Aula 03

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Introdução ao
Eletromagnetismo
Aula 03
Germano Maioli Penello
12/03/2012
Site do curso
www.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-1.html
germano@if.ufrj.br
Revisão: Lei de Coulomb
q1
q0
q1
q001r
Revisão: Lei de Coulomb
q1
q0
1rˆ
01r
Revisão: Lei de Coulomb
q1 q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
01r
Revisão: Lei de Coulomb
q1 q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
01r
Revisão: Lei de Coulomb
10F
r
12
01
o1
10 rˆ
r
qkqF −=
r
0110 FF
rr
−=
Revisão: Princípio da superposição
∑
∑
∑
≠
≠
≠
=
=
=
ij
ij
ij
ij2
ij
j
0
i
ij2
ij
ji
i(j)i
rˆ
r
q
4
q
rˆ
r
qkq
FF
piε
rr
Em cargas pontuais:
011 rˆrˆ =
Atenção à notação: 
Em uma distribuição de 
cargas:
∫
∫
=
=
r
r
dqq
r
r
dqq
ˆ
4
F
ˆ
4
F
2
0
0
i
2
0
0
i
piε
piε
r
r
O campo elétrico
Pelo princípio da superposição, obtivemos:
∑
≠
=
ij
ij2
ij
j
0
ii rˆ
r
q
4
1qF
piε
r
ou ∫= rr
dqqi ˆ4
1F 2
0
i piε
r
E
rE
r
Eqi
rr
=iF
Unidade de : N / CE
r
O campo elétrico
∑
≠
=
ij
ij2
ij
j
0
rˆ
r
q
4
1E
piε
r
ou ∫= rr
dqE ˆ
4
1
2
0piε
r
Unidade de : N / CE
r
Cargas pontuais Distribuição de 
cargas
O campo elétrico
O campo elétrico é produzido pelas cargas qj dispostas 
na região onde colocaremos a carga qi
Importante: A presença da carga qi altera o campo 
elétrico na região, influenciando as cargas já existentes. 
Essa pertubação pode ser minimizada utilizando uma 
carga qi tão pequena quanto possível (quão pequeno 
pode ser esta carga?).
http://www.falstad.com/emstatic/
http://phet.colorado.edu/en/simulation/charges-and-fields
O campo elétrico
O campo elétrico é um campo vetorial parecido com um 
campo de velocidades em hidrodinâmica.
Enquanto que em hidrodinâmica é necessário que haja 
um meio material, não é necessário a presença de um 
meio para a existência do campo elétrico!
Lento Rápido Lento
http://twistedphysics.typepad.com/cocktail_party_physics/aerodynamics/
O campo elétrico
O campo elétrico é um campo vetorial parecido com um 
campo de velocidades em hidrodinâmica.
Enquanto que em hidrodinâmica é necessário que haja 
um meio material, não é necessário a presença de um 
meio para a existência do campo elétrico!
http://twistedphysics.typepad.com/cocktail_party_physics/aerodynamics/
O campo elétrico - importância
A interação coulombiana é mediada pelo campo. 
Velocidade limite (finita) de transmissão.
Efeitos nas alterações da distribuição de cargas só serão sentidos 
após intervalo de tempo suficiente para a propagação desta 
informação.
Ex. Contato terra-lua com 
astronautas.
Distância aproximada de 1 s-luz.
http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/SP-4205/ch5-2.html
O campo elétrico
Força elétrica entre duas cargas
+ +
+
+
+
+
+
++
+ ++++
+
+
+
+++ + +
a
b
Carga teste q
F
r
F-
r
O campo elétrico
Removendo a carga teste:
+ +
+
+
+
+
+
++
+ ++++
+
+
+
+++ + +
a
Não há mais 
força! Não 
temos carga.
F
r
F-
r
Eq
rr
=F
O campo elétrico
Removendo a carga teste:
+ +
+
+
+
+
+
++
+ ++++
+
+
+
+++ + +
a
Não há mais força! Não temos 
carga. Mas temos o campo 
elétrico gerado pelas cargas da 
partícula a.
q
FE
r
r
=
O campo elétrico
Em uma carga puntiforme, qual o campo elétrico no 
ponto p
qa qb
rˆ
r4
qqF 2
ab0
ba
ba
piε
=
r
rˆ
abr
rˆ
r4
qE 2
ab0
a
piε
=
r
p
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
p
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
SEMPRE DESENHE A 
DIREÇÃO E O SENTIDO DOS 
VETORES UNITÁRIOS QUE 
IREMOS TRABALHAR!!
y^
p
x^
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
Calcule a distância r e 
defina o vetor unitário r^
rˆ r
a
b
22 bar +=
r
r
rˆ
r
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
r
r
rˆ
r
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
r
r
rˆ
r
=
r
yˆb)(xˆa
rˆ
−+
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
r
r
rˆ
r
=
r
yˆb)(xˆa
rˆ
−+
=
22 ba
yˆb)(xˆa
rˆ
+
−+
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
yˆ
ba
b
xˆ
ba
a
rˆ
2222 +
−
+
=
22 ba
yˆb)(xˆa
rˆ
+
−+
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
rˆ)(4
q
E 22
0 ba +
=
piε
r
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
-qa
y
x
^
^
p
rˆ r
a
b
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
rˆ)(4
qE 22
0 ba +
=
piε
r
yˆ
ba
b
xˆ
ba
a
rˆ
2222 +
−
+
=
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
)(4
qE 22
0 ba +
=
piε
r
2/322
0
a
)(4
)yˆbxˆ(aq-E
ba +
−
=
piε
r
Substituindo q por -qa






+
−
22 ba
yˆbxˆa
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
2/322
0
a
)(4
)yˆbxˆ(-aqE
ba +
+
=
piε
rResultado:
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
2/322
0
a
)(4
)yˆbxˆ(-aqE
ba +
+
=
piε
rResultado:
Faz sentido?
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Análise de direção do campo elétrico
-qa
y
x
^
^
p
rˆ E
r
Exemplo:
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Análise de direção do campo elétrico
-qa
y
x
^
^
p
rˆ E
r
OK yˆ
OK xˆ-
→
→
2/322
0
a
)(4
)yˆbxˆ(-aqE
ba +
+
=
piε
r
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
Mesmo exemplo em coordenados polares
-qa
p
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Mesmo exemplo em coordenados polares
SEMPRE DESENHE A 
DIREÇÃO E O SENTIDO DOS 
VETORES UNITÁRIOS QUE 
IREMOS TRABALHAR!!-qa
p
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Mesmo exemplo em coordenados polares
SEMPRE DESENHE A 
DIREÇÃO E O SENTIDO DOS 
VETORES UNITÁRIOS QUE 
IREMOS TRABALHAR!!-qa
p
rˆ
θˆ
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Mesmo exemplo em coordenados polares
-qa
p
rˆ
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
θˆ
Substituindo q por -qa
rˆ
r4
q-E 2
0
a
piε
=
r
Em uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o 
campo elétrico no ponto p
Mesmo exemplo em coordenados polares-qa
p
rˆ
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
θˆ
Substituindo q por -qa
rˆ
r4
q-E 2
0
a
piε
=
r
Faz sentido?
Exercício para vocês
rˆ
r4
q-E 2
0
a
piε
=
r
Voltar este resultado para o resultado obtido em 
coordenadas cartesianas.
Dica: use que
)(
)cos(
θ
θ
rseny
rx
=
=
ysenxr ˆ)(ˆ)cos(ˆ θθ +=
Anel carregado
Cálculo da força:
rˆ
r
kqFd 2
o dQ
=
r
q0
rˆ
Fd
r
r
z
α
Anel carregado
Relembrando o cálculo da força:
z
zR
zQF ˆ)(
q
4
1
2/322
o
0 +
=
piε
r
Relembre as contas da aula passada
q0
rˆ
Fd
r
r
z
α
Anel carregado
Relembrando o cálculo da força:
z
zR
zQ
q
FE ˆ)(4
1
2/322
00 +
==
piε
r
q0
rˆ
Fd
r
r
z
α
Anel carregado
Calculando diretamente o campo:
rˆ
Ed
r
r
z
α
r
r
dqEd ˆ
4
1
2
0piε
=
r
Planos infinitos (carregado positivamente)
σ+
E
r
E
r
02ε
σ
=E
r
dA
dq
=σ
CAMPO UNIFORME EM TODO O ESPAÇO
σ−
E
r
E
r
02ε
σ
=E
r
dA
dq
=σ
CAMPO UNIFORME EM TODO O ESPAÇO
Planos infinitos (carregado negativamente)
σ−
0ε
σ
=E
r
Capacitor ideal
Planos paralelos infinitos
σ+
0=E
r
0=E
r
σ−
Aplicação
σ+
Trajetória de um elétron dentro de uma 
TV de tubo de raios catódicos
e-
Aplicação Trajetória de um elétron dentro de uma 
TV de tubo de raios catódicos
http://www.ced.ufsc.br/men5185/trabalhos/59_TV/raioscatodicos.html