Lista Geometria Anaítica - Equação da Reta

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unesp Facu ld ad e d e En gen h ar ia - Cam p u s d e Ilh a Solt eira 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
"Jú lio d e Mesq u ita Filh o" 
P rofª L i lia n Y u li Isoda - D epto. de M a tem ática 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Lista de Exercícios 5 setembro/2016
OBS. Os exercícios estão propostos no Paulos Boulos 2ª e/ou 3ª Edição.
Considere sempre um sistema de coordenadas ortogonal.
Equações da reta. 
1) Dados os pontos A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6) .
 a) Escreva as equações vetorial, paramétrica para a reta determinada pelos pontos B e C, e
obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D = (3, 1, 4) pertence a essa reta?
b) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo.
2) Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0) , determine P sobre a reta que passa
por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA .
3) Escreva equações paramétricas para a reta r , que passa pelos pontos A = (2, 0, −3) e: 
a) é paralela à reta s :
1−x
5
=
3y
4
=
z+ 3
6
b) é paralela à reta que passa pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3)
c) é paralela à reta s ´ :{x=1−2λy = 4+ λz=−1−λ (λ∈ℝ)
d) passe para forma simétrica, quando possível, as equações obtidas nos itens (a), (b) e (c).
4) Verifique se r=s nos casos:
a) r :{ x=1−λy=2+ 2λz=1+ λ (λ∈ℝ) s :{x=1−1/2μy = 2 +μz=1+ 1/2μ (μ∈ℝ)
1
b) r :{ x=1 /3−λy=−1/3+ λz=2/3−λ (λ∈ℝ) s :{ x=1−μy =−1+μz=2−μ (μ∈ℝ)
c) r : X =(1,1,0) + λ (1,0,−1/2) (λ∈ℝ)
s : X =(0,1,1 /2) + μ (−2,0,1) (μ∈ℝ)
5) Ache as equações paramétricas da reta que passa por A = (3, 3, 3) e é paralela à reta BC,
sendo B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, −1) .
6) Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações:
X = (0,0,0) + λ (1,2,4) (λ∈ℝ) X = (1,0,−2) + λ (−1,−1,−1) (λ∈ℝ) .
Pergunta-se se as trajetórias são concorrente e se haverá colisão.
Equações do plano 
7) Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) π que passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor
v⃗=(2,1 ,0) .
b) π que passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, −1) e é paralelo ao segmento
CD , sendo C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0)
c) π que passa por A = (1, 0, 1) , B = (2, 1, −1) e C=(1,−1, 0) .
d) π que passa por A = (1, 0, 2) , B = (−1, 1, 3) e C=(3,−1, 1) .
8) Verifique e explique se π1=π2 , nos seguintes casos:
a) π1 :X=(1, 2, 1)+λ (1,−1, 2)+μ(−
1
2
,
2
3
, −1) π2 :X=(1, 2, 1)+ α(−1,1 , −2)+ β(−3, 4 , −6)
b) π1 :X=(1, 1, 1)+λ (2, 3, −1)+μ(−1, 1 , 1) π2 :X=(1, 6, 2)+ λ (−1,1 , 1)+ μ(2, 3, −1)
c) π1: X=(0, 0, 0)+ λ(1, 1, 0)+ μ(0, 1, 0)
π2 :X=(1, 1, 0)+ λ(1, 2, 1)+ β(0 , −1, 1)
9) Obtenha equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto A=(1,1,2) e é paralelo ao
plano π1: X=(1, 0, 0)+ λ(1, 2, −1)+ μ(2, 1, 0) .
2
10) Verifique se π1=π2 nos seguintes casos e explique por que.
a) π1 : x−3y+ 2z+ 1=0 , π2: 2x−6y+ 4z+ 1=0
b) π1 : x−
y
2
+ 2z−1=0 , π2: −2x+ y−4z+ 2=0
11) Obtenha equações gerais para os planos π que passa por:
a) A=(1,1,0) e B=(1,−1,−1) e é paralelo ao vetor v⃗=(2,1,0) .
b) A=(1,0,1) e B=(0,1,−1) e é paralelo ao segmento CD , sendo
C=(1,2,1) e D=(0,1,0) .
c) A=(1,0,1) , B=(2,1 ,−1) e C=(1,−1,0) .
d) A=(1,0,2) , B=(−1,1,3) e C=(3,−1,1) .
12) Obtenha uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s , sendo
r :
x−1
2
=
y
2
= z e s : x−1=y=z .
13) Obtenha uma equação geral do plano π : { x=1+ λ−μy=2λ+ μz=3−μ (λ ,μ∈ℝ) .
14) Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano:
a) 4x+ 2y−z+ 5=0 b) 5x−y−1=0 c) z−3=0
15) Mostre que o ponto P=(4,1,−1) não pertence à reta r : X=(2,4 ,1)+ λ(1,−1,2) e
obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.
Interseção de retas e planos
16) Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
a) r : X=(1,1 ,0)+ λ (1,2,3) s : X=(2,3,3)+ μ(3,2,1)
b) r : {x=2 −4 λy=4 + 5 λz=11 s : x2 = y−1−2 = z
c) r :
x−2
3
=
y+ 2
4
= z s :
x
4
=
y
2
=
z−3
2
3
17) Dados π1 : X=(1,0 ,0)+ λ(0,1,1)+ μ(1,2 ,1) e π2 : X=(0,0,0)+ λ (0,3,0)+ μ(−2,−1,−1) dois
planos, ache dois pontos interseção A e B dos planos π1 e π2 , e escreva uma equação
vetorial para a reta que passa por A e B .
18) Obtenha a interseção da reta r com o plano π :
a) r : X=(−1,−1,0)+ λ(1,−1,1) π : x+ y+ z+ 1=0
b) r : X=(−1,−1,1)+ λ (1,−1,0) π : x+ y+ z+ 1=0
c) r : X=(−1,−1,0)+ λ(1,−1,0) π : 2x+ 2y+ z+ 1=0
19) Determine a interseção dos planos π1 e π2 . Quando se tratar de uma reta, descreva-a
por equações paramétricas.
a) π1 : x+ 2y−z−1=0 π2 : 2x+ y−z=1
b) π1 : x−y=1−3z π2 : 6z−2y=2−2x
c) π1 : 3x−4y+ 2z=4 π2 : −15x+ 20y−10z=9
d) π1 : X=(1,−2,0)+ λ (1,0,−1)+ μ(0,0,−1) e π2 : X=(1,0 ,3)+ λ (1,2 ,0)+ μ(−1,1,−1)
Posições relativas de retas e planos
20) Estude a posição relativa das retas r e s :
a) r : X=(1,−1,1)+ λ(−2,1,−1) s : {y+ z=3x+ y−z=6
b) r : {x−y−z=2x+ y−z=0 s : {2x−3y+ z=5x+ y−2z=0
c) r :
x+ 1
2
=
y
3
=
z+ 1
2
s : X=(0,0,0)+ λ(1,2,0)
d) r : x+ 3 =
2y−4
4
=
z−1
3
s : X=(0,2,2)+ λ (1,1 ,−1)
21) Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de
interseção P.
4
a) r : X=(1,1 ,0)+ λ (0,1,1) π : x−y−z=2
b) r :
x−1
2
= y = z π : X=(3,0 ,1)+ λ (1,0,1)+ μ(2,2,0)
c) r : X=(0,0 ,0)+ λ (1,4,1) π : X=(1,−1,1)+ λ(0,1,2)+ μ(1,−1,0)
22) Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 :
a) π1 : X=(1,1 ,1)+ λ(0,1,1)+ μ(−1,2,1) π2 : X=(1,0,0)+ λ (1,−1,0)+ μ(−1,−1,−2)
b) π1 : 2x−y+ 2z−1=0 π2 : 4x−2y+ 4z=0
c) π1 : x−y+ 2z−2=0 π2 : X=(0,0,1)+ λ(1,0,3)+ μ(−1,1,1)
23) Sejam r : X=(n,2 ,0)+ λ(2,m,m) uma reta e π1 : x−3y+ z=1 um plano. Calcule m
e n para que r esteja contida em π .
Perpendicularidade e ortogonalidade
24) Verifique se as retas r e s são ortogonais, em caso afirmativo, verifique se são também
perpendiculares.
a) r : X=(1,2 ,3)+ λ (1,2,1) s : X=(2,4,4)+ λ(−1,1,−1)
b) r : X=(0,1 ,0)+ λ (3,1,4) s : X=(−1,1,0)+ λ(1,0,1)
c) r : 36x−9y=3y+ 4z=18 s : x+ y=z−y−2=0
25) Obtenha a equação vetorial da reta s que contém P=(1,0,1) e é perpendicular a r
que passa pelos pontos A=(0,0 ,−1) e B=(1,0 ,0) .
26) Obtenha o vetor normal ao plano π em cada um dos casos:
a) π contém os pontos A=(1,1 ,1), B=(1,0,1) e C=(1,2 ,3)
b) π : x−2y+ 4z+ 1=0
c) π : X=(1,2 ,0)+ λ (1,−1, 1)+ μ(0,1,−2)
5
27) Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto P=(1,0,1) e é perpendicular à reta
r : X=(0,0,1)+ λ (1,2 ,−1) . Dica: Pense no vetor normal ao plano.
28) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A=(1,2,3) e é perpendicular ao plano
π : 2x+y−z=2 . Dica: Pense no vetor normal ao plano.
29) Verifique se r é perpendicular a π :
a) r : X=(3,1 ,4)+ λ (1,−1,1) π : X=(1,1 ,1)+ λ (0,1 ,0)+ μ(1,1 ,1)
b) r : X=(3,1 ,4)+ λ (−1, 0, 1) π : X=(1,1 ,1)+ λ (0,2 ,0)+ μ(1,1 ,1)
c) r : {x=1+ 3λy=1−3λz=λ π : 6x−6y+ 2z−1=0
30) Ache as equações paramétricas da reta que passa por P=(1,3 ,7) e é perpendicular ao plano
π : 2x−y+ z=6 .
31) Ache o simétrico de P=(1,4 ,2) em relação ao plano π : x−y+ z−2=0 .
32) Dados os planos π1 : x−y+ z+ 1=0 e π2 : x+ y−z−1=0 , determine o plano que
contém π1∩ π2 e é ortogonal ao vetor (1,1 ,−1) .
33) Verifique se os planos dados são perpendiculares:
a) X=(1,−3, 4)+ λ (1,0,3)+ μ(0,1,3) X=(0,0,0)+ λ (1,1,6)+ μ(1,−1,0)
b) X=(4,3,1)+ λ(−1, 0,−1)+ μ(3,1,0) y−3z=10
Ângulos
34) Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
a) r : { x=3 + λy=−2 − λz=√2λ s : {x=−2 + λy=3 + λz=−5+ √2λ
6
c) r : x =
1−y
2
=
z
3
s: {3x+ y−5z=02x+ 3y−8z=1
35) Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano: 
a) r : {x=0y=z π : z=0
b) r : { x=1 + λy=λz=−2λ π : x+ y−z−1=0
36) Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) π1: 2x+ y−z−1=0 π2 : x−y+ 3z−10=0
b) π1: X=(0,0,0)+ λ (1,0,0)+ μ(1,1,1)
π2 : X=(1,0 ,0)+ λ (−1,2 ,0)+ μ(0,1,0)
37) Ache a reta que passa por P=(1,1,1) e intercepta a reta r :
x
2
= y = z e forma com ela um ângulo
θcom cosθ=
1
√3
.
38) Ache a reta que passa pelo ponto (1,−2,3) e que forma ângulos de 45° e 60° respectivamente com o
eixo dos x e dos y.
Distância
39) Calcule a distância entre os pontos P=(−1,−3,4) e Q=(1,2,−8) .
40) Calcule a distância do ponto P à reta r :
a) P=(0,−1,0) r : {x=2z −1y=z + 1
b) P=(−2,0,1) r : {x=3λ+ 1y=2λ−2z=λ
41) Calcule a distância entre as retas paralelas: 
a) 
x−1
−2
= 2y = z X=(0,0,2)+ λ (−2, 1/2, 1)
7
b) x =
y−3
2
= z−2 x−3 =
y+ 1
2
= z−2
42) Calcule a distância do ponto P ao plano π :
a) P=(0, 0,−6) π : x−2y−2z−6=0
b) P=(9, 2,−2) π : X=(0,−5,0)+ λ (0,
5
12
, 1)+ μ(1,0,0)
43) Calcule a distância entre os planos paralelos:
a) 2x−y+ 2z+ 9=0 4x−2y+ 4z−21=0
b) {x=2−λ−μy=μz=λ x+ y+ z=5/2
44) Calcule a distância entre retas:
a) {x=z−1y=3z−2 {3x−2y+ 3=0y−z−2=0
b) 
x+ 4
3
=
y
4
=
z+ 5
−2 { x=21+ 6 λy=−5−4λz=2−λ
45) Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela a s : {2x−z=3y=2 , concorrente com
t : X=(−1,1,1)+ λ (0,−1, 2) e que dista 1 (uma unidade) do ponto P=(1,2,1) .
46) Dê uma equação geral do plano π que contém a reta r : X=(1,0,1)+ λ (1,1,−1) e dista √2
do ponto P=(1,1,−1) .
Diversos
47) Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados. Essas equações podem ser
colocadas na forma simétrica?
48) Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados: Oxy , Oxz e Oyz.
49) Decomponha o vetor v⃗=(1,2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X=(1,1,0)+λ (1,0,1)+μ (0,1,−1) e outra paralela à reta X=(0,0,0)+α (2,1,0) .
50) Seja π1 o plano que passa pelos pontos A=(1,0,0) , B=(0,1,0) e C=(0,0,1) . Seja
8
π2 o plano que passa pelo ponto Q=(−1,−1,0) e é paralelo aos vetores v⃗=(0,1,−1)
e w⃗=(1,0,1) . Seja π3 o plano de equação vetorial
X=(1,1,1)+λ (−2,1,0)+μ (1,0,1) .
a) Escreva equações gerais de π1 , π2 e π3 .
b) Mostre que a interseção π1∩π2∩π3 se reduz a um único ponto. Determine-o.
51) Verifique se a reta r está contida no plano π nos seguintes casos:
a) r : X=(0,1,0)+λ (2,−1,0) e π : x+2 y+3 z=1
b) π : X=(1,4,1)+λ (1,−1,1)+μ(−1,2,−1) e a reta r passa por A=(2,3,2) e 
B=(0,0, 1).
52) Decomponha o vetor v⃗=(−3, 4,−5) paralela e ortogonalmente ao plano
π :{ x=1 − λy=−2z=λ − μ .
53) Projete o ponto P=(1, 4,0) sobre o plano π : x+y−2z+1=0, paralelamente à reta
r : X=(0,0,0)+λ(1, 4,1).
 
54) Determine a projeção ortogonal
(a) do ponto P=(4,0, 1) sobre o plano π :3 x−4 y+2 z=0;
(b) da reta r : x+1=y+2=3 z−3 sobre o plano π : x−y+2 z=0.
9