Probabilidade e Estatística

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Curso: Engenharia de Produção Contato: 
Itajubá, 01 de Fevereiro de 2016 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia de Produção Contato: 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
 
• Apresentações 1 
• Plano de Ensino/ Roteiros de 
aula/ Aulas de quinta - feira 2 
• Conceitos de Estatística 3 
• Conceitos da Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
• Revisão de cálculos 
matemáticos 5 
• Referências utilizadas 6 
 
 8 
 
 Nome; 
 Experiência profissional; 
 Expectativa com a disciplina. 
 
 9 
 
 Plano de Ensino; 
 Roteiro de aula 
 
 1
0 
 
 É uma coleção de métodos para o 
planejamento de experimentos, obtenção de 
dados e, consequentemente organização, 
resumo, apresentação, análise, interpretação e 
elaboração de conclusões baseadas nos dados . 
 
 1
1 
 
 São observações ( tais como medidas, sexos, 
respostas de pesquisas) que tenham sido 
coletados . 
 
 1
2 
 
 É uma coleção completa de todos os elementos 
( pessoas, medidas e outros) a serem 
estudados . 
 É uma coleção completa de todos os elementos 
( pessoas, medidas e outros) a serem 
estudados . 
 
 1
3 
 
 É um conjunto de dados obtidos de todos os 
membros da população . 
 Um exemplo é o censo realizado pelo IBGE no 
Brasil . 
 
 1
4 
 
 É um subconjunto de membros selecionados de 
uma população . 
 
 1
5 
 Uma pesquisa perguntou o seguinte a 1087 
adultos: “Você tem oportunidade de fazer uso de 
bebidas alcoólicas como as destiladas, o vinho 
ou a cerveja, ou você é totalmente 
abstêmio?” 
 Os 1087 sujeitos da pesquisa constituem uma 
amostra, enquanto a população consiste na 
 
 1
6 
coleção de todos os 202.682.345 adultos 
americanos. 
 
 1
7 
 
 Um parâmetr o é uma medida numérica que 
descreve alguma característica de uma 
população . 
 Uma estatística é uma medida numérica que 
descreve alguma característica da amostra . 
 
 1
8 
 Quando Lincoln foi eleito presidente pela 
primeira vez, ele recebeu 39,82% dos 
1.865.908 votos. 
 Se encararmos a coleção de todos os votos 
como a população a ser considerada, então 
39,82% é um parâmetro e não uma estatística. 
 
 1
9 
 Com base em uma amostra de 877 executivos 
pesquisados, achou-se que 45% deles não 
contratariam alguém que cometesse um erro 
tipográfico em uma solicitação de emprego. 
 Este número de 45% é uma estatística porque 
se baseia em uma amostra, não na população 
inteira de todos os executivos. 
 
 2
0 
 Dados quantitativos: consistem em números 
que representam contagens ou medidas. 
Exemplos: medidas de dimensões, número de 
peças produzidas. 
 Dados qualitativos: também denominados 
categóricos ou de atributos, podem ser 
separados em diferentes categorias que se 
distinguem por alguma característica 
 
 2
1 
nãonumérica. Exemplos: cores de peças ou 
olhos. 
 Dados discretos: surgem quando o número de 
valores possíveis é ou um número finito ou uma 
quantidade “enumerável”. Exemplo: número de 
peças produzidas. 
 Dados contínuos: resultam de infinitos valores 
possíveis que correspondem a alguma escala 
 
 2
2 
contínua que cobre um intervalo de valores sem 
vazios, interrupções ou saltos. Exemplo: queda 
de temperatura de um chá em uma xícara. 
 Para isso devemos entender que o método 
usado para coletar dados é absoluta e 
criticamente importante, e devemos saber 
que a aleatoriedade é particularmente 
importante: 
 
 2
3 
 Se os dados amostrais não forem coletados 
de maneira apropriada, eles podem ser de tal 
modo inúteis que nenhuma manipulação 
estatística poderá salvá-los. 
 
 2
4 
 
 
 2
5 
 
 
 2
6 
 
 
 2
7 
 A aleatoriedade comumente desempenha papel 
crucial na determinação de quais dados coletar. 
 Os métodos estatísticos são direcionados pelos 
dados. 
 Normalmente, obtemos dados de duas fontes 
distintas: estudos observacionais e 
experimentos. 
 
 2
8 
 Estudo observacional: neste estudo, 
observamos e medimos características 
específicas, mas não tentamos modificar os 
sujeitos objeto de estudo. Exemplo: um 
questionário sobre consumo de álcool. 
 Experimento: neste aplicamos algum 
tratamento e passamos, então, a observar seu 
efeito sobre os sujeitos. Exemplo: ocasionar 
 
 2
9 
propositalmente defeitos em máquinas para ver 
o resultado na produção. 
 
 3
0 
 
 
 3
1 
TERNEIRO (2009) 
 A maioria dos fenômenos de que trata a 
Estatística têm natureza aleatória ou 
probabilística. 
 A probabilidade é a base sobre a qual são 
construídos importantes métodos de inferência 
estatística. 
 
 3
2 
 Exemplo: procedimento de seleção de sexo de 
bebês com grande possibilidade de ser menina 
(98 meninas e 2 meninos, em 100 bebês) 
 Os estatísticos rejeitam explicações baseadas 
em probabilidades muito pequenas. 
Regra do Evento Raro para Inferência Estatística: 
“Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de um 
evento particular observado for muito pequena, 
 
 3
3 
concluímos que, provavelmente, a hipótese não é 
correta.” 
 “É provável que meu time ganhe a partida hoje”, 
pode resultar em vitória, derrota ou empate. 
 Experimento aleatório: é um experimento que 
pode fornecer diferentes resultados, muito 
embora seja repetido toda vez da mesma 
maneira. 
 
 3
4 
 O conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento aleatório é chamado de espaço 
amostral do experimento. O espaço amostral é 
denotado por S. 
 Exemplo: Jogar duas vezes uma moeda: 
S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
 Um evento é um subconjunto do espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
 Ex: evento (E1) ocorrer pelo menos 1 vez 
cara: E1= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)} 
 
 3
5 
 
 Porcentagem de : Para achar alguma 
porcentagem de uma quantidade, despreze o 
símbolo de % , divida o valor da porcentagem 
por 100 e então multiplique . Exemplo : 
6 % 𝑑𝑒 1200 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 = 
6 
100 
× 1200 = 72 
 
 3
6 
 Fração → Porcentagem: Para converter uma 
fração em porcentagem, divida o numerador pelo 
denominador para obter um número decimal 
equivalente, multiplique por 100 e acrescente o 
símbolo %. Exemplo: 
3 
 
 3
7 
= 0,75 = 0,75 × 100 % = 75 % 
4 
 
 3
8 
 
 Decimal → Porcentagem : 
Para converter um decimal em porcentagem, 
multiplique por 100 % . 
Exemplo, converta 0 , 250 para porcentagem : 
0 , 250 → 0 , 2 5 0 × 100 % = 25 , 0 % 
 
 3
9 
 
 P 𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞𝐦 → Decimal : 
Para converter uma porcentagem em um número 
decimal, despreze o símbolo % e divida por 100 . 
Exemplo, converta 85 % para número decimal : 
8 5 % = 
85 
100 
= 0 , 85 
 
 
1. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2008. 
2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
3. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
4. TERNEIRO, Carlos. Estatística: notas de apoio às aulas. Coimbra, 2009. 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia de Produção 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de julho de 2015 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
 
• Probabilidade 
• Conceitos 
• Exemplos 
1 
• Exercícios 2 
• Bibliografiautilizada 3 
 
 4
4 
 O conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento aleatório é chamado de espaço 
amostral do experimento. O espaço amostral é 
denotado por S. 
 Exemplo: Jogar duas vezes uma moeda: 
S = { (Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
 Um evento é um subconjunto do espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
 
 4
5 
 Ex: evento E1: ocorrer pelo menos 1 vez cara: 
E1= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)} 
 Eventos são usados para definir resultados de 
interesse a partir de um experimento aleatório. 
 Exemplo 2.1 Considere um experimento em que 
você seleciona uma peça plástica moldada, tal 
como um conector, e mede sua espessura. Os 
valores possíveis da espessura dependem da 
resolução do instrumento de medição e também 
 
 4
6 
dos limites superior e inferior da espessura. 
Entretanto, pode ser conveniente definir o 
espaço amostral como simplesmente a linha real 
positiva: 
S = 𝑅+ = { x | x > 0 } 
 Exemplo 2.1 
 Se é sabido que todos os conectores terão entre 
10 e 11 milímetros de espessura, o espaço 
amostral poderia ser: 
S = { x | 10 < x < 11 } 
 
 4
7 
 Se o objetivo da análise for considerar apenas o 
fato de uma peça particular ter espessura baixa, 
média ou alta, então o espaço amostral será: 
S = {baixa, média, alta} 
 Exemplo 2.1 
 Se o objetivo da análise for considerar apenas o 
fato de uma peça particular obedecer ou não às 
especificações de fabricação, então o espaço 
amostral pode ser simplificado no conjunto de 
dois resultados 
 
 4
8 
S = { sim, não} 
 Um espaço amostral é discreto se ele consiste 
em um conjunto finito ou infinito contável de 
resultados. Exemplo: 
S = {𝑠𝑖𝑚, 𝑛ã𝑜} 
Um espaço amostral é contínuo se ele contém 
um intervalo (tanto finito como infinito) de 
números reais. Exemplo: 
 
 4
9 
S = 𝑅+ 
Exemplo 2.4 Um fabricante de automóveis fornece 
veículos equipados com opcionais selecionados. 
Cada veículo é encomendado: 
Com ou sem transmissão automática 
Com ou sem ar-condicionado 
Com uma das 3 escolhas de um sistema estéreo 
Com uma das 4 cores exteriores 
 
 5
0 
Quantos carros diferentes contém o espaço 
amostral? 
 
 5
1 
 Diagrama em forma de árvore para 
diferentes tipos de veículos (Exemplo 2.4) 
Transmissão 
Automática Manual 
Ar - condicionado 
Estéreo 
Cor 
Sim Não Não Sim 
 
 5
2 
 Exemplo 2.5 Considere agora as opções de 
cores interiores para os carros do ex 2.4. Há 4 
escolhas de cor interior: vermelha, preta, azul e 
marrom. No entanto, 
Com um exterior vermelho, somente um interior 
preto ou vermelho pode ser escolhido. 
Com um exterior branco, qualquer cor interior pode 
ser escolhida. 
Com um exterior azul, somente um interior preto, 
vermelho ou azul pode ser escolhido. 
 
 5
3 
 
 Exemplo 2 . 5 
Com um exterior marrom, somente um interior 
marrom pode ser escolhido . 
Agora, quantos tipos de carros o espaço amostral 
contém? 
 
 5
4 
 Importante: 
E1 U E2 : a união de dois eventos consiste em todos 
os resultados que estão contidos em cada um dos 
dois eventos. 
E1 ∩ E2 : a interseção de dois eventos consiste em 
todos os resultados que estão contidos nos dois 
eventos. 
E1` : o complemento de um evento em um espeço 
amostral é o conjunto dos resultados no espaço 
amostral que não estão no evento : (E`)` = E 
 
 5
5 
 
 Importante : 
E 1 ∩ E 2 = ∅ : eventos são mutuamente 
excludentes . 
Lei distributiva dos conjuntos implica que : 
𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ 𝑪 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 
e 
𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑪 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 
 
 5
6 
 
 Importante : 
A Lei DeMorgan implica que : 
𝑨 ∪ 𝑩 ` = 𝑨` ∩ 𝑩` 
e 
𝑨 ∩ 𝑩 ` = 𝑨` ∪ 𝑩` 
 
 5
7 
 
 Importante : 
Lembre - se que : 
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 
e 
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 
 
 5
8 
 
 Diagramas de Venn : 
Eventos A e B 
 
 5
9 
 
 Diagramas de Venn : 
Eventos mutuamente excludentes 
 
 6
0 
 
 Diagramas de Venn : 
 
 6
1 
 
 Diagramas de Venn : 
 
 6
2 
 
 Diagramas de Venn : 
 
 6
3 
 
 Exemplo 2 . 7 
Medidas de espessura de um conector plástico 
devem ser modeladas com o espaço amostral 
S = 𝑅 + , seja : 
E 1 ={ x | 10 ≤ x < 12 } e E 2 = { x | 11 < x < 15 } 
Defina o espaço amostral para : 
E 1 U E 2 ; 
E 1 ∩ E 2 ; 
E 1 ` e E 1 ` ∩ E 2 
 
 6
4 
 
 Exemplo 2 . 7 
Respostas : 
E 1 U E 2 = { x | 10 ≤ x < 15 } 
E 1 ∩ E 2 = { x | 11 < x < 12 } 
E 1 ` = { x | x < 10 ou x ≥ 12 } 
E 1 ` ∩ E 2 = { x | 12 ≤ x < 15 } 
 
 6
5 
 
 Exemplo 2 . 7 
Respostas : 
E 1 U E 2 = { x | 10 ≤ x < 15 } 
E 1 ∩ E 2 = { x | 11 < x < 12 } 
E 1 ` = { x | x < 10 ou x ≥ 12 } 
E 1 ` ∩ E 2 = { x | 12 ≤ x < 15 } 
 
 6
6 
Exercício 2.21: Uma balança digital é usada para 
fornecer pesos em gramas. 
a) Qual é o espaço amostral para esse 
experimento? 
Seja A o evento em que um peso excede 11 
gramas; seja B o evento em que um peso é menor 
que ou igual a 15 gramas e seja C o evento em que 
um peso é maior que ou igual a 8 gramas e menor 
que 12 gramas. 
 
 6
7 
 
Descreva o espaço amostral dos seguintes 
eventos : 
b ) A U B c ) A ∩ B 
d) A` e ) A U B U C 
f) ( A U C)` g) A ∩ B ∩ C 
h) B` ∩ C i) A U ( B ∩ C) 
 
 6
8 
Exercício 2.25: Em uma replicação controlada, 
células são replicadas em um período de dois dias. 
DNA recém-sintetizado não pode ser replicado 
novamente até que a mitose seja completa. Dois 
mecanismos de controle foram identificados – um 
positivo e um negativo. Suponha que uma 
replicação seja observada em três células. Seja A 
o evento em que todas as células são identificadas 
como positivas e B o evento em que todas as 
células são negativas. 
 
 6
9 
 
Exercício 2 . 25 : Descreva o espaço amostral e 
mostre cada um dos seguintes eventos : 
a) A 
b) B 
c) A ∩ B 
d) A U B 
 
 7
0 
Regra da Multiplicação (para técnicas de 
contagem) 
Considerem uma operação que possa ser descrita 
como uma sequência de k etapas e: 
O № de maneiras de completar a etapa 1 for n1 e o 
№ de maneiras de completar a etapa 2 for n2 , para 
cada maneira de completar a etapa 1 e o № de 
maneiras para completar a etapa 3 for n3, para cada 
maneira de completar n2 e assim por diante. 
 
 7
1 
Regra da Multiplicação (para técnicas de 
contagem) 
O número total de maneiras de completar a 
operação será: 
𝒏𝟏 × 𝒏𝟐 × ⋯ 𝒏𝟑 
Exemplo 2.4: 2 opções de transmissão, 2 
opções de ar-condicionado, 3 opções de som 
e 4 opções de cores: 
 
 7
2 
2 x 2 x 3 x 4 = 48 
 Exercício 2.35 Um pedido de compra de um 
computador pessoal pode especificar qualquer 
um dos cinco tamanhos de memória, qualquer 
um dos três tipos de vídeo, qualquer um dos 
quatro tamanhos de disco rígido e pode 
incluir ou não uma plataforma de desenho. 
Quantos sistemas diferentes podem ser 
encomendados? 
 
 7
3 
 Exercício 2.37 Novos projetos para um tanque 
de tratamento de águas residuais têm proposto 
três formas possíveis, quatro tamanhos 
diferentes, três localizações diferentes para 
válvulas de alimentação de material e quatro 
localizações diferentes para as válvulas de 
retirada de material. Quantos projetos diferentes 
do produto são possíveis? 
 Permutações: 
 
 7
4 
Outro cálculo útil é o número de sequências 
ordenadas dos elementos de um conjunto. 
Considere um conjunto de elementos: S ={a, b, c}. 
Uma permutaçãodos elementos é uma 
sequência ordenada dos elementos. Por exemplo: 
abc, acb, bac, cab e cba são todas permutações 
dos eventos de S. 
 
 7
5 
 
 Permutações : 
O número de permutações de n elementos 
diferentes é n ! , sendo : 
𝒏 ! = 𝒏 × ( 𝒏 − 𝟏 ) × ( 𝒏 − 𝟐 ) × ⋯ × 𝟐 × 𝟏 
 
 7
6 
 
 Permutações de subconjuntos : 
O número de permutações de subconjuntos de r 
elementos selecionados de um conjunto de n 
elementos diferentes é : 
 
 7
7 
 
 Permutações de subconjuntos : 
O número de permutações de 
𝑛 = 𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑟 objetos dos quais 𝑛 1 são 
de um tipo, 𝑛 2 são de um segundo tipo, ... , e 𝑛 𝑟 
são do tipo r - ésimo tipo é : 
 
 
1. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012 
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção Contato: 
 
 
alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
• Probabilidade 
• Conceitos 
• Exemplos 
1 
• Exercícios 2 
• Bibliografia utilizada 3 
 
 8
2 
Permutações: 
Outro cálculo útil é o número de sequências 
ordenadas dos elementos de um conjunto. 
Considere um conjunto de elementos: S ={a, b, c}. 
Uma permutação dos elementos é uma sequência 
ordenada dos elementos. Por exemplo: abc, acb, 
bac, cab e cba são todas permutações dos eventos 
de S. 
 
 8
3 
 
 Permutações : 
O número de permutações de n elementos 
diferentes é n ! , sendo : 
𝒏 ! = 𝒏 × ( 𝒏 − 𝟏 ) × ( 𝒏 − 𝟐 ) × ⋯ × 𝟐 × 𝟏 
 
 8
4 
 
 Permutações de subconjuntos : 
O número de permutações de subconjuntos de r 
elementos selecionados de um conjunto de n 
elementos diferentes é : 
 
 8
5 
 
 Permutações de subconjuntos : 
O número de permutações de 
𝑛 = 𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑟 objetos dos quais 𝑛 1 são 
de um tipo, 𝑛 2 são de um segundo tipo, ... , e 𝑛 𝑟 
são do tipo r - ésimo tipo é : 
 
 8
6 
Exemplo 1: 
Na fila do caixa de um caixa eletrônico existem seis 
pessoas. De quantas maneiras elas podem estar 
posicionadas nesta fila? 
Exemplo 2: 
Um produto passa por três etapas de processo de 
fabricação diferentes. Em quantas sequências 
diferentes o produto pode ser fabricado? 
 
 8
7 
Exemplo 2.10: 
Uma placa de circuito impresso tem oito 
localizações diferentes em que um componente 
pode ser colocado. Se quatro componentes 
diferentes forem colocados na placa, quantos 
projetos diferentes são possíveis? 
Exemplo 2.10: 
Raciocínio para solução: Cada projeto consiste 
em selecionar uma localização das oito localizações 
 
 8
8 
para o primeiro componente, uma localização das 
seis restantes para o terceiro componente e uma 
localização das cinco restantes para o quarto 
componente. 
Exemplo 2.11: Considere uma operação de 
usinagem em que dois orifícios, com diâmetros 
idênticos, e dois encaixes de mesmo tamanho 
necessitam ser feitos em uma peça metálica. Na 
determinação de uma programação para uma 
oficina de usinagem, devemos estar interessados 
 
 8
9 
no número de possíveis sequências diferentes das 
quatro operações. Calcule o número de sequências 
possíveis para as duas operações de perfuração e 
para as duas operações de encaixe. 
Exemplo 2.12: Um item é codificado pela 
impressão de quatro linhas espessas, três linhas 
médias e duas linhas finas. Se cada ordenação 
das nove linhas representa um código diferente, 
 
 9
0 
quantos códigos diferentes podem ser gerados 
pelo uso desse esquema? 
Combinações: 
Outro problema de contagem de interesse é o 
número de subconjuntos de r elementos que pode 
ser selecionado a partir de um conjunto de n 
elementos. 
Exemplo: S= {a, b, c,d}, sendo o subconjunto {a, c} 
composto de r =2 elementos. 
 
 9
1 
Aqui, a ordem não é importante. Esses problemas 
são chamados de combinações. 
 
 9
2 
 
 Combinações : 
O número de combinações, subconjuntos de 
tamanho r , que pode ser selecionado a partir de 
um conjunto de n elementos, é denotado como : 
 
 9
3 
Exemplo 2.13: Um item componente pode ser 
colocado em oito localizações diferentes em uma 
placa de circuito impresso. Se cinco componentes 
idênticos forem colocados na placa, quantos 
projetos diferentes serão possíveis? 
Exemplo 2.14: Amostragem sem reposição: 
Um silo de 50 itens fabricados contém três itens 
defeituosos e 47 itens não defeituosos. Uma 
amostra de seis itens é selecionada a partir dos 50 
 
 9
4 
itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou 
seja, cada item pode somente ser selecionado uma 
única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 
itens. Quantas amostras diferentes existem, de 
tamanho seis, que contêm exatamente dois itens 
defeituosos? 
Exemplo 2.14: Raciocínio para solução: 
 Um subconjunto contendo exatamente dois itens 
defeituosos pode ser formado escolhendo 
 
 9
5 
primeiro os dois itens defeituosos a partir dos 
três itens defeituosos. 
 Então, a segunda etapa é selecionar os quatro 
itens restantes dos 47 itens aceitáveis do silo. 
 Por conseguinte, da regra da multiplicação, o 
número de subconjuntos de tamanho seis que 
contém exatamente dois itens defeituosos é... 
Exemplo 2.14: Raciocínio para solução: 
 
 9
6 
 Quando probabilidade discutida neste capítulo, a 
probabilidade de um evento é determinada com 
a razão entre o número de resultados no evento 
e o número de resultados no espaço amostral 
(para resultados igualmente prováveis). 
Consequentemente, a probabilidade de uma 
amostra conter exatamente dois itens 
defeituosos é.... 
 
 9
7 
Exercício 2.41: Um lote de 140 chips 
semicondutores é inspecionado, escolhendo-se 
uma amostra de cinco chips. Suponha que dez dos 
chips não obedeçam aos requerimentos dos 
consumidores. Considere sem reposição. 
a) Quantas amostras diferentes são possíveis? 
b) Quantas amostras de cinco contêm exatamente 
um chip não conforme? 
 
 9
8 
c) Quantas amostras de cinco contêm no mínimo 
um chip não conforme? 
 
 
1. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012 
 
 
Curso: Engenharia de Produção Contato: 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
• Probabilidade 
• Conceitos 
• Exemplos 
1 
• Exercícios 2 
• Bibliografia utilizada 3 
 
 
1
0
 
Probabilidade: 
É usada para quantificar a possibilidade ou chance 
de ocorrência de um resultado de um experimento 
aleatório. 
A possibilidade de um resultado é quantificada 
atribuindo-se um número do intervalo [0,1] ao 
resultado (ou uma percentagem de 0% a 100%). 
 
 
1
0
 
Probabilidades são escolhidas de modo que a soma 
das probabilidades de todos os resultados em um 
experimento some um. 
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu 
espaço amostral, vamos admitir que todos os 
elementos de S tenham a mesma chance de 
 
 
1
0
 
acontecer, ou seja, que S é seu conjunto 
equiprovável. 
 
 
1
0
 
 
Chamamos de probabilidade de um evento A 
( 𝑨 ⊂ 𝑺 ) o n ° real P(A), tal que : 
𝑷 𝑨 = 
𝒏 ( 𝑨 ) 
𝒏 ( 𝑺 ) 
Onde : 
𝒏 𝑨 é 𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑨 ; 
𝒏 𝑺 é 𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑺 ; 
 
 
1
0
 
 
Exemplos : 
a) Considerando o lançamento de uma moeda e o 
evento A“obter cara”, temos : 
S = {Ca, Co } => n(S) = 2 
A = {Ca} => n(A) =1 
Logo : 
𝑷 𝑨 = 
𝟏 
𝟐 
 
 
1
0
 
 
b) Considerando o lançamento de um dado, 
vamos calcular : 
• A probabilidade do evento A “obter um número 
par na face superior” . Temos : 
S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 
A={ 2 , 4 , 6 } => n(A) = 3 
logo : 
𝑷 𝑨 = 
𝟑 
𝟔 
= 
𝟏 
𝟐 
 
 
1
0
 
 
• A probabilidade do evento B “obter um número 
menor ou igual a 6 na face superior” . Temos : 
S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 
B={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(B) = 6 
logo : 
𝑷 𝑩 = 
𝟔 
𝟔 
= 𝟏 
 
 
1
1
 
 
• A probabilidade do evento C “obter um número 
4 na face superior” . Temos : 
S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 
C={ 4 } => n(C) = 1 
logo : 
 
 
1
1
 
 
• A probabilidade do evento D “obter um número 
maior que 6 na face superior” . Temos : 
S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => n(S) = 6 
D= ∅ => n(D) = 0 
logo : 
 
 
1
1
 
Exemplo 2.18: Suponha que uma batelada 
contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens 
sejam selecionados aleatoriamente, sem reposição. 
Suponha que o item f seja defeituoso, porém que os 
outros sejam bons. Qual é a probabilidade de que o 
item f apareça na amostra? 
Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos 
concluir que 𝒏(𝑺) = 𝒏: 
 
 
1
1
 
a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: 
𝑷(𝑺) = 𝟏 
b) A probabilidade do evento impossível é igual a 
zero: 
 𝑷 ∅ = 𝟎 
c) A probabilidade de um evento 𝑬 qualquer (𝑬 ⊂ 𝑺) 
é um número 𝑷 𝑬 , tal que: 
 
 
1
1
 
 𝟎 ≤ 𝑷 𝑬 ≤ 𝟏 
 
 
1
1
 
 
d) A probabilidade do evento elementar 
𝑬 qualquer é , lembrando que 𝒏 ( 𝑬 ) = 𝟏 : 
𝑷 ( 𝑬 ) = 
𝟏 
𝒏 
e) se o evento E estiver contido no evento S , 
𝑷 ( 𝑬 ) ≤ 𝑷 ( 𝑺 ) 
 
 
1
1
 
 
Eventos complementares : sendo P(E) a 
probabilidade que um evento ocorra ( sucesso ) e 
P(E`) a probabilidade de que ele não ocorra 
( insucesso), para um mesmo evento existe sempre 
a relação : 
P(E ′) = 1 – P(E) 
 
 
1
1
 
 
Exemplo : Se a probabilidade de se realizar um 
evento é 𝑃 𝐸 = 
1 
5 
, a probabilidade que um 
evento não ocorra )) ( P(E` é : 
𝑷 ( 𝑬′ ) = 𝟏 – 𝑷 ( 𝑬 ) 
𝑷 ( 𝑬 ′ ) = 𝟏 – 
𝟏 
𝟓 
𝑷 ( 𝑬 ′ ) = 
𝟒 
𝟓 
 
 
1
1
 
 
Exercício 1 : Sabemos que a probabilidade de tirar 
o 4 no lançamento de um dado é 𝑃 𝐸 = 
1 
6 
, a 
probabilidade de não tirar o 4 será? 
 
 
1
1
 
Eventos independentes: Dizemos que dois 
eventos são independentes quando a realização ou 
a não realização de um dos eventos não afeta a 
probabilidade da realização do outro e viceversa. 
Se dois eventos são independentes, a 
probabilidade de que eles se realizem 
simultaneamente é : 
 
 
1
2
 
𝑷(𝑬) = 𝑷(𝑬𝟏) × 𝑷 (𝑬𝟐) 
Exemplo: Lançamos 2 dados. A probabilidade de 
obtermos 1 no primeiro dado é: 
𝟏 
 𝑷(𝑬𝟏) = 𝟔 
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: 
𝟏 
 𝑷(𝑬𝟐) = 𝟔 
 
 
1
2
 
Logo, a probabilidade de obtermos, 
simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: 
 𝟏 𝟏 𝟏 
𝑷 𝑬𝟑 = 𝟔 × 𝟔 = 𝟑𝟔 
 
 
1
2
 
 
Exercício 1 : Se 3 moedas forem lançadas, qual 
a probabilidade de obtermos coroa nas três 
moedas? 
 
 
1
2
 
Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que 
dois ou mais são mutuamente exclusivos quando a 
realização de um exclui a realização do(s) outro(s): 
𝑷(𝑬) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷 (𝑬𝟐) 
No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” 
e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, 
 
 
1
2
 
já que, ao se realizar um deles, o outro não se 
realiza. 
 
 
1
2
 
 
Exemplo : Lançamos um dado . A probabilidade de 
tirar o 3 ou o 5 é : 
𝑷 𝑬 = 
𝟏 
𝟔 
+ 
𝟏 
𝟔 
= 
𝟐 
𝟔 
= 
𝟏 
𝟑 
Exercício 2 : Lançamos um dado . Qual a 
probabilidade de tirar o 1 ou o 2 ou o 3 ? 
 
 
1
2
 
 
Probabilidade de um Evento : 
Para um espaço amostral discreto, a probabilidade 
de um evento E , denotada por P( E ) , é igual à 
soma das probabilidades dos resultados em E . 
 
 
1
2
 
Exemplo 2.16: Um experimento aleatório pode 
resultar em dois resultados {a, b, c, d} com 
probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. 
Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c, d} e C o 
evento {d}. Então, calcule: a) P(A), P(B) e P(C) 
b) P(A`), P(B`) e P(C`) 
c) P(A∩B) 
d) P(AUB) 
 
 
1
2
 
e) P (A∩C) 
 
 
1
2
 
 
Exercício 2 . 55 : O espaço amostral de um 
experimento aleatório é { a, b, c, d, e}, com 
probabilidades 0 , 1 ; 0 , 4 ; 0 , 2 ; 0 , 1 e 0 , 2 , 
respectivamente . Seja A o evento { a, b, c} e B o 
evento { c, d, e} . Determine o seguinte . 
P(A a) ) 
P (B) b) 
P(A c) ′ ) 
P (A U B) d) 
P(A e) ∩ B) 
 
 
1
3
 
 
Exercício 2 . 57 : Se o último dígito de uma medida 
de peso for igualmente provável de ser qualquer 
um dos dígitos de 0 a 9 , 
Qual a ) ( é a probabilidade de que o último dígito 
seja 6 ? 
Qual ( b ) é a probabilidade de que o ultimo dígito 
seja maior que ou igual a 3 ? 
 
 
1
3
 
Exercício 2.59: Uma peça moldada por injeção é 
igualmente provável de ser obtida, a partir de 
qualquer uma das oito cavidades de um molde. 
(a)Qual é o espaço amostral? 
(b)Qual é a probabilidade de a peça ser proveniente 
da cavidade 4 ou 8? 
 
 
1
3
 
(c) Qual é a probabilidade de a peça não ser 
proveniente nem da cavidade 2 nem da 6? 
 
 
1
3
 
 
Exercício 2 . 61 : Em uma bateria de NiCd , uma c é lula 
completamente carregada é composta de Hidr ó xido de 
N í quel . N í quel é um elemento que tem m ú ltiplos 
estados de oxida ç ã o , sendo geralmente encontrado 
nos seguintes estados : 
 
 
 
 
 
 
 
1
3
 
 
Qual a) é a probabilidade de uma c é lula ter no 
m í nimo uma das op ç õ es de n í quel carregado 
positivamente ? 
( b ) Qual é a probabilidade de uma c é lula n ã o ser 
composta de uma carga positiva de n í quel maior 
do que + 2 ? 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia de Produção Contato: 
alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
 
• Probabilidade 
• Regra da adição 
• Regra da multiplicação 
1 
Exercícios • 2 
Bibliografia utilizada • 3 
 
 
1
3
 
Do Exemplo 2.16 (Aula 4): Um experimento 
aleatório pode resultar em dois resultados {a, 
b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, 
respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o 
evento {b, c, d} e C o evento {d}. Então, 
calcule P(AUB). 
 
 
1
4
 
Do Exemplo 2.16 (Aula 4): Um experimento 
aleatório pode resultar em dois resultados {a, 
b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, 
respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o 
evento {b, c, d} e C o evento {d}. Então, 
calcule P(AUC). 
 
 
1
4
 
 
Probabilidade de uma União ( ADIÇÃO ) : 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 
Se os eventos são mutuamente 
excludentes : 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 
 
 
1
4
 
 
Probabilidadede uma União ) ( ADIÇÃO para 
três eventos : 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 
− 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷 ( 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 ) 
Para uma coleção de eventos mutuamente 
excludentes : 
𝑷 𝑬 𝟏 ∪ 𝑬 𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑬 𝒌 = 𝑷 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 + ⋯ + 𝑷 ( 𝑬 𝒌 ) 
 
 
1
4
 
 
2 . 74 ) Se 𝑷 ( 𝑨 ) = 𝟎 , 𝟑 ; 𝑷 ( 𝑩 ) = 𝟎 , 𝟐 e 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎 , 𝟏 ; determine as seguintes 
probabilidades : 
a) 𝑃 ( 𝐴` ) 
b) 𝑃 ( 𝐴 𝑈 𝐵 ) 
 
 
1
4
 
 
2 . 67 ) Amostras de emissões de três fornecedores 
são classificadas com relação a satisfazer as 
especificações de qualidade do ar . Os resultados 
de 100 amostras são resumidos a seguir : 
 
 
 
 
 
 
1
4
 
Seja A o evento em que uma amostra seja 
proveniente do fornecedor 1 e B o evento em que 
uma amostra atenda as especificações. Se uma 
amostra for selecionada ao acaso, determine as 
seguintes probabilidades: 
a) 𝑃(𝐴) 𝑑) 𝑃(𝐴 ∩ B) 
b) 𝑃(𝐵) 𝑒) 𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) 
 
 
1
4
 
c) 𝑃(𝐴`) 𝑓) 𝑃(𝐴` 𝑈 𝐵) 
 
 
1
4
 
 
Probabilidade Condicional : 
A probabilidade condicional de um evento B, 
dado um evento A, denotado com P(B|A), é : 
𝑷 𝑩 | 𝑨 = 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 
𝑷 ( 𝑨 ) 
para 𝑷 ( 𝑨 ) > 𝟎 . 
 
 
1
4
 
Exemplo 2.22) A Tabela a seguir fornece um 
exemplo de 400 itens classificados por falhas na 
superfície e como defeituosos (funcionalmente). 
Falhas na Não há falhas Total 
superfície na superfície 
 ( F ) (F `) 
Defeituoso (D) 10 18 28 
 
 
1
4
 
Não defeituoso (D`) 30 342 372 
Total 40 360 400 
 
 
1
5
 
 
Exemplo 2 . 23 ) Da tabela do exercício anterior 
calcule as probabilidades : 
P(F) a) 
P(F|D) b) 
P(D) c) 
P(D|F) d) 
P(D`|F) e) 
P(D|F`) f) 
P(D`|F`) g) 
 
 
1
5
 
 
Regra da Multiplicação : 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑩 | 𝑨 ∙ 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨 | 𝑩 ∙ 𝑷 𝑩 
 
 
1
5
 
Exemplo 2.26) A probabilidade de que o primeiro 
estágio de uma operação, numericamente 
controlada, de usinagem para pistões com alta rpm 
atenda às especificações é igual a 0,90. Dado que o 
primeiro estágio atende às especificações, a 
probabilidade de que o segundo estágio de 
usinagem atenda às especificações é de 0,95. Qual 
 
 
1
5
 
é a probabilidade de ambos os estágios atenderem 
às especificações? 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia de Produção Contato: 
alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
 
 
 
• Probabilidade 
• Multiplicação para eventos 
independentes 
• Simulação de probabilidade 
• Variáveis aleatórias 
1 
Distribuições de probabilidade • 
Distribuição cumulativa • 
2 
Bibliografia utilizada • 3 
 
 
1
5
 
 
Regra da Multiplicação para eventos 
independentes : 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑩 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑪 
𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑩 ∙ 𝑷 𝑪 
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷 𝑩 ⋅ 𝑷 ( 𝑪 ) 
 
 
1
5
 
No jogo de paciência, os resultados (mão de 
cartas dadas) são todos igualmente prováveis, mas 
é extremamente frustrante tentar usar a 
abordagem clássica para achar a probabilidade de 
vitória. 
Em tais casos, podemos obter boas estimativas 
mais facilmente usando a abordagem da frequência 
relativa. 
 
 
1
6
 
Simulações podem ser úteis quando usamos essa 
abordagem. 
Uma simulação de um experimento é um 
processo que se comporta da mesma maneira 
que o experimento, de modo que são produzidos 
resultados semelhantes. 
Por exemplo, é muito mais fácil usar a abordagem 
da frequência relativa para estimar a probabilidade 
de ganhar no jogo de paciência – isto é, jogar várias 
 
 
1
6
 
vezes (ou realizar uma simulação por computador) 
– do que realizar os cálculos extremamente 
complexos exigidos pela abordagem clássica. 
Uma simulação de um experimento é um 
processo que se comporta da mesma maneira 
que o experimento, de modo que são produzidos 
resultados semelhantes. 
Por exemplo, é muito mais fácil usar a abordagem 
da frequência relativa para estimar a probabilidade 
 
 
1
6
 
de ganhar no jogo de paciência – isto é, jogar várias 
vezes (ou realizar uma simulação por computador) 
– do que realizar os cálculos extremamente 
complexos exigidos pela abordagem clássica. 
Exemplo: Escolha do Gênero em um teste do 
método MicroSort de seleção de gênero 
desenvolvido pelo Genetics & IVF Institute, 127 
meninos nasceram entre 152 bebês, de pais que 
haviam usado o método YSort para tentarem ter um 
 
 
1
6
 
menino. Para avaliar adequadamente esses 
resultados, precisamos saber a probabilidade de se 
obter pelo menos 127 meninos entre 152 
nascimentos, supondo que meninos e meninas 
sejam equiprováveis. 
Admitindo que nascimentos de meninas e meninos 
sejam igualmente prováveis, descreva uma 
simulação que resulte nos gêneros dos 152 bebês 
recém-nascidos. 
 
 
1
6
 
Solução: 
Uma abordagem é simplesmente jogar uma moeda 
152 vezes, com cara representando meninas e 
coroa representando meninos. Outra abordagem 
consiste em usar uma calculadora ou um 
computador para gerar 0 e 1, com 0 representando 
meninos e 1 representando meninas. 
 
 
1
6
 
 
Outra abordagem consiste em usar uma calculadora 
ou um computador para gerar 0 e 1 , com 0 
representando meninos ( M ) e 1 representando 
meninas F ( ) . Os n ú meros têm que ser gerados de tal 
forma que eles sejam igualmente prováveis . Eis 
alguns resultados típicos : 
 ⋯ 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ 
 
 
 
1
6
 
Uma variável aleatória é uma função que confere 
um número real a cada resultado no espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
Notação: 
Uma variável aleatória é denotada por uma letra 
maiúscula, tal como X. Depois de um experimento 
ser conduzido, o valor medido da variável aleatória 
 
 
1
6
 
é denotado por uma letra minúscula, tal como: x = 
70 miliampères. 
Uma variável aleatória discreta é uma 
variável aleatória com uma faixa finita (ou 
infinita contável). 
 
 
1
6
 
Uma variável aleatória contínua é uma 
variável aleatória com um intervalo (tanto 
finito como infinito) de números reais para 
sua faixa. 
Exemplos de variáveis aleatórias 
discretas: número de arranhões em uma 
superfície, proporção de partes defeituosas 
 
 
1
6
 
entre 1.000 testadas, número de bits 
transmitidos que foram recebidos com erro. 
Exemplos de variáveis aleatórias 
contínuas: corrente elétrica, comprimento, 
pressão, temperatura, tempo, tensão, peso. 
 
 
1
7
 
Exemplo 3.1: Um sistema de comunicação por voz 
para uma empresa comercial contém 48 linhas 
externas. Em certo tempo, o sistema é observado e 
algumas das linhas estão sendo usadas. 
Seja a variável aleatória X o número de linhas em 
uso. 
Então, X pode assumir qualquer um dos valores 
inteiros de 0 a 48. 
 
 
1
7
 
Quando o sistema é observado, se 10 linhas estão 
em uso, então x = 10. 
Exemplo 3.2: Em um processo de fabricação de um 
semicondutor, duas pastilhas de um lote são 
testadas. Cada pastilha é classificada como passa 
ou falha. Suponha que a probabilidade de uma 
pastilha passar no teste seja 0,8 e que as pastilhas 
sejam independentes. Qualé a probabilidade de a 
 
 
1
7
 
primeira pastilha passar no teste e de a segunda 
pastilha testada falhar, denotada por pf? 
O espaço amostral para o experimento do exercício 
3.2 e as probabilidades associadas são mostrados 
na Tabela do próximo slide. 
A variável aleatória X é definida como igual ao 
número de pastilhas que passam. A última coluna 
 
 
1
7
 
da tabela mostra os valores de X que são atribuídos 
a cada resultado no experimento. 
 
 
1
7
 
 
 
 
1
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
7
 
A distribuição de probabilidades de uma 
variável alheatória X é uma descrição das 
probabilidades associadas com os valores 
possíveis de X. 
Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é 
frequentemente especificada por apenas uma lista 
de valores possíveis, juntamente com a 
probabilidade de cada um. Em alguns casos, é 
 
 
1
7
 
conveniente expressar a probabilidade em termos 
de uma fórmula. 
Exemplo 3.4: Há uma chance de que um bit 
transmitido por meio de um canal de transmissão 
digital seja recebido com erro. Seja X o número de 
bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. 
Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. 
Baseando-se em um modelo (que será́ apresentado 
na seção seguinte) para os erros, as probabilidades 
 
 
1
7
 
para esses valores serão determinadas. Suponha 
que as probabilidades sejam: 
P(X = 0) = 0,6561; P(X = 1) = 0,2916; 
P(X = 2) = 0,0486; P(X = 3) = 0,0036; 
P(X = 4) = 0,0001 
A distribuição de probabilidades de X é especificada 
pelos valores possíveis, juntamente com a 
probabilidade de cada um. Uma descrição gráfica da 
distribuição de probabilidades de X. Desenhe a 
distribuição de probabilidades para bits com erros. 
 
 
1
7
 
 
 
 
1
8
 
 
Função de Probabilidade : 
Para uma variável aleatória discreta X , com valores 
possíveis 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , ... , 𝒙 𝒏 , a função de probabilidade é 
uma função tal que : 
1. 𝒇 𝒙 𝒊 ≥ 𝟎 
2. σ 𝒊 = 𝟏 
𝒏 𝒇 𝒙 𝒊 = 𝟏 
3. 𝒇 𝒙 𝒊 = 𝑷 ( 𝑿 = 𝒙 𝒊 ) 
 
 
1
8
 
 
Para os bits com erro no Exemplo 3 - 4 , 
f( 0 ) = 0 , 6561 , f( 1 ) = 0 , 2916 , f( 2 ) = 0 , 0486 , 
f( 3 ) = 0 , 0036 e f( 4 ) = 0 , 0001 . 
Verifique que essa soma de probabilidades é 
igual a 1 . 
 
 
1
8
 
 
Função de Distribuição Cumulativa : 
A função de distribuição cumulativa de uma 
variável aleatória discreta X, denotada por 
F(x), é : 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ෍ 
𝑿 𝒊 ≤ 𝒙 
𝒇 𝒙 𝒊 
 
 
1
8
 
 
 
 
1
8
 
 
Para uma variável aleatória discreta X, F(x) 
satisfaz as seguintes propriedades : 
1) 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = σ 𝑿 𝒊 ≤ 𝒙 𝒇 𝒙 𝒊 
2) 𝟎 ≤ 𝑭 𝒙 ≤ 𝟏 
𝑺𝒆 3) 𝒙 ≤ 𝒚 , 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝑭 𝒙 ≤ 𝑭 ( 𝒚 ) 
 
 
1
8
 
 
 
 
1
8
 
 
Exemplo 3 . 7 : Determine a função de 
probabilidade de X, a partir da seguinte 
fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 
𝐹 𝑥 = 
0 𝑥 < − 2 
0 , 2 − 2 ≤ 𝑥 < 0 
0 , 7 0 ≤ 𝑥 < 2 
1 𝑥 ≥ 2 
 
 
1
8
 
 
Exercício 3 . 39 : Determine a função de 
probabilidade de X, a partir da seguinte 
fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 
𝐹 𝑥 = ቐ 
0 𝑥 < 1 
0 , 5 1 ≤ 𝑥 < 3 
1 𝑥 ≥ 3 
 
 
1
8
 
 
Exemplo 3 . 39 : Calcule : 
a ) P ( X ≤ 3 ) 
b ) P X ( ≤ 2 ) 
c ) P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) 
d) P ( X > 2 ) 
. 
 
 
1
8
 
 
 
 
1
9
 
 
Exercício 3 . 41 : Determine a função de 
probabilidade de X, a partir da seguinte 
fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa : 
𝐹 𝑥 = 
0 𝑥 < − 10 
0 , 25 − 10 ≤ 𝑥 < 30 
0 , 75 30 ≤ 𝑥 < 50 
1 𝑥 ≥ 50 
 
 
1
9
 
 
Exemplo 3 . 41 : Calcule : 
a ) P ( X ≤ 50 ) 
b ) P ( X ≤ 40 ) 
c ) P ( 40 ≤ X ≤ 60 ) 
d) P ( 𝑋 < 0 ) 
e) P 0 ≤ 𝑋 < 10 
f) 𝑃 − 10 < 𝑋 < 10 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia, 11ª 
edição. LTC, 03/2013. VitalBook file. 
 
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção (Turma A) 
 
 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
Variáveis aleatórias discretas • 
Média • 
Variância • 
Desvio Padrão • 
1 
Distribuições de probabilidade • 
Distribuição Binomial • 2 
Bibliografia utilizada • 3 
 
 1
9
 
 
A média ou valor esperado de uma variável 
aleatória discreta X, denotada(o) como μ ou 
E(X), é : 
𝝁 = 𝑬 𝑿 = ෍ 
𝒙 
𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
A m é dia de uma vari á vel aleat ó ria X é uma 
m é dia ponderada dos valores poss í veis de 
X, com pesos iguais à s probabilidades . 
 
 1
9
 
 
A variância de X, denotada por 𝝈 𝟐 ou V(X), 
é : 
𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = σ 𝑥 ( 𝑥 − 𝜇 ) 
2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) = 
෍ 
𝒙 
𝒙 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) − 𝝁 𝟐 
A variância de uma vari á vel aleat ó ria X é 
uma medida de dispers ã o ou 
espalhamento nos valores poss í veis para X . 
 
 1
9
 
 
O desvio - padr ã o de X é: 
𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 ( 𝒙 ) 
 
 
1
9
 
Exemplo 3.9. No Exemplo 3-4, houve uma chance 
de que um bit transmitido por meio de um canal 
digital de transmissão fosse recebido com erro. Seja 
X o número de bits com erro nos quatro próximos 
bits transmitidos. Os valores possíveis para X são 
{0, 1, 2, 3, 4}. Suponha que as probabilidades sejam: 
P(X = 0) = 0,6561; P(X = 1) = 0,2916; 
P(X = 2) = 0,0486; P(X = 3) = 0,0036; 
 
 
2
0
 
P(X = 4) = 0,0001 
 
 
2
0
 
 
Calcule a média ponderada ( µ ou E(X)), a 
variância ( V(X )) e o desvio padrão . Utilize a tabela 
do próximo slide para facilitar o cálculo da 
variância . 
Dados : 
𝝁 = 𝑬 𝑿 = ෍ 
𝒙 
𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
e 
𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 ( 𝒙 ) 
 
 
2
0
 
 
𝒙 𝒙 − 𝝁 ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = ෍ 
𝑥 
( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 
 
 
2
0
 
 
Solução : 
Média ponderada : 
𝝁 = 𝑬 𝑿 = ෍ 
𝒙 
𝒙 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
𝝁 = 𝟎 ∙ 𝒇 𝟎 + 𝟏 ∙ 𝒇 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒇 𝟐 + 𝟑 ∙ 𝒇 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒇 ( 𝟒 ) 
= 𝟎 ∙ 𝟎 , 𝟔𝟓𝟔𝟏 + 𝟏 ∙ 𝟎 , 𝟐𝟗𝟏𝟔 + 𝟐 ∙ 𝟎 , 𝟎𝟒𝟖𝟔 + 
+ 𝟑 ∙ 𝟎 , 𝟎𝟎𝟑𝟔 + 𝟒 ∙ ( 𝟎 , 𝟎𝟎𝟎𝟏 ) 
𝝁 = 𝟎 , 𝟒 
 
 
2
0
 
 
Variância : 
𝒙 𝒙 − 0 , 4 ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = ෍ 
𝑥 
( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 
 
 
2
0
 
 
Variância : 
𝒙 𝒙 − 0 , 4 ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 𝒇 ( 𝒙 ) ( 𝒙 − 0 , 4 ) 𝟐 ∙ 𝒇 ( 𝒙 ) 
 
 
 
 
 
𝝈 𝟐 = 𝑉 𝑋 = ෍ 
𝑥 
( 𝑥 − 𝜇 ) 2 ∙ 𝑓 ( 𝑥 ) 
 
 
2
0
 
 
Desvio padrão : 
𝝈 = 𝝈 𝟐 = 𝑽 𝒙 
𝝈 = 𝟎 , 𝟑𝟔 
𝝈 = 𝟎 , 𝟔 
 
 
2
0
 
Exemplo 3.11. O número de mensagens enviadas 
por hora, por meio de uma rede de computadores, 
tem a seguinte distribuição: 
x= n° de 10 11 12 13 14 15 mensagens 
f(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 
 
 
2
0
 
Determine a média ponderada, a variância e o 
desvio-padrão do número de mensagens enviadas 
por hora. 
 
 
2
0
 
 
Exercício 3 . 49 . Calcule a média ponderada, 
a variância e o desvio padrão para a variável 
aleatória discreta abaixo : 
 
 
 
 
2
1
 
Considere os seguintes experimentos aleatórios e 
variáveisaleatórias: 
1. Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = número 
obtido de caras. 
2. Um tear produz 1% de itens defeituosos. Seja X 
= número de itens defeituosos nos próximos 25 itens 
produzi- dos. 
3. Cada amostra de ar tem 10% de chance de 
conter uma molécula rara particular. Seja X = 
 
 
2
1
 
número de amostras de ar que contêm a molécula 
rara nas próximas 18 amostras analisadas. 
4. De todos os bits transmitidos por um canal digital 
de transmissão, 10% são recebidos com erro. Seja 
X = número de bits com erro nos próximos 5 bits 
transmitidos. 
5.Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, 
cada uma com quatro escolhas. Você̂ tenta 
adivinhar cada questão. Seja X = número de 
questões respondidas corretamente. 
 
 
2
1
 
6. Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, 
seja X = número de nascimentos de meninas. 
7. De todos os pacientes sofrendo de uma 
determinada doença, 35% deles experimentam 
melhora proveniente de uma medicação particular. 
Nos próximos 100 pacientes administrados com a 
medicação, seja X = número de pacientes que 
experimentam melhora. 
 
 
2
1
 
Esses exemplos ilustram que um modelo geral de 
probabilidade, que incluísse esses experimentos 
como casos particulares, seria muito útil. 
Cada um desses experimentos aleatórios pode ser 
pensado como consistindo em uma série de 
tentativas aleatórias e repetidas: 10 arremessos da 
moeda no experimento 1, a produção de 25 itens no 
experimento 2 e assim por diante. 
 
 
2
1
 
A variável aleatória em cada caso é uma 
contagem do número de tentativas que 
encontram um critério especificado. 
O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o 
critério que X conta; consequentemente, cada 
tentativa pode ser resumida como resultando em um 
sucesso ou uma falha, respectivamente. 
Por exemplo, em um experimento de múltipla 
escolha, para cada questão somente a escolha que 
 
 
2
1
 
seja correta é considerada um sucesso. Escolher 
qualquer uma das três opções incorretas resulta em 
uma tentativa resumida como falha. 
Uma tentativa com somente dois resultados 
possíveis é usada tão frequentemente como um 
bloco formador de um experimento aleatório, que é 
chamada de tentativa de Bernoulli. 
Geralmente considera-se que as tentativas que 
constituem o experimento aleatório sejam 
independentes. 
 
 
2
1
 
Além disso, é frequentemente razoável supor que a 
probabilidade de um sucesso em cada tentativa 
seja constante. 
"Um experimento aleatório consiste em n tentativas 
de Bernoulli, de modo que 
(1) As tentativas sejam independentes. 
(2) Cada tentativa resulte em somente dois 
resultados possíveis, designados como 
′′sucesso′′ e ′′falha′′. 
 
 
2
1
 
(3) A probabilidade de um sucesso em cada 
tentativa, denotada por p, permaneça constante. 
 
 
2
1
 
 
A variável aleatória X , que é igual ao número de 
tentativas que resultam em um sucesso , é uma 
variável aleatória binomial com parâmetros 
0 < p < 1 e n = 1 , 2 , .... A função de probabilidade de 
X e : 
𝒇 𝒙 = 
𝒏 
𝒙 
∙ 𝒑 𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏 − 𝒙 x = 0 , 1 , … , n 
𝒇 𝒙 = 
𝒏 ! 
𝒙 ! ( 𝒏 − 𝒙 ) ! 
∙ 𝒑 𝒙 ∙ ( 𝟏 − 𝒑 ) 𝒏 − 𝒙 𝑥 = 0 , 1 , … , 𝑛 
 
 
2
1
 
 
Onde : 
x = n ° de sucessos em n tentativas 
n = tamanho da amostra ou n ° de tentativas 
p = probabilidade de sucesso 
𝒇 𝒙 = 
𝒏 ! 
𝒙 ! ( 𝒏 − 𝒙 ) ! 
∙ 𝒑 𝒙 ∙ ( 𝟏 − 𝒑 ) 𝒏 − 𝒙 𝑥 = 0 , 1 , … , 𝑛 
Ordenações possíveis 
Probabilidade de x sucessos 
Probabilidade de n - x fracassos 
 
 
2
2
 
 
 
 
2
2
 
Distribuições binomiais para valores selecionados de n e p 
 
 2
2
 
 
Se X for uma vari á vel aleat ó ria binomial com 
parâmetros p e n , 
A média é : 
𝝁 = 𝑬 𝑿 = 𝐧𝐩 
A variância é : 
𝝈 𝟐 = 𝑽 𝑿 = 𝒏𝒑 ( 𝟏 − 𝒑 ) 
O desvio padrão é : 𝝈 = 𝝈 𝟐 
 
 2
2
 
 
 
 2
2
 
 
Uma 1) moeda é lançada cinco vezes seguidas e 
independentes . Calcule a probabilidade de 
serem obtidas três caras nessas cinco provas . 
2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 
2 / 3 . Se ele atirar cinco vezes, qual a 
probabilidade de acertar exatamente dois tiros? 
 
 2
2
 
 
3 . 77 . Seja X uma vari á vel aleat ó ria binomial com 
p = 0 , 1 e n = 10 . Calcule as seguintes 
probabilidades a partir da função de probabilidade 
binomial . 
( a ) P(X ≤ 2 ) ( c ) P(X = 4 ) 
( b ) P(X > 8 ) ( d) P( 5 ≤ X ≤ 7 ) 
 
 2
2
 
 
3 . 79 . A vari á vel aleat ó ria X tem uma distribui ç ã o 
binomial com n = 10 e p = 0 , 01 . Determine as 
seguintes probabilidades : 
( a ) P(X = 5 ) 
( b ) P(X ≤ 2 ) 
( c ) P( 3 ≤ X < 5 ) 
 
 2
2
 
 
3 . 19 . Dados n= 0 , 4 e p= 0 , 1 , calcule a média, a 
variância e o desvio padrão de uma distribuição 
binomial de uma variável aleatória discreta X . 
3 . 20 . Dados n= 10 e p= 0 , 01 , calcule a média, a 
variância e o desvio padrão de uma distribuição 
binomial de uma variável aleatória discreta X . 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
 
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção (Turma A) 
 
 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
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Distribuições de probabilidade • 
discretas: 
Distribuição Poisson • 
1 
Bibliografia utilizada • 2 
 
 
2
3
 
 
Uma distribui ç ã o largamente usada emerge à 
medida que o n ú mero de tentativas em um 
experimento binomial aumenta at é infinito, 
enquanto a m é dia da distribui ç ã o permanece 
constante . 
 
 
2
3
 
Por exemplo, contagens de (1) partículas de 
contaminação na fabricação de semicondutores, (2) 
falhas em rolos de tecidos, (3) chamadas para uma 
troca de telefone, (4) interrupção de energia, (5) 
partículas atômicas emitidas a partir de um 
espécime têm sido, todas, modeladas com sucesso 
pela função de probabilidade na seguinte definição, 
(6) falhas em um fio. 
 
 
2
3
 
Em geral, considere um intervalo T de números reais, 
dividido em subintervalos com comprimentos pequenos 
∆t, e considere que quando ∆t tende a zero, 
(1) a probabilidade de mais de um evento em um 
subintervalo tende a zero, 
(2) a probabilidade de um evento em um subintervalo 
tende a λ∆t/T, 
(3) o evento em cada subintervalo é independente de 
outros subintervalos. 
 
 
2
3
 
Um experimento aleatório com essas propriedades 
é chamado de processo de Poisson. 
 
 
2
3
 
 
A vari á vel aleat ó ria X , que é igual ao n ú mero 
de eventos no intervalo , é uma vari á vel 
aleat ó ria de Poisson, com parâmetro λ > 0 , 
sendo a fun ç ã o de probabilidade de X dada 
por : 
𝑃 𝑋 = 𝑘 = 
𝑒 − 𝜆 ∙ 𝜆 𝑘 
𝑘 ! 
Onde : 
𝑘 = 0 , 1 , 2 , ⋯ 
 
 
2
3
 
 
 
 
2
3
 
 
 
 
2
3
 
 
Se X for uma variável aleatória de Poisson com 
parâmetro λ, então : 
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝜆 
e 
𝜎 2 = 𝑉 𝑋 = 𝜆 
A média e a variância de uma variável aleatória de 
Poisson são iguais . 
 
 
2
4
 
Por exemplo, se a contagem de partículas seguir a 
distribuição de Poisson, com uma média de 25 
partículas por centímetro quadrado, então a 
variância é também 25 e o desvio-padrão das 
contagens será5 por centímetro quadrado. Assim, 
informação sobre a variabilidade é muito facilmente 
obtida. Contrariamente, se a variância dos dados de 
contagem for muito maior que a média dos mesmos 
 
 
2
4
 
dados, então a distribuição de Poisson não será um 
bom modelo para a distribuição da variável aleatória. 
3.129. Suponha que X tenha uma distribuição de 
Poisson, com uma média de 4. Determine as 
seguintes probabilidades: 
(a) P(X = 0) (b) P(X ≤ 2) 
(c) P(X = 4) (d) P(X = 8) 
 
 
2
4
 
3.130. Suponha que X tenha uma distribuição de 
Poisson, com uma média de 0,4. Determine as 
seguintes probabilidades: 
(a) P(X = 0) (b) P(X ≤ 2) 
(c) P(X = 4) (d) P(X = 8) 
 
 
2
4
 
 
A probabilidade de k ocorrências num 
intervalo fixo de comprimento t pode ser 
escrita como : 
𝑃 𝑋 = 𝑘 = 
𝑒 − 𝜆 ∙ 𝑡 ∙ ( 𝜆 ∙ 𝑡 ) 𝑘 
𝑘 ! 
Onde : 
𝑘 = 0 , 1 , 2 , ⋯ 
 
 
2
4
 
3.141. O número de mudanças de conteúdo em uma 
página da internet segue a distribuição de Poisson, 
com uma média de 0,25 por dia. (a) Qual é a 
probabilidade de duas ou mais mudanças em um 
dia? 
(b) Qual é a probabilidade de nenhuma mudança em 
cinco dias? 
(c) Qual é a probabilidade de duas ou menos 
mudanças em cinco dias? 
 
 
2
4
 
(d) Calcule a média, a variância e o desvio padrão. 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6 ed. São Paulo: 
Saraiva, Saraiva, 2010. 
 
 
 
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Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
Medidas de centro (Estatística Descritiva) • 1 
Distribuição Normal • 2 
 
 2
5
 
 
 É o valor no centro ou meio do conjunto de 
dados . 
Estas  podem ser : média, mediana, moda e 
ponto médio . 
 
 2
5
 
 
Sabendo que : 
x é a variável, em geral usada para representar os valores 
individuais dos dados ; 
n é o número de valores de uma amostra ; 
N é o número de valores de uma população ; 
∑ é a adição de um conjunto de dados ; tem - se : 
 
 
 
 
 
 2
5
 
 
 
 2
5
 
 
 
 2
5
 
 Para encontrar a mediana, primeiro ordene 
os valores e depois siga um dos 
procedimentos: 
 1. Se o número de valores for ímpar, a mediana 
será o número localizado no meio exato da lista; 
 
 2
5
 
 2. Se o número de valores for par, a mediana será 
encontrada pelo cálculo da média dos dois 
números do meio. 
 
 2
5
 
 
 
 2
5
 
 
 
 2
5
 
 A moda de um conjunto de dados, em geral 
representada por M, é o valor que ocorre mais 
frequentemente. 
 Quando dois valores ocorrem com a mesma maior 
frequência, cada um é uma moda, e o conjunto de 
dados é bimodal. 
 Quando mais de dois valores ocorrem com a 
mesma frequência, cada um é uma moda, e o 
conjunto de dados é multimodal. 
 
 2
5
 
 Quando nenhum valor se repete, dizemos que 
nãohámoda. 
 
 2
6
 
 
Exemplos : 
Ache a moda nos seguintes conjuntos de dados : 
a) 5 , 40 1 , 10 0 , 42 0 , 73 0 , 48 1 , 10 
b) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 
c) 1 2 3 6 7 8 9 10 
 
 2
6
 
 
Exemplos : 
Ache a moda nos seguintes conjuntos de dados : 
a) 5 , 40 1 , 10 0 , 42 0 , 73 0 , 48 1 , 10 
b) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 
c) 1 2 3 6 7 8 9 10 
 
 2
6
 
 
 
 2
6
 
 
 
 2
6
 
 
 
 2
6
 
 
 
 2
6
 
 
 O desvio padrão de um conjunto de valores 
amostrais é uma medida da variação dos 
valores em torno da média . 
 É uma espécie de desvio médio dos 
valores em relação a média . 
 
 2
6
 
 
Sabendo que : 
x é a variável, em geral usada para representar os valores 
individuais dos dados ; 
n é o número de valores de uma amostra ; 
N é o número de valores de uma população ; 
∑ é a adição de um conjunto de dados ; tem - se : 
 
 
 2
6
 
 
 
 
1 - 5 25 
3 - 3 9 
14 8 64 
Totais: 18 98 
 
 2
6
 
 
 
 
2
7
 
 
1 ) Considerando uma amostra de 5 tempos de 
espera em uma fila de banco em minutos : 
20 ; 15 ; 21 ; 19 ; 20 , calcule : 
a) A média aritmética da amostra . 
b) O desvio padrão da amostra . 
c) A variância da amostra . 
Existe d) moda na amostra? Se sim qual n ° é? 
e) A mediana da amostra, o ponto médio e a 
amplitude dos dados . 
 
 
2
7
 
 
2 ) Considerando uma amostra de 4 tempos para 
fabricação da primeira parte de um produto em 
minutos : 10 ; 11 ; 9 ; 11 , calcule : 
a) A média aritmética da amostra . 
b) O desvio padrão da amostra . 
c) A variância da amostra . 
Existe d) moda na amostra? Se sim qual n ° é? 
e) A mediana da amostra, o ponto médio e a 
amplitude dos dados . 
 
 
2
7
 
Indubitavelmente, o modelo mais largamente 
utilizado para a distribuição de uma variável 
aleatória contínua é a distribuição normal (ou 
gaussiana).Exemplo: pesquisas socioeconômicas. 
Teorema central do limite (De Moivre, 1733): Toda 
vez que um experimento aleatório for replicado, a 
variável aleatória que for igual ao resultado médio 
(ou total) das réplicas tenderá a ter uma distribuição 
 
 
2
7
 
normal, à medida que o número de réplicas se torne 
grande. 
 
 
2
7
 
 
Vari á veis aleat ó rias com diferentes m é dias e variâncias 
podem ser modeladas pelas fun ç õ es densidades de 
probabilidade normal, com escolhas apropriadas do centro 
e da largura da curva . O valor de E(X) = μ determina o 
centro da fun ç ã o densidade de probabilidade e o valor de 
V(X) = 𝜎 2 determina a largura . 
 
 
2
7
 
 
Uma variável aleatória X, com função densidade de 
probabilidade: 
𝒇 𝒙 = 
𝟏 
𝟐 𝝅 𝝈 
𝒆 
− ( 𝒙 − 𝝁 ) 𝟐 
𝟐 𝝈 𝟐 
𝑂𝑛𝑑𝑒 : – ∞ < 𝑥 < ∞ 
é uma vari á vel aleat ó ria normal, com parâmetros μ, 
em que – ∞ < μ < ∞ , e σ > 0 . Tamb é m , 
E(X) = μ e V(X) = 𝝈 𝟐 
e a nota ç ã o N(μ, 𝝈 𝟐 ) é usada para a distribuição . 
 
 
2
7
 
EXEMPLO 4-10) Suponha que as medidas da 
corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição 
normal, com uma média de 10 miliampères e uma 
variância de 4 (miliampères)^2. Qual é a 
probabilidade de a medida exceder 13 miliampères? 
Seja X a corrente em miliampères. A probabilidade 
requerida pode ser representada por P(X > 13). Essa 
probabilidade é mostrada como a área sombreada 
 
 
2
7
 
sob a função densidade de probabilidade normal na 
figura a seguir. 
 
 
2
7
 
 
 
 
2
7
 
 
 
 
2
8
 
Alguns resultados úteis, relativos à distribuição 
normal, são sumarizados na figura anterior. Para 
qualquer variável aleatória normal, 
 𝑷 𝝁 − 𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝝈 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟕 
𝑷 𝝁 − 𝟐𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝟐𝝈 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟒𝟓 𝑷 
𝝁 − 𝟑𝝈 < 𝑿 < 𝝁 + 𝟑𝝈 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟑 
 
 
2
8
 
Além disso, da simetria de f(x), 
P(X > μ) = P(X < μ) = 0,5 
Como f(x) é positiva para todo x, esse modelo atribui 
alguma probabilidade para cada intervalo da linha 
real. Entretanto, a função densidade de 
probabilidade diminui quando x se move para mais 
longe de μ. Consequentemente, a probabilidade de 
a medida cair longe de μ é pequena; a alguma 
 
 
2
8
 
distância de μ, a probabilidade de um intervalo pode 
ser aproximada como zero. 
Pelo fatode mais de 0,9973 da probabilidade de 
uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ 
− 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como 
a largura de uma distribuição normal. 
 
 
2
8
 
Métodos avançados de integração podem ser 
usados para mostrar que a área sob a função 
densidade de probabilidade normal de −∞ < x < ∞ é 
igual a 1. 
 
 
2
8
 
 
Padronizando uma Vari á vel Aleat ó ria Normal 
Se X for uma vari á vel aleat ó ria normal com E(X) = 
μ e V(X) = σ 2 , a vari á vel aleat ó ria : 
𝒁 = 
𝑿 − 𝝁 
𝝈 
será uma variável aleatória normal, com E(Z) = 0 e 
V(Z )= 1 . Ou seja, Z é uma variável aleatória normal 
padrão . 
 
 
2
8
 
 
EXEMPLO 4 - 13 . Suponha que as medidas da 
corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição 
normal, com uma média de 10 miliamp è res e uma 
variância de 4 ( miliamp è res ) ^ 2 . Qual é a 
probabilidade de a medida exceder 13 
miliamp è res ? 
 
 2
8
 
 
Uma vari á vel aleat ó ria normal com 
𝝁 = 𝟎 e 𝝈 𝟐 = 𝟏 
é chamada de vari á vel aleat ó ria normal padr ã o e e 
denotada por Z . 
A fun ç ã o de distribui ç ã o cumulativa de uma 
vari á vel aleat ó ria normal padr ã o é denotada por 
𝚽 ( 𝒛 ) = 𝑷 ( 𝒁 ≤ 𝒛 ) 
 
 2
8
 
 
EXEMPLO 1 ) Considere que Z seja uma vari á vel 
aleat ó ria normal padr ã o . A Tabela III do Ap ê ndice 
fornece probabilidades na forma Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) . O 
uso da Tabela III para encontrar P ( Z ≤ 1 , 5 ) é 
ilustrado na figura a seguir . 
 
 2
8
 
 
Leia a coluna z para baixo at é encontrar o valor 
1 , 5 . A probabilidade de 0 , 93319 é lida na coluna 
adjacente , marcada como 0 , 00 . O topo das colunas 
se refere à s casas centesimais do valor de z em 
P(Z ≤ z) . 
 
 2
8
 
 
EXEMPLO 2 ) Por exemplo , P ( Z ≤ 1 , 53 ) é 
encontrado lendo a coluna de z at é a linha 1 , 5 e 
ent ã o selecionando a coluna marcada como 0 , 03 , 
encontrando - se assim a probabilidade de 0 , 93699 . 
 
 2
9
 
 
EXEMPLO 3 ) Os c á lculos podem ser mostrados de 
forma diagram á tica . Calcule : 
P(Z 1) > 1 , 26 ) 
P(Z > 1 , 26 ) = 1 – P(Z ≤ 1 , 26 ) = 1 – 0 , 89616 = 
0 , 10384 
 
 2
9
 
 
2 ) P(Z < - 0 , 86 ) 
P(Z < - 0 , 86 ) = P(Z ≤ - 0 , 86 ) = 0 , 19490 
 
 2
9
 
 
Exercício 4 . 49 : Use a Tabela III do Apêndice para 
determinar as seguintes probabilidades para a 
vari á vel aleat ó ria normal padr ã o Z : 
P(Z a) < 1 , 32 ) 
P(Z b) < 3 , 0 ) 
c) P(Z > 1 , 45 ) 
d) P(Z > − 2 , 15 ) 
e) P ( − 2 , 34 < Z < 1 , 76 ) 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
3. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção (Turma A) 
 
 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
Distribuições Amostrais e • 
Estimação Pontual de 
Parâmetros 
1 
Bibliografia utilizada • 2 
 
 
2
9
 
Métodos estatísticos são usados para tomar 
decisões e tirar conclusões acerca de populações. 
Esse aspecto da estatística é geralmente chamado 
de inferência estatística. 
Essas técnicas utilizam a informação em uma 
amostra em tirar conclusões. 
 
 
2
9
 
A inferência estatística pode ser dividida em duas 
grandes áreas: estimação de parâmetros e teste de 
hipóteses. 
Como exemplo de um problema de estimação de 
parâmetros, suponha que um engenheiro esteja 
analisando a resistência à tensão de um 
componente usado em um chassi de um automóvel. 
A variabilidade está naturalmente presente entre os 
componentes individuais por causa das diferenças 
 
 
2
9
 
nas bateladas da matériaprima, nos processos de 
fabricação e nos procedimentos de medidas (por 
exemplo), de modo que o engenheiro quer estimar a 
resistência média da população de componentes. 
Na prática, o engenheiro usará os dados da amostra 
para calcular um número que é, de algum modo, um 
valor razoável (uma boa tentativa) da média 
verdadeira da população. Esse número é chamado 
de estimativa pontual. 
 
 
3
0
 
Agora, vamos considerar um tipo diferente de 
questão. Suponha que duas temperaturas 
diferentes de reação, t1 e t2, possam ser usadas em 
um processo químico. O engenheiro conjetura que 
t1 resultará em rendimentos maiores do que t2. 
Teste estatístico de hipoteses é a estrutura para 
resolver problemas desse tipo. Nesse exemplo, o 
engenheiro estaria interessado em formular 
 
 
3
0
 
hipóteses que o permitam demonstrar que a média 
resultante usando t1 é maior do que a média 
resultante usando t2. Note que não há ênfase em 
estimar os rendimentos; em vez disso, o foco está 
em tirar conclusões acerca da hipótese que é 
relevante para a decisão de engenharia. 
 
 
3
0
 
Suponha que queiramos obter uma estimativa 
pontual (um valor razoável) de um parâmetro de 
uma população. Sabemos que, antes de os dados 
serem coletados, as observações são consideradas 
variáveis aleatórias, isto é, X1, X2, ..., Xn. Logo, 
qualquer função da observação, ou qualquer 
estatística, é também uma variável aleatória. Por 
exemplo, a média da amostra 𝑋ഥ e a variância da 
 
 
3
0
 
amostra 𝑆2 são estatísticas e são também variáveis 
aleatórias. 
Desde que uma estatística seja uma variável 
aleatória, ela terá uma distribuição de 
probabilidades. Chamamos a distribuição de 
probabilidades de uma estatística de uma 
distribuição amostral. 
 
 
3
0
 
“Uma estimativa pontual de algum parâmetro de 
uma população 𝜃 é um único valor numérico 𝜃ቐ de 
uma estatística Θ෍. A estatística Θ෍ é chamada de 
estimador pontual.” 
Como exemplo, suponha que a variável aleatória X 
seja normalmente distribuída, com uma média 
desconhecida μ. A média da amostra é um 
estimador pontual da média desconhecida μ da 
 
 
3
0
 
população. Isto é, 𝜇ቐ = 𝑋ഥ . Depois de a amostra ter 
sido selecionada, o valor numérico 𝑥ഥ é a estimativa 
pontual de μ. 
Assim, se 𝑥1 = 25, 𝑥2 = 30, 𝑥3 = 29 𝑒 𝑥4 = 31 , então a 
estimativa pontual de μ é 
25 + 30 + 29 + 31 
 𝑥ҧ = = 28,75 
4 
 
 
3
0
 
Similarmente, se a variância da população σ2 for 
também desconhecida, um estimador pontual para 
σ2 será́ a variância da amostra S2 , e o valor numérico 
s2 = 6,9, calculado a partir dos dados amostrais, é 
chamado de estimativa pontual de σ2. 
Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa 
Pontual 
 
 
3
0
 
Quando o valor numérico ou estimativa de um 
parâmetro é reportado, geralmente é desejável dar 
alguma ideia da precisão da estimação. A medida 
da precisão normalmente empregada é o 
erropadrão do estimador que está sendo usado. 
Erro-Padrão de um Estimador 
O erro-padrão de um estimador Θ෍ é o seu 
desviopadrão, dado por 𝜎Θ෍ = 𝑉(Θ෍). Se o erro-
 
 
3
0
 
padrão envolver parâmetros desconhecidos que 
possam ser estimados, então a substituição 
daqueles valores em 𝜎Θ෍ produz um erro-padrão 
estimado, denotado por 𝜎ቐΘ෍ . 
 
 
3
0
 
 
Suponha que estejamos amostrando a partir de 
uma distribuição normal, com m é dia μ e variância 
𝜎 2 . Agora, a distribui c ã o de ത 𝑋 é normal, com 
m é dia μ e variância 𝜎 2 /n ; assim, o erro - padr ã o de 
ഥ 𝑋é : 
𝜎 ത 𝑋 = 
𝜎 
𝑛 
 
 
3
1
 
 
Se n ã o conhecêssemos σ, mas substituirmos o 
desvio - padr ã o S da amostra na equa ç ã o anterior, 
ent ã o o erro - padr ã o estimado de ഥ 𝑋 seria : 
ቐ 𝜎 ത 𝑋 = 
𝑆 
𝑛 
 
 
3
1
 
EXEMPLO 7-5 Um artigo no Journal of Heat 
Transfer (Trans. ASME, Sec. C, 96, 1974, p. 59) 
descreveu um novo método de medir a 
condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma 
temperatura de 100°F e uma potência de 550 watts, 
as 10 medidas seguintes de condutividade térmica 
(em BTU/ h⋅ft⋅°F) foram obtidas: 41,60; 41,48; 42,34; 
41,95; 41,86; 42,18; 41,72; 42,26; 41,81; 42,04. 
 
 
3
1
 
Calcule a média amostral e o erropadrão da média 
amostral. 
 
 
3
1
 
 
Exercício 7 - 16 . Um pacote computacional foi 
usado para calcular alguns sum á rios num é ricos de 
uma amostra de dados . Os resultados s ã o 
dispostos aqui : 
Preencha os valores que faltam . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
1
 
 
Exercício 7 - 17 . Um pacote computacional foi 
usado para calcular alguns sum á rios num é ricos de 
uma amostra de dados . Os resultados s ã o 
dispostos aqui : 
Preencha os valores que faltam . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
1
 
Problemas de estimação ocorrem frequentemente em 
engenharia. Geralmente necessitamos estimar: 
 A média μ de uma única população 
 A variância σ2 (ou desvio-padrão σ) de uma única 
população 
 A proporção 𝑝 de itens em uma população que 
pertence a uma classe de interesse. 
 A diferença nas médias de duas populações, μ1 – 
μ2 
 
 
3
1
 
 A diferença nas proporções de duas populações, 
p1 – p2 
Estimativas razoáveis desses parâmetros são dadas 
a seguir: 
 Para μ, a estimativa é 𝜇Ƹ = 𝑥ҧ, a média da 
amostra. 
 Para σ2, a estimativa é 𝜎ቐ2 = 𝑠2, a variância da 
amostra. 
 
 
3
1
 
 Para 𝑝, a estimativa é 𝑝Ƹ = 𝑥/𝑛, a proporção da 
amostra, sendo 𝑥 o número de itens em uma 
amostra aleatória de tamanho 𝑛 que pertence à 
classe de interesse. 
 
 
3
1
 
 
Para  μ 1 – μ 2 , a estimativa é ቐ 𝜇 1 − ቐ 𝜇 2 = 𝑥 1 − 𝑥 2 , 
a diferença entre as médias de duas amostras 
aleatórias independentes . 
Para  p 1 – p 2 , a estimativa é ቐ 𝑝 1 − ቐ 𝑝 2 , a diferença 
entre duas proporções amostrais, calculadas a 
partir de duas amostras aleatórias independentes . 
 
 
3
1
 
 A inferência estatística cuida de tomar decisões 
acerca de uma população, baseando-se na 
informação contida em uma amostra aleatória 
proveniente daquela população. 
 Cada valor numérico nos dados é o valor 
observado de uma variável aleatória. Além disso, 
as variáveis aleatórias são geralmente 
consideradas independentes e distribuídas 
 
 
3
2
 
identicamente. Essas variáveis aleatórias são 
conhecidas como uma amostra aleatória. 
Amostra Aleatória 
As variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn são uma amostra 
aleatória de tamanho n, se (a) os Xi ’s forem variáveis 
aleatórias independentes, e (b) cada Xi tiver a mesma 
distribuição de probabilidades. 
 
 
3
2
 
A finalidade principal em tomar uma amostra 
aleatória é obter informação sobre os parâmetros 
desconhecidos da população. 
Uma estatística é qualquer função das observações 
em uma amostra aleatória. 
Encontramos estatísticas anteriormente. Por exemplo, 
se 𝑋1 , 𝑋2 ,..., 𝑋𝑛 for uma amostra aleatória de tamanho 
𝑛, então a média da amostra 𝑋ത, a variância da 
 
 
3
2
 
amostra 𝑆2 e o desvio-padrão da amostra 𝑆 são 
estatísticas. 
Desde que uma estatística seja uma variável aleatória, 
ela tem uma distribuição de probabilidades. 
A distribuição de probabilidades de uma estatística 
é chamada de uma distribuição amostral. 
Por exemplo, a distribuição de probabilidades de 𝑋ത 
é chamada de distribuição amostral da média. 
 
 
3
2
 
Considere a determinação da distribuição amostral 
da média 𝑋ത da amostra. Suponha que uma 
amostra aleatória de tamanho 𝑛 seja retirada de uma 
população normal, com média μ e variância 
𝜎2. 
 
 
3
2
 
 
Ent ã o , uma vez que as fun ç õ es lineares de vari á veis 
aleat ó rias distribu í das normal e independentemente 
s ã o tamb é m distribu í das normalmente, conclu í mos 
que a m é dia da amostra . 
ത 𝑋 = 
𝑋 1 + 𝑋 1 + ⋯ + 𝑋 𝑛 
𝑛 
tem uma distribui ç ã o normal com m é dia 
𝜇 ത 𝑋 = 𝜇 
 
 
3
2
 
 
E a variância 
𝜎 ത 𝑋 
2 = 
𝜎 2 
𝑛 
E desvio - padrão 
𝜎 ത 𝑋 = 
𝜎 
𝑛 
 
 
3
2
 
 
Teorema Central do Limite 
Se X 1 , X 2 , ... , Xn for uma amostra aleatória de 
tamanho n, retirada de uma população ( finita ou 
infinita), com média μ e variância finita 𝜎 2 , e se ത 𝑋 for 
a média da amostra, então a forma limite da 
distribuição de 
𝒁 = 
ഥ 𝑿 − 𝝁 
Τ 𝝈 𝒏 
quando 𝑛 → ∞ , é a distribuição normal padrão . 
 
 
3
2
 
 
 
 
3
2
 
A aproximação normal para Xഥ depende do 
tamanho 𝒏 da amostra. 
Note que, embora a população (um dado) esteja 
relativamente longe da normal, a distribuição das 
médias será́ aproximada razoavelmente bem pela 
distribuição normal, para amostras de tamanho tão 
pequeno quanto cinco. (As distribuições dos 
 
 
3
2
 
arremessos dos dados são discretas, enquanto a 
normal é continua.) 
Embora o teorema central do limite trabalhe bem para 
pequenas amostras (n = 4, 5) na maioria dos casos, 
particularmente onde a população seja contínua, 
unimodal e simétrica, amostras maiores serão 
requeridas em outras situações, dependendo da 
forma da população. 
 
 
3
3
 
Em muitos casos de interesse prático, se n ≥ 30, a 
aproximação normal será satisfatória, independente 
da forma da população. Se n < 30, o teorema central 
do limite se aplicará, se a distribuição da 
população não for muito diferente da normal. 
 
 
3
3
 
 
EXEMPLO 7 - 1 Uma companhia eletrônica fabrica 
resistores que têm uma resistência média de 100 
ohms e um desvio - padr ã o de 10 ohms . A distribuição 
de resistências é normal . Encontre a probabilidade 
de uma amostra aleatória de n = 25 resistores ter 
uma resistência média menor que 95 ohms . 
 
 
3
3
 
 
EXERCÍCIO 1 Uma companhia eletrônica fabrica 
resistores que têm uma resistência média de 3 00 
ohms e um desvio - padr ã o de 32 ohms . A distribuição 
de resistências é normal . Encontre a probabilidade 
de uma amostra aleatória de n = 16 resistores ter 
uma resistência média menor que 276 ohms . 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
 
 
3
3
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção (Turma A) 
 
 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 3
3
 
 
Intervalo de Confiança 
 3
3
 
Estimativa pontual para a média 
Como podemos estimar o verdadeiro valor da média da 
população se temos em mãos a média de uma amostra? 
ESTIMAR A MÉDIA DA 
POPULAÇÃO 
 
Média amostral 
(média das médias) 
 
 3
3
 
Como foi visto anteriormente a média da população é igual 
à média das médias 
É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral, e a 
probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da média da 
população 
O Intervalo de confiança terá umacerta probabilidade chamada de nível 
de confiança (simbolizada por 1 – ) de conter a média da população. 
Intervalo de Confiança 
 3
3
 
 
x 
1 
 – α / 2 / 2 
Intervalo de confiança 
 1 – α = nível de confiança 
α = nível de significância ( probabilidade de erro ) 
Há uma probabilidade de 1 
 
– da 
média estar contida no intervalo 
definido 
Há uma probabilidade de a média 
amostral estar fora do intervalo definido 
( área hachurada ) 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
 
𝒛 Τ 𝜶 𝟐 𝒛 Τ 𝜶 𝟐 
Erro = 𝒛 Τ 𝜶 𝟐 . Desvio padrão amostral 
intervalo 
Erro x Erro x 
( μ ) 
α / 2 α / 2 
 = desvio padrão da população 
1 - α = grau de confiança 
Distribuição das médias amostrais 
x 
1 – α 
𝐸 = 𝒛 Τ 𝜶 𝟐 
𝝈 
𝒏 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
P(x E x E) 1 
Um valor crítico é um número na fronteira que separa 
estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer daquelas que 
não têm. 
O número 𝒛𝜶Τ𝟐 é um valor crítico que é um escore z com a 
propriedade de separar uma área de 𝛼/2 na cauda direita da 
distribuição normal padronizada. 
Abaixo é apresentado alguns valores comuns de 𝒛𝜶Τ𝟐 
 
 
3
4
 
 
Exemplo 1: Ache o valor crítico 𝒛𝜶Τ𝟐 correspondente ao nível de 
confiança de 95%. 
SOLUÇÃO: Um nível de confiança de 95% corresponde a 𝛼= 0,05. 
A Figura abaixo mostra que a área em cada cauda cinzaescuro é 𝛼 
/2 = 0,025. Vemos que 𝒛𝜶Τ𝟐 = 1,96 observando que toda a área à 
sua esquerda deve ser 1 - 0,025 ou 0,975. 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
 
 
 
3
4
 
Podemos usar a tecnologia ou recorrer à Tabela III e encontrar que 
a área de 0,9750 (encontrada no corpo da tabela) corresponde 
exatamente ao escore z = 1,96. Para um nível de confiança de 95%, 
o valor crítico é, portanto, 𝒛𝜶Τ𝟐= 1,96. 
Para achar o escore z crítico para um nível de confiança de 95%, 
procure 0,9750 (não 0,95) no corpo da Tabela III. 
Nota: Muitas tecnologias podem ser usadas para se encontrar 
valores críticos. STATDISK, Excel, Minitab e a calculadora 
TI83/84 Plus fornecem valores críticos para a distribuição normal. 
Se o desvio padrão da população é conhecido: 
 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
: X z 2. X 
 
X 
A estimativa intervalar da média populacional se baseia na hipótese de que 
a distribuição amostral das médias amostrais é normal. Para grandes 
amostras isto não apresenta dificuldade especial, pois se aplica o teorema 
do limite central. 
Todavia, para amostras de 30 ou menos observações, é importante saber se a 
população tem distribuição normal ou aproximada. 
Se o desvio padrão da população é desconhecido: 
n 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
 S 
X z 2. X n 
Quando o desvio padrão da população não é conhecido (o que é o caso, 
geralmente), usa-se o desvio padrão da amostra como estimativa, substituindo-se 
x por Sx nas equações. Isto não acarreta maiores dificuldades, pois o desvio 
padrão amostral dá uma aproximação bastante razoável do verdadeiro valor, na 
maioria dos casos. 
Além disso, pelo teorema do limite central, sabemos que, quando a amostra é 
maior que 30, a distribuição das médias é aproximadamente normal. 
Para amostras menores que 30, a aproximação normal não é adequada. Devemos 
então usar a distribuição t. A forma da distribuição t é bem parecida com a normal. 
x E x E ou x E 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
S 
Quando tem n > 
 30 e 
 é conhecido 
Quando tem n > 
 30 e 
σ é desconhecido 
Região 
Crítica 
Região 
Crítica 
Z / 2 Z / 2 
Z crítico Z crítico 
 1 - α 
x 
n 
X 
 
 
X z X 
. : 2 
n 
z X X . 2 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
 E z 2. n E z 2. SXn 
Substitui o desvio padrão da 
população pelo desvio 
padrão da amostra s 
Intervalo de Confiança 
 
3
4
 
Se em um estudo, forem 
retiradas várias amostras 
aleatórias de tamanho n da 
população e que, para cada 
amostra, seja construído 
um intervalo de (1- ) de 
confiança para a variável 
desejada. 
Os 
intervalos obtidos serão 
diferentes, mas (1- )% 
destes intervalos conterão 
entre os seus intervalos o 
valor real do 
 100 parâmetro. 
=50 
X 50 40 30 20 80 70 60 Amostra 
1 
2 
3 
... 
45 
46 
47 
... 
98 
99 
Interpretação: 
Intervalo de Confiança 
 
3
5
 
Ao nível de 95% de confiança espera-se que em 100 
intervalos para as amostras, 95 deles contenham a média μ 
E quando o tamanho da amostra é menor que 30 
(n < 30) e o desvio padrão da população ( ) é 
desconhecido? 
 Neste caso não podemos usar a distribuição normal (a 
distribuição das médias não é normal). 
 Devemos usar a distribuição t (t de student). 
 A distribuição t é similar à distribuição normal, mas tem 
maior variação nas caudas (nas pontas da curva). 
 
 
3
5
 
Distribuição t de Student 
 
A curva t nos dá a probabilidade de ocorrer um evento a t desvios padrão da média (para mais 
ou para menos) 
Distribuição t de 
student com n = 3 
Distribuição t de 
student com n = 12 
Distribuição normal 
padronizada 
 
 
3
5
 
os valores de t (valores correspondentes à área sob a curva nas caudas) são tabelados e dependem 
de dois fatores: 
 n-1 = graus de liberdade 
 grau de confiança desejado (1- α) 
Intervalo de Confiança 
x E x E ou x E 
Quando tem n < 30 e σ é desconhecido 
 
 
3
5
 
 E t 
 s ou E t /2,n 1 s ou E tcrítico,n 1 s 
Substitui o desvio padrão da população pelo desvio padrão da amostra s 
Intervalo de Confiança 
 
x E x E 
Exemplo 2: Usando a tabela de distribuição t, obter o valor de t0,005;16 
n n n 
 
 
3
5
 
 
Exemplo 2: Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma 
população normal, acusa 𝑥ҧ =1,0 e s=0,264. Construir 
intervalos de 98% e 95% de confiança para a média 
 
 
3
5
 
populacional. Com base nos dois resultados, qual a 
conclusão que se chega? 
 
 
3
5
 
Intervalo de Confiança 
Imagine que tivéssemos uma amostra de tamanho tão 
grande que tendesse ao infinito. O que ocorreria? 
O erro seria próximo de zero (desconsiderável) e a média da 
amostra seria igual a média da população, sem a necessidade 
de estimar um intervalo. 
 
 
3
5
 
Escolha a distribuição adequada 
 
 
3
5
 
 
Início 
Pelo teorema do limite central podemos 
usar a distrib. normal (use s se não 
 
 
3
5
 
Exercícios 
1) Determine o valor crítico 
Z
/2 que corresponde ao grau de 
confiança indicado: 
a) 99% 
b) 94% 
c) 92% 
d) 90% 
 
 
3
6
 
2) Um dos principais produtos de uma indústria siderúrgica 
é a folha de flandres. Havia uma preocupação com a 
possibilidade de haver um número de folhas fora da faixa de 
especificação de dureza (LIE = 58,0 HR e LSE = 64,0 HR). A 
partir desta informação a empresa decidiu estimar a dureza 
média das folhas de flandres ( ) coletando uma amostra 
aleatória de 49 folhas. 
 
 
3
6
 
X 
60,21 s 0,61 
Para um grau de confiança de 95%, determine a margem de erro (e) e o 
intervalo de confiança para média populacional ( ). 
3) Uma máquina automática de suco industrial é regulada 
de modo que a quantidade suprida de cada vez, tenha 
distribuição aproximadamente normal com desvio-padrão de 
35ml. Determine um intervalo de 96% de confiança para a 
quantidade média de toda produção, sabendo que uma amostra 
de 30 embalagens teve um conteúdomédio de 290 ml. 
Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas 
pela siderúrgica 
61,0 60,2 60,3 60,3 60,0 61,0 60,3 
60,0 60,0 60,9 61,0 61,2 59,2 60,9 
60,0 60,5 59,8 59,3 61,0 59,6 59,8 
59,6 60,1 58,0 59,8 58,9 57,6 58,0 
60,5 60,1 61,6 61,1 59,7 58,3 61,6 
59,5 59,0 60,3 58,7 59,6 54,2 60,3 
61,0 59,7 59,9 59,9 60,0 58,6 59,9 
 
 
3
6
 
Intervalo de Confiança para a 
Variância 
Se 𝑠2 for a variância amostral de uma amostra aleatória de n 
observações provenientes de uma população normal, com 
variância desconhecida 𝜎2, então um intervalo de confiança de 
100(1 – α)% para 𝜎2 será ́: 
 
 
 
3
6
 
sendo os pontos percentuais superior e 
inferior 100α/2% da distribuic ̧a ̃o qui-quadrado, com n – 1 graus 
de liberdade, respectivamente. 
Intervalo de Confiança para o Desvio-
Padrão 
Um intervalo de confiança para σ tem limites inferior e superior 
que são as raízes quadradas dos limites correspondentes na 
equação da variância no slide anterior. 
 
( 𝑛 − 1 ) ∙ 𝑠 2 
𝑋 Τ 𝛼 2 , 𝑛 − 1 
2 ≤ 𝜎 ≤ 
( 𝑛 − 1 ) ∙ 𝑠 2 
𝑋 Τ 1 − 𝛼 2 , 𝑛 − 1 
2 
 
 
3
6
 
sendo os pontos percentuais superior e 
inferior 100α/2% da distribuic ̧a ̃o qui-quadrado, com n – 1 graus 
de liberdade, respectivamente. 
Exercício 8-47. A percentagem de titânio em uma liga usada na 
fundição de aeronaves e ́ medida em 51 peças selecionadas 
aleatoriamente. O desvio-padra ̃o amostral e ́ s = 0,37. Construa um 
intervalo bilateral de confiança de 95% para σ. 
 
 
3
6
 
Exercício 8-49. Um artigo na revista Urban Ecosystems, “Urbanization 
and Warming of Phoenix (Arizona, USA): Impacts, Feedbacks and 
Mitigation” (2002, vol. 6, pp. 183-203), menciona que Fênix é ideal 
para estudar os efeitos de uma ilha de aquecimento urbano porque 
ela cresceu de uma população de 300.000 para aproximadamente 3 
milhões ao longo dos últimos 50 anos, sendo esse um período com 
um registro continuo e detalhado do clima. As médias, nesses 50 
anos, das temperaturas médias anuais em oito localidades de Fênix 
são mostradas a seguir. Com um gráfico de probabilidade, verifique a 
suposição de normalidade na população. Construa um intervalo de 
confiança de 95% para o desvio-padrão das temperaturas médias 
anuais nas localidades. Dado: s=0,95; n=8 
 
 
3
6
 
 
 
 
3
6
 
Cálculo do Tamanho da Amostra 
• O conceito de nível de confiança pode ser utilizado para o cálculo 
do tamanho da amostra, necessário para fazermos inferências 
confiáveis. 
s 
 E z 2. n z /2.s 2 
 n E 
Como o tamanho da amostra afeta o erro de amostragem? 
 
 
3
6
 
• Se a amostra empregada for muito pequena, a margem de erro será 
grande, o que impossibilita ou inviabiliza a tomada de decisão. 
• Por outro lado, se a amostra for muito grande, o intervalo obtido 
pode ser mais estreito do que o necessário (gastos desnecessários); 
Cálculo do Tamanho da Amostra 
Tamanho de amostra e margens de erro 
 
 
3
6
 
mantendo fixos (s=10 e 95% de confiança) 
• Os ganhos em precisão conseguidos com aumentos fixos dos tamanhos das 
amostras não são constantes; 
500 1000 1500 2000 2500 3000 
Tamanho da amostra 
0 , 5 
1 , 0 
1 , 5 
3 , 0 
2 , 0 
2 , 5 
 
 
3
7
 
• Tamanho de amostra 5.000 podem ser um perda de tempo e dinheiro porque 
elas fornecem pouca precisão adicional; 
Exercícios 
4) Em um estudo para a determinação do perfil dos alunos da 
Faculdade Pitágoras, a característica de maior interesse tem s 
= 0,3. Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos 
95% de confiança em que o erro da estimativa da 
correspondente a esta característica não supere 0,05? 
Refaça o cálculo supondo que se deseja ter 98% de 
confiança. 
 
 
3
7
 
Conclusões 
• Intervalos de confiança são muito mais informativos do que 
as estimativas pontuais; 
•A informação sobre a precisão de estimação é expressa 
pelo comprimento do intervalo. Um intervalo curto implica 
estimação precisa. 
• Toda estimativa intervalar está associada a um grau de 
confiança; 
 
 
3
7
 
• Quando se tem n < 30 ou não se conhece o desvio-padrão da 
população usamos a distribuição t. 
 
 
1. www.matematiques.com.br (Amintas Paiva Afonso) 
2. Triola – Introdução a Estatística, p.144-158; 
3. Stevenson - Estatística aplicada à Administração 4. Slack – Estatística para 
Administração; p. 262-277. 
5. Soares et al.; - Introdução a Estatística; p.132 –155 
6. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
7. TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia, 11ª 
edição. LTC, 03/2013. VitalBook file. 
 
 
 
Professora: Aline Cristina Maciel 
Curso: Engenharia de Produção (Turma A) 
 
 
3
7
 
Contato: alinecrismaciel@gmail.com 
Itajubá, 31 de Julho de 2015 
 
 
 
 
Teste de hipótese • 1 
Bibliografia utilizada • 2 
 
 
3
7
 
Uma hipótese estatística é uma afirmativa a 
respeito de um parâmetro de uma distribuição de 
probabilidade. 
Por exemplo, podemos formular a hipótese que a 
produtividade é diferente de 2,5 peças/hora. 
Formalmente isso é escrito como: 
H0 : 2,5peças/hora 
 
 
H1 : 2,5peças/hora 
 
 
3
7
 
 
H o é chamada de hipótese nula e H 1 de hipótese 
alternativa . Nesse caso, a alternativa formulada é 
bilateral, mas também podem ser estabelecidas 
alternativas unilaterais, tais como : 
peças/hora H 
hora peças H 
5 , 2 : 
/ 5 , 2 : 
1 
0 
 
 
 
 
 
 
3
7
 
𝑯𝟎 - Hipótese Nula: Corresponde a uma afirmação 
(ou declaração) em relação a um determinado 
parâmetro da população, que é presumida como 
verdadeira, até que seja declarada falsa. 
𝑯𝟏 - Hipótese Alternativa: é uma afirmação em 
relação a um determinado parâmetro da 
 
 
3
8
 
população, que será verdadeira se a hipótese nula 
for falsa. 
• Realizamos um teste de hipóteses somente 
quando estamos tomando uma decisão em 
relação a um parâmetro da população com base 
no valor de uma estatística da amostra. 
• Os testes de hipótese são uma das aplicações da 
estatística mais usadas. 
 
 
3
8
 
• Via de regra, a hipótese nula é feita com base no 
comportamento passado do produto ou processo ou 
serviços, enquanto a alternativa é formulada em 
função de alterações / inovações recentes. 
• No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil 
entender a importância dos testes de hipótese: eles 
permitem confirmar a eficácia das medidas de 
melhoria adotadas. 
 
 
3
8
 
• Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória 
do sistema em estudo e se calcula o parâmetro 
desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese 
nula será aceita ou rejeitada, a partir de 
procedimentos estatísticos. 
 
 
3
8
 
 
Erro do tipo I : Ocorre quando uma hipótese nula 
verdadeira é rejeitada . 
Erro do tipo II : Ocorre quando uma hipótese nula 
falsa é aceita . 
H 
0 
verdadeira H 
0 
Falsa 
Aceita H 
0 
Decisão Correta Erro do tipo II 
Rejeita H 
0 
Erro do Tipo I Decisão Correta 
 
 
3
8
 
 
 
 
3
8
 
 
Cauda à Direita : 
𝑯 𝟎 : = 50 
𝑯 𝟏 : > 50 
Cauda à Esquerda: 
𝑯 𝟎 : = 50 
𝑯 𝟏 : < 50 
Bicaudal : 
𝑯 𝟎 : : = 50 
𝑯 𝟏 :: 50 
 
 
 
3
8
 
O Valor P (P-Value) é o menor nível de 
significância (α) que conduz àrejeição da 
hipótese nula 𝑯𝟎, com os dados fornecidos. 
Utilizando a abordagem do Valor–P, rejeitamos a 
hipótese nula (𝑯𝟎) se: 
 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷 < 𝒐𝒖 > 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷 
E não rejeitamos a hipótese nula (𝑯𝟎) se: 
 
 
3
8
 
 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷 ≥ 𝒐𝒖 ≤ 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷 
 
 
3
8
 
1. Parâmetro de interesse: A partir do contexto do 
problema, identifique o parâmetro de interesse. 
2. Hipótese nula, 𝑯𝟎: Estabeleça a hipótese nula 
𝑯𝟎. 
3. Hipótese alternativa, 𝑯𝟏 : Especifique uma 
hipótese alternativa apropriada, 𝑯𝟏. 
4. Estatística de teste: Determine uma estatística 
apropriada de teste. 
 
 
3
8
 
5. Rejeita 𝑯𝟎 se: Estabeleça os critérios de rejeição 
para a hipótese nula. 
6. Cálculos: Calcule quaisquer grandezas 
amostrais necessárias, substitua-as na equação 
para a estatística de teste e calcule esse valor. 
7. Conclusões: Decida se 𝑯𝟎 deve ou não ser 
rejeitada e reporte isso no contexto do problema. 
 
 
3
9
 
 
 
 
3
9
 
 
 
 
3
9
 
 
 
 
3
9
 
Os sistemas de escape da tripulação de uma aeronave 
funcionam devido a um propelente sólido. A taxa de queima 
desse propelente é uma característica importante do 
produto. As especificações requerem que a taxa média de 
queima tem de ser 50 centímetros por segundo. Sabemos 
que o desvio-padrão da taxa de queima é σ = 2 centímetros 
por segundo. O experimentalista decide especificar uma 
probabilidade do erro tipo I, ou nível de significância, de α = 
0,05. Ele seleciona uma amostra aleatória de n = 25 e obtém 
uma taxa média amostral de queima de 𝑥ҧ = 51,3 
 
 
3
9
 
centímetros por segundo. Que conclusões poderiam ser 
tiradas? 
Supercavitação é uma tecnologia de propulsão para veículos 
submarinos, que pode aumentar grandemente sua velocidade. 
Isso ocorre acima de aproximadamente 50 metros por segundo, 
quando a pressão cai o suficiente para permitir que a água se 
dissocie em vapor de água, formando uma bolha de gás atrás 
do veículo. quando a bolha de gás envolve completamente o 
veículo, a supercavitação ocorre. Oito testes foram conduzidos 
em um protótipo de um veículo submarino em um tanque, com 
 
 
3
9
 
uma velocidade média observada de 𝑥ҧ = 102,2 metros por 
segundo. Considere que a velocidade seja normalmente 
distribuída, com desvio-padrão conhecido σ = 4 metros por 
segundo. Teste as hipóteses 𝑯𝟎: μ = 100 e versus 
𝑯𝟏: μ < 100, usando α = 0,05 e encontre o valor P 
Pesquisadores médicos desenvolveram um novo coração 
artificial, construído principalmente de titânio e plástico. O 
coração durará e operará quase indefinidamente, uma vez 
implantado no corpo do paciente; porém, o conjunto de 
baterias necessita ser recarregado a cada quatro horas, 
 
 
3
9
 
aproximadamente. Uma amostra aleatória de 50 conjuntos de 
baterias é selecionada e submetida a um teste de vida. A vida 
média dessas baterias é de 4,05 horas. Considere que a vida 
das baterias seja normalmente distribuída, com desvio-padrão 
de σ = 0,2 hora. Há evidência para suportar a alegação de 
que a vida média da bateria excede 4 horas? Use α = 0,05. E 
qual é o valor P para o teste. 
 
 
3
9
 
 
Um produtor fabrica eixos para um motor de autom ó vel . O 
desgaste ( 0 , 0001 polegada ) dos eixos depois de 100 . 000 
milhas é de interesse , visto que é prov á vel ter um impacto nas 
reivindica ç õ es de garantia . Uma amostra aleat ó ria de n = 15 
eixos é testada e 𝑥 = 2 , 78 . Sabe - se que σ = 0 , 9 e que o 
desgaste é normalmente distribu í do . Teste 𝑯 𝟎 : μ = 3 versus 
𝑯 𝟏 : μ ≠ 3 , usando α = 0 , 05 e qual é o valor P para o teste . 
 
 
3
9
 
 
Para o teste de hip ó teses 𝑯 𝟎 : μ = 5 contra 𝑯 𝟏 : μ < 5 e 
variância conhecida, calcule o valor P para 𝒛 𝟎 = − 1 , 84 . 
Considere α = 0 , 05 . 
 
 
3
9
 
 
Sabe - se que a vida , em horas , de uma bateria é 
aproximadamente distribuída normalmente, com desvio - 
padr ã o σ = 1 , 25 hora . Uma amostra aleat ó ria de 10 baterias 
tem uma vida m é dia de 𝑥 = 40 , 5 horas . H á evidência que 
suporte a alega ç ã o de que a vida da bateria excede 40 horas? 
Use α = 0 , 05 . Qual é o valor P para o teste? 
 
 
 
 
1. C., MONTGOMERY, D., RUNGER, C.. Estatística Aplicada e Probabilidade 
para Engenheiros, 5ª edição. LTC, 02/2012. VitalBook file. 
2. www.matematiques.com.br (Amintas Paiva Afonso)