Aula 12: Método dos multiplicadores de Lagrange com duas condições e problemas de otimização

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Método dos multiplicadores de Lagrange para funções de três
variáveis com duas restrições
Seja f uma função de três variáveis. Suponha que queiramos calcular o máximo ou o mínimo
da função f , mas sujeita agora a duas restrições: g(x, y, z) = k1 e h(x, y, z) = k2. Em outras
palavras, o que queremos é obter o máximo ou o mínimo da função f quando nos restringimos
à curva C obtida pela interseção das superfícies de nível g(x, y, z) = k1 e h(x, y, z) = k2.
Suponha que ∇g(x, y, z) 6= 0, ∇h(x, y, z) 6= 0 e que ∇g(x, y, z) ∦ ∇h(x, y, z) para todo
(x, y, z) da curva C. Suponha ainda que a função f(x, y, z) tenha derivadas parciais contínuas.
É possível mostrar que se f assume um máximo ou um mínimo no ponto (a, b, c), então o
vetor ∇f(a, b, c) é paralelo ao plano que passa pelo ponto (a, b, c) e é determinado pelos vetores
∇g(a, b, c) e ∇h(a, b, c). Logo, existem constantes λ, µ ∈ R (chamados de multiplicadores de
Lagrange), tais que
∇f(a, b, c) = λ∇g(a, b, c) + µ∇h(a, b, c)
Assim, se f assumir um máximo e um mínimo na curva C, então para determinar os pontos
de máximo e mínimo devemos:
• Determinar todos os valores x, y, z, λ, µ que satisfazem
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = k1
h(x, y, z) = k2
• Calcular f em todos os pontos (x, y, z) obtidos. O maior destes valores será o valor
máximo de f e o menor destes valores será o valor mínimo de f .
Observação 1. O sistema

∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = k1
h(x, y, z) = k2
tem 5 equações e 5
incógnitas (uma vez que ∇f(x, y, z) e ∇g(x, y, z) tem três componentes cada).
Observação 2. Se a curva C for fechada e limitada, então f assume máximo e mínimo em
C.
1
Exemplo 1. Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = x + 2y + 3z na curva de
interseção do plano x− y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 1.
Vamos determinar todos os valores x, y, z, λ, µ que satisfazem
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = 1
h(x, y, z) = 1
onde g(x, y, z) = x − y + z e h(x, y, z) = x2 + y2. Como ∇f(x, y, z) = (1, 2, 3), ∇g(x, y, z) =
(1,−1, 1) e ∇h(x, y, z) = (2x, 2y, 0), temos que determinar todos os valores x, y, z, λ, µ que
satisfazem 
(1, 2, 3) = λ(1,−1, 1) + µ(2x, 2y, 0)
x− y + z = 1
x2 + y2 = 1
ou seja, 
1 = λ+ 2xµ
2 = −λ+ 2yµ
3 = λ
x− y + z = 1
x2 + y2 = 1
Da terceira equação temos que λ = 3. Assim, temos que encontrar os valores x, y, z, µ que
satisfazem 
1 = 3 + 2xµ
2 = −3 + 2yµx− y + z = 1
x2 + y2 = 1
ou seja, 
2xµ = −2
2yµ = 5
x− y + z = 1
x2 + y2 = 1
2
Da primeira equação obtemos x = − 1
µ
e da segunda equação obtemos y = 5
2µ
. Substituindo
estes valores na última equação, obtemos
1
µ2
+
25
4µ2
= 1 ⇒ 29 = 4µ2 ⇒ µ2 = 29
4
⇒ µ =
√
29
2
ou µ = −
√
29
2
• Se µ =
√
29
2
, então x = − 2√
29
, y = 5√
29
e
z = 1 + y − x = 1 + 5√
29
+
2√
29
= 1 +
7√
29
• Se µ = −
√
29
2
, então x = 2√
29
, y = − 5√
29
e
z = 1 + y − x = 1− 5√
29
− 2√
29
= 1− 7√
29
Logo, os possíveis pontos de máximo ou mínimo de f são
(
− 2√
29
, 5√
29
, 1 + 7√
29
)
e
(
2√
29
,− 5√
29
, 1− 7√
29
)
.
Temos que
• f
(
− 2√
29
,
5√
29
, 1 +
7√
29
)
= − 2√
29
+
10√
29
+ 3 +
21√
29
=
29√
29
+ 3 =
√
29 + 3
• f
(
2√
29
,− 5√
29
, 1− 7√
29
)
=
2√
29
− 10√
29
+ 3− 21√
29
= − 29√
29
+ 3 = −
√
29 + 3
Logo, o máximo de f é
√
29 + 3 e o mínimo de f é −√29 + 3.
Exemplo 2. O plano x + y + 2z = 2 intercepta o parabolóide z = x2 + y2 em uma elipse.
Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem.
Veja abaixo a interseção entre o plano e o parabolóide de três pontos de vista:
Observe que, em outras palavras, o que queremos é determinar os extremos da função distância
entre um ponto do espaço e a origem dadas as restrições x+ y + 2z = 0 e z − x2 − y2 = 0.
A distância entre um ponto P = (x, y, z) do espaço e a origem é
d(O,P ) = ||−→OP || =
√
x2 + y2 + z2
Mas, maximizar ou minimizar a distância entre os pontos acima é o mesmo que maximizar ou
minimizar a função
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
3
Se considerarmos as funções g(x, y, z) = x+y+2z e h(x, y, z) = z−x2−y2, então o que queremos
é determinar os extremos da função f dadas as duas restrições g(x, y, z) = 2 e h(x, y, z) = 0.
Vamos determinar todos os valores x, y, z, λ, µ que satisfazem
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = 2
h(x, y, z) = 0
onde g(x, y, z) = x + y + 2z e h(x, y, z) = z − x2 − y2. Como ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z),
∇g(x, y, z) = (1, 1, 2) e ∇h(x, y, z) = (−2x,−2y, 1), temos que determinar todos os valores
x, y, z, λ, µ que satisfazem
(2x, 2y, 2z) = λ(1, 1, 2) + µ(−2x,−2y, 1)
x+ y + 2z = 2
z − x2 − y2 = 0
ou seja, 
2x = λ− 2xµ
2y = λ− 2yµ
2z = 2λ+ µ
x+ y + 2z = 2
z − x2 − y2 = 0
Das duas primeiras equações, obtemos{
λ = 2x(1 + µ)
λ = 2y(1 + µ)
Logo, 2x(1 + µ) = 2y(1 + µ) e, portanto, x = y ou 1 + µ = 0.
• Se µ = −1, então (substituindo este valor na primeira equação) λ = 0 e (da terceira
equação) 2z = −1, ou seja, z = −1
2
. Mas, fazendo z = −1
2
na última equação, obtemos
x2 + y2 = −1
2
o que é impossível. Logo, o caso µ = −1 pode ser descartado.
• Se x = y, então (da quarta equação) 2x+ 2z = 2 e (da quinta equação) z = 2x2. Logo,
2x+ 4x2 = 2 ⇒ x+ 2x2 − 2 = 0 ⇒ x = −1± 3
4
⇒ x = −1 ou x = 1
2
Se x = −1, então y = x = −1 e z = 2x2 = 2.
Se x = 1
2
, então y = x = 1
2
e z = 2x2 = 1
2
.
Logo, os dois únicos candidatos a pontos de máximo e mínimo são (−1,−1, 2) e
(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
.
Como f(−1,−1, 2) = 6 e f
(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
=
3
4
, então o ponto mais próximo da origem é o ponto(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
e o ponto mais longe da origem é o ponto (−1,−1, 2).
4
Exemplo 3. Determine três números positivos cuja soma seja 100 e cujo produto é máximo.
Em outras palavras, o que queremos é determinar o máximo da função produto f(x, y, z) = xyz
com a restrição g(x, y, z) = 100, onde g(x, y, z) = x+ y+ z. Como ∇f(x, y, z) = (yz, xz, xy) e
∇g(x, y, z) = (1, 1, 1), temos que determinar todos os valores x, y, z, λ que satisfazem{
(yz, xz, xy) = λ(1, 1, 1)
x+ y + z = 100
ou seja, 
yz = λ
xz = λ
xy = λ
x+ y + z = 100
Como queremos que ambos os números sejam positivos, então x, y, z 6= 0 e, portanto, λ 6= 0 e
(das três primeiras equações) obtemos x = y = z. Substituindo isto na quarta equação, obtemos
3x = 100 x =
100
3
Logo, os números
100
3
, 100
3
e
100
3
são os três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é
máximo e igual a
f
(
100
3
)
=
(
100
3
)3
=
1000000
27
5