APÓSTILA Geodesia Geometrica

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Prof. Pedro Donizete Parzzanini 
NOTAS DE AULA 
Introdução 
Geodésia é a ciência que estuda o 
conjunto de métodos e procedimentos 
adotados para definir a forma e a 
dimensão da terra, o seu campo de 
gravidade e suas variações temporais, 
tendo como principal objetivo a 
determinação de coordenadas de pontos 
situados sobre a superfície terrestre. 
Divisões da Geodésia 
Geodésia Geométrica estuda o tamanho e forma da terra, 
a determinação das coordenadas dos pontos, comprimento e 
azimutes de linhas da superfície terrestre. 
Geodésia Física estuda o campo de gravidade da Terra ou 
direção e magnitude das forças que mantêm os corpos na 
superfície e atmosfera da terra. 
Geodésia Espacial estuda a determinação de pontos na 
superfície terrestre através da observação de satélites artificiais 
Até o século IV antes de cristo os sábios acreditavam que 
a terra era plana e que era circundada pelas águas dos 
mares. 
Pitágoras (580-500 a.c.) introduziu pela primeira vez a 
ideia da Terra esférica 
Aristóteles (384-322 a.c.) Introduz pela 1ª vez a hipótese 
da atração da gravidade e formula os primeiros 
argumentos plausíveis para a esfericidade da terra, que 
são: 
Contorno circular da sombra da Terra sobre a Lua 
Variação do aspecto do céu estrelado com a latitude. 
Para lugares diferentes os eclipses ocorrem a horas diferentes 
Histórico 
Histórico 
Erastótenes(276 – 175 AC), considerado o pai da 
Geodésia, por volta de 220 AC idealizou uma maneira 
para a determinação do raio da terra. 
 
 
 
 
 
 
 
Observou que no dia 21 de junho em Siena os raios do sol iluminavam o fundo de um poço e que neste 
mesmo dia os raios do sol em Alexandria eram inclinados em 1/50 do círculo completo, que equivale a 
7º12` 
Considerou que a distância entre Siena e Alexandria era de 5000 Stadia. Não se sabe ao certo se 
Erastótenes mediu a distância entre Siena e Alexandria ou se ele utilizou os dados obtidos por 
agrimensores da época. 
Considerando que o valor de 01 stadium era de 157,5m chega-se ao valor de 6.266.726m. 
Histórico 
Histórico 
Cláudio Ptolomeu (100-178 DC) viveu no Egito e foi o 
autor do sistema geocêntrico que atravessou intacto 14 
séculos até ser desmentido por Copérnico. 
Em 1619, na França, Picard, utilizando pela primeira vez 
uma luneta com retículos, estabeleceu uma rede de 
triangulação e mediu o arco de meridiano, de Paris a 
Amiens, em função do qual calculou o raio da Terra. 
Obteve o valor de 6.372,0 km. Newton utilizou o 
resultado obtido por Picard, na sua teoria da gravitação 
universal. 
O polonês Copérnico destruiu o mito da imobilidade da 
Terra, que remontava a Aristóteles, conferindo-lhe além 
do movimento de rotação o movimento de translação em 
torno do Sol. 
Triangulações Geodésicas no Brasil 
Formas de Representação da Terra 
Geóide: Superfície equipotencial que coincide com 
nível médio das águas tranquilas dos mares prolongado 
pelos continentes. É a superfície que melhor representa 
a forma da terra mas, por se tratar de uma superfície 
complexa e não desenvolvível matematicamente não é 
utilizado como referência para o cálculo de posições 
planimétricas de pontos situados sobre a terra. É 
utilizado como referência para o cálculo das altitudes 
ortométricas. 
 
Formas de Representação da Terra 
Elipsóide de Revolução: Sólido geométrico 
gerado pela rotação da elipse em torno do seu semi-eixo 
menor. É a superfície matemática adotada pelos 
geodesistas para todos os cálculos geodésicos. 
Formas de Representação da Terra 
Esfera: Em alguns cálculos geodésicos o elipsóide 
pode ser substituído por uma esfera, sem perda 
apreciável de precisão. Neste caso o raio da esfera a 
ser utilizada deve ser determinado de forma que a 
precisão do trabalho não seja comprometida pelo uso da 
esfera em substituição ao elipsóide. A esfera assim 
determinada é chamada de esfera local. 
Circulo Máximo: É todo círculo da superfície 
terrestre que tem seu centro coincidente com o 
centro do globo terrestre. 
Milha Náutica: Corresponde ao comprimento 
sobre a superfície da terra do arco de meridiano 
que subtende um ângulo de 1 minuto no centro 
da terra. 1MN=1’=1852m 
Formas de Representação da Terra 
Plano: É a forma adotada na topografia. Como 
sabemos a topografia se preocupa em representar uma 
porção limitada da superfície terrestre, pois na 
topografia a curvatura resultante da esfericidade 
terrestre é desprezada. Desta forma na topografia 
utilizamos um plano horizontal tangente ao esferoide 
terrestre no ponto central da área a ser levantada. 
Formas de Representação da Terra 
Sistema de Coordenadas 
Elipsoidais – Cartesianas Tridimensionais 
Eixo X: Pertence ao plano do equador positivo apontando para a longitude zero (Grw). 
Eixo Y: Pertence ao plano do equador positivo apontando para longitude 90° Este Grw. 
Eixo Z: Coincidente com o eixo de rotação da Terra positivo para Norte. 
 
 Sistema geocêntrico cartesiano de três 
eixos ortogonais (X,Y,Z) utilizado para 
calcular posições em geodésia pelo sistema 
GPS 
 
Sistema de Coordenadas 
Elipsoidais – Geodésicas Curvilíneas 
Latitude Geodésica é o ângulo formado entre a normal que passa pelo ponto P e a sua projeção 
sobre o plano do equador. 
Longitude Geodésica é o ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich e pelo 
meridiano geodésico do ponto P 
Altitude Geodésica é a distância contada sobre a normal desde a superfície terrestre até o 
elipsóide 
Altitudes 
 
 
Geóide 
Elipsóide 
Superfície Terrestre 
Ondulação geoidal - N 
Altitude Elipsoidal 
Altitude 
Ortométrica 
H = h – N 
H = Altitude ortométrica 
h = Altitude elipsoidal 
N = Ondulação geoidal 
 
h é obtido diretamente a partir da utilização 
de receptores de sinais do sistema GPS. 
N é obtido a partir de um mapa geoidal, 
sendo que para o Brasil o mapa geoidal 
atual é o MAPGEO2010 Convenção: 
N + = Geóide acima do elipsóide 
N - = Geóide abaixo do elipsóide 
Sistema de Referência Astronômico 
As coordenadas determinadas através da posição das estrelas são 
chamadas de coordenadas astronômicas 
Não são mais usadas porque são dependentes da vertical do local 
e portanto sujeitas a variações devido a anomalias das massas. 
As coordenadas astronômicas são determinadas em relação ao 
geóide portanto a linha projetante é a vertical 
Latitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo formado pela vertical que 
passa pelo ponto com sua projeção equatorial 
Longitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo diedro formado pelo 
meridiano astronômico de Greenwich e pelo meridiano astronômico do ponto 
Altitude Ortométrica é a distância contada sobre a vertical desde a superfície 
terrestre até o geóide 
Coordenadas Geodésicas e Astronômicas 
Desvio da vertical (i) é o ângulo formado entre a normal 
e a vertical. 
O cálculo do desvio da vertical não é feito diretamente, 
mas sim através de seus componentes ξ e η e 
chamados respectivamente de componente meridiana e 
componente 1º vertical (GEMAEL, 1999, p.19). 
Componentes do Desvio da Vertical 
O Elipsóide de Revolução 
Parâmetros Definidores de um Elipsóide: Um elipsóide fica 
perfeitamente definido por meio de dois parâmetros, o semi-eixo 
maior a e o semi-eixo menor b. Em geodésia o elipsóide é 
tradicionalmente definido pelo semi-eixo maior a e o achatamento f. 
O achatamento f é definido por: f = (a-b)/a 
 Por exemplo os parâmetros do SAD69 são: 
 a = 6378160m f = 1/298,25 
Excentricidade: A excentricidade é a relação entre a semi-distânciafocal c e o semi-eixo maior da elipse a, traduz a divergência da 
elipse em relação a circunferência. O valor da excentricidade varia 
entre 0 e 1. O elipsóide estudado em geodésia tem excentricidade 
fraca com valor próximo de zero 
Nos cálculos geodésicos quase sempre utilizamos o quadrado da 
excentricidade que é dada pela seguinte fórmula: e2= (a2-b2)/a2 
A segunda excentricidade e’ ao quadrado também muito comum em 
cálculos geodésicos é dada por: e’2= (a2-b2)/b2 
 
 
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) 
O IBGE responsável pela definição, implantação e manutenção do 
SGB resolveu através da resolução R.PR 1/2005 adotar como 
sistema geodésico de referência para o SGB o Sistema de 
Referência Geocêntrico para as Américas SIRGAS2000: 
Caracterização do Sirgas2000: 
Elipsóide: GRS 1980 
Semi-eixo maior a = 6378137m 
Achatamento: f = 1/298,257222101 
Origem: Datum geocêntrico, ou seja, centro do elipsóide coincidente 
com o centro de massa da terra 
O IBGE estipulou um prazo de 10 anos para a transição do 
SAD1969 para o SIRGAS2000, durante este período os dois 
sistemas poderão ser utilizados 
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) 
Caracterização do SAD 1969 
 Elipsóide:Elipsóide Internacional de 1967 
 a = 6.378.160,00m f = 1/298,25. 
 Orientação: Datum topocêntrico, ou seja, o ponto geodésico de 
origem está sobre a superfície terrestre e é escolhido de forma a se 
a se ter a melhor coincidência entre o elipsóide e o geóide para a 
área a ser representada. 
 Ponto Datum: Vértice de triangulação CHUÁ 
 Φ = 19°45’41,6527”S 
 λ = 48°06’04,0639”W 
 Azimute geodésico para VT-Uberaba = 271°30’04,05”SWNE 
 Ondulação geoidal = 0,00m 
O elipsóide utilizado pelo sistema GPS é o WGS84 e seus 
parâmetros são os seguintes: 
 a = 6378137m f = 1/298,257223563 
 
 
 
Datum Geocêntrico x Topocêntrico 
Enquanto no datum topocêntrico 
procura-se fazer coincidir o 
geóide com o elipsóide nas 
vizinhanças do ponto de fixação 
no datum geocêntrico busca-se 
minimizar as diferenças entre 
ambos, em todo o globo. 
Grande Normal e Pequena Normal 
Os comprimentos da grande e pequena normal variam com a latitude e podemos observar 
que para a latitude de zero graus a grande normal é igual ao semi-eixo maior do elipsóide. 
Para o cálculo do comprimento da grande e pequena normal utilizamos as seguintes 
formulas. 
A linha projetante perpendicular ao 
elipsóide chama-se normal que na 
figura é representada pelo segmento 
P’P’’’. A normal é dividida ou 
caracterizada por duas partes que 
são a grande e pequena normal: 
P’P’’’ = N = Grande Normal 
P’P’’ = N’ = Pequena Normal 
 
Latitude Geocêntrica 
Latitude geocêntrica () de um ponto P é o ângulo que o raio 
vetor(distância que vai do centro do elipsóide até o ponto P) forma 
com sua projeção sobre o plano do equador. 
O comprimento do raio vetor pode ser calculado da seguinte maneira: 
Transformação entre Coordenadas 
Geodésicas e Cartesianas 
Geodésicas para Cartesianas 
 
 
 
 
 = Latitude 
 = Longitude 
N = Grande Normal 
h = Altitude Elipsoidal 
e = Excentricidade 
Transformação Coordenadas Geodésicas 
e Cartesianas 
Cartesianas para Geodésicas 
 
 
 
 
 
 
 
 = Latitude 
 = Longitude 
a = Semi-eixo maior 
b = Semi-eixo menor 
 
 
e = Excentricidade 
e’= Segunda excentricidade 
N = Grande normal 
θ = Ângulo teta, não confundir com a Latitude(). 
Seções Normais do Elipsóide 
Por um ponto A sobre a superfície do elipsóide 
de revolução é possível conduzir infinitos planos 
que contém a normal à superfície. Qualquer 
plano que contém a normal e portanto seja 
perpendicular ao plano tangente ao elipsóide 
nesse ponto é chamado de plano normal. A 
curva resultante da interseção de um plano 
normal com a superfície episódica chama-se 
seção normal. Chama-se raio de curvatura 
principal em um ponto A de uma superfície, à 
seção produzida por um plano normal à mesma, 
tal que o raio de curvatura correspondente seja o 
máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. 
Em cada ponto do elipsóide existem duas 
seções normais principais que são mutuamente 
perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto 
são, uma máxima e uma mínima. 
As seções principais do elipsóide são, a da 
elipse meridiana, chamada de seção meridiana, 
com curvatura máxima e a seção primeiro 
vertical que é produzida por um plano que 
contém a normal no ponto A e é perpendicular a 
seção meridiana, cuja curvatura é mínima. No 
polo, onde Φ = 90° o raio de curvatura da seção 
meridiana e primeiro vertical são iguais, em 
qualquer outra região o raio da seção primeiro 
vertical é maior do que o raio da seção 
meridiana. Os raios da seção meridiana e seção 
primeiro vertical são representadas pelas letras 
M e N respectivamente. 
 
Seções Normais do Elipsóide 
Raio da Seção Meridiana: 
 
 
Raio da Seção Primeiro Vertical: 
 
 
Raio Médio de Curvatura: 
Raio do Paralelo: 
Raio vetor: é a distância entre um ponto situado sobre a superfície do 
elipsóide e o centro do elipsóide, pode ser calculado a partir das 
coordenadas cartesianas tridimensionais de P(X,Y,Z) pela seguinte fórmula: 
RV = ( X
2 + Y2 + Z2 )1/2 
 
Seções Normais do Elipsóide 
Teorema de Euler: 
 A curvatura de uma seção normal qualquer é igual a soma dos 
produtos das curvaturas das seções normais principais, 
respectivamente pelo quadrado do cosseno e do seno do ângulo 
que a seção forma com o plano de uma das seções principais. 
 
 
 
 Onde Az é o azimute da seção normal qualquer, ou seja, o ângulo 
formado por esta seção e pela seção meridiana 
Exercício 
 Para o ponto de coordenadas abaixo referenciado ao datum 
SIRGAS2000 pede-se: 
 Lat: -20° 12' 39,65354” 
 Long: -42° 52' 10,47662” 
 Alt. 678,111m 
A) Semi-eixo menor do elipsóide 
B) Excentricidade ao quadrado 
C) Segunda excentricidade ao quadrado 
D) Grande normal 
E) Coordenadas cartesianas X, Y e Z 
F) Raio da seção meridiana 
G) Raio da seção primeiro vertical 
H) Raio médio 
I) Raio do paralelo que contém o ponto 
J) Raio Vetor 
K) Raio de uma seção normal qualquer que tem azimute de 30° 
 
 
 
 
 
 
Elipsóide SIRGAS2000 
a = 6378137m 
f = 1/298,257222101 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
Sejam dois pontos P1 e P2 sobre 
a superfície de um elipsóide de 
revolução, com latitudes e 
longitudes diferentes. 
As normais à superfície 
elipsóidica de cada ponto 
interceptam o eixo Z em dois 
pontos diferentes n1 e n2 . Os 
segmentos de reta definidos por 
P1 n1 = N1 e P2 n2 = N2 são as 
grandes normais dos pontos P1 e 
P2. 
As normais não se interceptam , 
embora encontrem o eixo de 
rotação. 
Do exposto, vemos que elas não 
pertencem a um mesmo plano. 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
A seção normal resultante da interseção do 
plano que contém a normal em P1 e o 
Ponto P2, com o elipsóide de revolução, é 
dita “seção normal direta” em relação a P1 , 
ou “seção normal recíproca” em relação em 
relação a P2, indicada por uma seta no 
sentido de P2 . 
A seção normal resultante da interseção do 
plano que contém a normal em P2 e o ponto 
P1 , com o elipsóide de revolução, é 
chamada “seção normal direta” em relação 
a P2 ou “seção normal recíproca” em 
relação a P1 , indicada por uma seta no 
sentido de P1 . Para identificar a seção 
normal direta de um ponto P1 para um 
ponto P2 toma-se como referência o ponto 
que estiver mais ao Sul. A seção direta do 
ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul. 
As duas seções, a direta e a recíproca,são 
chamadas “seções normais recíprocas”. Os 
planos que definem as seções normais 
recíprocas não coincidem quando as 
latitudes e longitudes são diferentes. 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
Quando os dois pontos P1 e P2 
possuem a mesma latitude, 
situando-se portanto no mesmo no 
mesmo paralelo as normais irão 
interceptar o eixo de rotação em 
um mesmo ponto e as normais 
pertencem a um mesmo plano. 
Quando os dois pontos P1 e P2 
possuem a mesma longitude, 
situando-se portanto no mesmo 
meridiano as normais se 
interceptam e estão em um 
mesmo plano. 
Portanto, para latitudes ou 
longitudes iguais, as seções 
normais recíprocas são 
coincidentes 
 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
 Ângulo Formado por Duas Seções Normais Recíprocas 
A diferença entre os ângulos θ1 e θ2 é 
muito pequena e estes ângulos podem ser 
considerados iguais e podem ser 
calculados pela seguinte equação: 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
Sejam três pontos P1 , P2 e P3 sobre a superfície do elipsóide 
de revolução. Se fosse possível instalar um teodolito no vértice P1, 
fazendo o eixo vertical coincidir com a normal ao ponto P1, ao 
apontá-lo para o ponto P2 o plano de visada coincidiria com o 
plano da seção normal direta de P1 para P2 . De P2 para P1 o 
plano de visada do teodolito interceptaria a superfície do elipsóide 
ao longo do plano da seção normal direta de P2 para P1 . A 
mesma análise pode ser feita para os outros vértices. Conclui-se 
que o triângulo P1-P2-P3 não é determinado de maneira unívoca 
devido à duplicidade de seções normais. 
 Para definir o triângulo elipsóidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, 
os vértices P1 , P2 e P3 devem ser unidos pelo menor caminho. A 
curva que representa o menor caminho entre dois vértices 
geodésicos P1 e P2 sobre o elipsóide de revolução, não é a seção 
normal direta de P1 nem a sua seção normal recíproca, mas sim 
uma curva, em geral reversa, situada entre duas seções normais 
recíprocas, denominada de linha geodésica. Se os dois pontos 
pertencem ao mesmo meridiano, ou ao equador, a linha 
geodésica é uma linha pertencente a um plano. Se não, é uma 
linha reversa. Curva reversa é uma curva que não está contida em 
um plano. 
O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de 
reta, na esfera, um arco de circunferência máxima e no elipsóide 
de revolução, a linha geodésica. Sobre a superfície esférica a 
geodésica é um arco de circunferência máxima. 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
Ângulo entre a Geodésica e a Seção Normal 
O ângulo formado pela geodésica e a seção normal 
direta de P1 para P2 corresponde a 1/3 do ângulo 
formado por duas seções normais recíprocas. O 
ângulo formado pela geodésica e a seção normal 
recíproca de P1 para P2 é 2/3 do ângulo formado 
pelas seções normais recíprocas. 
O azimute da linha Geodésica pode ser obtido por : 
Ag = A12 – θ/3 
Ag = Azimute da linha geodésica 
A12 = Azimute da seção normal direta em relação a P1 
A diferença de comprimento entre a linha geodésica e a seção normal em milímetros 
pode ser calculada pela seguinte equação: ds = 7,7 x 10-17 x Sk x sen2Az.cos4Φ 
Sk = Distância da seção normal ou da geodésica 
Az = Azimute da seção normal o da geodésica 
 
Seções Normais Recíprocas e Linha 
Geodésica 
A diferença entre o azimute elipsoidal(azimute da seção normal) e o 
azimute da linha geodésica também pode ser obtido pela 
fórmula(Ewing,1979): 
Onde: 
Correções a serem Aplicadas no ângulo 
Horizontal 
1- Em função do desvio da vertical na estação: 
Nas operações de campo o ângulo horizontal é medido com referência 
a vertical. Quando este ângulo é usado para cálculos no elipsóide ou 
mesmo para cálculos em projeções do elipsóide no plano, por 
exemplo, o sistema UTM, deve sofrer uma correção devido ao desvio 
da vertical, ou seja, devido a diferença entre a normal e a vertical no 
ponto de instalação do instrumento de medição 
Conforme Cooper(1987) podemos calcular a correção da seguinte 
forma: 
Onde: 
 e  são as componentes do desvio da vertical 
Az é o azimute da direção observada 
Z é o ângulo zenital 
 
 
Correções a serem Aplicadas ao Ângulo 
Horizontal 
2 – Em função da altitude do ponto visado: 
Sejam dois pontos A e B com latitudes e longitudes diferentes, como 
visto anteriormente a seção normal direta em relação a A não contém 
a normal de B, ou seja, as seções normais direta e inversa entre estes 
pontos não são coincidentes e uma das normais estará inclinada em 
relação a outra, são reversas. Ao visar B a partir de A e sendo a 
altitude geométrica de B diferente de zero haverá uma diferença no 
ângulo azimutal da projeção normal sobre o elipsóide. Isto porque o 
ponto A será projetado sobre o elipsóide por sua normal mas o mesmo 
não ocorre com B que neste caso será projetado segundo a seção 
normal direta A B numa posição diferente da projeção da normal que 
passa por B. 
Para visualizar o erro cometido nesta observação podemos fazer uma 
analogia com a observação de um ângulo horizontal, na qual a baliza 
observada está inclinada. Se a observação é feita no pé da baliza 
temos um ângulo horizontal e se visamos a parte superior da baliza 
temos outo 6angulo afetado pelo erro da inclinação da baliza. 
 
Correções a serem Aplicadas ao Ângulo 
Horizontal 
2 – Em função da altitude do ponto visado: 
 
Onde: 
a” é a correção do ângulo azimutal em segundos 
 é a latitude do ponto visado 
Az é o azimute da direção observada 
h é a altitude geométrica do ponto observado, em metros 
N é o raio de curvatura da seção primeiro vertical no ponto de latitude média 
Quando o ponto observado está a nordeste ou sudoeste do observado, o 
azimute deverá ser aumentado de a” e quando o ponto observado estiver a 
noroeste ou a sudeste do observador o azimute deverá ser diminuído de a”. 
Para pequenas altitudes esta correção pode ser desprezada. 
 
 
 
Transformação de Coordenadas em Diferentes 
Sistemas Geodésicos de Referência. 
Os parâmetros oficiais do IBGE definidos na resolução 01/2005 
para transformação de coordenadas entre os sistemas SAD69 e 
SIRGAS2000 são os seguintes: 
A transformação de coordenadas em diferentes sistemas 
geodésicos pode ser realizado pelas coordenadas cartesianas ou 
pelas equações simplificadas de Molodenskii 
Transformação de Coordenadas em Diferentes 
Sistemas Geodésicos de Referência. 
Pelas Coordenadas Cartesianas 
1. Transformar as coordenadas geodésicas do sistema conhecido 
para coordenadas cartesianas. As coordenadas cartesianas 
obtidas, continuam referenciadas ao mesmo sistema já 
conhecido. 
2. Transformar as coordenadas cartesianas do sistema conhecido 
para o sistema de interesse, utilizando os parâmetros oficiais do 
IBGE. 
Exemplo: XSIRGAS2000 = XSAD69(Conhecido) - 67,35m 
 YSIRGAS2000 = YSAD69(Conhecido) + 3,88m 
 ZSIRGAS2000 = ZSAD69(Conhecido) – 38,22m 
3. Transformar as coordenadas cartesianas do sistema de 
interesse, obtidas no item anterior, em coordenadas geodésicas. 
Exercícios 
1 – Explique o que é: 
a) Geoide 
b) Elipsóide de Revolução 
c) Latitude e Longitude Geodésica 
d) Altitude geométrica, altitude ortométrica e a diferença entre elas. 
e) Desvio da vertical e como pode ser calculado. 
2- Qual a diferença entre datum Geocêntrico e Topocêntrico 
3 - Converter as coordenadas do sistema SIRGAS2000 para o sistema 
SAD69 utilizando as coordenadas cartesianas. 
 Lat: 20° 12' 39,6535”S 
 Long: 44° 52' 10,4766”W 
 Altitude elipsoidal: 678,111m 
 
Pelas Equações Simplificadas de Molodesnkii 
Transformaçãode Coordenadas em Diferentes 
Sistemas Geodésicos de Referência. 
h2 = Altitude geométrica sistema S2 
h2 = h1 + ΔN 
N = diferença entre as altitudes geométricas do pontos 1 e 2 
Exercícios 
Transformar as coordenadas abaixo referenciadas ao SIRGAS2000 
em coordenadas referidas ao SAD69, através das equações 
simplificadas de Molodenskii. 
 
φ1
 = 25º 26’ 54,1362’’ S 
λ1
 = 49º 13’ 51,4116’’ W 
 
Triângulos Geodésicos 
Em uma triangulação geodésica após a medição de todos os 
ângulos é necessário conhecer as distâncias entre os vértices para 
que seja efetuado o transporte de coordenadas do vértice 
inicial(datum) para os demais vértices da triangulação geodésica. A 
distância entre os vértices será calculada, uma vez que na 
triangulação, a não ser a base inicial, só medimos ângulos. A 
obtenção das distâncias entre os vértices é feita através da 
resolução de triângulos geodésicos. 
Sabemos que em geodésia os cálculos são conduzidos no 
elipsóide. Assim os triângulos a serem calculados serão triângulos 
episódicos. No entanto, as fórmulas que adotamos para este cálculo 
são as fórmulas da trigonometria esférica. 
Triângulos Geodésicos 
Sabe-se que o fato de calcular os triângulos geodésicos como se 
fosse numa esfera em vez do elipsóide, pouca diferença faz, não 
afetando a precisão exigida para triangulações de primeira ordem. A 
única restrição é que o raio da esfera sobre a qual se efetua o 
cálculo, seja o raio médio de curvatura(RM= (NxM)
1/2) do centro da 
superfície do triângulo. 
Holmer(1946) cita Clarke para mostrar que ao calcular um triângulo 
elipsoidal grande como se fosse esférico as diferenças são 
negligenciáveis. Num triângulo cujo os lados medem 360 Km o 
resultado é o seguinte: 
Elipsóide Esfera 
A’ = 98°44’37,0965” A = 98°44’37,1899” 
B’ = 58°16’46,5994” B = 58°16’46,4737” 
C’ = 23°00’12,7303” C = 23°00’12,7634” 
 
Triângulos Esféricos 
O triângulo esférico é a porção da superfície esférica limitada por 
três arcos de círculos máximos. Somente estudaremos os triângulos 
esféricos que tem lados inferiores a 180° 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos do triângulo esférico ABC são simbolizados com as 
letras A,B, C e os lados opostos, com respectivas letras minúsculas: 
a, b, c 
 
Propriedades Triângulos Esféricos 
Num triangulo esférico, a lados iguais se opõem ângulos iguais 
ângulos e reciprocamente. Se a = b então A = B (e reciprocamente) 
Se dois lados de um triângulo esférico são diferentes, os ângulos 
opostos também o são, e ao maior lado se opõe o maior ângulo e 
vice-versa. 
A soma dos lados de um triângulo esférico (perímetro) é menor que 
360°. 
Conhecendo-se três elementos quaisquer de um triângulo esférico é 
possível determinar os outros três. 
A soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que 180° e 
menor que 540°. A diferença para 180° é chamado de excesso 
esférico. 
Num triângulo esférico, um lado é menor que a soma dos outros 
dois e maior que a sua diferença (a < b + c) e (a > b – c). 
 
 
Propriedades Triângulos Esféricos 
Todo ângulo de um triangulo esférico aumentado de dois retos, é 
maior que a soma dos outros dois. (A + 180° > B + C) 
Um triângulo esférico pode ter um, dois ou três ângulos retos 
(retângulo, birretângulo ou trirretângulo). 
Todo triangulo esférico birretilátero é birretangulo (a = b = 90º) e 
(A = B = 90°) 
Todo triângulo esférico trirretângulo é trirretilátero (a = b = c = 90°) e 
 (A = B = C = 90°). 
Num triângulo birretilátero, o lado diferente de 90° e o seu ângulo 
oposto são iguais: (a = A) 
Transformação entre Graus e Radianos 
Radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento 
igual ao raio do circulo 
rad = L/R 
Para a circunferência inteira temos que L = 2R 
Logo em 360º temos 2 radianos 
 º------------------360º 
 rad---------------2 radianos 
 
rad = (/180) x º 
Considerando  = 01º temos que: 
rad = (/180) x 1º = 0,0174532925199rad  sen1º 
Considerando  = 01’ temos que: 
rad = (/180) x (1/60) = 0,000290888208665rad  sen1’ 
Considerando  = 01”temos que: 
rad = (/180) x (1/3600) = 0,00000484813681108rad  sen1” 
Assim podemos converter satisfatoriamente um ângulo em segundos para 
radianos usando o seguinte: rad = ” x sen1” 
Excesso Esférico 
Excesso esférico é o excesso da soma dos três ângulos de um 
triangulo esférico sobre 180°. 
A + B + C- 180°= Σ (excesso esférico) 
Chamando S a área de um triângulo esférico e de R o raio da 
esfera, teremos que Σ (excesso esférico) em radianos é 
proporcional a área do triangulo: 
 
O excesso esférico pode ser calculado em segundos pela seguinte 
equação 
 
Assim, podemos calcular a área do triângulo esférico em função dos 
seus ângulos internos: 
 
 
Σrad = S/R² 
Σ” = S/(R² x sen1”) 
S = Σrad x R² S = Σ” x sen1” x R² 
Fórmulas Fundamentais 
Fórmula dos quatro elementos: 
Relativa aos lados: envolvendo três lados e um ângulo. 
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de 
um dos lados é igual ao produto do cosseno dos outros 
dois lados, mais o produto dos senos dos mesmos lados 
pelo cosseno do ângulo por eles formados.”. 
Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A 
Cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B 
Cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C 
 
Fórmulas Fundamentais 
Relativa aos ângulos:envolvemos três ângulos e um lado. 
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de um 
ângulo é igual ao produto dos senos dos outros ângulos 
pelo cosseno do lado a eles adjacente, menos o produto 
dos cossenos dos dois ângulos.” 
 Cos A = sen B sen C cos a - cos B cos C 
Cos B = sen A sen C cos b - cos A cos C 
Cos C = sen A sen B cos c - cos A cos B 
 
Fórmulas Fundamentais 
Analogia dos senos: Envolve dois lados e dois ângulos 
opostos. 
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, os senos dos 
lados são proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos”. Logo: 
 
 
SenC
senc
senB
senb
senA
sena

Exercícios 
1) Para o triângulo esférico abaixo pede-se: 
a) Calcular o lado c 
b) Calcular os ângulos A e B 
c) Calcular o excesso esférico 
d) Calcular a área do triângulo. 
Dados : 
a = 88° 10’ 30” b = 60° 10’ 10” C = 70° 48’ 40” 
Considerar R= 6.370 Km 
 2) Calcular o excesso esférico do triângulo esférico abaixo: 
Dados : 
a = 15° 38’ 07” 
b = 16° 06’ 22” 
c = 20° 15’ 35” 
3) Calcular a distância entre Belo Horizonte e Goiânia, a partir de suas 
coordenadas geográficas: 
BH = 19º49’41”S GO = 16º40’21”S 
BH = 43º49’27”W GO = 49º15’29”W 
 
 
 
Cálculo do Triângulo Geodésico 
Teorema de Legendre 
B’= B - (Σ/3) 
C’= C - (Σ/3) A’= A - (Σ/3) 
B 
A 
C 
S S’ 
O teorema de Legendre nos diz que , tendo dois triângulos, um esférico e 
um plano, o triângulo esférico de área S e lados a, b,c, o triângulo plano 
de área S’e lados do mesmo comprimento dos lados do esférico, as áreas 
S e S’são iguais; os ângulos do triângulo plano, a menos de um terço do 
excesso esférico, são iguais aos ângulos do triângulo esférico 
a 
c 
b 
a 
c 
b 
Formula para o Cálculo Excesso Esférico 
 
 
Fórmula Para Cálculo dos Lados - Analogia dos senos 
triângulo plano: 
 
 
sen1"NM2
)sen(C'ba
"



Cálculo do Triângulo Geodésico 
'''
a
SenC
c
senB
b
senA

Cálculo dos ângulos do Triângulo Plano: 
A + B + C – W =180º + Σ 
W = Erro de fechamento angular 
W + Σ = A + B + C - 180º 
 
A’= A – (Σ/3) – (W/3) 
 
B’= B - (Σ/3) - (W/3)C’= C - (Σ/3) - (W/3) 
 
A’+B’+C’ = 180º 
Cálculo do Triângulo Geodésico 
)
3
('
W
AA


)
3
('
W
BB


)
3
('
W
CC


Já vimos que uma das finalidades da triangulação é fornecer as 
coordenadas geodésicas de pontos situados sobre a superfície 
terrestre. Esta determinação e realizada tendo como referência um 
ponto de coordenadas conhecidas, o azimute e a distância até o 
ponto que se pretende calcular. Esse procedimento é chamado de 
forma genérica de transporte de coordenadas. 
Poderá haver o caso em que o interesse seja calcular a distância e 
o azimute entre dois pontos de coordenadas conhecidas. 
Daí surgiu a divisão do transporte de coordenadas em dois 
problemas: problema direto e o problema inverso 
Tanto para o problema direto como para o problema inverso 
adotaremos as fórmulas usadas comumente no Brasil, que são as 
fórmulas de Puissant. As fórmulas de Puissant, quando usadas para 
distâncias de até 80 km, dão uma precisão de 1 ppm. 
As fórmulas são satisfatórias quando nos cálculos usam-se pelo 
menos sete casas decimais. Nos resultados finais utiliza-se até a 
terceira casa decimal. 
 
 
Transporte de Coordenadas Geodésicas 
Transporte de Coordenadas Geodésicas 
 Problema Direto: Conhecidas as coordenadas geodésicas de 
um ponto P1 (P1, P1), a distância desse ponto até um ponto P2 
(sP1P2) e o azimute de P1 para P2 (AZP1P2), pede-se: 
As coordenadas geodésicas do ponto P2 (P2, P2); 
O contra-azimute de P1 para P2 (AZP2P1) 
 
Problema Inverso: Conhecidas as coordenadas geodésicas de 
dois pontos P1 e P2 (P1, P1, P2, P2), pede-se: 
A distância entre esses pontos (sP1P2); 
O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2) 
 
Transporte de Coordenadas Geodésicas 
Fórmulário de Puissant – Problema Direto 
Cálculo da Latitude 
 
''12   PP
 ' ' ' ' ' '   D
2
''1
1
senM
B

 C
tg
M N
P

  
 1
2 1sen ' '  
D
e
e
P1 P1
P1

   
  
3 1
2 1
2
2 2
sen cos sen ' '
sen
 

E
tg
N
P

 

1 3
6
2
1
2
 h B s AZ  cos
AZsenshEAZsensCAZsB 2222cos'' 
onde: 
s é o comprimento da geodésica de P1 a P2; 
AZ é o azimute da direção P1P2. 
Ainda, os coeficientes B, C, D, E e h são calculados pelas fórmulas abaixo: 
 
Fórmulário de Puissant – Problema Direto 
Cálculo da Longitude: Para o cálculo da longitude necessitamos ter 
conhecimento da latitude do segundo ponto, calculada no item 
anterior 
 
 P P2 1 ''
'
cos
''
2
A
senAZs
P





''1'
1
'
senN
A


Na última fórmula para o cálculo de A’, N’ se refere à grande normal calculada 
com a latitude do ponto P2, ou seja, ao ponto cujas coordenadas estão sendo 
calculadas. 
 
Fórmulário de Puissant – Problema Direto 
Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1) 
Para o cálculo do contra azimute em geodésia deve-se considerar a 
convergência meridiana geodésica(W), que ocorre devido a 
tangente ao meridiano de pontos que estão localizados em latitudes 
e longitudes diferentes, não serem paralelas. Este não paralelismo 
ocorre pelo fato dos meridianos no elipsóide convergirem para os 
polos 
A convergência meridiana geodésica é calculada pela seguinte 
fórmula: 
 
 
 
 

 
m
P P

1 2
2
Fm
m m

 sen cos sen '' 2 2 1
12
W Fm
m
' '
sen ' '
cos
' '
' '







 
 


2
3
Notar que no hemisfério sul Fm será negativo. 
Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1) 
Desta maneira o contra azimute de P1 para P2 será dado pela 
seguinte fórmula: 
 
 
Onde: 
AZP2P1 é o contra-azimute de P1 para P2; 
AZP1P2 é o azimute de P1 para P2 e; 
W é a convergência meridiana 
 
 1802112 WAZAZ PPPP
Fórmulário de Puissant – Problema Direto 
Na aplicação das fórmulas de Puissant considera-se a latitude (φ) 
negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a oeste de 
Greenwich. 
 
Exercício 
Utilizando o sistema geodésico SAD 69 e o formulário do problema 
DIRETO segundo Puissant calcular as coordenadas geodésicas do 
ponto P2, a convergência meridiana, o contra-azimute da direção P1P2, 
e indicar os quadrantes do azimute e do contra-azimute da direção 
P1P2. 
Coordenadas de P1 : φ = 25º 31’ 11,1900” S λ = 49º 06’ 27,1595” W 
Azimute da direção P1P2 AZ = 257º 08’ 13,1200” 
Distância entre P1 e P2 : s = 2019,328 m 
 
Conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1 e P2 
(P1, P1, P2, P2), pede-se: 
A distância geodésica(s) entre esses pontos (sP1P2); 
O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2). 
 
Fórmulário de Puissant – Problema Inverso 
22 YXs  tgAZ
X
YP P1 2

2
2
'
cos''
P
P
A
X
 

 
Y
X C X E D
B
m m m
m

        ' ' ' ' ' '2 2
2
Os coeficientes B, C, D e E são calculados utilizando as mesmas fómulas do 
problema direto mas com a latitude média dos pontos. O índice m nos coeficientes 
indica que a latitude a ser utilizada no cálculo é a média entre os dois pontos. 
O Coeficiente A’ é calculado utilizando a mesma fórmula do problema direto. 
Considerar a latitude (φ) negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a 
oeste de Greenwich. 
 
 
Calcular a distância e o azimute geodésicos entre os seguintes pontos: 
P1 : φ = 20º 32’ 54,0400” S λ = 42º 16’ 37,313” W 
P2 : φ = 20º 35’ 24,1730” S λ = 42º 04’ 41,895” W 
Elipsóide SAD69 
Exercício 
Distância Inclinada(Di): Distância medida de forma inclinada diretamente 
sobre a superfície física terrestre. 
Distância Horizontal(Dh): Distância reduzida ao horizonte, no plano 
topográfico local. Dh = Di x sen(ângulo zenital). 
Distância Geoidal(Dn): Distância reduzida ao nível médio do mar, ou reduzida 
ao nível médio do geóide. 
Distância Elipsoidal(De): Distância projetada sobre a superfície do elipsóide 
Distância Pana UTM(DpUTM): Distância obtida a partir das coordenadas UTM 
 
 
Redução de Distâncias ao Elipsóide 
Redução das Distâncias ao Elipsóide 
As distâncias inclinadas medidas sobre a superfície física da terra 
para serem utilizadas nos cálculos geodésicos precisam ser 
reduzidas ao elipsóide, seguindo as seguintes etapas: 
1) Correções em função da refração atmosférica: 
Os equipamentos modernos de medição fazem esta correção 
automaticamente, para tanto basta que o operador introduza no 
equipamento os valores da temperatura e pressão atmosférica e desta 
forma a distância inclinada apresentada pelo equipamento já estará 
corrigida dos efeitos da refração atmosférica. 
2) Redução da distância inclinada ao horizonte: 
Como normalmente o instrumento de medição não é instalado na 
mesma altura do alvo/prisma de leitura, torna-se necessário reduzir os 
ângulos zenitais medidos em leituras recíprocas para o nível do solo, 
ou seja, ao nível do topo dos marcos geodésicos. Após esta redução 
os ângulos zenitais corresponderão à inclinação do terreno. 
 
Redução das Distâncias ao Elipsóide 
2) Redução da distância inclinada ao horizonte: 
Convencionalmente o ângulo zenital medido em campo é representado 
pela letra Z maiúscula e o ângulo zenital reduzido ao solo pela letra z 
minúscula. Considerando leituras recíprocas dos ângulos zenitais nos 
pontos 1 e 2, temos que as distâncias zenitais reduzidas ao solo serão: 
 
z1 = Z1 + (hp2 – hi1) x senZ1 x (1/3600) 
 Di12 x senZ1 x sen1” 
z2 = Z2 + (hp1 – hi2) x senZ2 x (1/3600) 
 Di21 x senZ2 x sen1” 
GrausDecimais 
z1 e z2 são as distâncias zenitais reduzidas ao solo 
Z1 e Z2 são as distâncias zenitais medidas 
hi1 e hi2 são as alturas do instrumento nos pontos 1 e 2 respectivamente 
hp1 e hp2 são as alturas do alvo/prisma nos pontos 1 e 2 respectivamente 
Di12 é a distância inclinada medida entre os pontos 1 e 2 
Redução das Distâncias ao Elipsóide 
2) Redução da distância inclinada ao horizonte: 
Finalmente a distância horizontal pode ser obtida da seguinte forma: 
 
Dh12 = Dim x cos((z2 –z1)/2) 
 
Dim = Di12 + Di21 
 2 
 
Onde: 
 
Dh12 = Distância entre os pontos 1 e 2 reduzida ao horizonte 
Di12 = Distância inclinada de 1 para 2 
Di21 = distância inclinada de 2 para 1 
 
Redução das Distâncias ao Elipsóide 
3) Redução da distância horizontal à superfície do geoide: 
 
Dn12 = Dh12 - (Dh12 x Hm)/Rm 
Hm = (H1 + H2)/2 
Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2m) 
Onde: 
Dn12 = Distância reduzida ao nível do geoide – Distância geoidal 
Dh12 = Distância horizontal entre os pontos 1 e 2 
H1 e H2 = Altitude ortométrica dos pontos 1 e 2 
Hm = Altitude média ortométrica entre os pontos 1 e 2 
a = semi-eixo maior do elipsóide 
e2 = Excentricidade ao quadrado 
m = Latitude média entre os pontos 1 e 2 
 
 
Redução das Distâncias ao Elipsóide 
4) Redução da distância geoidal à superfície do elipsóide: 
 
De12 = Dn12 + (1,027xDn12
3x10-15) 
 
Onde: 
De = Distância reduzida ao nível do elipsóide – Distância elipsoidal 
Dn = Distância geoidal 
 
 
Transformação da Distância Elipsoidal em 
Distância Plana UTM 
Para esta transformação é necessário o cálculo do fator de escala K 
do sistema UTM. Como o valor de K varia ao longo do fuso UTM, 
cada ponto terá um valor para K diferente e por isso para este 
cálculo deve-se calcular um fator de escala médio Km. 
DpUTM = De x Km 
K = KMC /[ 1-[(cosm.sen(λm-λMC)]
2]1/2 
Onde: 
DpUTM = Distância plana no sistema UTM. 
KMC = Valor de K no meridiano central – sistema UTM = 0,9996 
λm = Longitude média 
λMC = Longitude do meridiano central 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRÁFICA UTM 
1- Dh = Di x senZ 
2 - Dn = Dh - (Dhx Hm)/Rm 
3 - De = Dn + (1,027xDn3x10-15) 
4 - Km = KMC /[ 1-[(cosm.sen(λm-λMC)]
2]1/2 
5 - DpUTM = De x K 
Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2m) 
 
UTM TOPOGRÁFICA 
1 – DpUTM = [(N2-N1)
2 + (E2-E1)2]1/2 
2 – Km = KMC /[ 1-[(cosΦm.sen(λm-λMC)]
2]1/2 
3 – De = DpUTM /Km 
4 – Dn= De – (1,027xDe3x10-15) 
5 – Dh = Dn+ ((Dnx Hm)/Rm) 
6 - Di = [Dh
2 + (H2-H1)
2]1/2 
Rm = a[(1-e2)1/2]/(1-e2sen2Φm) 
 
 
Cálculo de Distâncias 
Observar que nas fórmulas acima o ângulo zenital não foi determinado a partir 
de leituras recíprocas. 
Dada a caderneta abaixo pede-se calcular a distância UTM entre os 
pontos 02 e 03: 
Exercício 
Estação 2 Estação 3 
 Z2-3 = 88°25'05,0" Z3-2=91°34'12,5" 
 AI2 = 1,480m AI3 = 1,475m 
 AP2 = 1,600m AP3 = 1,600m 
 DI2-3 = 697,653m DI3-2=697,640m 
 H=1415,257m H=1434,447 
Coordenadas Geodésicas 
 Lat = 28° 23' 35,04728"S Lat = 28° 23' 16,44848“S 
 Long = 43° 32' 54,20188“W Long = 43° 33' 08,81658“W 
Elipsóide SAD69 
a = 6378160m 
f = 1/298,25 
 
 
 
Dadas as coordenadas planas - sistema UTM – Elipsóide SAD69, as 
coordenadas geodésicas e as altitudes dos pontos P1 e P2 determinar 
as distâncias. 
a) Distância Plana 
b) Distância Elipsoidal 
c) Distância Geoidal 
d) Distancia Horizontal 
e) Distância Inclinada 
P1 Φ1 = 28°41’56,7639”S N1 = 6.824.421,709m 
 λ1 = 52°29’50,4474”W E1 = 353.728,623m 
 H1 =803,410 
P2 Φ2 = 28°43’38,9147”S N2 = 6.821.310,415m 
 λ2 = 52°28’13,0594”W E2 = 356.410,363m 
 H2 = 810,453 
 
MC=-51° 
KMC = 0,9996 
Cálculo de Distâncias