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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS Campus de Palmas Curso de Engenharia Civil/Elétrica Nome : ........................................................................ Conceito: ............ Séries e Equações Diferenciais Trabalho individual Observações: (a) Resolver todas as questões; (b) O trabalho é individual e sem consulta; (c) O tempo máximo para entrega deste trabalho resolvido é o dia 02/10/2012 as 14 horas; (d) A interpretação das questões faz parte do trabalho. (e) Justifique cada resposta. Prof. Dr. Sc. Christian Q. Pinedo 1. Para y 6= 0 consideremos a equação diferencial 2y dy dx + 2y2 = 5 + 2x a) Achar a solução geral implícita usando fatores integrantes b) Achar a solução particular que passa pelo ponto (0, √ 5) e o intervalo máximo onde ela está definida 2. Para 1 2pi < x < 1 pi , considere a equação de Ricatti y′ = 1 x y2 − 1 x y + 1 x3 . a) Achar uma solução particular da forma y1(x) = xα cot (1 x ) b) Achar a solução geral. 3. Uma garrafa de vinho a temperatura ambiente de 70oF é colocado em um recipiente que mantém uma temperatura constante de 32oF . Passados 15 minutos observa-se que o vinho se encontra a temperatura de 60oF . Quanto tempo a mais o vinho deve ficar no recipiente para alcançar uma tempera- tura de 56oF? 2 4. Na cidade de Patópolis a população é de 5000 habitantes, dez delas têm uma enfermi- dade contagiosa. A velocidade de propagação da doença é proporcional ao produto das pessoas contagiadas com as pessoas não contagiadas com uma constante de proporcionalidade 0,2. Determine e resolva a equação diferencial correspondente. 5. Considere a série de potências ∑ an+1 n+ 1 xn+1 com a ∈ R+ a) Determine o raio e convergência da série e estude a sua natureza nos extremos do intervalo de convergência. b) Considere a série numérica que se obtém fazendo x = −3. Justifique que existe um único valor de a para o qual a série numérica correspondente é simplesmente convergente e determine-o Palmas, 25 de setembro de 2012 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS Campus de Palmas Curso de Engenharia Civil/Elétrica Séries e Equações Diferenciais Primeira Prova Questão 1. Para y 6= 0 consideremos a equação diferencial 2y dy dx + 2y2 = 5 + 2x a) Achar a solução geral implícita usando fatores integrantes b) Achar a solução particular que passa pelo ponto (0, √ 5) e o intervalo máximo onde ela está definida Solução. a) A equação podemos escrever na forma M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 onde M(x, y) = 5 + 2x − 2y2 e N(x, y) = −2y como ∂M ∂y 6= ∂N ∂y a equação não é exata, porém 1 N (∂M ∂y − ∂N ∂y ) = 1 −2y (−4y) = 2 depende somente de x. Logo um fator integrante da equação é I(x) = e ∫ 2dx = e2x de onde a equação (5 + 2x− 2y2)e2xdx− 2ye2xdy = 0 é exata Calculemos a função potencial F (x, y) da forma F (x, y) = ∫ −2ye2xdy = −y2e2x + f(x) derivando ∂F ∂x = −2e2xy2 + f ′(x) = (5 + 2x− 2y2)e2x ⇒ f(x) = (2 + x)e2x 4 assim F (x, y) = −y2e2x + (2 + x)e2x Portanto, a solução implícita é (2 + x− y2)e2x = C. Solução. b) Pela condição y(0) = √ 5, temos C = −3 então y2 = 3e−2x + x + 2 de onde y = ±√3e−2x + x+ 2 e como y(0) = √5 > 0 a solução do p.v.i é y = √3e−2x + x+ 2. Para achar o intervalo máximo da solução, estudemos a função g(x) = 3e−2x + x+ 2 Temos g′(x) = 1− 6e−2x e g′′(x) = 12e−2x > 0, quando g′(x) = 0 ⇒ x = 1 2 Ln6 é o único ponto crítico, e pelo critério da derivada segunda o máximo ocorre nesse valor de x Questão 2. M. Solução. Questão 3. M. Solução. Questão 4. M. Solução. Questão 5. M. Solução.
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