Questões de Cálculo 1

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UFSCar – Ca´lculo 1, turma A. Segundo semestre de 2012. Questo˜es da 1a Prova.
1. (a) Sendo y =
x3
3
√
(x2 + 1)3
, mostre que
dy
dx
=
x2√
(x2 + 1)5
(b) Verifique que o ponto P = (1,−1) pertence a` curva
(x2 + y2)3 − (x3 + y3)2 = 8
e ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto P .
2. Considere a func¸a˜o f(x) = 3
√
x.
(a) Usando o limite que define a derivada, lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
, mostre que se x 6= 0, enta˜o
f ′(x) =
1
3
3
√
x2
. Em que ponto na˜o se define f ′(x) por esta fo´rmula? Em quais pontos a
func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua?
(b) Calcule o limite lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
para x0 = 0.
(c) Existe uma reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, 0)? Se sim, qual e´ a sua equac¸a˜o?
3. Calcule treˆs dos seguintes limites
(a) lim
x→2
3−√x+ 7
1−√x− 1 (b) limx→+∞
(2x3 − 4x− 3)3(5− 3x− 3x2)3
(54x15 + x14 − x2 − 23)
(c) lim
x→+∞(
3
√
x3 − 8x2 − x) (d) lim
x→−1−
|x+ 1|
3− 4x− 7x2
4. Considere a func¸a˜o f(x) =
4x
x2 + 1
(a) Determine o dom´ınio de f e estude o comportamento de f(x) quando x → ±∞. Em quais
pontos do seu dom´ınio a func¸a˜o e´ cont´ınua?
(b) Use o fato de que f ′(x) =
−4(x2 − 1)
(x2 + 1)2
(NA˜O CALCULE f ′(x)) e determine os intervalos de
crescimento e decrescimento de f , os pontos de ma´ximo locais e os pontos de m´ınimo locais
de f , bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Agora mostre que f ′′(x) =
8x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
, e determine as direc¸o˜es de concavidades do gra´fico,
bem como seus pontos de inflexa˜o.
(d) Usando os dados coletados nos itens anteriores, fac¸a um esboc¸o bonito do gra´fico de f . Dado
nume´rico importante:
√
3 ≈ 1,7
5. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2
2x− 1 ,
(a) Usando limites, verifique que a curva y = f(x) tem uma reta ass´ıntota vertical. Escreva a
equac¸a˜o dessa reta ass´ıntota.
(d) Verifique que a curva y = f(x) tem uma reta ass´ıntota inclinada. Determine a equac¸a˜o dessa
reta ass´ıntota.
2
(b) Use o fato de que f ′(x) =
2x(x− 1)
(2x− 1)2 (NA˜O CALCULE f
′(x)) para determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento de f , os pontos de ma´ximo locais e os pontos de m´ınimo locais
de f . Calcule os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Use o fato de que f ′′(x) =
2
(2x− 1)3 (NA˜O CALCULE f
′′(x)) para determinar as direc¸o˜es de
concavidades do gra´fico. Este gra´fico possui pontos de inflexa˜o?
(e) A partir dos dados coletados acima, fac¸a um esboc¸o bonito do gra´fico de f .
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UFSCar – Ca´lculo 1, turma A. Segundo semestre de 2012. Questo˜es da 2a Prova.
1. Considere a func¸a˜o f(x) =
√
a2x2 + 2abx, sendo a e b constantes, com a > 0. Determine a equac¸a˜o
da reta ass´ıntota do gra´fico de f quando x→ +∞.
2. Uma grande caixa deve ser constru´ıda do seguinte modo. Primeiramente sa˜o cortados quadrados de
mesmo tamanho dos quatro cantos de uma folha retangular de zinco, sendo a folha de 5 m por 8 m.
Em seguida sa˜o dobradas as quatro abas laterais remanescentes para cima e sa˜o soldadas as arestas
verticais que ficaram justapostas apo´s as dobras das abas. Encontre o maior volume poss´ıvel para
esta caixa, e quais as dimenso˜es que proporcionam o volume ma´ximo.
3. (a) Calcule lim
x→0
(1− 3x) 12x
(b) Mostre que, sendo a > 0, lim
x→0
ax − 1
x
= ln a.
Sugesta˜o: Trate o caso a = 1 em separado. Para a 6= 1, passe da varia´vel x a` varia´vel z,
fazendo a mudanc¸a de varia´vel ax − 1 = z, e enta˜o ax = 1 + z. Para isolar x, aplique ln em
ambos os membros desta u´ltima igualdade.
4. Calcule os limites
(a) lim
x→0
x · cotg 3x
(b) lim
x→0
x · cos 1
3x
5. (a) Mostre que se y = ln |x+√x2 + λ|, com λ 6= 0, enta˜o dy
dx
=
1√
x2 + λ
.
(b) Calcule
dy
dx
, sendo y = arcsen(2
√
x)
(c) Calcule
dy
dx
, sendo y = sen2[cos(2
√
x)]
6. Qual e´ o valor m´ınimo de f(x) = xx, sendo x real e positivo?
Sugesta˜o: Determine os pontos cr´ıticos (zeros da derivada) de f(x) e mostre que o gra´fico de f tem
concavidade voltada para cima. Tire suas concluso˜es a partir desses fatos.
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UFSCar – Ca´lculo 1, turma A. Segundo semestre de 2012. Questo˜es da 3a Prova.
1.
x
y = f(x)
ba x
y
f(x)
Rotacionando-se a a´rea sob a curva y = f(x), f(x) ≥
0, a ≤ x ≤ b, em torno do eixo x, temos um so´lido de
revoluc¸a˜o, como indica a figura. A secc¸a˜o transversal
por um plano perpendicular ao eixo x, no ponto x, e´
um disco de raio f(x). Assim, o volume desse so´lido e´
dado pela integral
∫ b
a pi[f(x)]
2dx.
Calcule o volume de uma esfera de raio R, rotacionando a a´rea sob o semic´ırculo x2 + y2 = R2,
y ≥ 0, e acima do eixo x, em torno do eixo x. Primeiro, fac¸a um esboc¸o do gra´fico do semic´ırculo
para definir o intervalo de integrac¸a˜o.
2. Calcule os dois limites empregando regras de L’Hopital.
(a) lim
x→+∞x
3e−x
2
(b) lim
x→0
(1 + sen 3x)1/x. Sugesta˜o: Comece fazendo (1 + sen 3x)1/x = eln(1+sen 3x)
1/x
.
3. Calcule
∫
sec3 x dx.
Sugesta˜o:
∫
sec3 x dx =
∫
secx︸︷︷︸
u
sec2 x dx︸ ︷︷ ︸
dv
. Comece integrando por partes e posteriormente use a
identidade tg2 x = sec2 x− 1.
4. Calcule ∫
dx√
(4− x2)3
Sugesta˜o: Fac¸a uma substituic¸a˜o trigonome´trica.
5. Calcule
∫
ex(cosx+ senx) dx. Sugesta˜o: LIATE.
6. Calcule
∫ pi/2
0
dx
2 + cosx
.
Sugesta˜o: Use a identidade cosx =
1− tg2 x2
1 + tg2 x2
, fac¸a u = tg
x
2
, e enta˜o cosx =
1− u2
1 + u2
. Agora,
tendo em vista que
x
2
= arctg u, substitua o dx da integral.