FUNDAMENTOS IV - METODOS MATEMÁTICOS

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FUNDAMENTOS IV
DANIEL CORRÊA DA SILVA
2015-2
Introdução
CAPÍTULO I
OBJETIVOS
Modelagem Numérica
 INTRODUÇÃO 
Métodos Numéricos: são técnicas e métodos pelas quais os problemas matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas: soma, subtração, multiplicação e divisão. A análise numérica é o estudo de algoritmos que busca soluções e resultados numéricos para problemas de diversas ordens e complexidade utilizando a modelagem matemática.
 APLICAÇÕES
Previsões Meteorológicas
Calcular a trajetória de uma aeronave requer a solução numérica precisa de um sistema de equações diferenciais ordinárias.
Companhias aéreas usam sofisticados algoritmos de otimização para definir os valores de passagens, pagamentos de funcionários e necessidades de combustíveis
Companhias de seguros usam programas numéricos para análise de riscos.
1.1 – INTRODUÇÃO A MÉTODOS NUMÉRICOS
 INTRODUÇÃO 
Os conteúdos matemáticos que contemplam a disciplina Análise/Métodos Numéricos são:
 RAÍZES DE EQUAÇÕES: tratam de problemas matemáticos que visam calcular de forma precisa o valor de uma variável que satisfaz uma única equação não-linear.
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES: um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Similar a raízes de equações, sistemas de equações algébricas lineares tratam de problemas matemáticos que visam calcular os valores de um conjunto de variáveis que satisfaça um conjunto de equações algébricas lineares.
 OTIMIZAÇÃO: tratam de problemas matemáticos que visam determinar um ou mais valores de variáveis independentes que correspondem ao melhor ou pior valor de uma função.
 AJUSTE DE CURVAS: tratam de problemas matemáticos que visam ajustar curvas a um conjunto de dados, seja utilizando a técnica de interpolação ou por regressão.
 INTEGRAÇÃO: tratam de problemas matemáticos que visam calcular a área sob curvas, assim como são de extrema importância para a construção de soluções de equações diferenciais.
 EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS: uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável.
 EQUAÇÕES DIFERENCIAS PARCIAIS: Um equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo várias funções incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. 
1.2 – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTRODUÇÃO 
1.2 – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTRODUÇÃO 
1.2 – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTRODUÇÃO 
1.2 – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTRODUÇÃO 
1.3 – MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELO MATEMÁTICO: pode ser definido como uma formulação ou equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em termos matemáticos.
Variável dependente = f(variáveis independentes, parâmetros, termos forçantes)
Variável Dependente: reflete o comportamento ou estado do sistema;
Variável Independente: são dimensões, espaço, tempo das quais determina o comportamento do sistema.
Parâmetro: refletem as propriedades ou os comportamentos do sistema.
Termos forçantes: são as influências externas agindo sobre o sistemas.
 INTRODUÇÃO 
1.3 – MODELAGEM MATEMÁTICA
EXEMPLO:
 INTRODUÇÃO 
1.3 – MODELAGEM MATEMÁTICA
EXEMPLO NO OCTAVE:
Erros de Aproximação e Arredondamento
CAPÍTULO 2
OBJETIVOS
Algarismos Significativos
Acurácia e precisão
Definição de erros
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.1 – ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Algarismos Significativos: são os algarismos de um número que podem ser utilizados com confiança. Eles correspodem aos algorismos corretos mais um algarismo estimado.
Exemplo:
Velocidade = 48,8 km/h ou 48,9 km/h
Distância = 87324,5 km
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.1 – ACURÁCIA E PRECISÃO
Acurácia: se refere a quão próximo o valor calculado ou medido está do valor verdadeiro.
Precisão: se refere a quão próximo os valores individuais calculados ou medidos estão uns dos outros.
Exemplo:
Inacurado e impreciso
Acurados e imprecisos
Inacurado e preciso
Acurado e preciso
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.3 – DEFINIÇÃO DE ERROS
Erros de truncamento são causados pelo uso de aproximações para representar operações e quantidades matemática exatas.
Eles incluem erros de truncamento, que resultam quando são feitas aproximações para representar procedimentos matemáticos exatos, e erros de arredondamento, que aparecem quando números com uma quantidade limitada de algarismos significativos são usados para representar números exatos. 
A) Erro verdadeiro:
B) Erro relativo fracionário verdadeiro:
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.3 – DEFINIÇÃO DE ERROS
Exemplos:
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – ERROS DE ARREDONDAMENTO
Há dois aspectos principais sobre os erros de arredondamento envolvidos em cálculos numéricos:
Computadores digitais têm limites de tamanho e precisão em sua capacidade para representar números
Certas manipulações numéricas são altamente sensíveis a erros de arredondamento, o que pode resultar tanto de considerações matemáticas quanto do modo como o computador realiza as operações aritméticas.
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
OBSERVAÇÕES:
Existe um intervalo limitado de quantidades que podem ser representadas: tentativas de utilizar valores fora do intervalo geram erros de overflow ou valores muito pequenos geram erros de underflow.
Existem apenas um número finito de quantidades que podem ser representadas dentro de um intervalo: tanto os números irracionais e racionais não podem ser representados de modo preciso e exato. Truncamento é manter somente os termos significativos.
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
SISTEMA NUMÉRIO DECIMAL E BINÁRIO
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – MÉTODO ITERATIVO
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – MÉTODO ITERATIVO
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.4 – MÉTODO ITERATIVO
 ERROS DE APROXIMAÇÃO E ARREDONDAMENTO 
2.5 – REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS DE PONTO FLUTUANTE
Cálculos grandes: para chegar ao resultado final, certos métodos necessitam de um grande número de cálculos aritméticos, geralmente interdependentes – os últimos cálculos dependem dos seus antecessores. Assim, mesmo que os erros de arredondamento individuais sejam pequenos, o efeito cumulativo sobre um grande número de operações podem ser significativos.
Adicionando números pequenos a números grandes: 
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
CAPÍTULO 3
OBJETIVOS
Fundamentos Matemáticos para Equações Algébricas Lineares
Representação de Sistemas de Equações Lineares
Métodos de Resolução de Sistemas de Equações Lineares
Métodos Gráficos
Métodos de Regra de Crammer
Métodos de Gauss Ingênuo
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
Matriz triangular superior: é uma matriz em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero
Matriz triangular inferior: é uma matriz em que todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Matriz de banda: tem todos os elementos iguais a zero, com a possível execeção de uma faixa centrada na diagonal principal. Exemplo de matriz de largura de banda 3
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
OPERAÇÕES COM MATRIZES:
A) SOMA DE MATRIZES
B) SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
OPERAÇÕES
COM MATRIZES:
C) MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZES POR UM ESCALAR
D) PRODUTO DE DUAS MATRIZES
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
PROPRIEDADES:
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
CÁLCULO DO DETERMINANTE:
Determinante de primeira ordem:
Determinante de segunda ordem: 
Determinante de terceira ordem: 
Observação: para calcular-se o determinante de uma matriz, a mesma deve ser uma matriz quadrada. 
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
As equações algébricas lineares podem ser representados como:
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.1 - Método Gráfico
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.1 - Método gráfico
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.1 - Método Gráfico
Sistemas bem condicionados: são aqueles em que uma pequena mudança em um ou mais coeficientes resulta em pequenas mudanças nas soluções.
Sistemas mal Condicionados: são aqueles para os quais pequenas mudanças nos coeficientes resultam em grandes mudanças nas soluções; isto é, que uma gama ampla de respostas pode satisfazer as equações.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.1 - Método Gráfico
Escala: fator multiplicador dos coeficientes que possibilita aumentar o determinante sem mesmo alterar as soluções.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.1 - Método Gráfico
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.2 – Método de Regra de Cramer
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.2 – Método de Regra de Cramer
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.3 – Método de Eliminação de Gauss Ingênuo: consiste em eliminar variáveis pela combinação das equações do sistema linear.
Combina equações
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.3 – Método de Eliminação de Gauss Ingênuo: consiste em eliminar variáveis pela combinação das equações do sistema linear.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.3 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.3.3 – Método de Eliminação de Gauss Ingênuo: 
Algoritmo de Gauss Ingênuo
PROBLEMA: O algoritmo permite divisão por zero.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 - Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento: 
OBS: Evita o problema de divisão por zero do método de Gauss Ingênuo.
Pivoteamento parcial: consistem em determinar o maior coeficiente disponível na coluna abaixo do elemento pivô e então as linhas são trocadas, de modo que o maior coeficiente seja o elemento pivô.
Pivoteamento Completo: é o pivoteamento parcial com as linhas mais o pivoteamento das colunas. O pivoteamento das colunas consiste em buscar o maior coeficiente das colunas, além das linhas, e então trocar as colunas.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 – Algoritmo de Eliminação de Gauss com Pivoteamento:
.
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 – Decomposição LU:
O interesse principal pela decomposição LU deve-se ao consumo elevado de tempo ao se utilizar o método de pivoteamento parcial.
A decomposição LU oferece uma maneira eficiente de se calcular a matriz inversa de A.
A eliminação de Gauss é projetada para resolver o sistema de equações lineares do tipo:
[A]{x}={b}
O método de decomposição LU resume-se em dois passos:
 
Passo de decomposição LU: [A] é fatorada ou decomposta em matrizes triangulares inferiores [L] e superiores [U].
Passo de substituição: [L] e [U] são usados para determinar uma solução {x} para um lado direito {b}. Primeiro gera o vetor intermediário {d} através da equação abaixo utilizando-se substituição progressiva:
 e aplicando substituição regressiva por
 para obter a solução {x}
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 – Decomposição LU:
Dado o sistema de equações lineares abaixo:
[A]{x}={b}
a decomposição LU será:
[A] =
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 – Decomposição LU:
 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
3.2 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.2.5 – Alogoritmo Decomposição LU:
AJUSTE DE CURVAS
CAPÍTULO 4
OBJETIVOS
Fundamentos Matemáticos
Regressão por Mínimos Quadrados
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
Ajuste de Curvas: técnica matemática utilizada para ajustar dados através da estimativa de valores entre dois pontos discretos de uma sequência discreta de valores.
ABORDAGENS DE AJUSTE DE CURVAS:
Regressão por mínimos quadrados: consiste em encontrar uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem se preocupar em passar a curva por todos os pontos. Essa abordagem é interessante para dados que exibirem uma quantidade de ruídos ou grau significativo de erros.
Interpolação: consiste em ajustar uma curva ou uma série de curvas que passam diretamente por cada um dos pontos. Essa abordagem é interessante para dados precisos.
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.1 - PRÁTICA DE ENGENHARIA:
DADOS TABULADOS: o ajuste de curvas é realizado por meio da geração de valores intermediários obtidos de dados tabulados.
Exemplo: Tabelas de juros em Engenharia Econômica Tabelas de evaporação Termodinâmicas.
ANÁLISE DE TENDÊNCIA: pode ser utilizado para prever valores da variável dependente para problemas de previsões. Estimativas de chuva, temperaturas. Dados com alta precisão aplica-se técnicas de interpolação polinomial e dados imprecisos aplicam-se regresão por mínimos quadrados.
TESTE DE HIPÓTESE: um modelo matemático existe e é comparado com os dados medidos
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.2 – ESTATÍSTICA SIMPLES
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.2 – ESTATÍSTICA SIMPLES
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.2 – ESTATÍSTICA SIMPLES
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.2 – ESTATÍSTICA SIMPLES
Distribuição dos dados: a forma como os dados estão dispersos em torno da média.
Histrograma: fornece a representação visual simples da distribuição. O histrograma é construído classificando as amostras em intervalos.
Estatística: visa fazer estimativas das propriedade de uma população coma base em umas amostra pequena
Inferência estatística: inferir propriedades da população desconhecida a partir de amostras limitadas
OBSERVAÇÃO: O conceito de média, desvio padrão, soma dos quadrados e distribuição normal é relevante a engenharia devido a sua aplicação para determinar a confiança que pode ser associada e determinada a confiança de uma media particular.
 AJUSTE DE CURVAS
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
4.1.2 – ESTATÍSTICA SIMPLES
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
Determinar os valores de a1 e a0
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
Determinar os valores de a1 e a0
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
Linearização de Relações não lineares
OBSERVAÇÃO: a relação entre a variável dependente
e independente devem ser lineares.
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
Linearização de Relações não lineares
 AJUSTE DE CURVAS
4.2 – REGRESSÃO LINEAR
4.2.1 – MÍNIMOS QUADRADOS
Linearização de Relações não lineares
 AJUSTE DE CURVAS
4.3 – REGRESSÃO POLINOMIAL
 AJUSTE DE CURVAS
4.3 – REGRESSÃO POLINOMIAL
 AJUSTE DE CURVAS
4.3 – REGRESSÃO POLINOMIAL
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
A) INTERPOLAÇÃO LINEAR
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
A) INTERPOLAÇÃO LINEAR
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
B) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
B) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
B) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO: FORMA GERAL DOS POLINÔMIOS INTERPOLADORES DE NEWTOW
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO: FORMA GERAL DOS POLINÔMIOS INTERPOLADORES DE NEWTOW
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO: FORMA GERAL DOS POLINÔMIOS INTERPOLADORES DE NEWTOW
 AJUSTE DE CURVAS
4.4 – INTERPOLAÇÃO: POLINÔMIOS INTERPOLADORES POR DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON
C) INTERPOLAÇÃO: FORMA GERAL DOS POLINÔMIOS INTERPOLADORES DE NEWTOW
INTEGRAÇÃO E DERIVADA
CAPÍTULO 4
OBJETIVOS
Fundamentos Matemáticos
Introdução a derivada e Integração
Integração Trapezoidal
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
A) DERIVADA
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
B) INTEGRAÇÃO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.1 – FUNADAMENTOS MATEMÁTICOS
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DO TRAPÉZIO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DO TRAPÉZIO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DO TRAPÉZIO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DO TRAPÉZIO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DO TRAPÉZIO
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DE SIPSON
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DE SIPSON
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DE SIPSON
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DE SIPSON
 INTEGRAÇÃO E DERIVADA
4.2 – INTEGRAL: REGRA DE SIPSON
 BIBLIOGRAFIA