APOSTILA MATE BAS FINAN

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Matemática Básica e Financeira
Matemática Básica e 
Financeira
Curso Técnico em Agronegócio
FORMAÇÃO
TÉCNICA
SENAR - Brasília, 2015
S474m
SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. 
Matemática básica e financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. – 
Brasília: SENAR, 2015.
91 p. : il. 
 
ISBN: 978-85-7664-080-6
 
Inclui bibliografia.
 1. Matemática. 2. Matemática financeira. 3. Estatística. I. Serviço Nacional de 
Aprendizagem Rural. II. Título. 
 
 
CDU: 806.90-5
Sumário
Introdução à Unidade Curricular 7
Tema 1: Matemática Básica 9
Tópico 1: Expressões Matemáticas 10
Tópico 2: Potenciação 12
Tópico 3: Razão e Proporção 13
Tópico 4: Proporção 16 
Tópico 5: Grandezas Proporcionais 21
Tópico 6: A Regra de Três 23 
Tópico 7: Unidades de Medida 32
Encerramento 45 
 Tema 2: Matemática Financeira 47
Tópico 1: Uso da Moeda 48
Tópico 2: Dinheiro x Tempo 49
S474m
SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. 
Matemática básica e financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. – 
Brasília: SENAR, 2015.
91 p. : il. 
 
ISBN: 978-85-7664-080-6
 
Inclui bibliografia.
 1. Matemática. 2. Matemática financeira. 3. Estatística. I. Serviço Nacional de 
Aprendizagem Rural. II. Título. 
 
 
CDU: 806.90-5
Tópico 3: Juros Simples 49
Tópico 4: Juros Compostos 55 
Tópico 5: Descontos 61
Tópico 6: Séries de Pagamento 67 
Tópico 7: Sistemas de Amortização 73
Encerramento 77 
Tema 3: Estatística 79
Tópico 1: Conceitos da Estatística 80
Tópico 2: Coleta de Dados 81
Tópico 3: Séries Estatísticas 82
Tópico 4: Medidas de Tendência Central 84 
Tópico 5: Medidas de Dispersão 86
Tópico 6: Probabilidade 88 
Encerramento da Unidade Curricular 91
Referências 91 
Gabarito 92 
Introdução à Unidade 
Curricular
Matemática Básica e Financeira
7
Introdução à Unidade Curricular
Seja bem-vindo à unidade curricular de Matemática Básica e Financeira. Os temas que 
veremos aqui serão essenciais para sua atuação como técnico em agronegócio. Eles também 
fornecem uma base para unidades curriculares seguintes, como Administração, Economia e 
Contabilidade Rural e Finanças Aplicadas ao Agronegócio. 
a
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta unidade curricular, você deverá ser capaz de:
• revisar os conceitos fundamentais da matemática básica;
• aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da 
administração rural;
• desenvolver o raciocínio lógico;
• conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística;
• compreender a estatística descritiva aplicada à pesquisa em agronegócio.
Os temas apresentam diversas atividades para que você possa exercitar o conteúdo. Certifique-
se de praticar o que aprendeu e lembre-se de que você também conta com o conteúdo 
disponível no AVA e as videoaulas! Se tiver alguma dúvida, contate o tutor a distância.
01
Matemática Básica
Matemática Básica e Financeira
9
Tema 1: Matemática Básica
Independentemente do nível de matemática que estudamos, é sempre bom rever alguns 
tópicos básicos. Este primeiro tema é composto por conteúdos elementares muito úteis no 
dia a dia. Além disso, a partir do que veremos aqui, você poderá avançar com mais facilidade 
nos estudos seguintes de matemática financeira e estatística.
d
Comentário do autor
Ao fim deste tema, espera-se que você seja capaz de:
• utilizar expressões algébricas para resolver problemas;
• identificar e avaliar a variação de grandezas para explicar fenômenos 
naturais, processos socioeconômicos e da produção tecnológica;
• resolver problemas envolvendo grandezas direta e inversamente 
proporcionais e porcentagem;
• recorrer a cálculos com porcentagem e relações entre grandezas 
proporcionais para avaliar a adequação de propostas de intervenção na 
realidade;
• identificar as unidades de medida mais utilizadas e resolver situações práticas 
que envolvam a conversão de medidas.
Inicialmente, veremos como combinar números, operações e variáveis em expressões 
matemáticas. Em seguida, estudaremos razões, proporções e grandezas, o quenos levará 
a revisar a regra de três, uma das técnicas matemáticas mais utilizadas no dia a dia. Por fim, 
veremos neste tema algumas unidades de medida aplicadas ao agronegócio.
Curso Técnico em Agronegócio
10
Todos esses tópicos são importantes para o seu aprendizado, pois fornecem uma base para 
os temas seguintes. A partir deles, você poderá estabelecer conexões entre conhecimentos 
matemáticos e outros que serão úteis por toda a vida profissional.
Fonte: Shutterstock
Lembre-se de que, caso tenha alguma dúvida, você poderá procurar o tutor a distância desta 
unidade curricular. Vamos lá?
Tópico 1: Expressões Matemáticas
Expressão matemática é uma sentença numérica na qual é possível encontrar uma ou mais das 
quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. A ordem de resolução 
será: primeiro a multiplicação e a divisão, depois a adição e a subtração. Então, se você tem: 
3+ 2× 5= ?, não poderá somar antes de multiplicar.
Para separar e organizar as expressões numéricas, definindo o que deve ser resolvido 
primeiro, é comum utilizar símbolos matemáticos. Os mais conhecidos são os parênteses (...), 
os colchetes [...] e as chaves {...}, e devem ser utilizados nessa ordem. A resolução fica então: 
primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por fim, as chaves.
Observe no exemplo a seguir o que deve ser calculado primeiro:
15 + [ 22 - ( 7 + 6 ) + 3 ]
Para resolver a expressão, é preciso começar pelo que se encontra entre parênteses (7 + 6) = 13 
e, em seguida, dentro dos colchetes [22 - 13 + 3]= 12. No final, executamos as soma resultante 
15 + 12 = 27. O resultado da expressão é 27.
Matemática Básica e Financeira
11
Confira um outro exemplo:
2 - {-11 + [17- (-12 + 10) - 3]} 
2 - { -11 + [17 - (-2) -3]} 
2- {-11+ [16]} 
2- {5} 
-3
`
Atenção
Você deve atentar para os sinais, positivo e negativo, ao multiplicar e dividir. 
Sendo que menos com menos será positivo (-2) x (-2) = +4, e menos com mais 
será negativo (-2) x (+2) = -4. Observe, também, que o sinal de multiplicação 
poderá aparecer como asterisco (-2)*(-2) ou ainda não aparecer (-2)(-2).
Vamos praticar?
Atividade 1
1) Resolva as expressões a seguir:
a) 20 + 3 (–4) –2 (–5) =
b) 20 + [3 – 5 × 2 + (3 – 5) ×2] =
c) 20 – [(8 – 3) + 4] – 1 =
d) 123 – [90 – (38 + 50) – 1] =
e) 10 + [– 8 –(– 1 + 2)] =
f) {[(8 × 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) × 3] × 2 – (19 – 7) ÷ 6} × 2 + 12 =
g) {[(6 × 4 × 7) ÷ 3 + 9] ÷ 5} × 13 =
h) [9 + (585 – 15 × 6)] ÷ 56 =
2) Escreva a expressão numérica que representa cada situação abaixo e as resolva:
a) Um milionário, antes de morrer, deixou escrito no testamento: “Dos três milhões que 
tenho no banco, deixo 1 milhão e 800 mil para instituições de caridade e o restante para 
ser repartido igualmente entre meus três filhos”. Quanto recebeu cada filho?
Curso Técnico em Agronegócio
12
b) Gaspar comprou uma bicicleta pagando um total de R$ 960,00, sendo R$ 336,00 de entrada 
e o restante em 8 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação?
c) Em cada mão humana há 27 ossos e, em cada pé, 26. Quantos ossos há, ao todo, nas mãos 
e nos pés humanos?
d) João tem 26 tickets de vale-refeição e André tem o triplo. Quantos tickets de vale-refeição 
têm os dois juntos?
e) Dois operários, Paulo e Pedro, cobram juntos R$ 385,00 por um trabalho a ser realizado 
em 5 dias. Paulo ganha R$ 32,00 por dia de trabalho. Quanto ganha Pedro pelo trabalho?
Tópico 2: Potenciação
Potência é uma operação matemática que pode ser lida como um numeral qualquer “a” elevado 
a outro numeral qualquer “n”, sendo este número chamado de expoente. Essa operação (an) 
representa a multiplicação do número “a” por ele mesmo um total de “n” vezes. Veja na prática:
23
Lê-se dois elevado à terceira potência ou dois elevado à potência 3 (ou, ainda, 
dois ao cubo). Isso significa multiplicar o número dois por ele mesmo três vezes. 
Matematicamente, temos: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
54
Lê-se cinco elevado à quarta potência ou, ainda, cinco elevado à potência 
4. O que representa multiplicar o número 5 por ele mesmo quatro vezes. 
Matematicamente, temos: 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
`
Atenção
Em uma expressão matemática, a operação de potência deve ser executada 
primeiramente, antes das operações de multiplicação e divisão.
Vamos praticar?
Atividade 2
1) Calcule o valor numérico das potências apresentadas abaixo:
a) 16=
b) 25=
c) 47=
Matemática Básica e Financeira
13
d) 120=
e) 131=
2) Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 25 × 5 + 32 – 63 ÷ 25 =
b) 40 - { 3 × [ ( 23 + 12 ) + ( 13 + 22 × 3 ) ] × 5 } =
c) { 25 – [ 5 + ( 3 × 7 ) ] } ÷ 35 + 32 - (82 - 60 ) × 5 =
d) { [ ( 23 × 22 + 3) ÷ 7 + ( 3 + 15 ÷ 5 ) × 3 ] × 2 - ( 19 - 7 ) ÷ 6 } × 2 + 22 × 3 =
e) { [ ( 32 × 22 × 7 ) ÷ 3 + 6 ] ÷ 5 } × 3 × 22
f) { [ ( 22 × 42 × 5 ) ÷ 4 + 10 ] ÷ 3 } × 3 × 22 =
'
Dica
Sempre que você se deparar com um expoente negativo, deverá fazer a 
inversão da fração. Por exemplo: 3² = 9, mas 3− 2 =
1
32
=
1
9
 
Tópico 3: Razão e Proporção
Quando foi a última vez que você viu alguém utilizando porcentagem? Seja como desconto 
em uma loja ou na proporção de fertilizante em uma plantação, os conceitos da matemática 
aparecem em nossa vida praticamente todos os dias. Entre eles estão a razão e a proporção, 
que estudaremos neste tópico. Mas, antes de pensarmos neles, vamos compreender as 
grandezas. Você sabe o que é uma grandeza?
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado e ter suas medidas 
aumentadas e diminuídas. São exemplos de grandezas o comprimento, o 
peso e o tempo. Observe ao seu redor: o que pode ser medido? Quantas 
grandezas diferentes você consegue identificar?
Além de aparecerem sozinhas, é comum fazermos relações entre duas ou mais grandezas. 
Pense em como se expressa a velocidade de um carro. Quais são as grandezas relacionadas? 
Se você pensou em distância e tempo, parabéns! O quilômetro é uma grandeza de distância 
e a hora, de tempo. 
Curso Técnico em Agronegócio
14
O painel do carro apresenta diversas grandezas. Quantas você consegue identificar? 
Fonte: Shutterstock 
1. O que é Razão?
A relação entre grandezas é conhecida como razão, palavra que vem do latim ratio e significa 
“divisão”. Nada mais é do que uma das várias maneiras que temos para fazer comparações em 
matemática. Uma razão é dada pela divisão de dois valores numéricos “a” e “b” (“b” diferente 
de zero), e deve ser lida: “a” (ascendente) está para “b” (consequente).
= =/ :
a
aa
b
b b
Por exemplo, a razão de 2 para 10 é 
2
10
 , ou ainda, se simplificarmos, 
1
5 
.
2. Razão entre Duas Grandezas
Como vimos, a razão é a divisão entre duas grandezas – sempre a primeira em relação à 
segunda. Por exemplo, se, em um mapa, um comprimento de 8 m está representado por 16 
cm, qual é a escala utilizada para fazer o mapa? 
rep. no mapa
comp. original
16 cm
8 m
=
16 cm
800 cm
=
1
50
=
Quando tratamos de grandezas de mesma espécie (no caso, comprimento), devemos 
apresentar a unidade de referência, mas o valor que expressa a razão entre as grandezas será
Matemática Básica e Financeira
15
apenas uma representação matemática numérica. Assim, temos que a escala é de
 
1
50
 (um 
para cinquenta), o que significa que 1 cm no mapa está para 50 cm na realidade. 
3. Razão Inversa
Duas razões são inversas entre si quando o ascendente de uma delas é o consequente da 
outra. Isso implica que o produto entre as duas razões será igual a 1. Por exemplo: 
As razões 
2
3
 e 
3
2
 são inversas, pois 
 
x
2
3
3
2
1=
 
4. Razão Equivalente
A equivalência entre razões é dada quando os termos de uma razão (tanto ascendente quanto 
descendente diferentes de zero) são múltiplosdos termos de outra razão. Veja no exemplo:
As razões 
4
7
 e 
12
21
 são equivalentes, pois 
12
21
x
4
7
4 x 3
7 x 3
3= =
Atividade 3
Vamos praticar? Observe a resolução da primeira questão e indique a razão nas demais.
1) Em uma seleção de concurso público, houve 1.200 candidatos inscritos e foram aprovados 
240. Qual é a razão de candidatos aprovados?
candidatos aprovados
total de candidatos
1
5
240
1200
= =
Assim, podemos dizer que a razão é de 1 candidado aprovado a cada 5 inscritos.
2) João tem 24 anos e Pedro tem 60 anos. Qual é a razão entre as idades de João e Pedro?
3) Um saco de fertilizante para flores apresenta peso líquido de 180 g e peso bruto de 210 g. 
Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?
4) Na temporada de 2013 do Campeonato Brasileiro de futebol, foram marcados 936 gols, 
e o artilheiro do campeonato, Éderson (jogador do Atlético Paranaense), marcou 21 gols. 
Qual é a razão entre os gols do artilheiro e os gols do campeonato?
5) No ano de 2003, a produção brasileira de tilápias foi estimada em 84.416 toneladas 
distribuídas por 30.639 hectares. Qual é a razão da produção brasileira de tilápias por 
hectare?
6) Antônio possui uma pequena propriedade de 75 hectares onde planta soja e, na colheita 
de 2014, produziu 7.284 sacas. Qual é a razão de produção de sacas por hectare?
Curso Técnico em Agronegócio
16
7) Um fazendeiro plantou 5.000 pés de eucalipto e, desses, 150 não cresceram, enquanto 
seu vizinho plantou 6.500 pés da mesma espécie e, desses, 189 não cresceram. Quem 
apresentou a menor perda?
Atividade 4
Nas situações as seguir, partimos das razões para descobrir um dos valores. Observe a 
resolução da primeira e resolva as demais. 
1) A razão entre a sombra de uma árvore e a sua altura é de 
2
3
. Sabendo que a árvore tem 
12 m de altura, qual é o tamanho da sombra?
 
sombra
altura
2
3
=
?
12
= Como 12 = 3 x 4, temos que: 
2
3
x 4
8
12
=
Assim, podemos dizer que a sombra da árvore tem 8 metros.
2) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é de 
5
6
. O 
que resta, coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 2.400,00, 
qual será a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
3) A distância entre uma fazenda e a cidade em um dado mapa com escala de 1:3.000 é de 9 
cm. Qual é a distância real entre a fazenda e a cidade?
Tópico 4: Proporção
Agora que conhecemos melhor o conceito de razão, fica mais fácil entender a proporção, 
afinal, ela é dada pela igualdade entre duas razões. Assim, dizemos que há proporção quando 
a razão entre os dois primeiros números é igual à razão entre os dois últimos.
=
a
b
c
d
Em uma proporção, os termos “a” e “d” são conhecidos como extremos, e os termos “b” e “c” 
são conhecidos como meios. Ao ler, dizemos: 
“a” está para “b” assim como “c” está para “d”.
g
Você sabia que existe uma razão, encontrada na natureza, que é considerada 
a mais agradável proporção entre duas medidas? Ela é chama de razão áurea! 
Saiba mais sobre ela acessando o AVA.
Matemática Básica e Financeira
17
As sementes do girassol crescem sempre na mesma proporção, seguindo a sequência de Fibonacci. 
Fonte: Shutterstock
1. Propriedade Fundamental das Proporções
Em uma proporção, a propriedade fundamental diz que o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos.
=
a
b
a x d = b x c
c
d
⇔
Por exemplo, a expressão =
4
6
20
30
 é uma proporção, pois 4 x 30 = 120 e 6 x 20 = 120.
2. Outras Propriedades das Proporções
A partir da proporção =
a
b
c
d
, podemos observar ainda outras propriedades:
a) A razão entre as somas (ou diferença) dos antecedentes e a soma (ou diferença) dos 
consequentes:
=
a ± c
 b ± d
a
 b
 ou =
a ± c
 b ± d
c
d
b) A razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seus antecedentes:
=
a ± b
a
c ± d
c
Curso Técnico em Agronegócio
18
c) A razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seus consequentes:
=
a ± b
b
c ± d
d
d) A razão entre o produto dos antecedentes e o produto dos consequentes está para o 
quadrado dos antecedentes e o quadrado de seus respectivos consequentes:
=
a x c
b x d
a²
b²
3. Encontrando o Termo Desconhecido
Como consequência da propriedade fundamental de uma proporção, é sempre possível 
encontrar o valor de um termo desconhecido: a quarta proporcional. Por exemplo, na 
expressão
=
8
12
6
x
aplicando a propriedade fundamental, temos que 
8 * x = 6 * 12
8x = 72 
x = 72
 8
x = 9 
 
d
Comentário do autor
Observe que a propriedade fundamental é a base para o entendimento da regra 
três, que veremos adiante. 
4. Proporções Múltiplas
Chamamos de proporções múltiplas qualquer proporção que envolva a igualdade de três ou 
mais razões. Esse tipo ainda pode ser chamado de “série de razões iguais”.
a
b
= ...
c
d
= =
m
n
Observe que cada uma das razões é igual a um mesmo número “k”, isto é:
a
b
= k, 
c
d
= k,... 
m
n
= k 
Matemática Básica e Financeira
19
Esse valor de “k” é conhecido por coeficiente de proporcionalidade. A partir dele, podemos 
afirmar que a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer 
antecedente está para seu consequente. Veja no exemplo a seguir:
1
5
=
1 + 3 + 5
5 + 15 + 25
3
15
= =
5
25
1
5
ou
3
15
ou
5
25
⇒
O coeficiente de proporcionalidade dessa proporção é 
1
5
, pois todas as razões são iguais a 
1
5
.
 
Fonte: Shutterstock
Atividade 5
Observe a resolução do primeiro exercício e resolva os demais.
1) Se eu digo que 10 está para 8 assim como 25 está para x, qual é o valor do número x?
10
8
=
25
x
10x = 8 x 25 
 10x = 200 
 x = 200 
 10 
 x = 20 
2) Determine dois números sabendo que sua soma é 54 e a razão entre eles é 
1
2
.
3) Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é 12 e a razão é 6
5
.
Curso Técnico em Agronegócio
20
4) Sabendo-se que a razão entre dois números é 6
4
 e a soma deles é 20, quais são os números?
5) Dois números “a” e “b” diferem entre si em 18 unidades e “a” está para “b” assim como 825 
está para 627. Qual é o valor de “a” e o de “b”?
6) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários, sabe-se que sua soma é 5 anos 
e 10 meses e que estão entre si na razão 
3
2
. Nessas condições, qual é a diferença positiva 
entre os tempos de serviço desses funcionários?
7) Determine os valores de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 80 e x =
 y 
=
 z
 2 4 14
.
8) Determine os valores de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 90 e x =
 y 
=
 z
8 5 2
.
9) Determine o valor de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 420 e x =
 y 
=
 z
 9 11 15
.
10)Três herdeiros de um grande fazendeiro receberão uma propriedade de 1.800 hectares 
dividida proporcionalmente em 3, 4 e 5 partes. Sabendo que o mais velho dos três irá 
receber a maior parte, qual será o tamanho da área que lhe caberá?
11)As demissões de três homens (x, y e z) implicaram o pagamento de uma verba rescisória na 
importância total de R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por eles de modo que fossem 
diretamente proporcionais ao número de meses trabalhados. Quanto deve receber cada 
um desses três homens (x, y, z) se, respectivamente, trabalharam 50, 70 e 60 meses?
12)Determine quais das expressões a seguir podem ser consideradas uma proporção:
a) 2 =
 11
13 60 
b) 2 =
 120
 4240 
c) 21 =
 189
 7 63 
d) 
6 
=
 38
 11 66 
e) 2 =
 45
 3 65 
13) Calcule o valor do termo desconhecido.
a) 2 =
 4
3 x 
Matemática Básica e Financeira
21
b) 10 = 
 x 
 75 100 
c) 
12 
=
 36 
 x 60 
d) 
12 
=
 36 
 x 60 
e) 
2x 
=
 6 
 15 5 
Tópico 5: Grandezas Proporcionais
Quando uma variação em uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos 
que elas são proporcionais, pois estão relacionadas. Elas podem ser classificadas em grandezas 
diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais de acordo com o tipo 
de relação estabelecida entre elas.
g Saiba mais sobre proporcionalidade assistindo ao vídeo disponível no AVA.
1. Grandezas diretamente Proporcionais
Podemos dizer que duas grandezas são diretamente proporcionais sempre que uma alteração 
em uma delas apresentar variação de mesma razão na outra grandeza. Isso quer dizer que, 
se aumentarmos (ou diminuirmos) o valor de uma, o valor da outra também irá aumentar (ou 
diminuir). Veja um exemplo:
Uma empresa de produção de frangos possui três filiais no Estado de Mato Grosso do Sul e 
está fazendo acompanhamento da produção anual e do número de funcionários de cada uma 
delas. Para tanto, gerou da seguinte tabela de dados.
Filial A Filial B Filial C
Funcionários 120 180 300
Produção de frangos (em 
toneladas) 720 1.080 1.800
720 = 1080 = 1800 = 6
120 180 300 
As razões acima são ditas diretamente proporcionais, pois os termos correspondentes são iguais.
Curso Técnico em Agronegócio
22
Quanto mais funcionários, mais se produz. 
Fonte: Shutterstock
2. Grandezas inversamente Proporcionais
Duas grandezas serão inversamente proporcionais sempre que a variação apresentada 
em uma delas implicar variação contrária na outra grandeza. Isto é, se aumentarmos (ou 
diminuirmos) uma delas em determinada razão, a outra grandeza irá diminuir (ou aumentar). 
Vamos ver um exemplo? 
Uma empresa de entregas leva 8 horas para percorrer uma determinada 
distância em velocidade média de 50 km/h. Sabendo que é possível 
aumentar a velocidade média para 100 km/h, o tempo necessário para 
percorrer a mesma distância seria reduzido para 4 horas. 
Observe que, quando a grandeza velocidade aumentou, a grandeza tempo diminuiu.
Atividade 6
1) Vamos praticar? Observe como foi resolvido o primeiro problema e calcule os demais.
Uma torneira derrama uniformemente em um tanque 4 litros de água por minuto. Quantos 
litros de água a torneira derrama em 1 hora?
4 litros
1 min
=
x litros
1 hora
4 litros
1 min
=
x litros
60 min
1x = 4 x 60
 x = =240
1
240 litros
Matemática Básica e Financeira
23
2) Um produtor rural percorre a distância de 120 km para vender sua produção de leite 
para um laticínio. Com seu veículo viajando a 30 km/h, ele leva 4 horas para percorrer o 
caminho. Caso ele dobrasse a velocidade (viajando a 60 km/h), quanto tempo levaria?
3) Para construir um aviário, foram contratados 3 pedreiros que conseguem terminar o 
serviço em 120 dias. Para que a obra seja entregue em 90 dias, quantos pedreiros serão 
necessários?
4) Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, quantos 
foram os documentos arquivados pelo funcionário mais velho?
5) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, 3 técnicos judiciários 
dividiram o total de microcomputadores entre si na razão inversa de suas respectivas 
idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos?
Tópico 6: A Regra de Três
Até agora, revisamos um pouco da matemática básica e os conceitos de razão, proporção e 
grandezas proporcionais. Neste tópico, veremos um processo matemático bastante comum: a 
regra de três. Essa técnica é amplamente utilizada para resolver problemas nos quais figuram 
grandezas que são direta ou inversamente proporcionais das quais conhecemos apenas 
alguns valores.
Existem dois tipos de regra de três: a simples, que é aquela que envolve 
apenas duas grandezas, e a composta, que é aquela que envolve mais de 
duas grandezas.
1. Regra de Três Simples
Regra de três é um daqueles recursos matemáticos que utilizamos cotidianamente e são 
bastante úteis para resolver diversas situações. A regra de três simples envolve problemas 
com quatro valores, sendo que, desses, apenas três são conhecidos.
Para resolver, seguimos o mesmo processo que vimos anteriormente para encontrar o termo 
desconhecido. O primeiro passo é dispor os dados em razões que agrupem as grandezas. Após 
o arranjo, é necessário determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais 
entre si e, então, aplicar o conceito já conhecido para encontrar a quarta proporcional. Confira 
no exemplo a seguir como funciona:
Se 30 sacas de soja custam em média R$ 2.100, quanto irão custar 45 
sacas de soja? 
Curso Técnico em Agronegócio
24
Podemos adotar um conjunto de passos visando à resolução do problema: o primeiro deles 
seria dispor as informações de acordo com sua grandeza.
Grandeza – saca de soja Grandeza – preço
30 2.100
45 x
Com as informações arranjadas, podemos analisar a proporcionalidade das grandezas. Se a 
quantidade de sacas aumentar, o que deverá acontecer com o preço? Para uma quantidade 
maior de sacas, temos um preço maior, ou seja, as grandezas estão variando no mesmo 
sentido.
Grandeza – saca de soja Grandeza – preço
ꜛ
30 2100
ꜛ45 x
Podemos escrever, então, a proporção formada pelas razões das grandezas e resolver 
encontrando o valor desconhecido. Confira:
30
45
=
2100
x
=> => x = 315030x = 45 x 2100 => x =
94500
30 
Por fim, podemos responder ao que foi questionado: o preço de 45 sacas de soja será R$ 3.150.
É importante observar que, em problemas que envolvam regra de três, 
as quantidades de uma mesma grandeza devem estar sempre na mesma 
unidade de medida, evitando assim equívocos.
'
Dica
Nos exemplos apresentados aqui, usamos setas ao lado das grandezas, o que é 
um artifício bastante útil, mas lembre-se de padronizar como você irá utilizá-las. 
Aqui, padronizamos que a seta para cima indica crescimento e a seta para baixo 
indica redução.
Matemática Básica e Financeira
25
2. Regra de Três Simples Inversa
Uma regra de três simples é inversa se suas grandezas são inversamente proporcionais, 
ou seja, essas grandezas variam em sentidos contrários – enquanto uma aumenta, a outra 
diminui. Veja na prática como funciona:
Se 3 pedreiros constroem uma granja em 10 dias, em quantos dias 5 
pedreiros fazem a mesma granja?
O primeiro passo, como vimos, é dispor as informações de acordo com sua grandeza e analisar 
a proporcionalidade. Observe que a quantidade de dias diminuirá se aumentarmos o número 
de pedreiros trabalhando na obra, o que torna essas grandezas inversamente proporcionais.
Grandeza – pedreiros Grandeza – dias
ꜛ
3 10
ꜜ5 x
Para escrevermos a proporção formada pela razão das grandezas, devemos inverter a ordem 
de uma das razões para que ambas se tornem diretamente proporcionais (com as setas na 
mesma direção). Nesse caso, inverteremos a grandeza “dias”. Confira:
3
5
=> 5x = 3 x 10 => =
x
10
 
x = 
 30 
= 6
 5
Respondendo à questão, para construir a mesma granja, 5 pedreiros levarão 6 dias.
d
Comentário do autor
Exemplos são ótimos para compreender melhor o conteúdo. Acesse o AVA e 
confira outro caso de aplicação da regra de três inversa.
Atividade 7
Para exercitar seus conhecimentos sobre regra de três simples, resolva as questões a seguir.
1) Levo 2h30minpara percorrer 15 km. Se eu tiver que percorrer 54 km, quanto tempo levarei?
2) Viajando a 60 km/h, faço o percurso entre duas cidades em 2 horas. Trafegando a 80km/h, 
qual seria o tempo estimado de viagem?
Curso Técnico em Agronegócio
26
3) 7 litros de leite geram 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se 
obter 9 kg de manteiga?
4) Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de fertilizante. Quanto pagaria por 0,750 kg desse mesmo 
fertilizante?
5) 6 máquinas colhem uma plantação de soja em 5 dias. Quantas máquinas idênticas serão 
necessárias para colher essa mesma plantação em 3 dias?
6) (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina 
em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por outra máquina nas 
mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse 
mesmo serviço?
7) Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros serão percorridos em 7 
horas mantendo-se a mesma velocidade média?
8) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina 
serão gastos para percorrer 120 km?
9) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas 
condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?
10) Um produtor pagou R$ 960,00 por um rolo de arame farpado e R$ 768,00 por outro 
de mesma qualidade. Qual é o comprimento de cada uma das peças sabendo-se que a 
primeira tem 12 m a mais do que a segunda?
11) Em um acampamento, 3 peões dispõem de alimento para 60 dias. Se mais 9 peões 
chegarem ao acampamento, por quanto tempo eles permanecerão abastecidos?
12) Um laticínio engarrafa 3.000 litros leite em 6 horas. Quantas horas serão necessárias 
para engarrafar 4.800 litros de leite?
3. Regra de Três Composta
Até o momento, vimos situações que abrangiam duas grandezas, como trabalhadores e dias 
ou distância e horas. Porém, quando temos mais de duas grandezas envolvidas, precisamos 
seguir outro processo: a regra de três composta. Neste caso, uma das grandezas apresenta 
apenas um valor conhecido, enquanto que as demais apresentam os dois. Para resolver, 
utilizamos um método semelhante ao da regra de três simples. Observe no exemplo a seguir. 
Trabalhando 8 horas por dia durante 12 dias, 30 operários produzem 
1.000 unidades de determinado implemento agrícola. Quantos dias serão 
necessários para que 48 operários, trabalhando 6 horas por dia, produzam 
1.200 unidades desse mesmo implemento agrícola?
Matemática Básica e Financeira
27
Assim como nos outros casos que vimos até agora, o primeiro passo é dispor as informações 
de acordo com sua grandeza.
Horas Dias Funcionários Produção
8 12 30 1.000
6 x 48 1.200
Com as informações arranjadas, podemos analisar a proporcionalidade das grandezas. Nesse 
caso, devemos analisá-las duas a duas, sempre considerando a grandeza que possui o valor 
desconhecido.
Dias Horas
ꜛ
12 8
ꜜx 6
Se o número de horas por dia de trabalho diminui, devemos trabalhar um número maior de 
dias para realizar o mesmo trabalho. Ou seja, essas grandezas são inversamente proporcionais.
Dias Operários
ꜜ
12 30
ꜛx 48
Se o número de operários aumenta, podemos diminuir o número de dias para realizar o 
trabalho. Ou seja, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. 
Dias Produção
ꜛ
12 1.000
ꜛx 1.200
Quando o número de unidades a serem produzidas aumenta, precisamos de mais dias para 
essa produção. Por isso, as grandezas “produção” e “dias” são diretamente proporcionais.
Curso Técnico em Agronegócio
28
O passo seguinte é reorganizar os dados fazendo a inversão dos pares identificados como 
inversamente proporcionais quando comparados à grandeza que tem o valor desconhecido 
(nesse caso, “dias”).
Horas Dias Funcionários Produção
8 12 48 1.000
6 x 30 1.200
Para resolver, consideramos que a razão que apresenta o valor desconhecido é igual ao 
produto das demais razões (após a inversão, conforme fizemos anteriormente). Observe:
12
x
=
12
x
=
6
8
x
48
30
x
1000
1200
6
8
x
288000x = 12 x 288000
 
x =
 3456000 
= 12
288000
48
30
x
x x
1000
1200
Chegamos, assim, ao resultado: serão necessários 12 dias para que os 48 funcionários 
trabalhando 6 horas por dia produzam 1.200 unidades.
Atividade 8
Hora de exercitar! Observe como foi resolvido o primeiro problema e solucione os demais.
1) Para esvaziar um compartimento com 700 m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para 
fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500 m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos, quantas 
horas seriam necessárias para esvaziá-lo?
Primeiro, vamos atribuir uma letra para cada grandeza:
M: a capacidade em metros cúbicos do compartimento;
R: a quantidade de ralos;
H: a duração da operação de esvaziamento em horas.
Matemática Básica e Financeira
29
A representação para a análise do problema, obtida segundo os dados do enunciado, é a 
seguinte:
M R H
700 3 7
500 5 x
Vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em 
relação à grandeza H. Para isso, utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar 
grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.
Vamos considerar que a orientação da grandeza H seja para baixo:
M R H↓
700 3 7
500 5 x
Agora, vejamos se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que, ao diminuirmos 
a capacidade do compartimento, também iremos diminuir o tempo necessário para esvaziá-
lo, então, logicamente, as duas grandezas são diretamente proporcionais. A seta de M terá a 
mesma orientação da seta de H, que é para baixo:
M↓ R H↓
700 3 7
500 5 x
Vamos analisar, agora, se R e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao 
aumentarmos a quantidade de ralos, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário 
para esvaziar o compartimento – isso indica que as duas grandezas são inversamente 
proporcionais. A seta de R será orientada para cima, direção oposta à da seta de H:
M↓ R↑ H↓
700 3 7
500 5 x
Em seguida, devemos deixar todas as grandezas com a mesma orientação. Nesse caso, 
somente a grandeza R possui orientação oposta à da grandeza H e, por isso, somente ela será 
invertida:
M↓ R↓ H↓
700 5 7
500 3 x
Por fim, podemos montar a proporção e resolvê-la: 
7
x
x ==
700 x 5
500 x 3
=> x = 3=>
7 x 500 x 3
700 x 5
 
Portanto, com 5 ralos poderíamos esvaziar 500 m3 em 3 horas.
Curso Técnico em Agronegócio
30
2) Um aterro foi feito em 18 dias por 10 máquinas trabalhando 8 horas por dia. Em quantos 
dias 12 máquinas, trabalhando 6 horas por dia, farão outro aterro nas mesmas condições?
3) Em uma granja, em 60 dias, 3.000 frangos consumiram 12.900 kg de ração. Quantos quilos 
de ração seriam consumidos em 55 dias por 2.400 frangos?
4) Um frigorífico fornece refeições a seus 45 funcionários gastando R$ 16.200,00 durante 100 
dias. Quanto gastaria para fornecer refeições a 60 funcionários durante um mês (30 dias)?
5) Em 6 dias, 8 marceneiros fazem 40 caixas de madeira. Quantos marceneiros serão 
necessários para fabricar 70 caixas em 14 dias?
6) Um andarilho percorre 60 km em 2 dias andando 12 horas por dia. Quantos dias levará 
para percorrer 200 km andando 10 horas por dia?
7) Um muro de 4 m de comprimento, 3 m de largura e 5 m de altura foi feito por 10 operários 
em 20 dias. Quantos dias serão necessários para 12 operários fazerem um muro de 6 m 
de comprimento por 1,5 m de largura e 6 m de altura?
8) (ENEM 2009) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de 
trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, 
em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectaresde milho por 
dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel 
diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa 
colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender 
às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja 
constante, a cooperativa deveria:
a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
9) Uma empresa, para construir o sistema de drenagem de uma rua que possui 120 metros 
de comprimento, precisa escavar um buraco de 5 metros de profundidade e 2 metros 
de largura, e, para tanto, utiliza 10 operários trabalhando 7 horas por dia, que demoram 
2 meses para realizar a obra. Se aumentar o número de operários em 40 e o turno de 
trabalho for de 10 horas, em quanto tem tempo será construído o sistema de drenagem 
de outra rua com largura e profundidade duas vezes maiores?
10)A produção de 400 hectares onde trabalham 50 homens sustenta 5 famílias. Quantas 
famílias poderão ser sustentadas, nas mesmas condições, com 600 hectares e 60 homens 
trabalhando?
Matemática Básica e Financeira
31
11)São necessários 1.064 quilos de feno para alimentar 14 cavalos durante 12 dias. Que 
quantidade de feno seria necessária para a alimentação de 6 cavalos durante 60 dias?
4. Regra de Três e Taxa Percentual
É bastante comum em nosso dia a dia ouvirmos expressões como “desconto de até 50% na 
liquidação de final de ano”, “a inflação registrada em 2012 foi de 5,84%”. Elas envolvem um 
tipo especial de razão chamada de “percentagem”. Quando uma razão é apresentada com o 
consequente 100, ela é chamada de “razão centesimal”. Outra forma de representarmos as 
razões centesimais é adotar o símbolo “%” (que é lido como “por cento”) em vez da razão.
d
Comentário do autor
Você pode escrever (e dizer) porcentagem ou percentagem, pois a palavra tem 
origem no latim per centum, que significa “por cento” ou “cada centena”.
O conceito de porcentagem se dá quando fazemos a comparação entre duas razões diretas 
sendo que, em uma delas, o consequente é igual a 100 e, em outra, temos um termo 
desconhecido. Observe no exemplo: 
30% de 120 é o mesmo que escrever a proporção 
30
100
=
x
120
, e, 
aplicando a propriedade fundamental de proporção, temos que: 
30 × 120 = 100x => x = 360 / 100 = 36
Da mesma forma, para calcular quanto é 16% de 80, você pode escrever a proporção 
16 / 80 = x / 100, chegando a 20. Agora, digamos que você queira saber de qual valor 18 
representa 9%? Isso é o mesmo que escrever a proporção 18 / x = 9 / 100. Resolvendo, temos 
que: 18 × 100 = 9x => x = 1800/9 = 200.
Fonte: Shutterstock
Curso Técnico em Agronegócio
32
Até agora, vimos a regra de três simples e a composta, conhecemos as diferenças entre as 
grandezas direta e inversamente proporcionais, e ainda conseguimos aplicar esse conceito 
à porcentagem, que será muito útil nos próximos momentos. A seguir, veremos algumas 
unidades de medida.
Atividade 9
Vamos praticar? Resolva as questões sobre porcentagem apresentadas a seguir.
1) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. 
Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?
2) Um produto tem preço de 250 reais à vista. A prazo, em 5 parcelas mensais iguais, seu 
preço sofre acréscimo de 16%. Qual é o valor de cada parcela?
3) (OBMEP/2006) Um trabalho de matemática tem 30 questões de aritmética e 50 de 
geometria. Júlia acertou 70% das questões de aritmética e 80% do total de questões. Qual 
é o percentual das questões de geometria que ela acertou?
4) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. Qual 
é o salário de Antônio?
5) (TRT24-FCC) Quanto cobrou um marceneiro para realizar a reforma de uma mesa de 
2.500 × 1.100 × 740 mm sabendo-se que o valor do material empregado foi de R$ 645,00 e 
a mão de obra custou 45% do valor do material gasto?
Tópico 7: Unidades de Medida
A necessidade de medir surgiu há muito tempo juntamente com as civilizações. No início, 
as medidas eram feitas com o que estivesse mais próximo, como mãos e pés. E, como não 
existiam medidas padronizadas – cada um tinha a sua –, sempre havia confusão.
Com o tempo, começaram a surgir, em algumas comunidades e regiões, medidas padronizadas. 
Em sua maioria, eram medidas de pouca ou nenhuma precisão, que tinham como referência 
o corpo humano, como, por exemplo, a polegada. Em 1789, o governo republicano francês 
solicitou à Academia de Ciências um sistema de medida para ser padrão: o sistema métrico 
decimal. Ele foi aperfeiçoado e substituído, em 1960, pelo Sistema Internacional de Unidades 
(do francês, Système international d’unités – SI).
1. Unidade de Tempo
Durante muito tempo, a unidade de referência para o tempo foi o sol, e o intervalo entre duas 
passagens sucessivas do sol pelo mesmo meridiano, como Greenwich, é conhecido como dia 
solar.
Matemática Básica e Financeira
33
Fonte: Shutterstock
Atualmente, a unidade adotada como padrão no SI é o segundo (s), o equivalente a 1/84.600 de 
um dia solar. Em algumas situações, devido à necessidade de medidas maiores (ou menores), 
podemos utilizar múltiplos dos segundos:
• o minuto (min) é equivalente a 60 s;
• a hora (h) é equivalente a 3.600 s;
• o dia (d) é equivalente a 84.600 s;
• o décimo de segundo é equivalente a 0,1 s;
• o centésimo de segundo é equivalente a 0,01 s;
• o milésimo de segundo é equivalente a 0,001 s.
`
Atenção
Ao escrevermos uma medida de tempo como 1,4 h, devemos cuidar para não 
substituir por 1h40min uma vez que, no Sistema Internacional, as medidas de 
tempo não são decimais:
4
10
1,4h => 1h + 0,4h = 1h + => 1h +
=> 1h + => 1h + 24min
h
4
10
x 60min
240
10
min
Note ainda que, ao escrever as medidas de tempo, deve-se utilizar corretamente 
os símbolos das unidades.
Curso Técnico em Agronegócio
34
Grandeza Símbolo
Segundo s
Minuto min
Hora h
Dia d
Quadro 1: Símbolos das unidades de medida de tempo.
2. Operar Medidas de Tempo
Imagine que Seu Afonso percorre o trecho entre sua casa e o galinheiro em 15min12s e precisa 
de 8min27s para percorrer a distância entre o galinheiro e o armazém. Quanto tempo Seu 
Afonso leva para chegar ao armazém?
É comum nos depararmos com situações como essa, do Seu Afonso, na qual precisamos fazer 
cálculos com medidas de tempo. Nesse caso, para descobrir o tempo necessário para Seu 
Afonso ir de casa ao armazém, basta somarmos as medidas, colocando os termos de mesma 
unidade um embaixo do outro:
15 min 12s 
+ 8 min 27s
 
23min 39s
Assim, seu Afonso irá levar 23min39s para ir de sua casa até o armazém.
Veja agora um outro caso: determinado medicamento deve ser ministrado a uma criança 5 
vezes por dia. Qual é o intervalo entre as doses do remédio?
Para descobrirmos, dividimos o dia (24 h) pela quantidade de intervalos, que é 5. 
24h 
5
= 4,8h => 4h + 0,8h = 4h + 
4h + x 60 = 4h + min = 4h + 48min
8h 
10
8
10
480
10
Observe que 0,8 hora corresponde à 48 min, logo, o medicamento deve ser administrado a 
cada 4h48min.
Vamos praticar? Resolva as questões propostas na atividade a seguir.
Matemática Básica e Financeira
35
Atividade 10
1) Considerando que o ponteiro de minutos de um relógio que apresenta um defeito dê uma 
volta completa em 1min6s, qual será o tempo necessário para que esse relógio registre 
uma hora, ou seja, d 60 voltas no ponteiro dos minutos?
2) Um torno produz, a cada minuto, um total de 480 rotações. Quantas rotações esse tipo de 
torno produz porsegundo? Conhecendo as condições de rotação do torno, quanto tempo 
dura cada uma de suas rotações?
3) Em uma prova de atletismo, um corredor percorreu o circuito com os seguintes tempos: (1ª 
volta) 10min55s; (2ª volta) 11min5s e (3ª volta) 11min48s. Qual o tempo total desse corredor?
4) Nos treinos do primeiro final de semana de testes da Fórmula 1 em Jerez de la Frontera, 
um piloto faz sua volta rápida em 1min20s419. Após algum tempo, o mesmo piloto volta à 
pista com alguns ajustes no motor e um novo jogo de pneus, e faz sua melhor volta no dia 
com tempo de 1min19s809. Em quanto o piloto diminuiu seu tempo de volta?
5) Converta as unidades de tempo:
a) Uma hora tem quantos segundos?
b) Um dia tem quantos segundos?
c) Uma semana tem quantas horas?
d) Quantos minutos são 3h45min?
e) Uma década tem quantos anos?
f) Quantos minutos são 5h5min?
g) Quantos minutos se passaram das 9h50min até às 10h35min?
h) Quantos segundos têm 35 min?
i) Quantos segundos têm 2h53min?
j) Quantos minutos têm 12 horas?
3. Unidade de Comprimento
O Sistema Internacional utiliza o metro (m) como medida base para o comprimento, e foi
instituído que a medida do metro seria equivalente a 
1
10.000.000
 da distância entre o Polo 
Norte e a Linha do Equador, no meridiano que atravessa a cidade de Paris (França).
g
O Meridiano de Paris é o equivalente ao Meridiano de Greenwich que passa pela 
capital francesa, onde está o observatório nacional. Saiba mais acessando o AVA!
Curso Técnico em Agronegócio
36
 
Fonte: Shutterstock
Da mesma forma que precisamos de medidas que sejam maiores (ou menores) do que o 
segundo, também há essa necessidade com o metro. Nesse caso, podemos utilizar alguns de 
seus múltiplos, como:
• quilômetro (km), equivalente a 1.000 m;
• hectômetro (hm), equivalente a 100 m;
• decâmetro (dam), equivalente a 10 m;
• decímetro (dm), equivalente a 0,1 m;
• centímetro (cm), equivalente a 0,01 m;
• milímetro (mm), equivalente a 0,001 m.
d
Comentário do Autor
Existem, também, outras medidas relacionadas ao metro que não são 
composições decimais, mais que, entretanto, ainda são utilizadas em alguns 
países, como, por exemplo, a polegada (equivalente a 2,54 cm).
Como ler uma medida de comprimento
Para fazer a leitura de uma medida de comprimento, principalmente com partes decimais, é 
importante seguir algumas etapas:
• lembrar a ordem das medidas;
Matemática Básica e Financeira
37
• localizar a parte inteira da medida (o algarismo antes da vírgula);
• posicionar todos os algarismos de acordo com a sequência das unidades.
Vejamos na prática como ler a altura de uma pessoa que mede 1,68 m. Primeiramente, 
devemos estabelecer a ordem das unidades. Para facilitar, nas primeiras vezes, você pode criar 
um quadro com as unidades de medida. Em seguida, escrevemos os algarismos encontrados, 
começando pela parte inteira logo abaixo da unidade descrita, e depois um algarismos abaixo 
de cada unidade menor. Observe:
 
km hm dam m dm cm mm
 1, 6 8 
 
A leitura é feita a partir da unidade inteira (um metro) e da parte decimal (sessenta e oito) 
acompanhada da medida do último algarismo (neste caso, centímetros), ou seja, um metro e 
sessenta e oito centímetros.
Convertendo medidas de comprimento
Para converter as medidas de comprimento, basta lembrar da relação entre essas unidades e 
organizá-las em um quadro - esse método ajuda muito.
 
 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
km hm dam m dm cm mm
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
 
No sistema métrico, cada unidade tem um valor 10 vezes maior que a unidade à sua esquerda: 
1 cm equivale à 10 mm, por exemplo. Assim, quando convertemos uma medida para uma 
unidade menor que a unidade fornecida, devemos multiplicar o valor por 10. E assim, 
sucessivamente, quantas vezes forem necessárias. Por exemplo, para escrever a medida 8,2 
quilômetros (km) em metros (m), fazemos o seguinte:
km hm dam m dm cm mm
A unidade quilômetro está três unidades para a esquerda da unidade metro. Para chegar do 
quilômetro ao metro, devemos multiplicar o valor por 10 três vezes, ou seja: 10 × 10 × 10 (que 
dá 1.000). 
Então 8,2 × 1000 = 8200, ou seja, 8,2 km é o mesmo que 8.200 m.
Curso Técnico em Agronegócio
38
Agora, quando convertemos uma medida para uma unidade maior que a unidade dada é 
preciso dividir o valor numérico que a representa por 10, sucessivamente, quantas vezes 
forem necessárias. Por exemplo, para transformar 191cm em metros, que está duas unidades 
para a esquerda, devemos dividir o valor dessa medida por 100. Logo, 191 cm é igual a 1,91 m.
km hm dam m dm cm mm
 
Vamos exercitar? Resolva as questões da atividade a seguir.
Atividade 11 
1) Um quadrado apresenta perímetro (soma da medida dos lados) igual a 32 cm. Qual é a 
medida de cada lado?
2) Uma corda tem 8,1 m de comprimento. Quero cortá-la em 9 partes iguais. Quantos 
centímetros deve ter cada pedaço?
3) Desejo emoldurar um quebra-cabeça que montei. As medidas dele são 1,21 m de 
comprimento e 80 cm de largura. Quanto custará a moldura se o metro linear dela custar 
R$ 99?
4) Quantos centímetros possui um cano de 4 polegadas?
5) Faça a leitura e escreva cada uma das medidas a seguir:
a) 10,7 dam
b) 2,3 km
c) 8,09 hm
d) 10,5 mm
e) 9,89 dm
f) 7,95 m
6) Complete as igualdades a seguir representando-as na unidade de medida equivalente:
a) 10,4 km = _____ dam
b) 80 hm = _____ dm
c) 90000 mm = _____ km
d) 100,3 m = ____ hm
Matemática Básica e Financeira
39
4. Unidade de Área
Você já teve que calcular a área de um terreno ou mesmo de um cômodo? No dia a dia, é 
comum tratarmos dessas unidades, conhecidas como medidas de superfície. A superfície é uma 
grandeza em duas dimensões, e a área é o número que representa essa medida.
Um dos instrumentos utilizado para medir distâncias maiores é conhecido como “trena de roda”. 
Fonte: Bosch.
De acordo com o Sistema Internacional de medida, a unidade-padrão para medida de área é 
o metro quadrado (m²). A partir dela, temos: 
• quilometro quadrado (km²), que equivale a 1.000.000 m²;
• centímetro quadrado (cm²), que equivale a 0,0001 m²;
• cilímetro quadrado (mm²), que equivale a 0,000001 m².
Existem, ainda, outras medidas para representar áreas que são aceitas pelo Sistema 
Internacional, principalmente quando tratamos de medidas agrárias. São elas: 
• are (a), equivalente a 100 m²;
• hectare (ha), equivalente a 10.000 m²;
• acre, equivalente a 4.047 m².
Curso Técnico em Agronegócio
40  Você já ouviu falar em alqueire? Trata-se de uma unidade que apresenta medidas diferentes de acordo com a região onde você mora. Que tal você pesquisar quanto vale essa medida na sua região?
Convertendo unidade de medida de superfície
Enquanto estivermos tratando dentro do sistema decimal, o processo de conversão será muito 
parecido com a conversão de unidade de medida de comprimento, no entanto, o múltiplo 
será de 100. 
 
 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
 
Por exemplo, para saber quanto é 7,1 dam² em metros quadrados (m²), contamos uma casa 
para direita, ou seja, devemos multiplicar o valor dessa medida por 100. Assim, temos que 
7,1dam² é o mesmo que 710m². 
d
Comentário do autor
Lembre-se de que você pode contar o número de unidades entre a medida que 
você tem e aquela que deseja saber e multiplicar (ou dividir) de uma só vez. Por 
exemplo, para converter km² em m², basta observar que as unidades estão 3 
casas distantes, ou seja, multiplica-se por 1.000.000 (que é 100 x 100 x 100). Casotenha alguma dúvida, contate o tutor pelo AVA.
É hora de treinar seus conhecimentos em unidades de área! Resolva as questões a seguir e 
certifique-se de tirar todas as suas dúvidas. 
Atividade 12
1) O Parque Nacional da Serra da Canastra, situado em Minas Gerais, tem 71.525 ha. Quantos 
alqueires paulistas (24,2 mil m²) possui o parque mineiro?
2) A quantos metros quadrados correspondem 11 hectares?
3) Converta 2,42 ha em ares.
Matemática Básica e Financeira
41
4) Dê a soma em m²:
a) 40dm² + 0,001m² + 3000cm² + 40000mm²
b) 35dam² + 180cm² + 8000mm²
c) 102m² + 0,1km² + 12hm²
5) Observe os anúncios de jornal abaixo e responda:
Mogi-Mirim (SP) – 2 alq. Cercado com alambrado, casarão 
centenário, refor. Todos os melhoramentos R$ 500.000,00
Campinas (SP) – 15 ha formados, arborizados, 1.000 m2 
de constr. Perímetro urbano. Próprio para clube, hospital. 
Clínica de repouso, condomínio, etc. R$ 950.000,00
a) Quantos metros quadrados tem o sitio de Mogi-Mirim?
b) Qual o preço do metro quadrado?
c) Quantos metros quadrados tem o sítio de Campinas?
d) Qual o preço do metro quadrado?
e) Qual é a razão de preço entre os sítios de Campinas e Mogi-Mirim?
5. Unidade de Volume
As unidades de volume são caracterizadas por serem compostas por três dimensões: 
comprimento, largura e altura. É comum encontrar esse tipo de medida no transporte de 
produtos, por exemplo.
A unidade de medida padrão para o volume é chamada de metro cúbico. O metro cúbico (m³) 
é a referência do espaço ocupado por um sólido quadrangular que possui arestas da base 
com medidas de 1 metro.
 Quadrangular
Sólido cuja base é um quadrado. No caso do cubo, tanto a base como as demais faces são 
quadrangulares.
Enquanto estivermos tratando dentro do sistema decimal, o processo de conversão será 
muito parecido com a conversão de unidades de medida de comprimento e de área. Aqui, no 
entanto, o múltiplo será de 1.000.
Curso Técnico em Agronegócio
42
 
 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000
 
Vamos ver um exemplo? Para escrever a medida 8,5 dam³ em metros cúbicos (m³), devemos 
observar que a unidade de medida de decâmetro cúbico (dam³) está uma unidade para a 
esquerda do metro cúbico. Logo, devemos multiplicar o valor dessa medida por 1.000. Então, 
8,5 × 1000 = 8500, ou seja, 8,5 dam³ é o mesmo que 8.500 m³.
Uma relação muito utilizada para volume é a unidade de litros (L): 
1 litro equivale à 1 dm³. Sabendo disso, quando litros cabem em um 
metro cúbico?
Atividade 13
1) Calcule a capacidade, em litros, de uma piscina com as seguintes dimensões: 8 m de 
comprimento, 6 m de largura e 1,8 m de profundidade (altura).
2) Um reservatório possui volume de 3.000 m³. Qual é a capacidade desse reservatório em 
litros?
3) Um monumento tem a forma de um paralelepípedo retângular de dimensões 4 m x 2,5 m 
x 1,2 m. Qual é o volume desse monumento?
4) Uma caixa de sapatos, em forma de paralelepípedo retângular, tem as seguintes medidas: 
30 cm de comprimento, 18 cm de largura e 15 cm de altura. Qual é o volume dessa caixa?
5) Um volume de 1 m³ de um líquido deve ser distribuído em recipientes de 25 cm3 de volume 
cada um. Quantos recipientes serão necessários?
6) Pretende-se abrir um buraco de 8,5 m de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de 
profundidade. Quantas viagens deverá fazer uma caminhonete que, no máximo, carrega 
1,5 m3 de terra por viagem para transportar toda a terra removida desse buraco?
6. Unidade de Massa
Para encerrar este tópico sobre unidades de medida, vamos tratar de uma que está muito 
presente no trabalho do técnico em agronegócio: a unidade de massa. Podemos dizer que 
Matemática Básica e Financeira
43
massa é o que mede a quantidade de matéria que está contida em um corpo. No Sistema 
Internacional de Unidades, a unidade de massa é o grama (g).
As quantidades de massa relacionadas ao grama são:
• kg (quilograma);
• hg (hectograma);
• dag (decagrama);
• dg (decigrama);
• cg (centigrama);
• mg (miligrama).
Além desses, podemos verificar em cargas de grande porte o uso de outras unidades, como 
a tonelada, que corresponde a 1.000 quilogramas. Por isso, a tonelada também pode ser 
chamada de “megagrama”. 
Além da tonelada, é comum contarmos massa em arrobas. Uma arroba 
equivale a quinze quilos.
Os submúltiplos do grama são encontrados com maior frequência em corpos de pequeno 
porte, como remédios e produtos laboratoriais. Ainda assim, é importante sabermos como 
realizar as conversões necessárias para facilitar certos tipos de situação que envolvam 
massa. Para isso, contamos com uma tabela de transformação de múltiplos e submúltiplos 
apresentada abaixo.
 
 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
kg hg dag g dg cg mg
 ÷ 10 ÷ 10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
 
Por exemplo, para escrever 10.000 g em quilogramas (kg), precisamos transformar a 
unidade de medida de gramas (g) em quilogramas (kg), que está três unidades para a 
esquerda. Para isso, divide-se o valor por 10 três vezes (10 ÷ 10 ÷ 10), ou seja, 1.000. Assim, 
temos que 10.000 g é o mesmo que 10 kg.
Vamos exercitar resolvendo algumas questões?
Curso Técnico em Agronegócio
44
Atividade 14
1) Expresse em gramas:
a) 7 kg
b) 3,5 kg
c) 0,640 kg
d) 0,78 kg
e) 92,3 kg
f) 1/2 kg
g) 5,84 kg
h) 0,06 kg
i) 3/4 kg
2) Expresse em quilogramas:
a) 3 t
b) 0,5 t
c) 18,1 t
d) 4,89 t
e) 4.000 g
f) 1/4 t
g) 3.750 g
h) 12.859 g
i) 2/5 t
3) Um mamão pesa 872 gramas, um abacaxi 1,208 kg e uma melancia 7,05 kg. Qual é o peso 
total em quilogramas?
4) Quantos quilogramas pesa um boi de 25 arrobas?
5) Uma tonelada e meia equivale a quantos quilogramas?
Matemática Básica e Financeira
45
6) Um quilograma de um produto alimentício custa R$ 84,00. Calcule o preço de:
a) 500 g
b) 750 g
c) 900 g
d) 1,2 kg
e) 2,5 kg
f) 6,4 kg
Encerramento
Chegamos ao fim do primeiro tema desta unidade curricular. A partir dos tópicos que vimos 
aqui, você pôde conhecer e revisar assuntos da matemática essenciais para sua atuação 
profissional. Do mesmo modo, eles também formam uma base para que você possa avançar 
com mais segurança nos próximos temas. Em seguida, estudaremos a matemática financeira! 
02
Matemática Financeira
Matemática Básica e Financeira
47
Tema 2: Matemática Financeira
Bem-vindo(a) à matemática financeira! Neste tema, estudaremos conceitos necessários para 
pensarmos em dinheiro, finanças, investimentos e financiamentos. Dentre eles, veremos 
como calcular juros, descontos e diferentes séries de pagamento. 
d
Comentário do autor
Neste tema, espera-se que você desenvolva as seguintes competências:
• entender os principais conceitos da matemática financeira;
• distinguir os juros simples dos compostos, aplicando-os em situações 
problema;
• calcular descontos simples e compostos;
• calcular o valor da prestação, do principal e do valor futuro das séries de 
pagamento;
• conhecer os principais conceitos relacionados aos Sistemas de Amortização 
de Empréstimos e Financiamentos;
• utilizar os conceitos de matemática financeira para resolver problemas do dia 
a dia.
A matemática financeira é um ramo da matemática que tem a função de estudar o dinheiro e/
ou seu valor no passar do tempo. A partir dela, é possível fazer análises e comparações para 
aplicar em suas atividades diárias, pensando em bens de consumo, investimentos ou finan-
ciamentos.
Curso Técnico em Agronegócio
48
Tópico 1: Uso da Moeda
Hoje, a moeda está presente em praticamente todosos momentos da vida, desde grandes 
negócios e cotações do chamado mercado financeiro até as ações as mais triviais. Um 
trabalhador pode até não precisar de moeda para desempenhar suas tarefas na fazenda, mas, 
se, ao final do dia, ele resolver tomar um refrigerante, ter dinheiro no bolso é fundamental 
para que ele possa satisfazer seu desejo. 
Praticamente todas as relações materiais da sociedade exigem a presença da moeda. Para 
satisfazer as necessidades materiais, quaisquer que elas sejam, as pessoas são obrigadas a 
utilizar a unidade monetária de referência, ou moeda local. 
Antigamente, nas primeiras atividades comerciais, não havia moeda. O tipo de atividade 
comercial utilizado era o escambo, uma simples troca de mercadoria por mercadoria ou de 
serviço por mercadoria e que originou todas as atividades comerciais que conhecemos hoje. 
No escambo, o valor da mercadoria dependia apenas da quantidade de tempo ou do trabalho 
humano que foi necessário para produzi-la. Assim, se alguém cultivasse ou pescasse peixes 
em maior quantidade que a necessária para manter a si e a sua família, trocava esse excesso 
de produção com o de outra pessoa (ou grupo) que tivesse plantado e colhido outra cultura 
mais que o necessário, por exemplo, o arroz. 
Essa forma primitiva de comércio foi dominante no início da civilização humana e ainda pode 
ser encontrada atualmente. Porém, ela traz certas dificuldades, visto que não há uma medida-
padrão entre os elementos a serem trocados.
Com a evolução das negociações comerciais, alguns produtos passaram a ser mais procurados 
do que outros. Os de maior aceitação passaram a assumir a função de moeda, sendo adotados 
como elemento de troca por outras mercadorias e servindo como valor-padrão na avaliação 
dos demais – eram as chamadas “moedas-mercadorias”. 
Entre as principais moedas–mercadorias, temos o gado e o sal, cuja utilização foi tão marcante 
que se faz presente até hoje em nosso vocabulário. As palavras “pecúnia” (dinheiro) e “pecúlio” 
(dinheiro acumulado) derivam do latim pecus (gado). A palavra “capital” (patrimônio) vem 
do latim capita (cabeça). E a palavra “salário” (salarium - remuneração geralmente efetuada 
em dinheiro, realizada pelo empregador por serviço desenvolvido por seu empregado) teve 
origem em Roma, com a utilização do sal para o pagamento de serviços prestados. 
Com o passar do tempo, as moedas–mercadorias se tornaram inconvenientes para as 
transações comerciais, pois havia instabilidade de valor, dificuldade de fracionamento e 
perecibilidade, que impedia o acúmulo de patrimônio.
 Perecibilidade
Propriedade de algo que é perecível, que pode estragar com o tempo, como os alimentos.
Matemática Básica e Financeira
49
Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para fabricar seus utensílios e 
armas, que anteriormente eram feitos de pedra. Por apresentar diversas vantagens em rela-
ção a outros materiais, o metal passou a ser utilizado como principal padrão de valor e meio 
de troca. 
Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural, em barras ou sob a forma de objetos. 
Quando comercializado, já manufaturado, exigia aferição de peso e avaliação de seu grau de 
pureza a cada troca. Depois, ganhou peso determinado e forma definida (geralmente em 
discos circulares), recebendo uma marca com seu valor e também do responsável por sua 
emissão. Essa medida veio facilitar as negociações, dispensando as constantes pesagens e 
permitindo uma rápida informação da quantidade de metal disponível para a troca.
Com a evolução do dinheiro, veio a necessidade da criação de estabelecimentos responsáveis 
pelo depósito e pela guarda desses bens, que são os bancos. Com os bancos surgiu uma nova 
atividade financeira em que o próprio dinheiro é uma mercadoria.
`
Atenção
Quando tratamos de dinheiro e tempo, alguns elementos básicos devem ser 
levados em consideração, tais como:
• inflação → os preços não são os mesmos sempre;
• risco → investimentos envolvem risco que geram perda ou ganho de 
dinheiro;
• incerteza → não há como saber que tipo de investimento é mais rentável sem 
estudo prévio;
• utilidade → se não é útil, deve ser adquirido?
• oportunidade → sem dinheiro, as oportunidades dizem adeus.
Tópico 2: Dinheiro x Tempo
A matemática financeira está diretamente relacionada com a forma com que vemos e 
manipulamos o dinheiro e suas fases na história da humanidade. 
A matemática financeira estuda a forma com que o dinheiro muda de 
valor no decorrer do tempo e nos permite tirar o maior proveito desta 
relação.
O dinheiro que você possui na carteira hoje possui um valor maior do que a mesma quantida-
de valerá daqui a um ano. Ou seja, R$ 100,00 hoje não compram a mesma coisa que R$ 100,00 
comprarão daqui a um ano. A relação entre tempo e dinheiro é de constante mudança.
Tópico 3: Juros Simples
Podemos definir juros como o rendimento que se obtém quando emprestamos “dinheiro” 
por um período determinado. Vamos estudar como calcular os juros simples e os compostos, 
começando pelo simples.
Curso Técnico em Agronegócio
50
No regime de capitalização simples, os juros gerados a cada período serão sempre idênticos, 
obtidos pelo produto da taxa de juros pelo capital inicial. Esse tipo de capitalização tem 
uso restrito a operações de curto (ou ainda curtíssimo) prazo. Ele aparece no cálculo de 
algumas operações financeiras, tais como os encargos a serem pagos de algumas operações 
de empréstimo.
 Capitalização
Podemos entender por capitalização a ação de formar um capital, ou seja, juntar dinheiro, seja 
para economizar ou para pagar uma dívida.
No cálculo dos juros simples, estão envolvidos os seguintes elementos:
j → “juros simples”
C → “capital inicial”
i → “taxa de juros”
n → “período da aplicação”
A fórmula para calcular os juros simples é: j = C × i × n 
Por exemplo, se João tomou um empréstimo de R$ 1.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 
juros de 30% ao ano, quais serão os juros pagos pelo empréstimo?
Dados do problema:
j → ?
C → 1.000 
i → 30% a.a. => 0,3
n → 2 anos
Pela fórmula: j = C × i × n => j = 1000 × 0,3 × 2 = 600. Logo, os juros a serem pagos pelo 
empréstimo serão de R$ 600,00.
É muito importante observar que a fórmula só pode ser aplicada se o 
período e a taxa de juros estiverem na mesma unidade de referência de 
tempo.
Veja este outro exemplo: um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% 
a.m., durante 4 meses. Calcule os juros e o montante da aplicação.
Matemática Básica e Financeira
51
Dados do problema:
j → ?
M →? 
C → 10.000
i → 2,5% a.m. → 0,025
n → 4 meses
Pela fórmula: j = C × i × n => j = 10000 × 0,025 × 4 = 1000. Logo, os juros pagos pela aplicação 
serão de R$ 1000,00, e o montante da aplicação será R$ 11.000,00.
1. Montante
Já vimos que o montante é a soma do capital inicial com os juros produzidos no período de 
aplicação. Ele é representado pela seguinte expressão matemática:
M = C + j
Como os juros são dados por j = C × i × n, então o montante pode ser reescrito como sendo: 
M = C (1 + in)
Por exemplo, que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 20.000 durante 10 
meses à taxa de 5% ao mês?
Dados do problema:
M = ? 
C = 20.000,00
i = 5% a.m. = 0,05
n = 10 meses
Pela fórmula: M = C (1+in) = M = 20.000 × (1+0,05 × 4) = 30.000,00. Assim, esse investidor 
receberá R$ 30.000,00 da aplicação após 10 meses.
Atividade 1
Vamos praticar? Resolva as questões a seguir sobre juros simples.
1) Calcule os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 
125 dias.
Curso Técnico em Agronegócio
52
2) Obtenha os juros simples recebidos nas seguintes aplicações
a) C = 5000, i = 2,5% ao mês, n = 8 m
b) C = 4000, i = 4% ao trimestre, n = 1,5a
c) C = 7000, i = 1,7% ao mês, n = 1 s
d) C = 10500, i = 3,6% ao bimestre, n = 2 t
3) Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à taxa de 2% a. m. 
Qual o montante obtido?
4) Qual é o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 8 meses, resulta 
em um montante de R$ 6.000,00?
5) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a. m., durante 2 anos, 
resulta em um montante de R$ 16.000,00. 
6) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses e à taxa de 1,5% a.m., 
proporciona juros de R$ 700,00.
7) O banco RST empresta R$ 2.000.000,00 a um fazendeiro pelo prazo de 120 dias, cobrando 
juros simples à taxa de 3% a.m. Simultaneamente, ele paga aos aplicadores dessa quantia 
juros simples com prazo de 120 dias, à taxa de 2% a.m.:
a) qual a diferença entre os juros recebidos e os pagos após os 120 dias?
b) qual o valor dos juros pagos aos aplicadores?
8) Roberto pretende comprar um trator usado cujo preço é R$ 12.000,00 para pagamento 
daqui a 4 meses. Se ele conseguir aplicar seu dinheiro a juros simples e à taxa de 2% a. m.:
a) quanto deverá aplicar no ato da compra para fazer frente ao pagamento?
b) se o preço para pagamento à vista for R$ 11.200,00, será melhor ele pagar à vista ou a 
prazo?
9) Macedo quer dividir seu capital de R$ 30.000,00 em duas partes, uma para ser aplicada no 
banco A, que paga juros simples à taxa de 1,8% a.m., e a outra no banco B, que também 
paga juros simples à taxa de 2,2% a. m. A aplicação no banco A será por 2 anos e no B, por 
1 ano e meio. Calcule o valor aplicado em cada banco de modo que os juros sejam iguais. 
10)Uma motosserra é vendida à vista por R$ 1.800,00 ou, então, por R$ 400,00 de entrada 
mais uma parcela de R$ 1.500,00 após 3 meses. Qual é a taxa mensal de juros simples do 
financiamento?
Matemática Básica e Financeira
53
11)Uma roçadeira é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, com 30% de entrada mais 
uma parcela de R$ 1.200,00 após 3 meses. Qual é a taxa mensal de juros simples do 
financiamento?
3. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
Até agora, nos exemplos que vimos sobre juros simples, ocorreu de a taxa de juros e o período 
no qual a aplicação está sendo feita coincidirem na periodicidade, ou seja, ambos encontram-se 
na mesma unidade de tempo. Entretanto, esse fato nem sempre ocorre. Quando as unidades 
de tempo da taxa e do período da aplicação forem diferentes, será possível converter uma 
delas para que coincidam.
Para isso, utilizamos a proporcionalidade entre as taxas. Duas taxas são proporcionais quando 
seus valores apresentam uma proporção com os tempos a elas referidos, sempre reduzidos
 à mesma unidade. Assim, para as taxas i’ e i’’ relacionadas aos períodos n’ e n’’, ambos
 na mesma unidade, teremos que: 
i’
i’’
=
n’
n’’
A partir daí, obtemos uma fórmula que nos permite converter uma taxa em outra proporcional:
i =k i’
k’’
Onde temos: 
ik → taxa de juro proporcional
i → taxa de juro
k’ → período da proporcional
Por exemplo, para calcular a taxa de juros mensal proporcional a 36% ao ano, devemos
considerar que 1 ano possui 12 meses. Logo, i = = 0,03 = 3%k
0,36
12
 ao mês.
Ou ainda, imagine que você quer saber a taxa anual proporcional à 7% ao bimestre. Como 
1 ano possui 6 bimestres, temos que 
i
6 
=> i = 0,07 x 6 = 0,420,07 = , isto é, 42% ao ano.
d
Comentário do autor
Nos cálculos de juros, estamos considerando que um ano possui 360 dias (o que 
é chamado de “ano comercial”). Essa utilização nos dá o juro simples comercial. 
Entretanto, podemos também utilizar o ano civil (usando o número exato de dias: 
365 ou 366, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro 
simples exato.
Curso Técnico em Agronegócio
54
Determinando o número exato de dias entre duas datas
Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes:
I. pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos extremos 
deve ser incluído;
II. considerando o número exato de dias de cada mês;
III. e utilizando uma tabela para a contagem de dias.
Que tal exercitar esse conhecimento sobre a determinação do número exato de dias? Veja o 
exemplo:
Um empréstimo de R$ 10.000 foi realizado em 17/9 e pago em 23/11 do mesmo ano. Sabendo 
que a taxa foi de 72% ao ano, qual o juro total a ser pago?
Inicialmente, temos que determinar o número de dias de cada uma das datas. Para isso 
podemos consultar uma tabela de contagem de dias no ano.
A data 23/11 corresponde a 327 dias.
A data 17/9 corresponde a 260 dias.
Logo, o número de dias procurado é: 327 – 260 = 67, ou seja 67 dias. Assim, podemos continuar 
com o cálculo:
C = 10.00
n = 67
i = 72% a.a. => 0,72 =>
j = 10.000 x 0,002 x 67 = 1340
=> 0,002 a.d.
0,72
360
Isto é, o juro a ser pago é de R$ 1.340,00.
Vamos praticar o que você aprendeu até aqui? 
Atividade 2
1) Um empréstimo de R$ 15.000 foi realizado em 10/5 e pago em 20/6 do mesmo ano. 
Sabendo que a taxa foi de 10% ao ano, qual o juro total pago?
2) Qual o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de 
janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?
3) Qual o juro simples exato do capital R$ 5.000,00, colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro 
de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?
Matemática Básica e Financeira
55
4) A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2013 ao 
dia 2 de julho de 2014. Calcule os juros exatos obtidos à taxa de 10% ao mês.
5) Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 1/2/2014 sendo quitada em 15/3/2014, 
com taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato (365 dias) e comercial (360 dias) pagos 
nessa operação.
6) Um capital de R$ 9.840 foi aplicado à taxa de 3% ao mês no período compreendido entre 
15/4 e 23/7 do mesmo ano. Qual o juro recebido?
7) Qual deverá ser o capital aplicado no período de 5/6 e 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% 
ao ano, para render um juro de R$ 5.696?
8) A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 6.000 que, durante 6 meses e 20 dias, 
rendeu R$ 1.320 de juro?
9) Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/2. Em 3/5 do mesmo ano, foi efetuado 
o resgate no valor de R$ 107.800. Qual o valor do capital inicial?
10)Um investidor aplicou R$ 200.000 no dia 6/1/2015 à taxa de 27% ao ano. Em que data esse 
capital alcançará R$ 219.500?
11)Um capital inicial de R$ 16.000, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 2.192 de juros. Sabendo 
que a aplicação foi feita no dia 15/5/1988, qual foi a data de vencimento do contrato?
Tópico 4: Juros Compostos
Os juros compostos estão mais presentes no nosso cotidiano, principalmente no sistema 
financeiro. Esses juros são incorporados ao montante a cada período financeiro para o 
cálculo dos juros do período seguinte. Assim, o cálculo desse tipo de juro se dará sempre pelo 
montante.
1. Calculando o Montante
Imagine que você aplica um capital de R$ 100, a 3% ao mês. Quanto terá em 5 meses? 
Diferentemente do regime de capitalização simples, no qual os juros são capitalizados sobre 
o valor inicial, aqui a taxa de juros é aplicada ao montante de cada período. Observe:
Período Juro Montante
0 - 100,00
1 100 × 0,03 × 1 = 3,00 103,00
2 03 × 0,03 × 1 = 3,09 106,09
3 106,09 × 0,03 × 1 = 3,18 109,27
4 109,27 × 0,03 × 1 = 3,28 112,55
5 112,55 × 0,03 × 1 = 3,38 115,93
Curso Técnico em Agronegócio
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Assim, sabemos que o rendimento será de R$ 115,93. Se compararmos com rendimento do 
regime simples de capitalização, observaremos uma diferença de R$0,93. Veja só:
M = 100 (1 + 0,03 × 5) = 115
Por isso, no caso dos juros compostos, devemos utilizar uma fórmula específica:
M = C × (1 + i)n
Note que as informações M, C, i, n