GST1073 8

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 8
Função de Primeiro Grau: Estudo de Sinal e Inequações.
Tema
Função de Primeiro Grau: Estudo de Sinal e Inequações.
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Resolver equações e inequações envolvendo funções afins.
Estrutura de Conteúdo
UNIDADE IV - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU
4.9. Estudo do sinal de uma função afim
 
1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Função Afim Crescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0.
Exemplo: A função f (x) = 2x – 8 é crescente, pois o coeficiente de x (2) é positivo.
 
Função Afim Decrescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a < 0.
Exemplo: A função f (x) = – 2x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x (-2) é negativo.
 
 
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1O GRAU ATRAVÉS 
DE SEU GRÁFICO
 
Estudar o sinal da função do 1o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os 
quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. Sabemos que y = 0 se x = . Para conhecermos 
os valores de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do 
coeficiente a.
1o caso: a > 0
 Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos:
x < Þ y < 0 (função negativa)
x > Þ y > 0 (função positiva)
A forma do gráfico de f é:
 
2o caso: a < 0
 Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos:
x < Þ y > 0 (função positiva)
x > Þ y < 0 (função negativa)
A forma do gráfico de f é:
 
 
Exemplo.
Construir o gráfico da função f (x) = – 2x – 6 e discutir a variação de sinal de f com o 
auxílio do gráfico.
 
x y
0 -6
-3 0
 
Para:
x < -3 Þ y > 0 (a função é positiva)
x > -3 Þ y < 0 (a função é negativa)
3. INEQUAÇÃO PRODUTO
 
Sendo x Î R, consideremos os números 2x + 4 e 6 – 3x. Para que valores de x o produto 
desses números é positivo? Para respondermos a essa pergunta, devemos resolver a 
inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0.
 
Chama-se de “inequação produto” toda inequação apresentada em uma das seguintes 
formas:
f (x) × g (x) > 0
f (x) × g (x) ³ 0
f (x) × g (x) < 0
f (x) × g (x) £ 0
f (x) × g (x) ¹ 0
em que f e g são funções quaisquer.
 
Exemplo:
a. (2x + 4)(6 – 3x) > 0
b. (5x – 10)(6 – x)(3x – 15) £ 0
c. (2x – 3)2(1 – x)3(2 – 8x) < 0
 
Exemplo.
Resolver em R a inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0.
 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x + 4 e g (x) = 6 – 3x, 
temos:
 
f (x) = 2x + 4.
 
 raiz de f : 2x + 4 = 0 Þ x = - 2
 variação de sinal da função f : a > 0 Þ f é crescente
 
g (x) = 6 – 3x:
 
 raiz de g : 6 – 3x = 0 Þ x = 2
 variação de sinal da função g : a < 0 Þ g é decrescente
 
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f.g, temos:
 
Obtivemos os sinais na última linha, aplicando a regra de sinais para o produto 
fg. 
Como nos interessa que esse produto seja positivo, (2x + 4)( 6 – 3x) > 0, temos 
que o conjunto solução é: 
S = {x Î R | -2 < x < 2} ou S = ]-2, 2[
 
 
4. INEQUAÇÃO QUOCIENTE
 
Chama-se de “inequação quociente” toda inequação apresentada em uma das seguintes 
formas:
 
 > 0, ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0
 
em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula.
 
Exemplos: 
(a) < 0 
(b) £ 0 
(c) ³ 0
 
Exemplo.
Resolver em R a inequação £ 0.
 
I. Condição de existência: x – 1 ¹ 0 Þ x ¹ 1
 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x – 3 e g (x) = x – 
1, temos:
 
II. f (x) = 2x – 3:
 raiz de f : 2x – 3 = 0 Þ x = 
 variação de sinal da função f : a > 0 Þ f é crescente
 
I. g (x) = x – 1:
 raiz de g : x – 1 = 0 Þ x = 1
 variação de sinal da função g : a > 0 Þ g é crescente
 
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f/g, temos:
 
Os sinais na última linha foram obtidos através da regra de sinais para o quociente 
f /g. Como nos interessa que quociente seja não-positivo, £ 0, temos que o 
conjunto solução é: 
S = {x Î R | 1 < x £ } ou S = ]1, ]
Note que o intervalo deve ser aberto à esquerda, pois, pela condição de existência, x ¹ 1.
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
EXERCÍCIOS SUGERIDOS
 
1. Construir o gráfico da função f (x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o 
auxílio do gráfico.
 
 
 
2. Resolver em R a inequação < 0.
 
3. Determinar o domínio da função f (x) = .
 
4. Resolver em R a inequação (2x – 8)(6 – 3x) ¹ 0.
Considerações Adicionais
Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, 
indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e 
desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e 
Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.