Bases ortonormais

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BASES ORTONORMAIS 
 
Definição 0.42. Se quaisquer dois vetores distintos em um conjunto de vetores emV são 
ortogonais, então o conjunto de vetores será chamado de conjunto ortogonal. 
 
Exemplo 0.43. Verifique se o conjunto {(2,1,3), ( 2,4,0), (1,1, 1)}− − é um conjunto ortogonal. 
Para o conjunto ser ortogonal precisamos que: 
 (2,1,3) ( 2,4,0) (2,1,3) (1,1, 1) ( 2,4,0) (1,1, 1) 0 − =  − = −  − = 
(2,1,3) ( 2,4,0) 2.( 2) 1.4 3.0 4 4 0 0 − = − + + = − + + = 
(2,1,3) (1,1, 1) 2.1 1.1 3.( 1) 2 1 3 0 − = + + − = + − = 
( 2,4,0) (1,1, 1) ( 2).1 4.1 0.( 1) 2 4 0 0−  − = − + + − = − + +  
 Portanto, o conjunto não é ortogonal. 
 
Exercício 0.44. Mostre que o conjunto{(1,2,1), (2,1, 4), (3, 2,1)}− − é um conjunto ortogonal em 
3
com seu produto interno usual. 
Para o conjunto ser ortogonal precisamos que: 
(1,2,1) (2,1, 4) (1,2,1) (3, 2,1) (2,1, 4) (3, 2,1) 0 − =  − = −  − = 
Assim, temos: 
(1,2,1) (2,1, 4) 1.2 2.1 1.( 4) 2 2 4 0 − = + + − = + − = 
(1,2,1) (3, 2,1) 1.3 2.( 2) 1.1 3 4 1 0 − = + − + = − + = 
(2,1, 4) (3, 2,1) 2.3 1.( 2) ( 4).1 6 2 4 0−  − = + − + − = − − = 
Portanto, o conjunto {(1,2,1), (2,1, 4), (3, 2,1)}− − é um conjunto ortogonal em 
3
. 
 
Definição 0.45. Se a norma de cada vetor de um conjunto ortogonal for 1, dizemos que o conjunto 
é ortonormal. Sempre podemos “normalizar” um vetor não nulo fazendo 
v
v
. 
 
Teorema 0.46. Todo conjunto ortogonal 1 2{ , , , }kv v v de vetores não nulos de V é linearmente 
independente. 
Considerando a combinação linear: 
1 1 2 2 0k ka v a v a v+ + + = 
Fazendo o produto escalar com qualquer dos vetores iv , na equação acima, temos: 
1 1 2 2( ) 0 0k k i ia v a v a v v v+ + +  =  = 
Por outro lado, já que 0i jv v = sempre que i j : 
1 1 2 2
1 1
( )
( ) ( ) ( , )
( )
k k i
i i i i k k i
i i i
a v a v a v v
a v v a v v a v v
a v v
+ + + 
=  + +  + +
= 
 
 Assim, segue que ( ) 0i i ia v v = e, como iv é um vetor não nulo, temos que 0ia = . 
 
Definição 0.47. Uma base consistindo de vetores ortogonais é chamada base ortogonal e uma 
base de vetores ortonormais é chamada base ortonormal. 
 
Teorema 0.48. (Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt) Um espaço vetorial W com 
produto interno possui uma base ortogonal. 
Sejam 3 vetores linearmente independentes 31 2 3, ,v v v  . Para construir uma base 
ortogonal a partir desses vetores, começamos com: 
1 1u v= 
 E, em seguida, 
1
2 1
2 2 2 2 1
1 1
u
v u
u v proj v v u
u u

= − = −

 
 Assim, temos que 
   1 2 1 2 2, ,u u v v w= = 
 Em seguida, definimos: 
2
3 1 3 2
3 3 3 3 1 2
1 1 2 2
w
v u v u
u v proj v v u u
u u u u
 
= − = − −
 
 
 Dessa forma, temos que 1 2 3{ , , }u u u é um conjunto ortogonal e 
    31 2 3 1 2 3, , , ,u u u v v v= = que é o espaço original. 
 
Exemplo 0.49. Construir uma base ortogonal a partir do conjunto: 
 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1) 
 Primeiramente, 
1 1 (1,0,1)u v= = 
 Em seguida, temos: 
2 1
2 2 1
1 1
1 1 1
(1,1,0) (1,0,1) ,1 ,
2 2 2
v u
u v u
u u
  
= − = −  = − 
  
 
 Assim, podemos escrever momentaneamente  1 2,w u u= . Dessa forma, temos: 
2
3 1 3 2
3 3 3 3 1 2
1 1 2 2
w
v u v u
u v proj v v u u
u u u u
 
= − = − −
  
1 1
(0,1,1) (1,0,1) (1,2, 1)
2 6
= −  −  − 
2 2 2
, ,
3 3 3
 
= − 
 
 
Logo, sabendo que os vetores do conjunto original são LI, o conjunto resultante: 
( )
1 1 2 2 2
1,0,1 , ,1, , , ,
2 2 3 3 3
    
− −    
    
 
é uma base ortogonal, e gera o mesmo espaço que  (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1) . 
 
Exercício 0.50. Obtenha uma base ortogonal para 
3
 a partir do conjunto: 
{(1,0,0),(1,1,1),(0,0,1)} 
 Primeiramente, 
1 1 (1,0,0)u v= = 
 Em seguida, temos: 
2 1
2 2 1
1 1
(1,1,1) 1 (1,0,0) (0,1,1)
v u
u v u
u u

= − = −  =

 
 Assim, podemos escrever momentaneamente  1 2,w u u= . Dessa forma, temos: 
2
3 1 3 2
3 3 3 3 1 2
1 1 2 2
w
v u v u
u v proj v v u u
u u u u
 
= − = − −
 
 
1
(0,0,1) 0 (1,0,0) (0,1,1)
2
−  −  
1 1
0, ,
2 2
 
= − 
 
 
Logo, sabendo que os vetores do conjunto original são LI, temos que o conjunto 
resultante: 
1 1
(1,0,0), (0,1,1), 0, ,
2 2
  
−  
  
 
é uma base ortogonal, e gera o mesmo espaço que {(1,0,0),(1,1,1),(0,0,1)} .