Lista - Angulos e distancias no espaco

Prévia do material em texto

UFF - Universidade Federal Fluminense
IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
GGM - Departamento de Geometria
Disciplinas: GGM 00127, GGM 00125 , GGM 00160
6a Lista de Exerc´ıcios - Conteu´do de Geometria Anal´ıtica Espacial
Aˆngulos e distaˆncias
AQUECIMENTO
1. Determine a posic¸a˜o relativa dos objetos abaixo:
(a) Reta l1 por (0, 0, 0) e (1, 2, 3) e reta l2 por (2, 1, 2) e (1, 1, 1).
(b) Reta l1 por (1, 1, 1) e (1, 2, 4) e reta l2 por (1, 0, 0) e (1,−2,−6).
(c) Reta l1 por (1, 2, 3) e (3, 4,−2) e plano α de equac¸a˜o 3x− 5y − 2z = 5.
(d) Reta l1 por (0, 0, 0) e (3, 1,−5) e plano α de equac¸a˜o x+ 5y + 2z = 1.
(e) Plano α1 pelos pontos (0, 0, 0), (1,−1, 2) e (1, 5,−1) e plano α2 de equac¸a˜o 3x− y + z = 2.
(f) Reta l1 por (0, 0, 0) e (1,−4, 5) e plano α por (2, 0, 1), (1, 0, 0) e (3,−5, 7).
2. Calcule as distaˆncias entre os objetos abaixo:
(a) Ponto A = (0, 1, 3) e reta l pelos pontos (1, 1, 1) e (2, 2, 3).
(b) Ponto A = (2, 1, 0) e reta l pelos pontos (0, 1, 1) e (−2, 1,−3).
(c) Ponto A = (2, 0, 3) e plano α de equac¸a˜o 3x− 2y + 3z = 3.
(d) Ponto A = (1, 1,−1) e plano α de equac¸a˜o 3x− 2y + 3z = 0.
(e) Reta l1 por (0, 0, 0) e (1, 2, 3) e reta l2 por (0, 1, 2) e (−1, 2,−2).
(f) Reta l1 por (0, 1, 0) e (1, 2, 2) e reta l2 por (0, 2, 1) e (−1, 1,−1).
(g) Reta l1 por (0, 1,−1) e (1, 1, 1) e plano α de equac¸a˜o x+ y + z = 3.
3. Encontre o aˆngulo entre os objetos abaixo:
(a) Reta l1 por (0, 0, 0) e (1, 2, 3) e reta l2 por (0, 1, 2) e (−1, 2,−2).
(b) Reta l1 por (0, 1, 0) e (1, 2, 2) e reta l2 por (0, 2, 1) e (−1, 1,−1).
(c) Reta l por (0, 0, 0) e (1, 2,−1) e plano α de equac¸a˜o 3x+ y − z = 1.
(d) Plano α pelos pontos (1, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 0) eplano β pelos pontos (0, 0, 1), (0, 0, 0) e paralelo ao vetor (1, 0, 0).
BA´SICO
1. Sejam α o plano de equac¸a˜o 2x− 3y + 4z = 3 e l a reta pelos pontos A := (1, 0, 0) e B := (0, 0, 1). Ache os pontos P
em l que distam 3 do plano α.
2. Calcule a distaˆncia entre os planos paralelos α1 de equac¸a˜o ax+ by + cz = d1 e α2 de equac¸a˜o ax+ by + cz = d2.
3. Determine a equac¸a˜o da esfera de centro (3, 6,−4) que e´ tangente ao plano 2x− 2y − z = 10.
4. Um plano e´ parelelo ao plano 2x − 2y + z = −4 e o ponto (2, 2, 2) e´ equidistante de ambos os planos. Determinar a
equac¸a˜o deste plano.
PARA CASA
1. Dado os pontos A = (0, 0, 0), B = (1,−1, 4), C = (1, 2, 3) e D = (−1, 2,−3), ache o ponto P equidistante de A, B, C
e D.
2. Sejam A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (1, 1, 1) e D = (2, 3, 1) pontos no espac¸o. Seja α o plano por A, B e C, l a reta
por A perpendicular a α e r a reta por A e D.
(a) Encontre as equac¸o˜es do plano α e das retas l e r.
(b) Encontre as coordenadas dos dois pontos de l, que distam 2
√
5 de B.
(c) Encontre os pontos na reta r que distam
√
6 de α.
3. Seja α o plano pelos pontos A := (0, 0, 0), B := (1, 1, 0) e C := (1, 3, 1).
(a) Encontre as equac¸o˜es do plano α e da reta l, que e´ a reta perpendicular ao plano α que passa pelo ponto A.
(b) Ache o ponto D em l que equidistam dos pont0s B e C.
(c) Ache as equac¸o˜es dos planos β que conte´m a reta BC e formem um aˆngulo θ com a reta l, onde sen(θ) = 13 .
4. Encontre o plano α pelos pontos (1, 0, 1) e (2, 1,−1) que equidista dos pontos (0, 0, 0) e (1, 2, 3).
5. Seja l a reta pelos pontos (1,−1, 0) e (2, 0, 2) e P := (1, 1, 1). Ache todos os planos α que contenham l e distam 4 de
P .
1