lab7 com respostas Diego Eckard área 2

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Laboratório 7 - Otimização e Sistemas não-lineares
1
Exer
í
io 1(Aque
imento)
1. En
ontre o gradiente da função
f(x, y) = x2y + cos(xy)− 4
2. En
ontre a matriz ja
obiana asso
iada à função
F (x, y) =
[
x cos(x) + y
e−2x+y
]
.
3. En
ontre a matriz ja
obiana asso
iada à função
L(x) =

 a11x1 + a12x2 + a13x3 − y1a21x1 + a22x2 + a23x3 − y2
a31x1 + a32x2 + a33x3 − y3

 .
Exer
í
io 2 Considere a função
C(x, y) = x2 + y2 + ex + ey.
• Faça um esboço grá�
o para estimar o mínimo global da função C(x, y).
• Cal
ule o gradiente de C(x, y).
• Cal
ule a Matriz Hessiana de C(x, y). Di
a: Hessiana é a matriz Ja
obiana do Gradiente de C(x, y).
• Utilize 10 iterações do algoritmo do gradiente para estimar o mínimo da função, utilizando 
omo 
ondição
ini
ial o ponto estimado anteriormente. Es
olha adequadamente o tamanho do passo utilizado em 
ada
iteração.
• Utilize 10 iterações do algoritmo de Newton para estimar o mínimo da função, utilizando 
omo 
ondição
ini
ial o ponto estimado 
om o algoritmo do gradiente.
Exer
í
io 3 Considere a função
C(x, y) = x4 + y4 + 4x + 4y.
1. Faça um esboço grá�
o para estimar o mínimo global da função C(x, y).
2. Cal
ule o gradiente de C(x, y). Di
a: d(c
ax)
dx
= a · cax · ln(c).
3. Cal
ule a Matriz Hessiana de C(x, y). Di
a: Hessiana é a matriz Ja
obiana do Gradiente de C(x, y).
4. Utilize 10 iterações do algoritmo do gradiente para estimar o mínimo da função, utilizando 
omo 
ondição
ini
ial o ponto estimado anteriormente. Es
olha adequadamente o tamanho do passo utilizado em 
ada
iteração.
1
Parte dos exer
í
ios 
riados pelos professores Fabio S. de Azevedo e Esequia Sauter
1
Vinicios
Texto digitado
[ 2xy - ysen(xy);null x^2 - xsen(xy)]
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[ cos(x) - xsen(x) 1;null -2exp(-2x+y) exp(-2x+y)]
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[ a11 a12 a13 -1 0 0;null a21 a22 a23 0 -1 0;null a31 a32 a33 0 0 -1]
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[ 2x+exp(x) ; null 2y+exp(y)]
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[ 2+exp(x) 0;null 0 2+exp(y)]
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
-0.282842712474619null -0.282842712474619
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
 -0.351733711249196null -0.351733711249196
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
 -0.565685424949238null -0.565685424949238
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[4x^3 + 4^x*ln(4);null 4y^3 + 4^y*ln(4)] 
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
[ 12x^2 + ln(4)*ln(4)*4^x 0;null 0 12y^2 + ln(4)*ln(4)*4^y] 
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
5. Utilize 10 iterações do algoritmo de Newton para estimar o mínimo da função, utilizando 
omo 
ondição
ini
ial o ponto estimado 
om o algoritmo do gradiente.
Exer
í
io 4 En
ontre os pontos de interse
ção entre a parábola y = x2 + 1 e a elipse x2 + y2/4 = 1
seguindo os seguintes passos:
a) Faça um esboço das duas 
urvas e entenda o problema. Veri�que que existem dois pontos de interse
ção,
um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante do plano xy.
b) A partir de seu esboço, en
ontre aproximações para x e y em 
ada ponto.
) Es
reva o problema na forma F
([
x
y
])
=
[
0
0
]
d) En
ontre a Ja
obiana JF .
e) Construa a iteração do Método de Newton.
f) Implemente no S
ilab.
g) Resolva o sistema analiti
amente e 
ompare as respostas.
Exer
í
io 5 En
ontre os pontos de interse
ção entre a parábola y = x2 e a 
urva y = cos(x) seguindo
os seguintes passos:
a ) Faça um esboço das duas 
urvas, entenda o problema. Veri�que que existem dois pontos de interse
ção,
um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrando do plano xy.
b ) A partir de seu esboço, en
ontre aproximações para x e y em 
ada ponto.
 ) Es
reva o problema na forma F
([
x
y
])
=
[
0
0
]
d ) En
ontre a Ja
obiana JF .
e ) Construa a iteração do Método de Newton.
f ) Implemente no S
ilab.
g ) Transforme o sistema em um problema de uma úni
a variável, resolva e 
ompare as respostas.
Exer
í
io 6 En
ontre as raízes do problema
3x− cos(yz + z)− 1/2 = 0
4x2 − 25y2 + .4y + 2 = 0
e−xy + 2x− 5z = 10
no 
ubo
|x| < 2, |y| < 2, |z| < 2
Di
a: Reduza a um problema de duas in
ógnitas.
2
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
 -0.545830286060980null -0.545830286060980
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
 0.681250038633213null 1.464101615137755null
Vinicios
Texto digitado
 -0.681250038633213null 1.464101615137755null
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
-0.824132312302522null 0.679194068181102
Vinicios
Texto digitado
 0.824132312302522null 0.679194068181102
Exer
í
io 7 (prova) Considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
x1 − x2 = 0
−xj−1 + 5(xj + x
3
j)− xj+1 = 10 exp(−j/3), 2 ≤ j ≤ 10
x11 = 1 (1)
a) Es
reva este sistema na forma F (x) = 0 onde x =


x1
x2
.
.
.
x11

 e 
al
ule analiti
amente a matriz ja
obiana
∂(F1,...,F11)
∂(x1,...x11)
. Di
a: Use a regularidade nas expressões para abreviar a notação.
b) Construa a iteração para en
ontrar a úni
a solução deste problema pelo método de Newton e, usando
esse método, en
ontre uma solução aproximada 
om erro absoluto inferior a 10−4.
Exer
í
io 8 (Prof. Guidi)En
ontre uma aproximação 
om erro inferior a 10−5 em 
ada in
ógnita para
a solução próxima da origem do sistema
6x− 2y + ez = 2
sen(x)− y + z = 0
sen(x) + 2y + 3z = 1
3
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
x=0.259751076760194nully=0.302735994802261nullz=0.045896007796608
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
Vinicios
Texto digitado
 x1= 0.804469787601477null x2=0.804469787601477null x3=0.686858115578050null x4=0.571235625280824null x5=0.465348512789560null x6=0.370605240363470null x7=0.288834751909828null x8=0.224329778608514null x9=0.194425319069171null x10=0.286673689478968null x11=1.000000000000000
Vinicios
Texto digitado