Bases Ortonormais

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Bases Ortonormais
1 de Julho de 2013
Capítulo 1
Bases Ortonormais
Definição 1.1. Dizemos que w ∈ Rn é uma combinação linear dos vetores
v1, v2, . . . , vm quando existem α1, α2, . . . , αm ∈ R tais que
w = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm =
m∑
i=1
αivi.
Definição 1.2. Dizemos que X ⊂ Rn é um conjunto de geradores de Rn
quando todo w ∈ Rn pode exprimir-se como combinação linear
w = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm
de vetores v1, v2, . . . , vm ∈ X.
Definição 1.3. Dizemos que X ⊂ Rn é um conjunto linearmente indepen-
dente se a única combinação linear nula de vetores de X é aquela cujos
coeficientes são todos iguais a zero, isto é, se
α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm = 0,
com v1, v2, . . . , vm ∈ X, então α1 = α2 = . . . = αm = 0. Caso contrário,
dizemos que X é um conjunto linearmente dependente.
Observação 1.1. Se v = α1v1+. . .+αmvm = β1v1+. . .+βmvm e os vetores
v1, . . . , vm são linearmente independentes, então α1 = β1, . . . , αm = βm,
ou seja, v exprime-se de forma única como combinação linear dos vetores
v1, v2, . . . , vm.
Definição 1.4. Uma base de Rn é um conjunto B ⊂ Rn linearmente inde-
pendente de geradores de Rn.
Definição 1.5. Um conjunto X ⊂ Rn diz-se ortogonal quando dois vetores
quaisquer em X são ortogonais. Se além disso, todos os vetores de X são
unitários, então X chama-se um conjunto ortonormal.
Definição 1.6. Uma base de Rn diz-se ortogonal (ortonormal) quando for
um conjunto ortogonal (ortonormal).
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1.1 Exercícios
1. Mostre que {(1, 2)} não gera R2.
2. Mostre que {(1, 0), (0, 2), (3, 4)} é um conjunto linearmente dependente
de geradores de R2.
3. Mostre que {(3, 4), (5,−6)} é uma base de R2.
4. Mostre que {(3,−4), (−4,−3)} é uma base ortogonal de R2.
5. Mostre que {(35 ,−45), (−45 ,−35)} é uma base ortonormal de R2.
6. Mostre que os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) constituem uma base
ortonormal {e1, e2} de R2 (chamada a base canônica de R2).
7. Mostre que {(1, 2, 0), (3, 0, 4), (5, 6, 0), (7, 8, 9)} é um conjunto linear-
mente dependente de geradores de R3.
8. Mostre que {(1, 2, 0), (3, 0, 4)} é um conjunto linearmente independente
que não gera R3.
9. Mostre que {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} é uma base de R3.
10. Mostre que {(3,−4, 0), (−4,−3, 0), (0, 0, 5)} é uma base ortogonal de
R3.
11. Mostre que {(35 ,−45 , 0), (−45 ,−35 , 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal
de R3.
12. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, 0),e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) consti-
tuem uma base ortonormal {e1, e2, e3} de R3 (chamada a base canônica
de R3).
13. Mostre que {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} é um conjunto linearmente
independente que não gera R4.
14. Mostre que {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 4), (5, 6, 7, 8)} é um
conjunto linearmente dependente de geradores de R4.
15. Mostre que {(1, 2, 3, 4), (2, 4, 6, 8), (3, 6, 9, 12)} é um conjunto linear-
mente dependente que não gera R4.
16. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 0)
e e4 = (0, 0, 0, 1) constituem uma base ortonormal {e1, e2, e3, e4} de R4
(chamada a base canônica de R4).
17. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) cons-
tituem uma base ortonormal {e1, e2, . . . , en} de Rn (chamada a base
canônica de Rn).
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