GNE111_-_3_-_Determinacao_estatica_das_estruturas

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1GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Determinação estática das estruturas
As estruturas são classificadas quando à sua
estaticidade, ou seja, é feita uma verificação do
número de elementos estruturais e seus vínculos,
para a garantia do equilíbrio do sistema.
Podem ser classificadas em:
2GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Estruturas hipostáticas – estruturas onde não há
equilíbrio estático, ou seja, existe algum movimento
na estrutura não restringido;
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3GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Estruturas isostáticas – estruturas onde há equilíbrio
estático. O número de reações presentes neste tipo
de estado é suficiente para restringir possíveis
movimentos.
4GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Estruturas hiperestáticas – estruturas onde o número
de reações presentes é maior do que o necessário
para restringir possíveis movimentos.
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5GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Treliça
É uma estrutura de elementos ligados entre si pelas
extremidades. Essas ligações são chamadas de nós,
e são consideradas articuladas, apesar de muitas
vezes não o serem.
Os carregamentos são aplicados nos nós, e isso gera
somente esforços axiais nos elementos (compressão
e tração).
As treliças planas são as que apresentam todos os
seus elementos contidos num mesmo plano.
6GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Extraído de Hibbeler (2005)
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7GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Extraído de Hibbeler (2005)
8GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Extraído de Hibbeler (2005)
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9GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Treliça de madeira (www.americanpoleandtimber.com)
10GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Treliça de madeira (www.apawood.org)
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11GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Exemplo:
12GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Para treliças, emprega-se na determinação estática:
b < 2n � treliça hipostática
b = 2n � treliça isostática
b > 2n � treliça hiperestática
b é o número de barras
n é o número de nós 
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13GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Exemplo:
b = 6 barras
b = 2n � treliça isostátican = 3 nós
14GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Exemplo:
b = 9 barras
n = 5 nós b < 2n � treliça hipostática
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15GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Exemplo:
b = 9 barras
n = 4 nós b > 2n � treliça hiperestática
16GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Exemplo:
b = 14 barras
n = 7 nós b = 2n � treliça isostática
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17GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Para elementos com cargas transversais ao eixo
principal, emprega-se na determinação estática:
b < 3c � estrutura hipostática
b = 3c � estrutura isostática
b > 3c � estrutura hiperestática
b é o número de barras
c é o número de chapas (elementos) 
Exemplo
b = 3c � estrutura isostática
b = 3 barras
c = 1 chapa
P
GNE 111 - Determinação estática - resultantes 18
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Exemplo
b > 3c � estrutura hiperestática
b = 4 barras
c = 1 chapa
P
GNE 111 - Determinação estática - resultantes 19
GNE 111 - Determinação estática - resultantes 20
Exemplo
b < 3c � estrutura hipostática
b = 2 barras
c = 1 chapa
P
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21GNE 111 - Determinação estática - resultantes
Forças resultantes para cargas distribuídas
Um carregamento distribuído pode ser substituído por
uma força resultante nos cálculos de reações de
estruturas. Vejamos o exemplo:
22GNE 111 - Determinação estática - resultantes
L
p(x)
x
a b
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23GNE 111 - Determinação estática - resultantes
L
FR
x
a b
p(x)
24GNE 111 - Determinação estática - resultantes
5 m
A B
Exemplo: determinar a força resultante FR, bem como 
seu ponto de aplicação em relação à extremidade 
“A”.
p(x) = 2 kN/m
x
13
25GNE 111 - Determinação estática - resultantes
26GNE 111 - Determinação estática - resultantes
9 m
A B
Exercício 1: determinar a força resultante FR, bem 
como seu ponto de aplicação em relação à 
extremidade “A”.
p(x) = 6x (kN/m)
x
14
27GNE 111 - Determinação estática - resultantes
28GNE 111 - Determinação estática - resultantes
8 m
A B
Exercício 2: determinar a força resultante FR, bem 
como seu ponto de aplicação em relação à 
extremidade “A”.
p = 6 N/m
x
p = 30 N/m
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29GNE 111 - Determinação estática - resultantes
30GNE 111 - Determinação estática - resultantes
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31GNE 111 - Determinação estática - resultantes
32GNE 111 - Determinação estática - resultantes
L/2 L/2
L
17
33GNE 111 - Determinação estática - resultantes
L/2 L/2
L
B
34GNE 111 - Determinação estática - resultantes
18
35GNE 111 - Determinação estática - resultantes
0,3L 0,7L
L
B
36GNE 111 - Determinação estática - resultantes
0,3L 0,7L
L
B
RVa RVb
RHa
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Reações � forças que se originam no solo (reativas)
no sentido de suportar a estrutura e suas
solicitações;
Reações nos apoios das estruturas � fundamental o
conhecimento para o correto dimensionamento das
mesmas.
Cálculo das reações
A B
P
y
x
+
20
P
y
x
RVa
RHa
RVb
+
Para uma estrutura plana, as equações de
equilíbrio são as seguintes:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
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Convencionamos como positivos:
- Reações verticais que atuam de baixo para cima;
- Reações horizontais que atuam da esquerda pra
direita;
- Momento positivo o da força que gira a estrutura no
sentido anti-horário.
y
x
+
Exemplo:
Calcular as reações nos apoios da viga da figura
sujeita à ação da carga concentrada:
A B
10 m
5 m
5 kN
y
x
+
22
A B
10 m
5 m
5 kN
5 kN
RVa RVb
RHa
y
x
+
5 kN
RVA RVB
Utilizamos a primeira equação:
y
x
ΣFx = 0
RHA + 0 = 0 � RHA = 0
RHA
+
23
5 kN
RVA RVB
y
x
Utilizando a segunda equação: ΣFy = 0
RVA + RVB – 5 = 0 � RVA + RVB = 5 (I)
RHA+
5 kN
RVA RVB
y
x
Utilizando a terceira equação: ΣM = 0
Adotamos uma referência para o cálculo dos
momentos:
RHA+
24
5 kN
RVA RVB
y
x
Adotando o ponto A como referência:
ΣMA = 0
RVB . 10 – 5 . 5 = 0
RVB = 2,5 kN (II)
RHA
+
Substituindo a equação (II) na equação (I),
temos:
RVA + 2,5 = 5
RVA = 5 – 2,5 � RVA = 2,5 kN
25
5 kN
2,5 kN 2,5 kN
Respostas:
RHA = 0
RVB = 2,5kN
RVA = 2,5kN
0
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios das vigas
abaixo:
A B
13 m
5 m
8 kN
A B
9 m
7 m
12 kN
2 kN
+
26
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios das vigas
abaixo:
A B
8 m
3 m
6 kN
3kN
A B
12 m
5,5 m
8 kN
40º
+
4 kN
3 m
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios das vigas
abaixo:
A B
5 m
2 m
5 kN
3 kN
A B
7,5 m
3 m
0,5 kN/m
+
4 kN
120º
1,5 m
27
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios da viga:
A B
5 m
3 m
1 kN/m
+
4 kN/m
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios da viga:
A B
6 m
4 m
+
5 kN
p(x) = x2
1 m
30º
28
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios da treliça:
+
A B
20m
5m 5m5m
2kN
3kN
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios da treliça:
+
A B
12m
3m 3m3m
2kN
3kN 2m
2m
5kN
29
y
x
Exercícios: determinar as reações nos apoios da treliça:
+
16m
4m 4m4m
10kN
5kN 2m
2m