Lista 3 Retas e planos

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RETA NO R3
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
 a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor =(3,1,4);
 b)determinada pelos pontos A(2,1,3) e B(3,0,–2) ;
 c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor =(2,–2,3);
 d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); 
 e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação ; 
 f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor = (–2,0,–2);
 g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor =(8,3,0);
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , , , 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , , , ;
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , , , ;
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , , ;
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , , , ;
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , , ;
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , , ;
2) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= , com . RESP: 
3) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: 
 a) , e que passa pelo ponto P(2,3,5);
 b) , e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
 c) e , e que passa pelo ponto P(3,3,4). 
 RESP: a)t: c) 
4) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: 
5)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à reta . RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33)
6)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .
RESP: 
PLANO
96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
 a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor =(2,–3,1);
 b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores e ;
 c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);
 d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2);
 e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3);
 f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores =(2,–1,1) e =( –3,1,2); 
 g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
 h) contém as retas e ;
 i) contém as retas e ; 
RESP: a):2x3y+z7=0 b):xyz=0 c):12x+2y9z+22=0
 d) :12x+2y9z+22=0 e):6x14yz+7=0 f):x+yz5=0 
 g):y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 i):yz2=0 
 
2) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
 a) b) 
 c) d) 
 RESP: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) 
 c) d) 
3)Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é perpendicular à reta . RESP: :2x+ 3yz +4=0
4) Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar:
 a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ;
 b) a projeção ortogonal de P sobre ;
 c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ;
 d) a distância de P ao plano .
RESP: a) b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) 
5)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e B(3,1,2) e é perpendicular ao plano : 2x+yz+8-0. RESP: :x12y10z5=0
6)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos 1: 3x–2y–z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1). 
 RESP: :9x+2y5z13=0
7)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada uma dos planos 1: 2x–y–z+1=0 e 2:x+3y+z+5=0.
 RESP: 
8)Determinar equação geral do plano ,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 2: x + y + 2z 3 = 0. RESP: :2x8y+ 3z=0
9)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta . RESP: :2x+3y+x+1=0
10) Determinar a equação do plano , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos 1: x2y+z1=0 e 2:3x+2y3z+5=0. 
RESP: : 2x+3y+4z31=0