Temperatura de 35 ºC
 t= 0h
 T= 35 ºC
T= .c +20
35= c + 20
c= 35 – 20
c = 15
 
Encontrado o valor da constante, teremos a seguinte equação:
T = .15 + 20 
T= 15 + 20
Agora iremos encontrar a constante K, utilizando para este cálculo a Temperatura de 33 ºC, no instante t= 1h
T=15 + 20
33 = 15 + 20
33 – 20= 15
=
k= - ln
Substituiremos a constante K, utilizando a temperatura constante do corpo humano T = 37ºC, teremos:
Ou seja, a vítima foi assassinada 52 minutos e 32 segundos antes do corpo ser encontrado, sendo assim o horário do assassinato foi ás 17h 7min e 30seg.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Concluímos assim que, a aplicação da equação diferencial ordinária de 1ª ordem, mostra-se um instrumento de grande importância, pois possibilita a análise de outras ciências, permitindo a verificação prévia da equação matemática utilizada para modelar o problema em questão, verificando se o mesmo realmente se adequada ao fenômeno descrito.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
POCZPSKI, Loise Dietrich,