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Curso: Engenharia de Produção Contato: Itajubá, 01 de Fevereiro de 2016 Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção Contato: Itajubá, 31 de Julho de 2015 Professora: Aline Cristina Maciel • Apresentações 1 • Plano de Ensino/ Roteiros de aula/ Aulas de quinta - feira 2 • Conceitos de Estatística 3 • Conceitos da Probabilidade • Revisão de cálculos matemáticos 5 • Referências utilizadas 6 8 Nome; Experiência profissional; Expectativa com a disciplina. 9 Plano de Ensino; Roteiro de aula 1 0 É uma coleção de métodos para o planejamento de experimentos, obtenção de dados e, consequentemente organização, resumo, apresentação, análise, interpretação e elaboração de conclusões baseadas nos dados . 1 1 São observações ( tais como medidas, sexos, respostas de pesquisas) que tenham sido coletados . 1 2 É uma coleção completa de todos os elementos ( pessoas, medidas e outros) a serem estudados . É uma coleção completa de todos os elementos ( pessoas, medidas e outros) a serem estudados . 1 3 É um conjunto de dados obtidos de todos os membros da população . Um exemplo é o censo realizado pelo IBGE no Brasil . 1 4 É um subconjunto de membros selecionados de uma população . 1 5 Uma pesquisa perguntou o seguinte a 1087 adultos: “Você tem oportunidade de fazer uso de bebidas alcoólicas como as destiladas, o vinho ou a cerveja, ou você é totalmente abstêmio?” Os 1087 sujeitos da pesquisa constituem uma amostra, enquanto a população consiste na 1 6 coleção de todos os 202.682.345 adultos americanos. 1 7 Um parâmetr o é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população . Uma estatística é uma medida numérica que descreve alguma característica da amostra . 1 8 Quando Lincoln foi eleito presidente pela primeira vez, ele recebeu 39,82% dos 1.865.908 votos. Se encararmos a coleção de todos os votos como a população a ser considerada, então 39,82% é um parâmetro e não uma estatística. 1 9 Com base em uma amostra de 877 executivos pesquisados, achou-se que 45% deles não contratariam alguém que cometesse um erro tipográfico em uma solicitação de emprego. Este número de 45% é uma estatística porque se baseia em uma amostra, não na população inteira de todos os executivos. 2 0 Dados quantitativos: consistem em números que representam contagens ou medidas. Exemplos: medidas de dimensões, número de peças produzidas. Dados qualitativos: também denominados categóricos ou de atributos, podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica 2 1 nãonumérica. Exemplos: cores de peças ou olhos. Dados discretos: surgem quando o número de valores possíveis é ou um número finito ou uma quantidade “enumerável”. Exemplo: número de peças produzidas. Dados contínuos: resultam de infinitos valores possíveis que correspondem a alguma escala 2 2 contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrupções ou saltos. Exemplo: queda de temperatura de um chá em uma xícara. Para isso devemos entender que o método usado para coletar dados é absoluta e criticamente importante, e devemos saber que a aleatoriedade é particularmente importante: 2 3 Se os dados amostrais não forem coletados de maneira apropriada, eles podem ser de tal modo inúteis que nenhuma manipulação estatística poderá salvá-los. 2 4 2 5 2 6 2 7 A aleatoriedade comumente desempenha papel crucial na determinação de quais dados coletar. Os métodos estatísticos são direcionados pelos dados. Normalmente, obtemos dados de duas fontes distintas: estudos observacionais e experimentos. 2 8 Estudo observacional: neste estudo, observamos e medimos características específicas, mas não tentamos modificar os sujeitos objeto de estudo. Exemplo: um questionário sobre consumo de álcool. Experimento: neste aplicamos algum tratamento e passamos, então, a observar seu efeito sobre os sujeitos. Exemplo: ocasionar 2 9 propositalmente defeitos em máquinas para ver o resultado na produção. 3 0 3 1 TERNEIRO (2009) A maioria dos fenômenos de que trata a Estatística têm natureza aleatória ou probabilística. A probabilidade é a base sobre a qual são construídos importantes métodos de inferência estatística. 3 2 Exemplo: procedimento de seleção de sexo de bebês com grande possibilidade de ser menina (98 meninas e 2 meninos, em 100 bebês) Os estatísticos rejeitam explicações baseadas em probabilidades muito pequenas. Regra do Evento Raro para Inferência Estatística: “Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de um evento particular observado for muito pequena, 3 3 concluímos que, provavelmente, a hipótese não é correta.” “É provável que meu time ganhe a partida hoje”, pode resultar em vitória, derrota ou empate. Experimento aleatório: é um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira. 3 4 O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por S. Exemplo: Jogar duas vezes uma moeda: S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Ex: evento (E1) ocorrer pelo menos 1 vez cara: E1= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)} 3 5 Porcentagem de : Para achar alguma porcentagem de uma quantidade, despreze o símbolo de % , divida o valor da porcentagem por 100 e então multiplique . Exemplo : 6 % 𝑑𝑒 1200 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 = 6 100 × 1200 = 72 3 6 Fração → Porcentagem: Para converter uma fração em porcentagem, divida o numerador pelo denominador para obter um número decimal equivalente, multiplique por 100 e acrescente o símbolo %. Exemplo: 3 3 7 = 0,75 = 0,75 × 100 % = 75 % 4 3 8 Decimal → Porcentagem : Para converter um decimal em porcentagem, multiplique por 100 % . Exemplo, converta 0 , 250 para porcentagem : 0 , 250 → 0 , 2 5 0 × 100 % = 25 , 0 % 3 9 P 𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞𝐦 → Decimal : Para converter uma porcentagem em um número decimal, despreze o símbolo % e divida por 100 . Exemplo, converta 85 % para número decimal : 8 5 % = 85 100 = 0 , 85 1. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 3. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 4. TERNEIRO, Carlos. Estatística: notas de apoio às aulas. Coimbra, 2009. Curso: Engenharia de Produção Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de julho de 2015 Professora: Aline Cristina Maciel • Probabilidade • Conceitos • Exemplos 1 • Exercícios 2 • Bibliografiautilizada 3 4 4 O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por S. Exemplo: Jogar duas vezes uma moeda: S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 4 5 Ex: evento E1: ocorrer pelo menos 1 vez cara: E1= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)} Eventos são usados para definir resultados de interesse a partir de um experimento aleatório. Exemplo 2.1 Considere um experimento em que você seleciona uma peça plástica moldada, tal como um conector, e mede sua espessura. Os valores possíveis da espessura dependem da resolução do instrumento de medição e também 4 6 dos limites superior e inferior da espessura. Entretanto, pode ser conveniente definir o espaço amostral como simplesmente a linha real positiva: S = 𝑅+ = { x | x > 0 } Exemplo 2.1 Se é sabido que todos os conectores terão entre 10 e 11 milímetros de espessura, o espaço amostral poderia ser: S = { x | 10 < x < 11 } 4 7 Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de uma peça particular ter espessura baixa, média ou alta, então o espaço amostral será: S = {baixa, média, alta} Exemplo 2.1 Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de uma peça particular obedecer ou não às especificações de fabricação, então o espaço amostral pode ser simplificado no conjunto de dois resultados 4 8 S = { sim, não} Um espaço amostral é discreto se ele consiste em um conjunto finito ou infinito contável de resultados. Exemplo: S = {𝑠𝑖𝑚, 𝑛ã𝑜} Um espaço amostral é contínuo se ele contém um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais. Exemplo: 4 9 S = 𝑅+ Exemplo 2.4 Um fabricante de automóveis fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é encomendado: Com ou sem transmissão automática Com ou sem ar-condicionado Com uma das 3 escolhas de um sistema estéreo Com uma das 4 cores exteriores 5 0 Quantos carros diferentes contém o espaço amostral? 5 1 Diagrama em forma de árvore para diferentes tipos de veículos (Exemplo 2.4) Transmissão Automática Manual Ar - condicionado Estéreo Cor Sim Não Não Sim 5 2 Exemplo 2.5 Considere agora as opções de cores interiores para os carros do ex 2.4. Há 4 escolhas de cor interior: vermelha, preta, azul e marrom. No entanto, Com um exterior vermelho, somente um interior preto ou vermelho pode ser escolhido. Com um exterior branco, qualquer cor interior pode ser escolhida. Com um exterior azul, somente um interior preto, vermelho ou azul pode ser escolhido. 5 3 Exemplo 2 . 5 Com um exterior marrom, somente um interior marrom pode ser escolhido . Agora, quantos tipos de carros o espaço amostral contém? 5 4 Importante: E1 U E2 : a união de dois eventos consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. E1 ∩ E2 : a interseção de dois eventos consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos. E1` : o complemento de um evento em um espeço amostral é o conjunto dos resultados no espaço amostral que não estão no evento : (E`)` = E 5 5 Importante : E 1 ∩ E 2 = ∅ : eventos são mutuamente excludentes . Lei distributiva dos conjuntos implica que : 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ 𝑪 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 e 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑪 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 5 6 Importante : A Lei DeMorgan implica que : 𝑨 ∪ 𝑩 ` = 𝑨` ∩ 𝑩` e 𝑨 ∩ 𝑩 ` = 𝑨` ∪ 𝑩` 5 7 Importante : Lembre - se que : 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 e 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 5 8 Diagramas de Venn : Eventos A e B 5 9 Diagramas de Venn : Eventos mutuamente excludentes 6 0 Diagramas de Venn : 6 1 Diagramas de Venn : 6 2 Diagramas de Venn : 6 3 Exemplo 2 . 7 Medidas de espessura de um conector plástico devem ser modeladas com o espaço amostral S = 𝑅 + , seja : E 1 ={ x | 10 ≤ x < 12 } e E 2 = { x | 11 < x < 15 } Defina o espaço amostral para : E 1 U E 2 ; E 1 ∩ E 2 ; E 1 ` e E 1 ` ∩ E 2 6 4 Exemplo 2 . 7 Respostas : E 1 U E 2 = { x | 10 ≤ x < 15 } E 1 ∩ E 2 = { x | 11 < x < 12 } E 1 ` = { x | x < 10 ou x ≥ 12 } E 1 ` ∩ E 2 = { x | 12 ≤ x < 15 } 6 5 Exemplo 2 . 7 Respostas : E 1 U E 2 = { x | 10 ≤ x < 15 } E 1 ∩ E 2 = { x | 11 < x < 12 } E 1 ` = { x | x < 10 ou x ≥ 12 } E 1 ` ∩ E 2 = { x | 12 ≤ x < 15 } 6 6 Exercício 2.21: Uma balança digital é usada para fornecer pesos em gramas. a) Qual é o espaço amostral para esse experimento? Seja A o evento em que um peso excede 11 gramas; seja B o evento em que um peso é menor que ou igual a 15 gramas e seja C o evento em que um peso é maior que ou igual a 8 gramas e menor que 12 gramas. 6 7 Descreva o espaço amostral dos seguintes eventos : b ) A U B c ) A ∩ B d) A` e ) A U B U C f) ( A U C)` g) A ∩ B ∩ C h) B` ∩ C i) A U ( B ∩ C) 6 8 Exercício 2.25: Em uma replicação controlada, células são replicadas em um período de dois dias. DNA recém-sintetizado não pode ser replicado novamente até que a mitose seja completa. Dois mecanismos de controle foram identificados – um positivo e um negativo. Suponha que uma replicação seja observada em três células. Seja A o evento em que todas as células são identificadas como positivas e B o evento em que todas as células são negativas. 6 9 Exercício 2 . 25 : Descreva o espaço amostral e mostre cada um dos seguintes eventos : a) A b) B c) A ∩ B d) A U B 7 0 Regra da Multiplicação (para técnicas de contagem) Considerem uma operação que possa ser descrita como uma sequência de k etapas e: O № de maneiras de completar a etapa 1 for n1 e o № de maneiras de completar a etapa 2 for n2 , para cada maneira de completar a etapa 1 e o № de maneiras para completar a etapa 3 for n3, para cada maneira de completar n2 e assim por diante. 7 1 Regra da Multiplicação (para técnicas de contagem) O número total de maneiras de completar a operação será: 𝒏𝟏 × 𝒏𝟐 × ⋯ 𝒏𝟑 Exemplo 2.4: 2 opções de transmissão, 2 opções de ar-condicionado, 3 opções de som e 4 opções de cores: 7 2 2 x 2 x 3 x 4 = 48 Exercício 2.35 Um pedido de compra de um computador pessoal pode especificar qualquer um dos cinco tamanhos de memória, qualquer um dos três tipos de vídeo, qualquer um dos quatro tamanhos de disco rígido e pode incluir ou não uma plataforma de desenho. Quantos sistemas diferentes podem ser encomendados? 7 3 Exercício 2.37 Novos projetos para um tanque de tratamento de águas residuais têm proposto três formas possíveis, quatro tamanhos diferentes, três localizações diferentes para válvulas de alimentação de material e quatro localizações diferentes para as válvulas de retirada de material. Quantos projetos diferentes do produto são possíveis? Permutações: 7 4 Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos elementos de um conjunto. Considere um conjunto de elementos: S ={a, b, c}. Uma permutaçãodos elementos é uma sequência ordenada dos elementos. Por exemplo: abc, acb, bac, cab e cba são todas permutações dos eventos de S. 7 5 Permutações : O número de permutações de n elementos diferentes é n ! , sendo : 𝒏 ! = 𝒏 × ( 𝒏 − 𝟏 ) × ( 𝒏 − 𝟐 ) × ⋯ × 𝟐 × 𝟏 7 6 Permutações de subconjuntos : O número de permutações de subconjuntos de r elementos selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é : 7 7 Permutações de subconjuntos : O número de permutações de 𝑛 = 𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑟 objetos dos quais 𝑛 1 são de um tipo, 𝑛 2 são de um segundo tipo, ... , e 𝑛 𝑟 são do tipo r - ésimo tipo é : 1. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012 Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 • Probabilidade • Conceitos • Exemplos 1 • Exercícios 2 • Bibliografia utilizada 3 8 2 Permutações: Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos elementos de um conjunto. Considere um conjunto de elementos: S ={a, b, c}. Uma permutação dos elementos é uma sequência ordenada dos elementos. Por exemplo: abc, acb, bac, cab e cba são todas permutações dos eventos de S. 8 3 Permutações : O número de permutações de n elementos diferentes é n ! , sendo : 𝒏 ! = 𝒏 × ( 𝒏 − 𝟏 ) × ( 𝒏 − 𝟐 ) × ⋯ × 𝟐 × 𝟏 8 4 Permutações de subconjuntos : O número de permutações de subconjuntos de r elementos selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é : 8 5 Permutações de subconjuntos : O número de permutações de 𝑛 = 𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑟 objetos dos quais 𝑛 1 são de um tipo, 𝑛 2 são de um segundo tipo, ... , e 𝑛 𝑟 são do tipo r - ésimo tipo é : 8 6 Exemplo 1: Na fila do caixa de um caixa eletrônico existem seis pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? Exemplo 2: Um produto passa por três etapas de processo de fabricação diferentes. Em quantas sequências diferentes o produto pode ser fabricado? 8 7 Exemplo 2.10: Uma placa de circuito impresso tem oito localizações diferentes em que um componente pode ser colocado. Se quatro componentes diferentes forem colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis? Exemplo 2.10: Raciocínio para solução: Cada projeto consiste em selecionar uma localização das oito localizações 8 8 para o primeiro componente, uma localização das seis restantes para o terceiro componente e uma localização das cinco restantes para o quarto componente. Exemplo 2.11: Considere uma operação de usinagem em que dois orifícios, com diâmetros idênticos, e dois encaixes de mesmo tamanho necessitam ser feitos em uma peça metálica. Na determinação de uma programação para uma oficina de usinagem, devemos estar interessados 8 9 no número de possíveis sequências diferentes das quatro operações. Calcule o número de sequências possíveis para as duas operações de perfuração e para as duas operações de encaixe. Exemplo 2.12: Um item é codificado pela impressão de quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas. Se cada ordenação das nove linhas representa um código diferente, 9 0 quantos códigos diferentes podem ser gerados pelo uso desse esquema? Combinações: Outro problema de contagem de interesse é o número de subconjuntos de r elementos que pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos. Exemplo: S= {a, b, c,d}, sendo o subconjunto {a, c} composto de r =2 elementos. 9 1 Aqui, a ordem não é importante. Esses problemas são chamados de combinações. 9 2 Combinações : O número de combinações, subconjuntos de tamanho r , que pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos, é denotado como : 9 3 Exemplo 2.13: Um item componente pode ser colocado em oito localizações diferentes em uma placa de circuito impresso. Se cinco componentes idênticos forem colocados na placa, quantos projetos diferentes serão possíveis? Exemplo 2.14: Amostragem sem reposição: Um silo de 50 itens fabricados contém três itens defeituosos e 47 itens não defeituosos. Uma amostra de seis itens é selecionada a partir dos 50 9 4 itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens. Quantas amostras diferentes existem, de tamanho seis, que contêm exatamente dois itens defeituosos? Exemplo 2.14: Raciocínio para solução: Um subconjunto contendo exatamente dois itens defeituosos pode ser formado escolhendo 9 5 primeiro os dois itens defeituosos a partir dos três itens defeituosos. Então, a segunda etapa é selecionar os quatro itens restantes dos 47 itens aceitáveis do silo. Por conseguinte, da regra da multiplicação, o número de subconjuntos de tamanho seis que contém exatamente dois itens defeituosos é... Exemplo 2.14: Raciocínio para solução: 9 6 Quando probabilidade discutida neste capítulo, a probabilidade de um evento é determinada com a razão entre o número de resultados no evento e o número de resultados no espaço amostral (para resultados igualmente prováveis). Consequentemente, a probabilidade de uma amostra conter exatamente dois itens defeituosos é.... 9 7 Exercício 2.41: Um lote de 140 chips semicondutores é inspecionado, escolhendo-se uma amostra de cinco chips. Suponha que dez dos chips não obedeçam aos requerimentos dos consumidores. Considere sem reposição. a) Quantas amostras diferentes são possíveis? b) Quantas amostras de cinco contêm exatamente um chip não conforme? 9 8 c) Quantas amostras de cinco contêm no mínimo um chip não conforme? 1. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012 Curso: Engenharia de Produção Contato: Professora: Aline Cristina Maciel alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 • Probabilidade • Conceitos • Exemplos 1 • Exercícios 2 • Bibliografia utilizada 3 1 0 Probabilidade: É usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de um resultado de um experimento aleatório. A possibilidade de um resultado é quantificada atribuindo-se um número do intervalo [0,1] ao resultado (ou uma percentagem de 0% a 100%). 1 0 Probabilidades são escolhidas de modo que a soma das probabilidades de todos os resultados em um experimento some um. Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de 1 0 acontecer, ou seja, que S é seu conjunto equiprovável. 1 0 Chamamos de probabilidade de um evento A ( 𝑨 ⊂ 𝑺 ) o n ° real P(A), tal que : 𝑷 𝑨 = 𝒏 ( 𝑨 ) 𝒏 ( 𝑺 ) Onde : 𝒏 𝑨 é 𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑨 ; 𝒏 𝑺 é 𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑺 ; 1 0 Exemplos : a) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A“obter cara”, temos : S = {Ca, Co } => n(S) = 2 A = {Ca} => n(A) =1 Logo : 𝑷 𝑨 = 𝟏 𝟐 1 0 b) Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular : • A probabilidade do evento A “obter um número par na face superior” . Temos : S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 A={ 2 , 4 , 6 } => n(A) = 3 logo : 𝑷 𝑨 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 1 0 • A probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior” . Temos : S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 B={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(B) = 6 logo : 𝑷 𝑩 = 𝟔 𝟔 = 𝟏 1 1 • A probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior” . Temos : S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 C={ 4 } => n(C) = 1 logo : 1 1 • A probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior” . Temos : S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 D= ∅ => n(D) = 0 logo : 1 1 Exemplo 2.18: Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposição. Suponha que o item f seja defeituoso, porém que os outros sejam bons. Qual é a probabilidade de que o item f apareça na amostra? Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que 𝒏(𝑺) = 𝒏: 1 1 a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: 𝑷(𝑺) = 𝟏 b) A probabilidade do evento impossível é igual a zero: 𝑷 ∅ = 𝟎 c) A probabilidade de um evento 𝑬 qualquer (𝑬 ⊂ 𝑺) é um número 𝑷 𝑬 , tal que: 1 1 𝟎 ≤ 𝑷 𝑬 ≤ 𝟏 1 1 d) A probabilidade do evento elementar 𝑬 qualquer é , lembrando que 𝒏 ( 𝑬 ) = 𝟏 : 𝑷 ( 𝑬 ) = 𝟏 𝒏 e) se o evento E estiver contido no evento S , 𝑷 ( 𝑬 ) ≤ 𝑷 ( 𝑺 ) 1 1 Eventos complementares : sendo P(E) a probabilidade que um evento ocorra ( sucesso ) e P(E`) a probabilidade de que ele não ocorra ( insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação : P(E ′) = 1 – P(E) 1 1 Exemplo : Se a probabilidade de se realizar um evento é 𝑃 𝐸 = 1 5 , a probabilidade que um evento não ocorra )) ( P(E` é : 𝑷 ( 𝑬′ ) = 𝟏 – 𝑷 ( 𝑬 ) 𝑷 ( 𝑬 ′ ) = 𝟏 – 𝟏 𝟓 𝑷 ( 𝑬 ′ ) = 𝟒 𝟓 1 1 Exercício 1 : Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é 𝑃 𝐸 = 1 6 , a probabilidade de não tirar o 4 será? 1 1 Eventos independentes: Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e viceversa. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é : 1 2 𝑷(𝑬) = 𝑷(𝑬𝟏) × 𝑷 (𝑬𝟐) Exemplo: Lançamos 2 dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: 𝟏 𝑷(𝑬𝟏) = 𝟔 A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: 𝟏 𝑷(𝑬𝟐) = 𝟔 1 2 Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: 𝟏 𝟏 𝟏 𝑷 𝑬𝟑 = 𝟔 × 𝟔 = 𝟑𝟔 1 2 Exercício 1 : Se 3 moedas forem lançadas, qual a probabilidade de obtermos coroa nas três moedas? 1 2 Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que dois ou mais são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s): 𝑷(𝑬) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷 (𝑬𝟐) No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, 1 2 já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 1 2 Exemplo : Lançamos um dado . A probabilidade de tirar o 3 ou o 5 é : 𝑷 𝑬 = 𝟏 𝟔 + 𝟏 𝟔 = 𝟐 𝟔 = 𝟏 𝟑 Exercício 2 : Lançamos um dado . Qual a probabilidade de tirar o 1 ou o 2 ou o 3 ? 1 2 Probabilidade de um Evento : Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E , denotada por P( E ) , é igual à soma das probabilidades dos resultados em E . 1 2 Exemplo 2.16: Um experimento aleatório pode resultar em dois resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c, d} e C o evento {d}. Então, calcule: a) P(A), P(B) e P(C) b) P(A`), P(B`) e P(C`) c) P(A∩B) d) P(AUB) 1 2 e) P (A∩C) 1 2 Exercício 2 . 55 : O espaço amostral de um experimento aleatório é { a, b, c, d, e}, com probabilidades 0 , 1 ; 0 , 4 ; 0 , 2 ; 0 , 1 e 0 , 2 , respectivamente . Seja A o evento { a, b, c} e B o evento { c, d, e} . Determine o seguinte . P(A a) ) P (B) b) P(A c) ′ ) P (A U B) d) P(A e) ∩ B) 1 3 Exercício 2 . 57 : Se o último dígito de uma medida de peso for igualmente provável de ser qualquer um dos dígitos de 0 a 9 , Qual a ) ( é a probabilidade de que o último dígito seja 6 ? Qual ( b ) é a probabilidade de que o ultimo dígito seja maior que ou igual a 3 ? 1 3 Exercício 2.59: Uma peça moldada por injeção é igualmente provável de ser obtida, a partir de qualquer uma das oito cavidades de um molde. (a)Qual é o espaço amostral? (b)Qual é a probabilidade de a peça ser proveniente da cavidade 4 ou 8? 1 3 (c) Qual é a probabilidade de a peça não ser proveniente nem da cavidade 2 nem da 6? 1 3 Exercício 2 . 61 : Em uma bateria de NiCd , uma c é lula completamente carregada é composta de Hidr ó xido de N í quel . N í quel é um elemento que tem m ú ltiplos estados de oxida ç ã o , sendo geralmente encontrado nos seguintes estados : 1 3 Qual a) é a probabilidade de uma c é lula ter no m í nimo uma das op ç õ es de n í quel carregado positivamente ? ( b ) Qual é a probabilidade de uma c é lula n ã o ser composta de uma carga positiva de n í quel maior do que + 2 ? 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. Curso: Engenharia de Produção Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Professora: Aline Cristina Maciel • Probabilidade • Regra da adição • Regra da multiplicação 1 Exercícios • 2 Bibliografia utilizada • 3 1 3 Do Exemplo 2.16 (Aula 4): Um experimento aleatório pode resultar em dois resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c, d} e C o evento {d}. Então, calcule P(AUB). 1 4 Do Exemplo 2.16 (Aula 4): Um experimento aleatório pode resultar em dois resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c, d} e C o evento {d}. Então, calcule P(AUC). 1 4 Probabilidade de uma União ( ADIÇÃO ) : 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 Se os eventos são mutuamente excludentes : 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 1 4 Probabilidadede uma União ) ( ADIÇÃO para três eventos : 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷 ( 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 ) Para uma coleção de eventos mutuamente excludentes : 𝑷 𝑬 𝟏 ∪ 𝑬 𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑬 𝒌 = 𝑷 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 + ⋯ + 𝑷 ( 𝑬 𝒌 ) 1 4 2 . 74 ) Se 𝑷 ( 𝑨 ) = 𝟎 , 𝟑 ; 𝑷 ( 𝑩 ) = 𝟎 , 𝟐 e 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎 , 𝟏 ; determine as seguintes probabilidades : a) 𝑃 ( 𝐴` ) b) 𝑃 ( 𝐴 𝑈 𝐵 ) 1 4 2 . 67 ) Amostras de emissões de três fornecedores são classificadas com relação a satisfazer as especificações de qualidade do ar . Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir : 1 4 Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e B o evento em que uma amostra atenda as especificações. Se uma amostra for selecionada ao acaso, determine as seguintes probabilidades: a) 𝑃(𝐴) 𝑑) 𝑃(𝐴 ∩ B) b) 𝑃(𝐵) 𝑒) 𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) 1 4 c) 𝑃(𝐴`) 𝑓) 𝑃(𝐴` 𝑈 𝐵) 1 4 Probabilidade Condicional : A probabilidade condicional de um evento B, dado um evento A, denotado com P(B|A), é : 𝑷 𝑩 | 𝑨 = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 ( 𝑨 ) para 𝑷 ( 𝑨 ) > 𝟎 . 1 4 Exemplo 2.22) A Tabela a seguir fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na superfície e como defeituosos (funcionalmente). Falhas na Não há falhas Total superfície na superfície ( F ) (F `) Defeituoso (D) 10 18 28 1 4 Não defeituoso (D`) 30 342 372 Total 40 360 400 1 5 Exemplo 2 . 23 ) Da tabela do exercício anterior calcule as probabilidades : P(F) a) P(F|D) b) P(D) c) P(D|F) d) P(D`|F) e) P(D|F`) f) P(D`|F`) g) 1 5 Regra da Multiplicação : 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑩 | 𝑨 ∙ 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨 | 𝑩 ∙ 𝑷 𝑩 1 5 Exemplo 2.26) A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação, numericamente controlada, de usinagem para pistões com alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90. Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda às especificações é de 0,95. Qual 1 5 é a probabilidade de ambos os estágios atenderem às especificações? 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. Curso: Engenharia de Produção Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Professora: Aline Cristina Maciel • Probabilidade • Multiplicação para eventos independentes • Simulação de probabilidade • Variáveis aleatórias 1 Distribuições de probabilidade • Distribuição cumulativa • 2 Bibliografia utilizada • 3 1 5 Regra da Multiplicação para eventos independentes : 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑪 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑩 ∙ 𝑷 𝑪 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑩 ⋅ 𝑷 ( 𝑪 ) 1 5 No jogo de paciência, os resultados (mão de cartas dadas) são todos igualmente prováveis, mas é extremamente frustrante tentar usar a abordagem clássica para achar a probabilidade de vitória. Em tais casos, podemos obter boas estimativas mais facilmente usando a abordagem da frequência relativa. 1 6 Simulações podem ser úteis quando usamos essa abordagem. Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta da mesma maneira que o experimento, de modo que são produzidos resultados semelhantes. Por exemplo, é muito mais fácil usar a abordagem da frequência relativa para estimar a probabilidade de ganhar no jogo de paciência – isto é, jogar várias 1 6 vezes (ou realizar uma simulação por computador) – do que realizar os cálculos extremamente complexos exigidos pela abordagem clássica. Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta da mesma maneira que o experimento, de modo que são produzidos resultados semelhantes. Por exemplo, é muito mais fácil usar a abordagem da frequência relativa para estimar a probabilidade 1 6 de ganhar no jogo de paciência – isto é, jogar várias vezes (ou realizar uma simulação por computador) – do que realizar os cálculos extremamente complexos exigidos pela abordagem clássica. Exemplo: Escolha do Gênero em um teste do método MicroSort de seleção de gênero desenvolvido pelo Genetics & IVF Institute, 127 meninos nasceram entre 152 bebês, de pais que haviam usado o método YSort para tentarem ter um 1 6 menino. Para avaliar adequadamente esses resultados, precisamos saber a probabilidade de se obter pelo menos 127 meninos entre 152 nascimentos, supondo que meninos e meninas sejam equiprováveis. Admitindo que nascimentos de meninas e meninos sejam igualmente prováveis, descreva uma simulação que resulte nos gêneros dos 152 bebês recém-nascidos. 1 6 Solução: Uma abordagem é simplesmente jogar uma moeda 152 vezes, com cara representando meninas e coroa representando meninos. Outra abordagem consiste em usar uma calculadora ou um computador para gerar 0 e 1, com 0 representando meninos e 1 representando meninas. 1 6 Outra abordagem consiste em usar uma calculadora ou um computador para gerar 0 e 1 , com 0 representando meninos ( M ) e 1 representando meninas F ( ) . Os n ú meros têm que ser gerados de tal forma que eles sejam igualmente prováveis . Eis alguns resultados típicos : ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ 1 6 Uma variável aleatória é uma função que confere um número real a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. Notação: Uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula, tal como X. Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido da variável aleatória 1 6 é denotado por uma letra minúscula, tal como: x = 70 miliampères. Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com uma faixa finita (ou infinita contável). 1 6 Uma variável aleatória contínua é uma variável aleatória com um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais para sua faixa. Exemplos de variáveis aleatórias discretas: número de arranhões em uma superfície, proporção de partes defeituosas 1 6 entre 1.000 testadas, número de bits transmitidos que foram recebidos com erro. Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tempo, tensão, peso. 1 7 Exemplo 3.1: Um sistema de comunicação por voz para uma empresa comercial contém 48 linhas externas. Em certo tempo, o sistema é observado e algumas das linhas estão sendo usadas. Seja a variável aleatória X o número de linhas em uso. Então, X pode assumir qualquer um dos valores inteiros de 0 a 48. 1 7 Quando o sistema é observado, se 10 linhas estão em uso, então x = 10. Exemplo 3.2: Em um processo de fabricação de um semicondutor, duas pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja 0,8 e que as pastilhas sejam independentes. Qualé a probabilidade de a 1 7 primeira pastilha passar no teste e de a segunda pastilha testada falhar, denotada por pf? O espaço amostral para o experimento do exercício 3.2 e as probabilidades associadas são mostrados na Tabela do próximo slide. A variável aleatória X é definida como igual ao número de pastilhas que passam. A última coluna 1 7 da tabela mostra os valores de X que são atribuídos a cada resultado no experimento. 1 7 1 7 1 7 A distribuição de probabilidades de uma variável alheatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X. Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é frequentemente especificada por apenas uma lista de valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. Em alguns casos, é 1 7 conveniente expressar a probabilidade em termos de uma fórmula. Exemplo 3.4: Há uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal de transmissão digital seja recebido com erro. Seja X o número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. Baseando-se em um modelo (que será́ apresentado na seção seguinte) para os erros, as probabilidades 1 7 para esses valores serão determinadas. Suponha que as probabilidades sejam: P(X = 0) = 0,6561; P(X = 1) = 0,2916; P(X = 2) = 0,0486; P(X = 3) = 0,0036; P(X = 4) = 0,0001 A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. Uma descrição gráfica da distribuição de probabilidades de X. Desenhe a distribuição de probabilidades para bits com erros. 1 7 1 8 Função de Probabilidade : Para uma variável aleatória discreta X , com valores possíveis 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , ... , 𝒙 𝒏 , a função de probabilidade é uma função tal que : 1. 𝒇 𝒙 𝒊 ≥ 𝟎 2. σ 𝒊 = 𝟏 𝒏 𝒇 𝒙 𝒊 = 𝟏 3. 𝒇 𝒙 𝒊 = 𝑷 ( 𝑿 = 𝒙 𝒊 ) 1 8 Para os bits com erro no Exemplo 3 - 4 , f( 0 ) = 0 , 6561 , f( 1 ) = 0 , 2916 , f( 2 ) = 0 , 0486 , f( 3 ) = 0 , 0036 e f( 4 ) = 0 , 0001 . Verifique que essa soma de probabilidades é igual a 1 . 1 8 Função de Distribuição Cumulativa : A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória discreta X, denotada por F(x), é : 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑿 𝒊 ≤ 𝒙 𝒇 𝒙 𝒊 1 8 1 8 Para uma variável aleatória discreta X, F(x) satisfaz as seguintes propriedades : 1) 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = σ 𝑿 𝒊 ≤ 𝒙 𝒇 𝒙 𝒊 2) 𝟎 ≤ 𝑭 𝒙 ≤ 𝟏 𝑺𝒆 3) 𝒙 ≤ 𝒚 , 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝑭 𝒙 ≤ 𝑭 ( 𝒚 ) 1 8 1 8 Exemplo 3 . 7 : Determine a função de probabilidade de X, a partir da seguinte fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 < − 2 0 , 2 − 2 ≤ 𝑥 < 0 0 , 7 0 ≤ 𝑥 < 2 1 𝑥 ≥ 2 1 8 Exercício 3 . 39 : Determine a função de probabilidade de X, a partir da seguinte fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 𝐹 𝑥 = ቐ 0 𝑥 < 1 0 , 5 1 ≤ 𝑥 < 3 1 𝑥 ≥ 3 1 8 Exemplo 3 . 39 : Calcule : a ) P ( X ≤ 3 ) b ) P X ( ≤ 2 ) c ) P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) d) P ( X > 2 ) . 1 8 1 9 Exercício 3 . 41 : Determine a função de probabilidade de X, a partir da seguinte fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 < − 10 0 , 25 − 10 ≤ 𝑥 < 30 0 , 75 30 ≤ 𝑥 < 50 1 𝑥 ≥ 50 1 9 Exemplo 3 . 41 : Calcule : a ) P ( X ≤ 50 ) b ) P ( X ≤ 40 ) c ) P ( 40 ≤ X ≤ 60 ) d) P ( 𝑋 < 0 ) e) P 0 ≤ 𝑋 < 10 f) 𝑃 − 10 < 𝑋 < 10 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 2. TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia, 11ª edição. LTC, 03/2013. VitalBook file. Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção (Turma A) Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Variáveis aleatórias discretas • Média • Variância • Desvio Padrão • 1 Distribuições de probabilidade • Distribuição Binomial • 2 Bibliografia utilizada • 3 1 9 A média ou valor esperado de uma variável aleatória discreta X, denotada(o) como μ ou E(X), é : 𝝁 = 𝑬 𝑿 = 𝒙 𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) A m é dia de uma vari á vel aleat ó ria X é uma m é dia ponderada dos valores poss í veis de X, com pesos iguais à s probabilidades . 1 9 A variância de X, denotada por 𝝈 𝟐 ou V(X), é : 𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = σ 𝑥 ( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝒙 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) − 𝝁 𝟐 A variância de uma vari á vel aleat ó ria X é uma medida de dispers ã o ou espalhamento nos valores poss í veis para X . 1 9 O desvio - padr ã o de X é: 𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 ( 𝒙 ) 1 9 Exemplo 3.9. No Exemplo 3-4, houve uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal digital de transmissão fosse recebido com erro. Seja X o número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. Suponha que as probabilidades sejam: P(X = 0) = 0,6561; P(X = 1) = 0,2916; P(X = 2) = 0,0486; P(X = 3) = 0,0036; 2 0 P(X = 4) = 0,0001 2 0 Calcule a média ponderada ( µ ou E(X)), a variância ( V(X )) e o desvio padrão . Utilize a tabela do próximo slide para facilitar o cálculo da variância . Dados : 𝝁 = 𝑬 𝑿 = 𝒙 𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) e 𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 ( 𝒙 ) 2 0 𝒙 𝒙 − 𝝁 ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = 𝑥 ( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 2 0 Solução : Média ponderada : 𝝁 = 𝑬 𝑿 = 𝒙 𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 𝝁 = 𝟎 ∙ 𝒇 𝟎 + 𝟏 ∙ 𝒇 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒇 𝟐 + 𝟑 ∙ 𝒇 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒇 ( 𝟒 ) = 𝟎 ∙ 𝟎 , 𝟔𝟓𝟔𝟏 + 𝟏 ∙ 𝟎 , 𝟐𝟗𝟏𝟔 + 𝟐 ∙ 𝟎 , 𝟎𝟒𝟖𝟔 + + 𝟑 ∙ 𝟎 , 𝟎𝟎𝟑𝟔 + 𝟒 ∙ ( 𝟎 , 𝟎𝟎𝟎𝟏 ) 𝝁 = 𝟎 , 𝟒 2 0 Variância : 𝒙 𝒙 − 0 , 4 ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = 𝑥 ( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 2 0 Variância : 𝒙 𝒙 − 0 , 4 ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = 𝑥 ( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 2 0 Desvio padrão : 𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 𝒙 𝝈 = 𝟎 , 𝟑𝟔 𝝈 = 𝟎 , 𝟔 2 0 Exemplo 3.11. O número de mensagens enviadas por hora, por meio de uma rede de computadores, tem a seguinte distribuição: x= n° de 10 11 12 13 14 15 mensagens f(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 2 0 Determine a média ponderada, a variância e o desvio-padrão do número de mensagens enviadas por hora. 2 0 Exercício 3 . 49 . Calcule a média ponderada, a variância e o desvio padrão para a variável aleatória discreta abaixo : 2 1 Considere os seguintes experimentos aleatórios e variáveisaleatórias: 1. Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = número obtido de caras. 2. Um tear produz 1% de itens defeituosos. Seja X = número de itens defeituosos nos próximos 25 itens produzi- dos. 3. Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = 2 1 número de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas. 4. De todos os bits transmitidos por um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erro. Seja X = número de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos. 5.Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, cada uma com quatro escolhas. Você̂ tenta adivinhar cada questão. Seja X = número de questões respondidas corretamente. 2 1 6. Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = número de nascimentos de meninas. 7. De todos os pacientes sofrendo de uma determinada doença, 35% deles experimentam melhora proveniente de uma medicação particular. Nos próximos 100 pacientes administrados com a medicação, seja X = número de pacientes que experimentam melhora. 2 1 Esses exemplos ilustram que um modelo geral de probabilidade, que incluísse esses experimentos como casos particulares, seria muito útil. Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo em uma série de tentativas aleatórias e repetidas: 10 arremessos da moeda no experimento 1, a produção de 25 itens no experimento 2 e assim por diante. 2 1 A variável aleatória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que encontram um critério especificado. O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério que X conta; consequentemente, cada tentativa pode ser resumida como resultando em um sucesso ou uma falha, respectivamente. Por exemplo, em um experimento de múltipla escolha, para cada questão somente a escolha que 2 1 seja correta é considerada um sucesso. Escolher qualquer uma das três opções incorretas resulta em uma tentativa resumida como falha. Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é usada tão frequentemente como um bloco formador de um experimento aleatório, que é chamada de tentativa de Bernoulli. Geralmente considera-se que as tentativas que constituem o experimento aleatório sejam independentes. 2 1 Além disso, é frequentemente razoável supor que a probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja constante. "Um experimento aleatório consiste em n tentativas de Bernoulli, de modo que (1) As tentativas sejam independentes. (2) Cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como ′′sucesso′′ e ′′falha′′. 2 1 (3) A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permaneça constante. 2 1 A variável aleatória X , que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso , é uma variável aleatória binomial com parâmetros 0 < p < 1 e n = 1 , 2 , .... A função de probabilidade de X e : 𝒇 𝒙 = 𝒏 𝒙 ∙ 𝒑 𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏 − 𝒙 x = 0 , 1 , … , n 𝒇 𝒙 = 𝒏 ! 𝒙 ! ( 𝒏 − 𝒙 ) ! ∙ 𝒑 𝒙 ∙ ( 𝟏 − 𝒑 ) 𝒏 − 𝒙 𝑥 = 0 , 1 , … , 𝑛 2 1 Onde : x = n ° de sucessos em n tentativas n = tamanho da amostra ou n ° de tentativas p = probabilidade de sucesso 𝒇 𝒙 = 𝒏 ! 𝒙 ! ( 𝒏 − 𝒙 ) ! ∙ 𝒑 𝒙 ∙ ( 𝟏 − 𝒑 ) 𝒏 − 𝒙 𝑥 = 0 , 1 , … , 𝑛 Ordenações possíveis Probabilidade de x sucessos Probabilidade de n - x fracassos 2 2 2 2 Distribuições binomiais para valores selecionados de n e p 2 2 Se X for uma vari á vel aleat ó ria binomial com parâmetros p e n , A média é : 𝝁 = 𝑬 𝑿 = 𝐧𝐩 A variância é : 𝝈 𝟐 = 𝑽 𝑿 = 𝒏𝒑 ( 𝟏 − 𝒑 ) O desvio padrão é : 𝝈 = 𝝈 𝟐 2 2 2 2 Uma 1) moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes . Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas . 2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2 / 3 . Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente dois tiros? 2 2 3 . 77 . Seja X uma vari á vel aleat ó ria binomial com p = 0 , 1 e n = 10 . Calcule as seguintes probabilidades a partir da função de probabilidade binomial . ( a ) P(X ≤ 2 ) ( c ) P(X = 4 ) ( b ) P(X > 8 ) ( d) P( 5 ≤ X ≤ 7 ) 2 2 3 . 79 . A vari á vel aleat ó ria X tem uma distribui ç ã o binomial com n = 10 e p = 0 , 01 . Determine as seguintes probabilidades : ( a ) P(X = 5 ) ( b ) P(X ≤ 2 ) ( c ) P( 3 ≤ X < 5 ) 2 2 3 . 19 . Dados n= 0 , 4 e p= 0 , 1 , calcule a média, a variância e o desvio padrão de uma distribuição binomial de uma variável aleatória discreta X . 3 . 20 . Dados n= 10 e p= 0 , 01 , calcule a média, a variância e o desvio padrão de uma distribuição binomial de uma variável aleatória discreta X . 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção (Turma A) Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Distribuições de probabilidade • discretas: Distribuição Poisson • 1 Bibliografia utilizada • 2 2 3 Uma distribui ç ã o largamente usada emerge à medida que o n ú mero de tentativas em um experimento binomial aumenta at é infinito, enquanto a m é dia da distribui ç ã o permanece constante . 2 3 Por exemplo, contagens de (1) partículas de contaminação na fabricação de semicondutores, (2) falhas em rolos de tecidos, (3) chamadas para uma troca de telefone, (4) interrupção de energia, (5) partículas atômicas emitidas a partir de um espécime têm sido, todas, modeladas com sucesso pela função de probabilidade na seguinte definição, (6) falhas em um fio. 2 3 Em geral, considere um intervalo T de números reais, dividido em subintervalos com comprimentos pequenos ∆t, e considere que quando ∆t tende a zero, (1) a probabilidade de mais de um evento em um subintervalo tende a zero, (2) a probabilidade de um evento em um subintervalo tende a λ∆t/T, (3) o evento em cada subintervalo é independente de outros subintervalos. 2 3 Um experimento aleatório com essas propriedades é chamado de processo de Poisson. 2 3 A vari á vel aleat ó ria X , que é igual ao n ú mero de eventos no intervalo , é uma vari á vel aleat ó ria de Poisson, com parâmetro λ > 0 , sendo a fun ç ã o de probabilidade de X dada por : 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒 − 𝜆 ∙ 𝜆 𝑘 𝑘 ! Onde : 𝑘 = 0 , 1 , 2 , ⋯ 2 3 2 3 2 3 Se X for uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ, então : 𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝜆 e 𝜎 2 = 𝑉 𝑋 = 𝜆 A média e a variância de uma variável aleatória de Poisson são iguais . 2 4 Por exemplo, se a contagem de partículas seguir a distribuição de Poisson, com uma média de 25 partículas por centímetro quadrado, então a variância é também 25 e o desvio-padrão das contagens será5 por centímetro quadrado. Assim, informação sobre a variabilidade é muito facilmente obtida. Contrariamente, se a variância dos dados de contagem for muito maior que a média dos mesmos 2 4 dados, então a distribuição de Poisson não será um bom modelo para a distribuição da variável aleatória. 3.129. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 4. Determine as seguintes probabilidades: (a) P(X = 0) (b) P(X ≤ 2) (c) P(X = 4) (d) P(X = 8) 2 4 3.130. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,4. Determine as seguintes probabilidades: (a) P(X = 0) (b) P(X ≤ 2) (c) P(X = 4) (d) P(X = 8) 2 4 A probabilidade de k ocorrências num intervalo fixo de comprimento t pode ser escrita como : 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒 − 𝜆 ∙ 𝑡 ∙ ( 𝜆 ∙ 𝑡 ) 𝑘 𝑘 ! Onde : 𝑘 = 0 , 1 , 2 , ⋯ 2 4 3.141. O número de mudanças de conteúdo em uma página da internet segue a distribuição de Poisson, com uma média de 0,25 por dia. (a) Qual é a probabilidade de duas ou mais mudanças em um dia? (b) Qual é a probabilidade de nenhuma mudança em cinco dias? (c) Qual é a probabilidade de duas ou menos mudanças em cinco dias? 2 4 (d) Calcule a média, a variância e o desvio padrão. 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 2. BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6 ed. São Paulo: Saraiva, Saraiva, 2010. Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção (Turma A) Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Medidas de centro (Estatística Descritiva) • 1 Distribuição Normal • 2 2 5 É o valor no centro ou meio do conjunto de dados . Estas podem ser : média, mediana, moda e ponto médio . 2 5 Sabendo que : x é a variável, em geral usada para representar os valores individuais dos dados ; n é o número de valores de uma amostra ; N é o número de valores de uma população ; ∑ é a adição de um conjunto de dados ; tem - se : 2 5 2 5 2 5 Para encontrar a mediana, primeiro ordene os valores e depois siga um dos procedimentos: 1. Se o número de valores for ímpar, a mediana será o número localizado no meio exato da lista; 2 5 2. Se o número de valores for par, a mediana será encontrada pelo cálculo da média dos dois números do meio. 2 5 2 5 2 5 A moda de um conjunto de dados, em geral representada por M, é o valor que ocorre mais frequentemente. Quando dois valores ocorrem com a mesma maior frequência, cada um é uma moda, e o conjunto de dados é bimodal. Quando mais de dois valores ocorrem com a mesma frequência, cada um é uma moda, e o conjunto de dados é multimodal. 2 5 Quando nenhum valor se repete, dizemos que nãohámoda. 2 6 Exemplos : Ache a moda nos seguintes conjuntos de dados : a) 5 , 40 1 , 10 0 , 42 0 , 73 0 , 48 1 , 10 b) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 c) 1 2 3 6 7 8 9 10 2 6 Exemplos : Ache a moda nos seguintes conjuntos de dados : a) 5 , 40 1 , 10 0 , 42 0 , 73 0 , 48 1 , 10 b) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 c) 1 2 3 6 7 8 9 10 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 O desvio padrão de um conjunto de valores amostrais é uma medida da variação dos valores em torno da média . É uma espécie de desvio médio dos valores em relação a média . 2 6 Sabendo que : x é a variável, em geral usada para representar os valores individuais dos dados ; n é o número de valores de uma amostra ; N é o número de valores de uma população ; ∑ é a adição de um conjunto de dados ; tem - se : 2 6 1 - 5 25 3 - 3 9 14 8 64 Totais: 18 98 2 6 2 7 1 ) Considerando uma amostra de 5 tempos de espera em uma fila de banco em minutos : 20 ; 15 ; 21 ; 19 ; 20 , calcule : a) A média aritmética da amostra . b) O desvio padrão da amostra . c) A variância da amostra . Existe d) moda na amostra? Se sim qual n ° é? e) A mediana da amostra, o ponto médio e a amplitude dos dados . 2 7 2 ) Considerando uma amostra de 4 tempos para fabricação da primeira parte de um produto em minutos : 10 ; 11 ; 9 ; 11 , calcule : a) A média aritmética da amostra . b) O desvio padrão da amostra . c) A variância da amostra . Existe d) moda na amostra? Se sim qual n ° é? e) A mediana da amostra, o ponto médio e a amplitude dos dados . 2 7 Indubitavelmente, o modelo mais largamente utilizado para a distribuição de uma variável aleatória contínua é a distribuição normal (ou gaussiana).Exemplo: pesquisas socioeconômicas. Teorema central do limite (De Moivre, 1733): Toda vez que um experimento aleatório for replicado, a variável aleatória que for igual ao resultado médio (ou total) das réplicas tenderá a ter uma distribuição 2 7 normal, à medida que o número de réplicas se torne grande. 2 7 Vari á veis aleat ó rias com diferentes m é dias e variâncias podem ser modeladas pelas fun ç õ es densidades de probabilidade normal, com escolhas apropriadas do centro e da largura da curva . O valor de E(X) = μ determina o centro da fun ç ã o densidade de probabilidade e o valor de V(X) = 𝜎 2 determina a largura . 2 7 Uma variável aleatória X, com função densidade de probabilidade: 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝝅 𝝈 𝒆 − ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 𝟐 𝝈 𝟐 𝑂𝑛𝑑𝑒 : – ∞ < 𝑥 < ∞ é uma vari á vel aleat ó ria normal, com parâmetros μ, em que – ∞ < μ < ∞ , e σ > 0 . Tamb é m , E(X) = μ e V(X) = 𝝈 𝟐 e a nota ç ã o N(μ, 𝝈 𝟐 ) é usada para a distribuição . 2 7 EXEMPLO 4-10) Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliampères e uma variância de 4 (miliampères)^2. Qual é a probabilidade de a medida exceder 13 miliampères? Seja X a corrente em miliampères. A probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13). Essa probabilidade é mostrada como a área sombreada 2 7 sob a função densidade de probabilidade normal na figura a seguir. 2 7 2 7 2 8 Alguns resultados úteis, relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura anterior. Para qualquer variável aleatória normal, 𝑷 𝝁 − 𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝝈 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟕 𝑷 𝝁 − 𝟐𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝟐𝝈 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟒𝟓 𝑷 𝝁 − 𝟑𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝟑𝝈 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟑 2 8 Além disso, da simetria de f(x), P(X > μ) = P(X < μ) = 0,5 Como f(x) é positiva para todo x, esse modelo atribui alguma probabilidade para cada intervalo da linha real. Entretanto, a função densidade de probabilidade diminui quando x se move para mais longe de μ. Consequentemente, a probabilidade de a medida cair longe de μ é pequena; a alguma 2 8 distância de μ, a probabilidade de um intervalo pode ser aproximada como zero. Pelo fatode mais de 0,9973 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ − 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal. 2 8 Métodos avançados de integração podem ser usados para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de −∞ < x < ∞ é igual a 1. 2 8 Padronizando uma Vari á vel Aleat ó ria Normal Se X for uma vari á vel aleat ó ria normal com E(X) = μ e V(X) = σ 2 , a vari á vel aleat ó ria : 𝒁 = 𝑿 − 𝝁 𝝈 será uma variável aleatória normal, com E(Z) = 0 e V(Z )= 1 . Ou seja, Z é uma variável aleatória normal padrão . 2 8 EXEMPLO 4 - 13 . Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliamp è res e uma variância de 4 ( miliamp è res ) ^ 2 . Qual é a probabilidade de a medida exceder 13 miliamp è res ? 2 8 Uma vari á vel aleat ó ria normal com 𝝁 = 𝟎 e 𝝈 𝟐 = 𝟏 é chamada de vari á vel aleat ó ria normal padr ã o e e denotada por Z . A fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa de uma vari á vel aleat ó ria normal padr ã o é denotada por 𝚽 ( 𝒛 ) = 𝑷 ( 𝒁 ≤ 𝒛 ) 2 8 EXEMPLO 1 ) Considere que Z seja uma vari á vel aleat ó ria normal padr ã o . A Tabela III do Ap ê ndice fornece probabilidades na forma Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) . O uso da Tabela III para encontrar P ( Z ≤ 1 , 5 ) é ilustrado na figura a seguir . 2 8 Leia a coluna z para baixo at é encontrar o valor 1 , 5 . A probabilidade de 0 , 93319 é lida na coluna adjacente , marcada como 0 , 00 . O topo das colunas se refere à s casas centesimais do valor de z em P(Z ≤ z) . 2 8 EXEMPLO 2 ) Por exemplo , P ( Z ≤ 1 , 53 ) é encontrado lendo a coluna de z at é a linha 1 , 5 e ent ã o selecionando a coluna marcada como 0 , 03 , encontrando - se assim a probabilidade de 0 , 93699 . 2 9 EXEMPLO 3 ) Os c á lculos podem ser mostrados de forma diagram á tica . Calcule : P(Z 1) > 1 , 26 ) P(Z > 1 , 26 ) = 1 – P(Z ≤ 1 , 26 ) = 1 – 0 , 89616 = 0 , 10384 2 9 2 ) P(Z < - 0 , 86 ) P(Z < - 0 , 86 ) = P(Z ≤ - 0 , 86 ) = 0 , 19490 2 9 Exercício 4 . 49 : Use a Tabela III do Apêndice para determinar as seguintes probabilidades para a vari á vel aleat ó ria normal padr ã o Z : P(Z a) < 1 , 32 ) P(Z b) < 3 , 0 ) c) P(Z > 1 , 45 ) d) P(Z > − 2 , 15 ) e) P ( − 2 , 34 < Z < 1 , 76 ) 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 3. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção (Turma A) Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 Distribuições Amostrais e • Estimação Pontual de Parâmetros 1 Bibliografia utilizada • 2 2 9 Métodos estatísticos são usados para tomar decisões e tirar conclusões acerca de populações. Esse aspecto da estatística é geralmente chamado de inferência estatística. Essas técnicas utilizam a informação em uma amostra em tirar conclusões. 2 9 A inferência estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: estimação de parâmetros e teste de hipóteses. Como exemplo de um problema de estimação de parâmetros, suponha que um engenheiro esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um chassi de um automóvel. A variabilidade está naturalmente presente entre os componentes individuais por causa das diferenças 2 9 nas bateladas da matériaprima, nos processos de fabricação e nos procedimentos de medidas (por exemplo), de modo que o engenheiro quer estimar a resistência média da população de componentes. Na prática, o engenheiro usará os dados da amostra para calcular um número que é, de algum modo, um valor razoável (uma boa tentativa) da média verdadeira da população. Esse número é chamado de estimativa pontual. 3 0 Agora, vamos considerar um tipo diferente de questão. Suponha que duas temperaturas diferentes de reação, t1 e t2, possam ser usadas em um processo químico. O engenheiro conjetura que t1 resultará em rendimentos maiores do que t2. Teste estatístico de hipoteses é a estrutura para resolver problemas desse tipo. Nesse exemplo, o engenheiro estaria interessado em formular 3 0 hipóteses que o permitam demonstrar que a média resultante usando t1 é maior do que a média resultante usando t2. Note que não há ênfase em estimar os rendimentos; em vez disso, o foco está em tirar conclusões acerca da hipótese que é relevante para a decisão de engenharia. 3 0 Suponha que queiramos obter uma estimativa pontual (um valor razoável) de um parâmetro de uma população. Sabemos que, antes de os dados serem coletados, as observações são consideradas variáveis aleatórias, isto é, X1, X2, ..., Xn. Logo, qualquer função da observação, ou qualquer estatística, é também uma variável aleatória. Por exemplo, a média da amostra 𝑋ഥ e a variância da 3 0 amostra 𝑆2 são estatísticas e são também variáveis aleatórias. Desde que uma estatística seja uma variável aleatória, ela terá uma distribuição de probabilidades. Chamamos a distribuição de probabilidades de uma estatística de uma distribuição amostral. 3 0 “Uma estimativa pontual de algum parâmetro de uma população 𝜃 é um único valor numérico 𝜃ቐ de uma estatística Θ. A estatística Θ é chamada de estimador pontual.” Como exemplo, suponha que a variável aleatória X seja normalmente distribuída, com uma média desconhecida μ. A média da amostra é um estimador pontual da média desconhecida μ da 3 0 população. Isto é, 𝜇ቐ = 𝑋ഥ . Depois de a amostra ter sido selecionada, o valor numérico 𝑥ഥ é a estimativa pontual de μ. Assim, se 𝑥1 = 25, 𝑥2 = 30, 𝑥3 = 29 𝑒 𝑥4 = 31 , então a estimativa pontual de μ é 25 + 30 + 29 + 31 𝑥ҧ = = 28,75 4 3 0 Similarmente, se a variância da população σ2 for também desconhecida, um estimador pontual para σ2 será́ a variância da amostra S2 , e o valor numérico s2 = 6,9, calculado a partir dos dados amostrais, é chamado de estimativa pontual de σ2. Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa Pontual 3 0 Quando o valor numérico ou estimativa de um parâmetro é reportado, geralmente é desejável dar alguma ideia da precisão da estimação. A medida da precisão normalmente empregada é o erropadrão do estimador que está sendo usado. Erro-Padrão de um Estimador O erro-padrão de um estimador Θ é o seu desviopadrão, dado por 𝜎Θ = 𝑉(Θ). Se o erro- 3 0 padrão envolver parâmetros desconhecidos que possam ser estimados, então a substituição daqueles valores em 𝜎Θ produz um erro-padrão estimado, denotado por 𝜎ቐΘ . 3 0 Suponha que estejamos amostrando a partir de uma distribuição normal, com m é dia μ e variância 𝜎 2 . Agora, a distribui c ã o de ത 𝑋 é normal, com m é dia μ e variância 𝜎 2 /n ; assim, o erro - padr ã o de ഥ 𝑋é : 𝜎 ത 𝑋 = 𝜎 𝑛 3 1 Se n ã o conhecêssemos σ, mas substituirmos o desvio - padr ã o S da amostra na equa ç ã o anterior, ent ã o o erro - padr ã o estimado de ഥ 𝑋 seria : ቐ 𝜎 ത 𝑋 = 𝑆 𝑛 3 1 EXEMPLO 7-5 Um artigo no Journal of Heat Transfer (Trans. ASME, Sec. C, 96, 1974, p. 59) descreveu um novo método de medir a condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma temperatura de 100°F e uma potência de 550 watts, as 10 medidas seguintes de condutividade térmica (em BTU/ h⋅ft⋅°F) foram obtidas: 41,60; 41,48; 42,34; 41,95; 41,86; 42,18; 41,72; 42,26; 41,81; 42,04. 3 1 Calcule a média amostral e o erropadrão da média amostral. 3 1 Exercício 7 - 16 . Um pacote computacional foi usado para calcular alguns sum á rios num é ricos de uma amostra de dados . Os resultados s ã o dispostos aqui : Preencha os valores que faltam . 3 1 Exercício 7 - 17 . Um pacote computacional foi usado para calcular alguns sum á rios num é ricos de uma amostra de dados . Os resultados s ã o dispostos aqui : Preencha os valores que faltam . 3 1 Problemas de estimação ocorrem frequentemente em engenharia. Geralmente necessitamos estimar: A média μ de uma única população A variância σ2 (ou desvio-padrão σ) de uma única população A proporção 𝑝 de itens em uma população que pertence a uma classe de interesse. A diferença nas médias de duas populações, μ1 – μ2 3 1 A diferença nas proporções de duas populações, p1 – p2 Estimativas razoáveis desses parâmetros são dadas a seguir: Para μ, a estimativa é 𝜇Ƹ = 𝑥ҧ, a média da amostra. Para σ2, a estimativa é 𝜎ቐ2 = 𝑠2, a variância da amostra. 3 1 Para 𝑝, a estimativa é 𝑝Ƹ = 𝑥/𝑛, a proporção da amostra, sendo 𝑥 o número de itens em uma amostra aleatória de tamanho 𝑛 que pertence à classe de interesse. 3 1 Para μ 1 – μ 2 , a estimativa é ቐ 𝜇 1 − ቐ 𝜇 2 = 𝑥 1 − 𝑥 2 , a diferença entre as médias de duas amostras aleatórias independentes . Para p 1 – p 2 , a estimativa é ቐ 𝑝 1 − ቐ 𝑝 2 , a diferença entre duas proporções amostrais, calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes . 3 1 A inferência estatística cuida de tomar decisões acerca de uma população, baseando-se na informação contida em uma amostra aleatória proveniente daquela população. Cada valor numérico nos dados é o valor observado de uma variável aleatória. Além disso, as variáveis aleatórias são geralmente consideradas independentes e distribuídas 3 2 identicamente. Essas variáveis aleatórias são conhecidas como uma amostra aleatória. Amostra Aleatória As variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn são uma amostra aleatória de tamanho n, se (a) os Xi ’s forem variáveis aleatórias independentes, e (b) cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidades. 3 2 A finalidade principal em tomar uma amostra aleatória é obter informação sobre os parâmetros desconhecidos da população. Uma estatística é qualquer função das observações em uma amostra aleatória. Encontramos estatísticas anteriormente. Por exemplo, se 𝑋1 , 𝑋2 ,..., 𝑋𝑛 for uma amostra aleatória de tamanho 𝑛, então a média da amostra 𝑋ത, a variância da 3 2 amostra 𝑆2 e o desvio-padrão da amostra 𝑆 são estatísticas. Desde que uma estatística seja uma variável aleatória, ela tem uma distribuição de probabilidades. A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de uma distribuição amostral. Por exemplo, a distribuição de probabilidades de 𝑋ത é chamada de distribuição amostral da média. 3 2 Considere a determinação da distribuição amostral da média 𝑋ത da amostra. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho 𝑛 seja retirada de uma população normal, com média μ e variância 𝜎2. 3 2 Ent ã o , uma vez que as fun ç õ es lineares de vari á veis aleat ó rias distribu í das normal e independentemente s ã o tamb é m distribu í das normalmente, conclu í mos que a m é dia da amostra . ത 𝑋 = 𝑋 1 + 𝑋 1 + ⋯ + 𝑋 𝑛 𝑛 tem uma distribui ç ã o normal com m é dia 𝜇 ത 𝑋 = 𝜇 3 2 E a variância 𝜎 ത 𝑋 2 = 𝜎 2 𝑛 E desvio - padrão 𝜎 ത 𝑋 = 𝜎 𝑛 3 2 Teorema Central do Limite Se X 1 , X 2 , ... , Xn for uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população ( finita ou infinita), com média μ e variância finita 𝜎 2 , e se ത 𝑋 for a média da amostra, então a forma limite da distribuição de 𝒁 = ഥ 𝑿 − 𝝁 Τ 𝝈 𝒏 quando 𝑛 → ∞ , é a distribuição normal padrão . 3 2 3 2 A aproximação normal para Xഥ depende do tamanho 𝒏 da amostra. Note que, embora a população (um dado) esteja relativamente longe da normal, a distribuição das médias será́ aproximada razoavelmente bem pela distribuição normal, para amostras de tamanho tão pequeno quanto cinco. (As distribuições dos 3 2 arremessos dos dados são discretas, enquanto a normal é continua.) Embora o teorema central do limite trabalhe bem para pequenas amostras (n = 4, 5) na maioria dos casos, particularmente onde a população seja contínua, unimodal e simétrica, amostras maiores serão requeridas em outras situações, dependendo da forma da população. 3 3 Em muitos casos de interesse prático, se n ≥ 30, a aproximação normal será satisfatória, independente da forma da população. Se n < 30, o teorema central do limite se aplicará, se a distribuição da população não for muito diferente da normal. 3 3 EXEMPLO 7 - 1 Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 ohms e um desvio - padr ã o de 10 ohms . A distribuição de resistências é normal . Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 25 resistores ter uma resistência média menor que 95 ohms . 3 3 EXERCÍCIO 1 Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 3 00 ohms e um desvio - padr ã o de 32 ohms . A distribuição de resistências é normal . Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 16 resistores ter uma resistência média menor que 276 ohms . 1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 3 3 Professora: Aline Cristina Maciel Curso: Engenharia de Produção (Turma A) Contato: alinecrismaciel@gmail.com Itajubá, 31 de Julho de 2015 3 3 Intervalo de Confiança 3 3 Estimativa pontual para a média Como podemos estimar o verdadeiro valor da média da população se temos em mãos a média de uma amostra? ESTIMAR A MÉDIA DA POPULAÇÃO Média amostral (média das médias) 3 3 Como foi visto anteriormente a média da população é igual à média das médias É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral, e a probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da média da população O Intervalo de confiança terá uma
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