Aula 08 Curso Online de Estatísitica e Mat Fin

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1
AULA 08 
 
Olá, amigos! 
Sem mais demora, seguem as questões do nosso simulado de hoje! 
Perdoem-me não ter tido tempo de apresentar as duas aulas desta semana, 
senão apenas esta. Próxima semana, se tudo der certo, encerraremos nosso curso com 
as aulas nove e dez! 
É isso. Marque o tempo e pode começar seu simulado. 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição 
de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos 
para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões 
referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em 
quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência 
acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral 
calculado a partir de dados agrupados. 
a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 
 
 
21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no 
conceito de Czuber. 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
 
 
36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média 
amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente 
de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W. 
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% 
 
 
40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 
2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. 
a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0% 
 
 
51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
 
 
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Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da 
amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 
 
58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por 
um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da 
moeda dessa economia no mesmo período. 
a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00% 
 
 
17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% 
a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 
1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será 
efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total 
dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de 
trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O 
valor que mais se aproxima do valor financiado é: 
a) $ 816,55 d) $ 970,00 
b) $ 900,00 e) $ 995,00 
c) $ 945,00 
 
32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O 
proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o 
seguinte esquema de pagamentos: 
a) uma entrada de 20%; mais 
b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais 
c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, 
ou seja, para o final do período de financiamento. 
Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor 
de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: 
a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 
b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 
c) R$ 172.432,40 
 
47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro 
período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 
a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 
2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros 
compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 
b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 
c) R$ 29.124,00 
 
 
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49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma 
entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. 
Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda 
certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos 
da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os 
centavos. 
a) R$ 986,00 d) R$ 900,00 
b) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 
c) R$ 923,00 
 
55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém 
doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis 
meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor 
nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o 
deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, 
considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à 
taxa nominal de 12% ao ano. 
a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125% 
 
59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a 
resolução da questão 36. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos 
meses ali indicados. 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Meses 
Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 
Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela 
acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
a) Fluxo um 
b) Fluxo dois 
c) Fluxo três 
d) Fluxo quatro 
e) Fluxo cinco 
 
31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim 
de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com 
os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento 
único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 
sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 63.232,00 d) R$ 62.200,00 
b) R$ 64.000,00 e) R$ 64.513,28 
c) R$ 62.032,00 
 
 
 
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48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar 
mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do 
quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. 
Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao 
fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês 
(despreze os centavos). 
a) R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 
b) R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 
c) R$ 35.520,00 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões: Acompanhemosjuntos as resoluções de hoje! 
 
(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição 
de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos 
para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões 
referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em 
quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência 
acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral 
calculado a partir de dados agrupados. 
a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 
 
Sol.: A questão diz, quase expressamente, que a coluna fornecida é de freqüência 
relativa crescente! Diz também que n=200 elementos. Construindo a coluna da Fi e 
depois a fi, teremos: 
Classes Fac Fi fi 
4 – 8 20% 20% 40 
8 – 12 60% 40% 80 
12 – 16 80% 20% 40 
16 – 20 98% 18% 36 
20 – 24 100% 2% 4 
 
 Para encontrarmos a média do conjunto, usaremos o método da variável 
transformada. Os passos são aqueles já nossos conhecidos: 
 
1º Passo) Pontos Médios! 
Classes fi PM 
4 – 8 40 6 
8 – 12 80 10 
12 – 16 40 14 
16 – 20 36 18 
20 – 24 4 22 
 
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5
2º Passo) A coluna de transformação da variável e a coluna fi.Yi. Teremos: 
 
Classes Fi PM (PM-6)/4=Yi fi.Yi 
4 – 8 40 6 0 0 
8 – 12 80 10 1 80 
12 – 16 40 14 2 80 
16 – 20 36 18 3 108 
20 – 24 4 22 4 16 
 284 
3º Passo) Calcular a média da variável transformada Y : 
 
 Æ Y =(∑fi.Yi)/n Æ Y =284/200 Æ Y =1,42 
 
4º Passo) Percorrer o caminho de volta da transformação da variável e chegar à Média 
da Variável original X : 
 
 Æ 1,42 x 4 = 5,68 
 
 Æ 5,68 + 6 = 11,68 Æ X =11,68 Æ Resposta! 
 
 
 
21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no 
conceito de Czuber. 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
 
Sol.: Questão típica e fácil. 
 
1º Passo) Descobrir quem é a classe modal (aquela de maior freqüência absoluta 
simples). Teremos: 
 
Classes fi 
4 – 8 40 
8 – 12 80 Æ Classe Modal! 
12 – 16 40 
16 – 20 36 
20 – 24 4 
 
2º Passo) Aplicar a fórmula de Czuber! Teremos: 
 
Æ h
pa
alMo .inf ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆+∆
∆+= Æ 4.
4040
408 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=Mo Æ Mo=10,00 Æ Resposta! 
 
 
36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média 
amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente 
de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W. 
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% 
 
Sol.: Questão também muito típica da Esaf! Vejamos logo como é que fica essa 
transformação fornecida pelo enunciado: 
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6
 
 1ª)x5 2ª)+5 
 
 
W Y 
 
 
 2ª)÷5 1ª)-5 
 
 Daí, foi dito que, do lado da variável W, teremos que: W =5 e Sw=1. 
 Com esses valores, percorreremos aqui o caminho de ida e descobriremos quem é 
o valor da Média e do Desvio-Padrão da variável Y, ou seja, quem é Y e Sy. 
 Começando com a Média, teremos: 
 
 Æ Y =(W x 5) + 5 Æ Y =(5 x 5) + 5 Æ Y =30,00 
 
 Já em relação ao Desvio Padrão, lembraremos que esta medida não é influenciada 
por operações de soma ou subtração, de modo que a segunda operação do caminho de 
ida (somar a 5) será desconsiderada, nesta busca pelo Sy. Teremos: 
 
 Æ Sy = (Sx . 5) Æ Sy = 1 x 5 Æ Sy = 5,00 
 
 Por fim, uma vez conhecedores dos valores da Média e do Desvio Padrão da 
variável Y, resta-nos aplicar a fórmula do Coeficiente de Variação, e teremos: 
 
 Æ CV = Desvio-Padrão / Média Æ CV=5,00/30,00 Æ CV=0,167 
 
 Ou seja: CV=16,7% Æ Resposta! 
 
 
40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 
2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. 
b) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0% 
 
Sol.: Questão muito parecida com a anterior! A diferença é que aqui trabalharemos com 
a Variância. A transformação é a seguinte: 
 
 1ª)-2 2ª) ÷3 
 
 
 X Z 
 
 
 2ª)+2 1ª)x3 
 
 Sabemos que a Média de Z é igual a Z =20. Daí, chegaremos à média de X 
seguindo o caminho de volta (em vermelho!), e lembrando-nos das propriedades da 
média! Essa, conforme sabemos, é influenciada pelas quatro operações. Teremos: 
 
 Æ X =( Z x 3) + 2 Æ X =(20 x 3) + 2 Æ X =62,00 
 
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 Quanto à outra medida da qual dispomos, trata-se da variância. Ora, o que a 
questão nos pede é um coeficiente de variação. Para isso, não nos interessa a 
variância de Z, e sim o seu desvio-padrão. Sabemos também que este último é a raiz 
quadrada da variância. Daí, teremos: 
 
 Æ Sz = ( ) 6,156,22 ==Sx 
 
 Daí, para chegarmos ao desvio-padrão da variável X, percorreremos novamente o 
caminho de volta, recordados que esta medida não é influenciada por operações de 
soma e subtração. Teremos que: 
 
 Æ Sx = (Sz . 3) Æ Sx = 1,6 x 3 Æ Sx = 4,80 
 
 Finalmente, uma vez conhecedores dos valores da Média e do Desvio Padrão da 
variável X, resta-nos aplicar a fórmula do Coeficiente de Variação, e teremos: 
 
 Æ CV = Desvio-Padrão / Média Æ CV=4,80/62,00 Æ CV=0,077 
 
 Ou seja: CV=7,7% Æ Resposta! 
 
 
51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da 
amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 
 
Sol.: A fórmula que pede o enunciado é a seguinte: 
 
Æ 
19
5.219
DD
DDDA −
−+= 
 
 Daí, era isso que teremos que calcular: primeiro, quinto e nono decil. 
 Para tanto, trabalhemos preliminarmente as colunas de freqüências. Observemos 
que a questão disse que a coluna fornecida é a Fac, mas omitiu-se de informar quanto 
vale o n (número de elementos do conjunto). Quando isso ocorrer, adotaremos 
n=100. 
 
Teremos: 
 
 
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8
Classes Fac 
2.000 – 4.000 5% 
4.000 – 6.000 16% 
6.000 – 8.000 42% 
8.000 – 10.000 77% 
10.000 – 12.000 89% 
12.000 – 14.000 100% 
 
 Ora, tendo que n=100, as outras colunas de freqüência serão as seguintes: 
 
Classes Fac Fi fi fac 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 100 
 
1º Passo) Cálculo do primeiro decil – D1. Teremos: 
 
 A fração do D1 é (n/10)=10. Comparando a coluna da fac com esse valor 10, 
por meio das perguntas de praxe, teremos que: 
 
Classes Fac Fi fi fac 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 Æ Classe do D1! 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 100 
 
 Daí:2000 (=6000-4000) 
 
 
 X 
 
 4000 D1 6000 
 
 
 5 10 16 
 
 5 
 
 
 11 (=16-5) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
511
2000 X= 
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9
E, finalmente: 
Æ X=(5x2000)/11 Æ X=10.000/11 Æ X=909,09 
 
Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D1 ao valor calculado X. 
 
 Æ 4000 + 909,09 = 4.909,09 = D1 
 
2º Passo) Cálculo do nono decil – D9. Teremos: 
 
 A fração do D9 é (9n/10)=90. Comparando a coluna da fac com esse valor 90, 
por meio das perguntas de praxe, teremos que: 
 
Classes Fac Fi fi fac 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 100 Æ Classe do D9! 
 
 Daí: 
 
 2000 (=14000-12000) 
 
 
 X 
 
 12000 D9 14000 
 
 
 89 90 100 
 
 1 
 
 
 11 (=100-89) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
111
2000 X= 
E, finalmente: 
Æ X=(1x2000)/11 Æ X=2.000/11 Æ X=181,81 
 
Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D9 ao valor calculado X. 
 
 Æ 12000 + 181,81 = 12.181,81 = D9 
 
3º Passo) Calculo da Mediana, que é o mesmo de quinto decil D5. Teremos: 
 
 A fração da mediana é igual a (n/2). Temos que n/2=50. Daí: 
 
 
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10
Classes Fac Fi fi fac 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 Æ Classe do D5! 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 100 
 Daí: 
 
 2000 (=10000-8000) 
 
 
 X 
 
 8000 D5 10000 
 
 
 42 50 77 
 
 8 
 
 
 35 (=77-42) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
835
2000 X= 
E, finalmente: 
Æ X=(8x2000)/35 Æ X=16.000/35 Æ X=457,14 
 
Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D5 ao valor calculado X. 
 
 Æ 8000 + 114,28 = 8.457,14 Æ D5 
 
Enfim, encontramos nesta resolução que: 
 Æ D1 = 4.909,09 
 Æ D9 = 12.181,81 
 Æ D5 = 8.457,14 
 
Daí, aplicando a fórmula aludida acima, teremos: 
 
19
5.219
DD
DDDA −
−+= Æ 
09,490981,12181
)14,457.8209,490981,12181(
−
−+= xA 
 
 Daí, teremos: A=(176,62)/7272,72 
 
 E: A=0,024 Æ Resposta! 
 
 
 
 
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11
58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por 
um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da 
moeda dessa economia no mesmo período. 
a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00% 
Sol.: Esta questão exigiu o conhecimento de um índice que, ao meu ver, não estava no 
programa deste concurso. Trata-se do índice deflator, ou índice de desvalorização da 
moeda! Seu cálculo é dado pelo seguinte: 
 
11
,
−=
toIP
açãodesvaloriz 
 
 Onde IPo,t significa exatamente o índice de preço, e será calculado com base no 
valor da inflação do período, da seguinte forma: 
 
IPo,t=INFLAÇÃO+100% 
 
Esta inflação foi fornecida pelo enunciado como sendo igual a 30%. Daí, teremos: 
 
IPo,t=30%+100%=130%=1,30 
 
 Agora, é só aplicar a fórmula do deflator. Teremos: 
 
%08,232308,01
30,1
1 −=−=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=açãodesvaloriz 
 
O sinal negativo apenas indica que o dinheiro se desvalorizou naquele período. 
Daí, chegamos à nossa resposta: 
 
Desvalorização = 23,08% Æ Resposta! 
 
 
 
17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% 
a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 
1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será 
efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total 
dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de 
trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O 
valor que mais se aproxima do valor financiado é: 
a) $ 816,55 d) $ 970,00 
b) $ 900,00 e) $ 995,00 
c) $ 945,00 
 
Sol.: Esse aqui é justamente aquele modelo de enunciado em que se fala em um 
financiamento. Este será entendido por nós como sendo um empréstimo. 
 Ora, quando eu faço um empréstimo com alguém, é óbvio que eu pego uma 
quantia hoje (data zero), comprometendo-me a devolvê-la em uma data (ou várias 
datas) no futuro. Para que nem eu e nem o meu credor saiamos perdendo, será preciso 
que o valor que eu peguei emprestado hoje (o valor do financiamento) seja equivalente 
às parcelas de devolução em datas futuras! Em outras palavras: o que eu tomei 
emprestado tem que ser equivalente ao que eu vou devolver no futuro. 
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12
 A única coisa que se quis inovar neste enunciado foi que, em vez de dizer 
diretamente quais os valores das duas parcelas que constituem a nossa “devolução”, ele 
falou em um certo valor total ($1.400,00), e que a primeira parcela de devolução 
corresponde a 70% deste valor, enquanto que a segunda parcela de devolução 
corresponde a 30% do valor total. 
 Podemos calcular logo esses valores que compõem a nossa segunda obrigação. 
Teremos: 
 Æ Primeira parcela de devolução: 00,980400.1
100
70 =x 
 
 Æ Segunda parcela de devolução: 00,420400.1
100
30 =x 
 
 Com isso, já estamos aptos a desenhar nossa questão. Teremos: 
 
 X 
 
 980, 
 
 420, 
 
 
 
 
 0 4m 11m 
 (I) (II) (II) 
 
 O raciocínio é o seguinte: se chamarmos de primeira obrigação o valor que 
pegamos emprestado (na data zero), então as parcelas da devolução serão ditas como 
nossa segunda obrigação. O contrário também pode ser feito, sem nenhum problema: 
chamar as parcelas de devolução de primeira obrigação e o valor do empréstimo (na 
data zero) de segunda obrigação. O importante é nunca misturar parcela do empréstimo 
e parcela da devolução. Entendido? 
 Como a questão é de Equivalência de Capitais, então a resolveremos por meio de 
operações de desconto! O enunciado falou em taxa de juros simples. Com isso, 
sabemos que estamos trabalhando no regime simples, e que nossas operações, nessa 
resolução, serão todas de desconto por dentro! Percebamos ainda que a taxa 
fornecida é mensal e os tempos já estão nesta mesma unidade (mês). 
 Resta-nos constatar onde estará nossa data focal. Observemos que nada foi dito 
acerca deste elemento, razão pela qual concluímos: usaremos, como data de referência, 
a data zero! 
 O desenho completo de nossa questão será o seguinte: 
 X 
 
 980, 
 
 420, 
 
 
 
 
 (DF)4m 11m 
 (I) (II) (II) 
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13
 Comecemos os nossos passos efetivos de resolução. 
 
1º Passo) Projetar para a data focal os valores da primeira obrigação. 
 
 Reparemos que este passo já está cumprido, uma vez que só temos uma parcela 
de primeira obrigação (que é justamente o X), e que esta parcela já se encontra sobre a 
data focal. Destarte, não teremos que projetá-la para lugar nenhum, nem para uma 
data futura, e nem para uma data anterior! Aliás, na data focal, esse X vale ele mesmo, 
ou seja, X. Adiante! 
 
2º Passo) Projetar para a data focal os valores da segunda obrigação. 
 
 Vamos começar com a parcela $980, que está na data 4 meses. Aplicando o 
desconto simples por dentro, teremos: 
 
 980, 
 
 E 
 
 100 100+i.n 
 
 
 (DF) 4m 
 (II) 
 
Daí: 
410100
980
100 x
E
+= Æ 140
98000=E Æ E=700,00 
 
 Passando agora a trabalhar com a parcela $420,00 na data 11 meses, teremos: 
 
 420, 
 F 
 
 100 100+i.n 
 
 (DF) 11m 
 (II) 
 
Daí: 
1110100
420
100 x
F
+= Æ 210
42000=E Æ F=200,00 
 
 
 Acabou-se também o segundo passo, e passamos ao terceiro. 
 
3º Passo) Aplicar a Equação de Equivalência. 
 
∑ (I)DF = ∑ (II)DF 
 
 Na primeira parte da equação, teremos apenas um valor de primeira obrigação, 
que é justamente o X, e que já estava sobre a data focal. Logo, na equação acima, ele, 
o X, entrará com o seu próprio valor (X). 
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14
 Segunda parte da equação é a soma dos resultados do segundo passo. Daí, 
teremos que: 
 
X = 700 + 200 Æ X=900,00 Æ Resposta! 
 
 
32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O 
proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o 
seguinte esquema de pagamentos: 
a) uma entrada de 20%; mais 
b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais 
c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, 
ou seja, para o final do período de financiamento. 
Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor 
de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: 
a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 
b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 
c) R$ 172.432,40 
 
Sol.: Há duas formas de pagamento para o mesmo bem: ou à vista, ou financiado (a 
prazo). Então, nem precisa pensar muito: questao de equivalência! É preciso que o 
pagamento à vista seja equivalente ao pagamento a prazo, e vice-versa! 
 O desenho da questão é o seguinte: 
 
 400.000 
 
 
 X X 
 
 100.000 
 80.000 
 
 
 
 
 
 0 4m 6m 12m 
 (I)(II) (II) (II) (II) 
 (DF) 
 
 Como o regime é o composto (foi dito isso pelo enunciado!), então a escolha da 
data focal é livre. Adotaremos a data 12 meses! 
 De resto, é seguir aqueles passos da equivalência composta, que já estamos 
carecas de conhecer. 
 
1º Passo) E=400000.(1+0,04)12 Æ E=640.412,88 
 
2º Passo) Æ F=80000.(1+0,04)12 Æ F=128.082,57 
 
 Æ G=100000.(1+0,04)8 Æ G=136.856,90 
 
 Æ H=X.(1+0,04)6 Æ G=1,265318.X 
 
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15
3º Passo) Equação de Equivalência. Teremos: 
 
Æ 640.412,88 = 128.082,57 + 136.856,90 + 1,265318X + X 
 
 Daí: X=165.748, Æ Resposta! 
 
 
47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro 
período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 
a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 
2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros 
compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 
b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 
c) R$ 29.124,00 
 
Sol.: A questão aqui falou em fluxo de pagamentos! Já sabemos o que é isso, só que 
com outros nomes: fluxo de valores e fluxo de caixa. Tudo a mesma coisa! 
Sinônimos! Ok? 
 Antes de desenharmos a questão, verifiquemos qual é o prazo total em que 
estarão dispostas as parcelas. Quanto tempo? 18 períodos. Ora, a questão não 
especificou o que é um “período”, de modo que qualquer um serve. Ou seja, podemos, 
se quisermos, dizer que são 18 meses. Foi dito ainda pelo enunciado que as parcelas 
desse pagamento serão dividas em três “blocos”, dispostos de seis em seis períodos. 
Assim, desenhando esse prazo total, com as respectivas divisões, teremos: 
 
 
 
No primeiro “bloco”, os pagamentos são feitos ao fim de cada período, dentro dos 
meses de 1 a 6, todos no valor de R$3.000,00. Daí, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 3000, 
 
O segundo “bloco” é o das parcelas dispostas do sétimo ao décimo segundo mês. 
São todas elas no valor de R$2000, e pagas também ao fim de cada período. 
Teremos: 
 
 
 
 
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16
 
 
 
 
 2000, 
 
 3000, 
 
 Por fim, o terceiro “bloco” traz as parcelas de R$1000, pagas entre o décimo 
terceiro e o décimo oitavo mês, igualmente ao fim de cada período. Teremos: 
 
 
 
 1000, 
 
 2000, 
 
 3000, 
 Ora, esse nosso desenho acima é um fluxo de caixa. Já o desenhamos! Agora, 
vamos ver qual é a data de interesse da questão, ou seja, qual é aquela data para a 
qual teremos que “transportar” todos os valores desse fluxo. 
 O enunciado disse isso logo em seu início: “Calcule o valor mais próximo do 
valor atual no início do primeiro período...”. Ou seja, teremos que levar todo 
mundo para a data zero! Logo, o desenho completo desta questão é o seguinte: 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1000, 
 
 2000, 
 
 3000, 
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17
 Agora, utilizaremos um artifício muito utilizado em questões de Rendas Certas: a 
criação de diferentes níveis de parcelas, por meio de simples tracejados! Vamos tentarfazer a mesma coisa por aqui. Teremos: 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
1º nível 
 1000, 
2º nível 
 2000, 
3º nível 
 3000, 
 
Agora, se repararmos apenas nas parcelas do 1º nível, veremos o seguinte: 
 T’ 
 
 
 
 
1º nível 
 1000, 1000, 1000, 1000, 
 
 Ou seja: 18 parcelas de 1000, estando a primeira ao final do primeiro período! 
Ora, ficou fácil verificar que se realizarmos uma operação de Amortização para as 
parcelas desse 1º nível, encontraremos um valor correspondente a todas elas, 
exatamente na data de interesse da questão, que é a data zero! E com isso, teremos 
trabalhado todo esse 1º nível. 
Agora, tentemos visualizar somente as parcelas do 2º nível. Teremos: 
 
 
 
 
 
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18
 T’’ 
 
 
 
 
2º nível 
 1000, 1000, 1000, 
 Aqui, vemos a mesma coisa: bastará fazermos uma operação de Amortização 
(por uma aplicação direta da fórmula) e encontraremos um valor que representará 
todas essas parcelas do 2º nível. 
 Visualizando o 3º nível isoladamente, veremos o seguinte: 
 T’’’ 
 
 
 
 
3º nível 
 1000, 
 
 São apenas seis parcelas, e em condições perfeitas (assim como as parcelas dos 
outros dois níveis) de serem submetidas a uma operação de Amortização! 
 Ora, quando acabarmos de trabalhar, por meio de operações de Amortização, 
cada um dos três níveis de parcelas, teremos encerrado nossa resolução! 
 Conclusão: faremos aqui não apenas uma, mas três operações de Amortização! 
 Nossa composição dos níveis é a seguinte: 
 Æ 1º nível) n=18 (18 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!) 
 Æ 2º nível) n=12 (12 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!) 
 Æ 3º nível) n=6 (são 6 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!) 
 
 Daí, para encontrarmos os valores de T’ (resultado da amortização referente às 
parcelas do 1º nível), T’’ (resultado da amortização referente às parcelas do 2º nível) e 
T’’’ (resultado da amortização referente às parcelas do 3º nível), faremos: 
 Æ T’=P.An¬i Æ T’=1000 . A18¬4% 
 Æ T’’=P.An¬i Æ T’’=1000 . A12¬4% 
 Æ T’’’=P.An¬i Æ T’’’=1000 . A6¬4% 
 
 O valor que procuramos nessa questão será o resultado de todas as parcelas, 
logo, o resultado de todos os três níveis. Portanto, diremos que: 
 Æ X=T’+T’’+T’’’ 
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19
 Æ X=(1000 . A18¬4%)+(1000 . A12¬4%)+(1000 . A6¬4%) 
 Colocando os 1000 (fator comum) em evidência, teremos que: 
 Æ X=1000 ( A18¬4% + A12¬4% + A6¬4%) 
 
 Podemos, de uma feita, consultar na Tabela Financeira da Amortização os três 
fatores de amortização requeridos acima. Teremos: 
 
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a +
−+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ X=1000 ( 12,659297 + 9,385074 + 5,242137) 
 
Æ X=1000 x 27,28650 
 
E: X=27.286, Æ Resposta! 
 
 
49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma 
entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. 
Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda 
certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos 
da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os 
centavos. 
a)R$ 986,00 d) R$ 900,00 
b)R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 
c)R$ 923,00 
 
Sol.: Este enunciado vem nos falar de uma compra a prazo, que será feita com o 
pagamento de doze prestações. Ora, só até aqui, nós já estamos seriamente 
desconfiados de que essa questão pode ser de Amortização! Senão, vejamos: 
1º) as parcelas são de mesmo valor? Sim! “... doze prestações... iguais...”; 
in
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20
2º) as parcelas estão dispostas em intervalos de tempo iguais, ou seja, tem igual 
periodicidade? Sim! “doze prestações mensais...”; 
3º) a taxa da operação é de juros compostos? Sim! Ocorre que esta última 
informação não foi feita de um modo convencional. 
 Aqui, o enunciado nos informou que o Regime da questão é o composto, quando 
disse que “este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda 
certa”. 
 Sempre uma questão disser que as parcelas correspondem a uma anuidade, 
essa será a palavra chave, a qual traduziremos assim: “estamos no regime composto”. 
Ok? Em suma: anuidade implicará regime composto! 
 Daí, vemos que estão presentes na questão as três características de uma 
questão tanto de Rendas Certas, quanto de Amortização. Mas para que servem essas 
parcelas? Ora, servem, neste exemplo, para pagar uma compra que foi feita 
anteriormente. 
 Então não resta dúvida: a questão é de Amortização! 
 Antes de passarmos ao desenho da questão, uma última consideração: 
percebamos que o enunciado falou no pagamento de uma entrada. Ora, em que data 
se paga uma entrada qualquer? Na data da compra, obviamente. Neste exemplo, foi 
dito que o valor do bem é de R$10.000 e que a entrada foi de 20% deste valor. Logo: 
10.000x(20/100)=2.000. Encontramos o valor da entrada. 
Daí, o desenho de nossa questão será o seguinte: 
 10000 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 2000 
 
 Ora, se pensarmos do desenho-modelo da Amortização, lembraremos que ele não 
admite entrada! A lei da Amortização diz que, para efeito de aplicação da fórmula, o 
valor a ser amortizado terá que estar um período antes da primeira parcela. 
 Conclusão: sempre que a questão de Amortização apresentar um pagamento de 
uma entrada (pagamento feito no dia da compra), teremos que desaparecer com ela! 
E como daremos sumiço a essa entrada? Fazendo a soma algébrica: (valor do bem à 
vista) menos (valor da entrada). 
 Teremos, pois, o seguinte: 
 8000 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
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21
 Agora, sim! O desenho da nossa questão assumiu o mesmo formato do 
desenho-modelo da Amortização. Ou seja, a primeira parcela agora está um período 
após a compra! 
 Feito isso, só nos resta aplicar a fórmula da Amortização. Teremos: 
 
 Æ T=P. A n i Æ 8000=P. A12¬4% 
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a +
−+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,7832651,759111 1,735537 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
Daí: Æ 8000=P. A12¬4% Æ P=8000/9,385007 
 
Fazendo a divisão, chegaremos a: Æ P=852,42 Æ Resposta! 
 
 
55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém 
doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis 
meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor 
nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o 
deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, 
considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à 
taxa nominal de 12% ao ano. 
a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125% 
 
Sol.: Esse tipo de questão já não tem mais segredo para nós, haja vista que já 
trabalhamos enunciados semelhantes a esse em aulas passadas! Passemos sem demora 
ao desenho da questão. Teremos: 
 
X 1.000,00 
 
 
 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 
 
 
 
 
in
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22
Qual o nosso objetivo? Descobrir o valor do X, que representa o preço de 
lançamento do bônus! De antemão, sabemos que esse X será um menor mil, uma vez 
que a própria questão quer que descubramos o deságio! 
 Qual é a taxa da operação? 12% ao ano, com capitalização semestral. Daí, a taxa 
efetiva é de 6% ao semestre! 
 
 Levando todos os doze cupons, teremos: 
 
 Æ T=P.An¬i Æ T=50 . A12¬6% Æ T=50x8,383844 Æ T=419,19 
 Este valor T representa todos os doze cupons de U$60,00. 
 
 Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos 
isso, conforme sabemos, por meio de uma operação de desconto composto por dentro. 
 
Teremos que: 
 
Æ 1000=E.(1+0,06)12 Æ E=1000/(1+0,06)12 
 
Daí: Æ E=1000/(1+0,06)12 Æ E=1000/2,012196 Æ E=496,97 
 
 Feito isso, concluímos que o valor X será a soma destes dois resultados. Ou seja: 
 
 Æ X=419,19+496,97 Æ X=916,16 
 
 Ora, sendo o valor do bônus de U$1000,00 e o preço de lançamento de 
U$916,16, diremos que houve um deságio de: 
 
 Æ 1000 – 916,16 = 83,84 
 
 Em termos percentuais, tendo por base o valor do bônus, teremos: 
 
 Æ 83,84 / 1000 = 0,08384 = 8,384% Æ Resposta! 
 
 
59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a 
resolução da questão seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos 
meses ali indicados. 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Meses 
Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 
Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela 
acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
a) Fluxo um 
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23
b) Fluxo dois 
c) Fluxo três 
d) Fluxo quatro 
e) Fluxo cinco 
 
Sol.: Esta questão é a maior recordista de e-mails de todos os tempos! 
 O entendimento dela, todavia, não é dos mais complexos. 
 
 Tomemos, como exemplo, o primeiro fluxo de caixa fornecido na tabela acima, ... 
 
Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 
Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
 
... e o desenhemos. Teremos: 
 
 1.000 1.000 
 
 500 500 500 500 
 250 
 50 
 
 
 
 Daí, o objetivo é descobrir, considerando-se uma taxa de juros compostos de 4% 
ao período, quanto será o resultado de todas essas parcelas juntas, quando levadas 
para a data zero! Ou seja, queremos atualizar esse fluxo de caixa! Queremos descobrir 
o valor X1 (esse 1 é de fluxo 1). 
 
 X1 
 
 
 1.000 1.000 
 
 500 500 500 500 
 250 
 50 
 
 
 
 Vimos na questão 47 de hoje que o artifício de fazer tracejados e com eles definir 
diferente níveis de parcelas é a melhor maneira de resolver esse tipo de questão. 
Teremos, portanto, que: 
 
 X1 
 
 
 1.000 1.000 
 
 500 500 500 500 
 250 
 50 
 
 
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24
 Daí, teremos que: 
 
Æ X1 = (50.A8¬4%)+ (200.A7¬4%)+(250.A6¬4%)+ (500.A2¬4%) 
 
Observemos que cada um desses parênteses acima corresponde a um dos quatro 
níveis do desenho! 
A mesma coisa faríamos para os fluxos 2, 3, 4 e 5, encontrando, 
respectivamente, os valores de X2, X3, X4 e X5. 
 
Teríamos que: 
 
Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 
Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
 
 X2 
 
 
 1.000 
 
 500 500 500 500 500 500 
 300 
 
 
 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ X2 = (300.A8¬4%)+ (200.A7¬4%)+(500.A1¬4%) 
 
 
Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 
Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
 
 X3 
 
 
 1.000 1.000 1000 
 
 500 500 500 
 150 
 50 
 
 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ X3 = (50.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(350.A6¬4%)+ (500.A3¬4%) 
 
 
 
 
 
 
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25
Para o fluxo 4, teremos: 
 
Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 
Quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
 
 (Por razões de praticidade, peço que vocês façam esse desenho, ok?) 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ X4 = (100.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(200.A5¬4%)+ (200.A4¬4%)+(200.A3¬4%)+(200.A2¬4%) 
 
 
E finalmente o fluxo 5: 
 
Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 
Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
 X5 
 
 
 1.000 1.000800 
 400 400 400 
 200 
 100 
 
 
 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ X5 = (100.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(200.A6¬4%)+ (400.A3¬4%)+(200.A2¬4%) 
 
 
 Enfim, fazendo-se as devidas consultas à tabela financeira da amortização, e 
efetuando-se todas as contas para os cinco fluxos de caixa, concluiremos que o X3, 
resultado do fluxo três, é maior que os demais! 
 
 Daí: Fluxo três Æ Resposta! 
 
 
 
31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim 
de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com 
os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento 
único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 
sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a)R$ 63.232,00 
b)R$ 64.000,00 
c)R$ 62.032,00 
d) R$ 62.200,00 
e) R$ 64.513,28 
 
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26
Sol.: Primeiramente, como identificamos que se trata de uma questão de Equivalência 
de Capitais? Ora, havia uma forma original de cumprir uma determinada obrigação. 
(Essa forma original de pagamento, a propósito, está explicitada na primeira frase do 
enunciado!) Ocorre que por estar sem condições de cumprir a obrigação (nos termos 
originalmente contratados), a devedora vai querer alterar a forma original de 
pagamento! 
 Pronto! Já é o suficiente! Neste enunciado, identificamos que a Equivalência é 
composta pela última informação que foi trazida: “...considerando uma taxa de juros 
compostos...”! 
Sabemos que a resolução da questão de equivalência é uma receita de bolo. 
Iniciemos pelos passos preliminares de resolução. Teremos: 
 
# Passos Preliminares de Resolução: 
 
Æ Primeiro Passo: “Desenhar” a questão! 
 Para esse enunciado, teremos: 
 
 X 
 
 31.200, 
 
 
 20.000, 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 30d 60d 90d 
 
Æ Segundo Passo: Definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigação, 
designando-os, respectivamente, por (I) e (II). 
 
 Teremos: 
 X 
 
 31.200, 
 
 
 20.000, 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 30d 60d 90d 
 (I) (I) (II) (I) 
 
 
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27
Æ Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
 
 Aqui a taxa fornecida é mensal, logo, chamaremos 30 dias, 60 dias e 90 dias, de 
1, 2 e 3 meses, respectivamente. Teremos: 
 
 X 
 
 31.200, 
 
 
 20.000, 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (I) (II) (I) 
 
 
Æ Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Desconto! 
 Neste caso, a equivalência é composta e o desconto é o composto por dentro. 
 
 
Æ Quinto Passo: Definir a localização da Data Focal. 
 
 Podemos escolher qualquer uma, já que equivalência composta a escolha da data 
focal é livre! Aqui, escolheremos a data dois meses como sendo nossa data focal. 
 
Teremos: 
 
 
 
 X 
 
 31.200, 
 
 
 20.000, 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (I) (II) (I) 
 DF 
 
Concluídos os passos preliminares de resolução, passemos aos passos efetivos! 
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28
# Passos Efetivos de Resolução da Equivalência Composta: 
 
Æ Primeiro Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Primeira 
Obrigação! 
 Comecemos com a parcela de 20.000, que se encontra na data zero. Levando-a 
para a data focal, por meio de uma operação de desconto composto por dentro, 
teremos: 
 E 
 
 20.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 2m 
 (I) DF 
 
Æ E=20000.(1+i)n Æ E=20000.(1+0,04)2 
 
Æ Daí: E=20000x1,0816 Æ E=21.632,00 
 
 Trabalhando agora com a parcela R$10.000,00 que está sobre a data 1 mês, 
teremos: 
 F 
 
 10.000, 
 
 
 
 1m 2m 
 (I) DF 
Æ F=10000.(1+i)n Æ F=10000.(1+0,04)1 
 
Æ Daí: F=10000x1,04 Æ F=10.400,00 
 
 Acabou o segundo passo? Ainda não! Falta a parcela de R$31.200,00 na data 3 
meses. Levemo-na para a data focal. Teremos: 
 31.200, 
 
 G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2m 3m 
 DF (I) 
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29
Æ 31200=G.(1+i)n Æ G=31200/(1+0,04)1 Æ G=31200/1,04 
 
Æ E: G=30.000,00 
 
 Tem mais alguém que seja primeira obrigação para que nós o levemos para a 
data focal? Não, ninguém! Então, significa que terminou o nosso primeiro passo! 
 
Passemos ao segundo passo efetivo de resolução. 
 
Æ Segundo Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Segunda 
Obrigação! 
 
 Vejamos de novo o desenho completo da nossa questão: 
 
 X 
 
 31.200, 
 
 
 20.000, 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (I) (II) (I) 
 DF 
 Ora, se o objetivo agora é o de levar para a data focal quem for segunda 
obrigação, então percebemos que este segundo passo já está concluído, sem que 
precisemos fazer nada! Estão vendo? De segunda obrigação nós só temos o valor X, o 
qual já se encontra sobre a data focal. Daí, não terá que ser levado para lugar nenhum, 
uma vez que já está onde queremos que ele esteja! 
 Ou seja, o resultado do segundo passo efetivo é o próprio X! 
 Resta passarmos ao terceiro e último passo efetivo, o arremate de toda questão 
de equivalência de capitais! 
 
Æ Terceiro Passo: Aplicar a “Equação de Equivalência”: 
 
 Este passo final da resolução, conforme estamos lembrados, é a forma pela qual 
se encerram todas as questões de Equivalência de Capitais, seja qual for o regime 
(simples ou composto)! 
 É a seguinte: 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
 Somente recordando: a primeira parte da equação, antes do sinal de igualdade, 
representa os valores da primeira obrigação, depois de levados para a data focal. Ou 
seja, a primeira parte da equação nada mais é que a soma dos resultados do primeiro 
passo efetivo de resolução! Enquanto que a segunda parte da equação, após o sinal de 
igualdade, será a soma dos resultados do segundo passo efetivo. 
 
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30
 Teremos: 
 
21632+10400+30000=X Æ Daí: X=62.032,00 Æ Resposta! 
 
 
 
 
48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar 
mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do 
quinto aooitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. 
Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao 
fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês 
(despreze os centavos). 
a)R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 
b)R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 
c)R$ 35.520,00 
 
Sol.: Mais uma questão de Rendas Certas, no mesmíssimo modelo já nosso conhecido! 
Aqui teremos três séries de aplicações: quatro parcelas de R$1000, quatro de R$2000 e 
mais quatro de R$3000. Daí, o enunciado pergunta o montante que resulta destas doze 
aplicações, na data da última de R$3000, considerando uma taxa de juros compostos. 
 Só teremos que desenhar a questão e utilizarmos o artifício de definir níveis, por 
meio de simples tracejados. Teremos, enfim, que: 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1º Nível 
 
 1000 1000 1000 1000 2º Nível 
 
 2000 2000 2000 2000 3º Nível 
 
 3000 3000 3000 3000 
 
 Pronto! Agora que já fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em três 
níveis, nossa resolução será quase que imediata! 
 Trabalharemos cada nível separadamente! 
 Para o primeiro nível, teremos que: 
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31
Æ T=P. S n i Æ T=1000. S 12 2% 
 Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos: 
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
i
is
n
in
1)1( −+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100 
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
12 12,682503 13,41209 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173 
 
Daí, o resultado do primeiro nível será: Æ T’=1000x13,41209 
Æ E: T’=13.412,09 Æ 1º Nível 
 
 Esse resultado ficará guardado, “de molho”, para o final da questão! 
 Vamos trabalhar agora somente com as parcelas do 2º nível. Teremos: 
Æ T=P. S n i Æ T=1000. S 8 2% 
 Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos: 
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
i
is
n
in
1)1( −+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100 
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
8 8,285670 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259802 10,636627 11,028474 11,435888 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173 
 
Daí, o resultado do segundo nível será: Æ T’=1000x8,582969 
in
in
CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 
 
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Æ E: T’’=8.582,69 Æ 2º Nível 
 
Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nível. Teremos: 
Æ T=P. S n i Æ T=1000. S 4 2% 
 Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos: 
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
i
is
n
in
1)1( −+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173 
 
Daí, o resultado do terceiro nível será: Æ T’’’=1000x4,121608 
Æ E: T’’’=4.121,60 Æ 3º Nível 
Finalmente, compondo o resultado das três séries de aplicações, teremos: 
 
Æ T’+T’’+T’’’=X=13.412,09+8.582,69+4.121,60 
 
Æ X=26.116,38 Æ Resposta! 
 
 
 É isso, meus amigos! 
 Eu sei que estão todos apreensivos, pois falta um mês apenas para a prova da 
Receita! Confesso que estou apreensivo também por ver o resultado da MP 258, que 
tem até a meia noite de hoje para ser aprovada no Senado, sob pena de perder a 
validade! Neste momento que vos escrevo é zero hora e trinta minutos da sexta-feira. 
Em menos de 24 horas, portanto, esta história toda estará resolvida! 
 Seja qual for o resultado, sabemos que o concurso haverá. Então, penso mesmo 
que para nós o melhor é continuar estudando o máximo possível, e sempre resolvendo 
questões de provas passadas da Esaf! 
 Que Deus os ajude a todos nessa batalha! 
Um abraço forte a todos e até a próxima! 
 
 
 
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