Topico 3 Técnicas de Integração

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1 
 
Tópico 3. Técnicas de Integração 
 
 
3.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Cada regra de diferenciação tem outra correspondente de integração. A Regra do Produto para 
diferenciação tem uma correspondente na integração, chamada integração por partes. 
 
Sendo u = f(x) e v = g(x), da regra do produto temos: 
  '.'.'. uvvuvu 
 
  '.'.'. vuuvvu 
 
  '.'.'. uvvuvu 
 
Integrando os dois lados da igualdade, em relação a x, obtemos: 
  dxuvvudxvu ´..'.
 
  dxdx
du
vvudx
dx
dv
u ..
 
  duvvudvu
 
Exemplo 1. Use integração por partes para calcular 
  dxex
x
. 
1º passo: escolher u e dv e calcular du (a partir de u) e v (a partir de dv). 
 
 
 
 
2º passo: aplicar a fórmula da integração por partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Professor: Pedro Sica Carneiro 
 
 
 
2 
Importante: vamos ver o que aconteceria no exemplo anterior se tivéssemos escolhido u = ex e 
dv = x dx. 
 
 
 
 
 
 
O objetivo principal da integração por partes é escolher u e dv de forma que se obtenha 
uma integral mais fácil de calcular do que a original. Em geral não há regras imediatas e precisas 
para isso; é uma questão de experiência que provém de muita prática. Porém se o integrando 
for um produto envolvendo duas funções de categorias distintas da lista 
Logaritmica, trigonométrica Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial 
escolhemos para u a função cuja categoria aparece antes na lista e dv como o resto do 
integrando. 
 
Exemplo 2. Calcule as seguintes integrais. 
a) 
   dxxsenx 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 dxxln
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)
  dxex
x2
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
ATIVIDADES: 
1) Calcule as seguintes integrais: 
a) 
  dxxsenx
 R. 
Cxsenxx  cos
 
 
b) 
  dxxx
2sec
 R. 
Cxxtgx  cosln.
 
 
c) 
  dxxx ln
2
 R. 
C
x
x
x

9
ln
3
33 
 
d) 
 dxex
x)25(
 R. 
Cxex  )75(
 
 
e) 
 dxe
x
x4
 R. 
C
eex xx




164
44 
 
f) 
   dxxx 3cos
 R. 
 
 
C
x
xsen
x

9
3cos
3
3
 
 
g) 
   dxxx 5ln
 R. 
  C
x
x
x

4
5ln
2
22 
 
h) 
  dxxtgarc
 R. 
  Cxxtgarcx  21ln
2
1
 
 
i) 

e
dxxx
1
2 ln
 R. 
9
1
9
2 3

e
 
 
j) 
  

0
2 dxxsenx
 R. 
2


 
 
k) 
 
 dxxe x 2
 R. 
Cexxee xxx   222
 
 
l) 
  dxxsenx
2
 R. 
Cxxsenxxx  cos22cos2
 
 
 
 
4 
2) Resolva o problema de valor inicial 





 
2)0(
)1(
y
ex
dx
dy x. 
R. y = x.e-x + 2 
 
3) Calcule a área da região delimitada pela curva 
xexy 
 e pelo eixo x de x = 0 até x = 4. 
 
R. A = 
.91,051 4  e
 
 
4) Mostre que 
  dxxe
x cos
 = 
Cxsenexe xx 
2
1
cos
2
1
 usando integração por partes 
fazendo reaparecer a integral pedida. 
 
 
 
3.2 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
MOTIVAÇÃO: podemos combinar duas ou mais frações em uma única, usando um denominador 
comum. Por exemplo, 
2
𝑥 − 4
+
3
𝑥 − 1
= 
 
 
 
 
 
 
 
Porém, para os propósitos de integração, é preferível integrar 
2
𝑥−4
+
3
𝑥−1
 do que integrar a fração 
5𝑥−10
𝑥2−5𝑥+4
 . Nessa secção, vamos estudar como escrever uma função racional como uma soma de 
frações mais básicas, chamadas de frações parciais. Assim vamos integrar a função racional 
integrando a soma das frações parciais. 
 
5 
Se 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
 onde P e Q são polinômios, é possível expressar f como uma soma de frações 
mais simples desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. 
Se o grau de P é maior que o grau de Q, dividimos P por Q obtendo um quociente S e um resto 
R com grau menor do que o grau de Q. 
 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf 
 
 
Caso 1 – O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos. Nesse caso, cada 
fator gera uma fração parcial do tipo 
bax
A

. 
Exemplo 1. Calcule as integrais: 
a)
 

dx
xx
x
43
105
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
dx
xx )2)(1(
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Caso 2 – O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares, mas alguns deles são repetidos. 
Nesse caso, um fator linear que se repete n vezes gera uma soma de frações do tipo 
     n
n
bax
A
bax
A
bax
A





...
2
2
1
1
. 
Exemplo 2. Calcule 
 
dx
xx
x
2)1)(1(
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3 – O denominador Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis e sem repetição. Nesse 
caso, cada fator quadrático irredutível gera uma fração parcial do tipo 
cbxax
BAx


2
. 
Exemplo 3. Calcule 
 

dx
xx
xx
4
42
3
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Exemplo 4. Calcule a seguinte integral: 
 

dx
xx
xxx
32
342
2
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES: 
1) Para cada uma das frações abaixo, escreva a forma da decomposição em frações parciais. 
Não determine os valores numéricos dos coeficientes. 
a) 

 )3)(3(
5
xxx
 
 
b) 



2)2)(1(
72
xx
x
 
 
c) 



)1(
32
2 xx
x
 
 
d) 
 



3
3
2
x
x
 
 
e) 

 )1)(2( 2xx
x
 
 
f) 

 )1)(2( 2xx
x
 
 
 
 
 
 
8 
2) Calcule as integrais 
a) 
 
dx
xx 5
1
2
 b) 
 

dx
xx
x
)3)(12(
23
 
 
c) 
  x4x
dx
3
 

 d) 
 



 dx
x
x
2
2
76
 
 
e)
 



 dxxx
x
23 2
42
 f)
 



 dxxx
x
)1(
2
3
 
 
g)
 



 dxxxx
x
23
2
2
32
 h)
   



 dxxx
xx
113
2
2
2 
 
i) 
 



 dxxx
xx
4
42
2
2 j) 


dx
x
x
92
3 
 
Respostas das atividades: 
1) 
a) 
33 



x
B
x
B
x
A
 b) 
2)2(21 



 x
C
x
B
x
A
 
c) 
12 

x
C
x
B
x
A
 d) 
   32 333 



 x
C
x
B
x
A
 
e) 
12 2 


 x
CBx
x
A
 f) 
112 



 x
C
x
B
x
A
 
 
2) 
a) 
C
xx


5
ln
5
5ln b) 
C
xx




7
|3|ln11
14
|12|ln
 
c) 
C
xxx





8
2ln
8
2ln
4
ln d) 
C
x
x 


2
5
2ln6
 
e) 
Cx
x
x  2ln2
2
ln2
 f) 
Cxx
xx
 1ln3ln3
31
2
 
g) 
C
x
xx 


1
5
1lnln3
 h) 
Cxxx  arctan
5
3
1ln
5
2
13ln
15
7 2
 
i) 
C
x
tgarcxx 






22
1
4ln
2
1
ln 2
 j) 
C
xxx





2
3ln9
2
3ln9
2
2 
 
 
9 
3.3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Revisão de trigonometria no triângulo retângulo:Cateto oposto a um ângulo agudo: cateto que fica em frente ao ângulo agudo. 
Cateto adjacente a um ângulo agudo: cateto que forma o ângulo junto com a hipotenusa. 
 
Razões trigonométricas fundamentais: 
 
Na tabela a seguir listamos as substituições trigonométricas que são eficazes para as expressões 
radicais dadas em razão de certas identidades trigonométricas. 
 
Exemplo: Calcule as integrais. 
a) 
 
 22 4 xx
dx
 
 
b) 
 

dx
xx 22 36
1
 
 
 
c) 
 

dx
x
x 252 
 
EXPRESSÃO SUBSTITUIÇÃO IDENTIDADE 
 
22 xa 
 
 
 
x = a sen θ, 
22
 
 
 
 22 cos1  sen 
 
22 xa 
 
 
 
x = a tg θ, 
22
 
 
 
 22 sec1  tg
 
 
22 ax 
 
 
 
x = a sec θ, 
2
,0 
 
 
 22 1sec tg
 
 
10 
ATIVIDADES: 
Nas questões de 1 até 4, calcule as integrais usando uma substituição trigonométrica 
1) 
 

dx
x
x
2
29 2)  

dx
xx 22 9
1
 
 
3) 


 dx
x 16
1
 
2
 4) 


 dx
x
x
2
3
9
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
1) 
C
x
senarc
x
x









3
9 2 2) 
C
x
x



9
9 2 
3) 
C
xx


4
16
ln
2 4)  
C
x
x 


3
9
99
3
2
2
 
 
3.4 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
Resolva as integrais de 1 até 10 consultado a tabela de integrais e utilizando as técnicas de 
integração estudas: 
 
1) 
 dxsenxarc
 
Rta. 
Cxxsenarcx  21
 
2) 
 
122 xx
dx
 Rta.
C
x
x

12 
 
3) 
   dxxx 2cos6
43
 Rta. 
  Cxsen  2
2
3 4
 
4) 
  
 dxex xx 42
2
1
 
Rta.
Ce xx  42
2
4
1
 
 
5) 
 
 dxex x 13
 Rta.
Cx
e x








3
1
3
13 
 
6) 
  



 dx
xx
x
22 11
42
 Rta. 
C
x
xxtgarcx 


1
1
1ln21ln 2
 
 
7) 


dx
x
x
2
21 Rta. 
Cxsenarc
x
x



21 
8) 
     dxxxsen 3cos3
 
Rta. 
  Cxsen 3
6
1 2