PME2330 P1 2012 Meneghini

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Gabarito 1a Prova de Mecânica dos Fluidos II – PME 2330 
09/04/2012 
Nome:______________________________________ No. USP_____________________ 
 
1ª Questão (3,0 pontos): Em um escoamento plano, não viscoso e incompressível, , onde é 
uma constante dimensional. 
a) (0,5 pto.) Determinar sabendo que . 
b) (0,5 pto.) Determinar o tensor taxa de deformação. 
c) (0,5 pto.) Determinar as linhas de corrente do escoamento e fazer um desenho no plano para . 
d) (0,5 pto.) É válida a equação de Bernoulli numa linha de corrente? Por quê? 
e) (0,5 pto.) Se for válida a equação de Bernoulli, a constante de Bernoulli é a mesma para todo o 
escoamento? Por quê? 
f) (0,5 pto.) Se for possível, determinar o campo de pressão desprezando forças de volume e sabendo que 
. 
Solução: 
a) Da equação de continuidade: A
x
u
y
v
y
v
x
u −=
∂
∂−=
∂
∂⇒=
∂
∂+
∂
∂ 0 
Integrando: ( ) ( )xfyAyxv +−=, 
Da condição de contorno: ( ) ( ) 000, =⇒= xfxv 
Resulta finalmente: ( ) yAyxv −=, 
b) O tensor taxa de deformação resulta: 0;; =−== yxyyxx AA εεε 
c) Da equação de linha de corrente: Cxy
x
dx
y
dy
x
y
dx
dy
lc
lnlnln =+⇒−=⇒−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 
 Resulta finalmente: 
x
Cy = , onde C é uma constante dimensional. As linhas de corrente resultam 
 hipérboles. 
d) A equação de Bernoulli é válida ao longo de uma linha de corrente. 
e) Como 0=ζ , a constante é válida para todas as linhas de corrente. 
f) O campo de pressões resulta: ( ) cteyxAp =++ 222
2
1 ρ 
 Da condição de contorno, resulta ( ) ( )22200 2
1, yxApyxpctep +−=−⇒= ρ
 
 
( ) xAyxu =, A
( )yxv , ( ) 00, =xv
0>A
( ) 00,0 pp =
 
 
2ª. Questão (3.5 ptos). Vamos admitir, numa primeira aproximação, que a trajetória de uma “bola” de futebol 
com rotação possa ser determinada pela solução do escoamento potencial ao redor de um cilindro girando com 
0,22m de diâmetro e 0,25m de comprimento no sentido perpendicular ao plano do escoamento. Admita que a 
trajetória da “bola” é um arco de circunferência com raio de curvatura R0 . Esse raio de curvatura é obtido 
considerando que a força de sustentação devido a rotação seja igual à força centrípeta, isto é

Fsustentação =

Fcentrípeda = m

V 2
R0
eˆr . Isto posto, considere o caso indicado na figura abaixo, no qual ocorre a cobrança 
de uma falta. A falta é cobrada a uma distância de 43,3m do gol e a barreira está localizada a uma distância de 
9,15m da bola e tem uma largura L igual a 3m (vide figura). Admita que a velocidade da bola após a cobrança 
seja igual a 180km/h e que o modulo desta velocidade mantenha-se constante. Admita que no momento da 
cobrança da falta o ângulo α = 300 e a velocidade angular ω = 20rad / s (sentido anti-horário). Considere que 
a massa da bola é de 450g, a massa específica do ar ρ =1,2kg /m3 e o gol tem 7m de largura. Pede-se: 
a) (1,0 pto.) Calcule a força (direção e sentido) exercida na bola devido a rotação. 
b) (0,5 pto.) Qual o raio de curvatura R0 da trajetória da “bola” devido a rotação dela? 
c) (0,5 pto.) Determine as coordenadas do centro de curvatura ( xcentro , ycentro ), em relação à origem (ponto de 
cobrança da falta). 
d) (1,0 pto.) Determine a quantos metros a bola passa da barreira e determine x no instante que a bola atravessa a 
linha de fundo (y=43,3m). Ocorre o gol ou não? Dica: equação da trajetória é a da circunferência cuja equação é 
x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02 . 
e) (0,5 pto.) Determine os pontos de estagnação no cilindro e esboce as linhas de corrente num referencial fixo em 
relação à “bola”. 
 
 
 
 
 3ª. Questão (3.5 pontos). Um fluido não viscoso, num escoamento incompressível e irrotacional, passa ao 
redor de uma parede na qual existe um sumidouro de intensidade localizado na origem, como 
mostrado na figura. No infinito o escoamento é paralelo com velocidade uniforme e pressão estática da 
corrente livre . 
a) (0,5 pto.) Fazer um desenho mostrando linhas de corrente representativas do escoamento. 
b) (0,5 pto.) Determinar as velocidades. 
c) (0,5 pto.) Determinar o campo de pressão. 
d) (1,0 pto.) Encontrar a distribuição de pressão adimensional !! = ! ! !!!!/!!!!!!! ao longo da parede como 
função de !∗ = !!!!/!. 
e) (1,0 pto.) Fazer um gráfico da distribuição de pressão adimensional do item anterior. 
Dicas: 
1) Notar que para um ponto na parede na posição resultam e , enquanto para um 
ponto na parede na posição resultam e . 
2) Notar que resulta um ponto de estagnação. 
!
Solução: 
a) As linhas de corrente correspondem a um semi-corpo de Rankine, com um ponto de estagnação à direita 
do sumidouro. 
b) A função corrente resulta: θθψ msenrU −= ∞ !!!
As velocidades resultam: 
r
mcosU
r
vr −=∂
∂= ∞ θθ
ψ1 ; θψθ senUr
v ∞−=∂
∂−= 
c) Quadrado do módulo da velocidade: θθθ
22
2
222 senU
r
mcosUvvV r ∞∞ +⎟⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=+= 
2
2
22 2
r
m
r
cosUmUV +−= ∞∞
θ 
Por Bernoulli: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−⇒+=+
∞∞
∞
∞
∞∞∞∞ 22
2
2
2
2
222 12
2
11
2
1
2
1
2
1
rU
m
r
cos
U
mU
U
VUppVpUp θρρρρ 
d) Adimensionalizando a distribuição de pressão, resulta: 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
∞
∞
2**2
12
2
1, rr
cos
U
pprcp
θ
ρ
θ , onde 
m
Urr ∞=* . 
Para a posição da parede, resulta: ( ) 2***
12
xx
xcp −= , onde m
Uxx ∞=* . 
Vemos que 0
2
1 =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
pc e que ( ) 11 =pc (ponto de estagnação). 
e) A distribuição resulta: 
π2
Qm =
∞U
∞p
0<x xr −≡ πθ =
0>x xr ≡ 0=θ
∞= Umx
 
 
 
 
Formulário: 
Equação de continuidade: 
Tensor taxa de deformação: 
Equação da linha de corrente: ; Vorticidade componente : 
Equação de Bernoulli: 
 
 
ψ uniforme =U∞r senθ , ψ sumidouro = −mθ , 
 
Função linha de corrente de um cilindro de raio ! girando imerso num escoamento uniforme: 
r
r
asenrUgirandocilindro ln2
1 2
2
π
Γθψ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= ∞ 
 
∫ ⋅=
C
ldV

Γ ; Teorema de Kutta-Joukowski: Γρ ∞−= Ub
L ; Bernoulli: 
Equação da circunferência de raio ! e centro em xcentro, ycentro( ) : x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02 
Força centrípeta: 

Fcentrípeda = m

V 2
R0
eˆr
 
 
!3#
!2,5#
!2#
!1,5#
!1#
!0,5#
0#
0,5#
1#
!3# !2,5# !2# !1,5# !1# !0,5# 0# 0,5# 1# 1,5# 2# 2,5# 3#
( )
z
A
y
A
x
AAV
t
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇+
∂
∂  .;0. ρρ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
x
v
y
u
y
v
x
u
yxyyxx 2
1;; εεε
u
v
dx
dy
lc
=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ z
y
u
x
v
∂
∂−
∂
∂=ζ
cteVp =+ 2
2
1 ρ
r
v
r
vr ∂
∂−=
∂
∂= ψ
θ
ψ
θ;
1
cteVp =+ 2
2
1 ρ