Introdução ao Cálculo - Aula 13 - Inequação 1 e 2º Grau

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Introdução ao Cálculo 
AULA 13 – Inequação 1º & 2º Grau 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
INEQUAÇÃO 1º GRAU 
 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do 
estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte 
procedimento: 
 
1. Iguala-se a expressão 𝑎𝑥 + 𝑏 a zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos. 
INEQUAÇÃO 1º GRAU 
 
Dependendo do coeficiente angular temos o seguinte estudo de sinais: 
INEQUAÇÃO 1º GRAU 
INEQUAÇÃO 2º GRAU 
 
São inequações do 2º grau ou quadráticas, as inequações constituídas por uma 
lei matemática com a forma de 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄, onde a, b e c são números 
reais e 𝑎 ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade. Assim é uma inequação 
do segundo grau, por exemplo, 𝟑𝒙² + 𝟐𝒙 – 𝟓 > 𝟎 onde 𝑎 = 3, 𝑏 = 2 e 
𝑐 = −5. 
 Exemplos: 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0. 
 
1) 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 
2) 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 
3) 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 
4) 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 
INEQUAÇÃO 2º GRAU 
 
Para solucionar inequações do 2º grau deve-se: 
 
1 – Determinar as raízes das funções; 
2 – Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados 
 com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente a; 
3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal; 
4 – Analisar os resultados e obter a resposta da inequação. 
INEQUAÇÃO 2º GRAU 
Dependendo do coeficiente 𝑎, temos o seguinte estudo de sinais: 
INEQUAÇÃO 2º GRAU 
 
Exemplo: Determine o conjunto solução da inequação: 𝑥² − 5𝑥 + 8 < 0 
 
Solução: 
 
Etapa1: Vamos encontrar as raízes da função. Observe que neste caso, queremos 
encontrar os valores onde a função é negativa. Assim: 
 
Δ = (−5)² − 4.1.8 → Δ = 25 – 32 → Δ = −7 
 
Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logo 
ela não vai pertencer ao conjunto dos reais. 
INEQUAÇÃO 2º GRAU 
 
Exemplo: Determine o conjunto solução da inequação: 𝑥² − 5𝑥 + 8 < 0 
 
Solução: 
 
Etapa 2: Como os valores das raízes encontradas não irão pertencer ao conjunto dos 
reais, a parábola não irá cortar o eixo x. Como sabemos que a =1, portanto a > 0, a 
parábola apresenta a concavidade para cima. 
Etapa 3 e 4: Como queremos f(x) < 0, 
estamos buscando os valores onde a 
função é negativa, porém o gráfico 
mostra que a função não tem valores 
negativos: 
S = { } 
INEQUAÇÃO SIMULTÂNEA 
 
 
 Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade. 
 
 Veja o exemplo: −𝟑 < 𝒙 < 𝟒 
 
 Nessa inequação, os valores de x variam de – 3 até 4. 
 
 O processo de resolução das inequações simultâneas é semelhante ao 
 do sistema de inequações. 
1. Separamos a inequação em duas desigualdades; 
2. Achamos as soluções individuais; 
3. A solução procurada é determinada pela intersecção das respostas individuais. 
 
INEQUAÇÃO SIMULTÂNEA 
 
 
 EXEMPLO 
 
 
 
Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação simultânea 
−𝒙 + 𝟑 < 𝒙 + 𝟏 < 𝟐𝒙 
 
Resolução: Separando as desigualdades, temos: 
 
Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos: 
INEQUAÇÃO SIMULTÂNEA 
 
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções 
individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2: 
 
 1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1} 
 
Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais. 
 
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞) 
CONTINUAÇÃO 
INEQUAÇÃO PRODUTO & QUOCIENTE 
 
Sentenças matemáticas constituídas por desigualdades 
com produto ou quociente de funções. Essas 
inequações em geral, tem sua solução baseada no 
estudo da variação do sinal de uma função do 1º grau 
e 2º grau, e nas propriedades dos sinais do produto e 
do quociente dos números reais. 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
 
Considerando f(x) e g(x) funções da variável x, chamamos de 
inequação-produto desigualdades como: 
 
f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0 
 
A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo 
dos sinais das funções separadamente, seguido da determinação 
dos sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente, identificando os 
valores de x que satisfazem a inequação-produto. 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
 
EXEMPLO 1: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau 
(𝑥 − 4) (𝑥 + 2) > 0 
 
Resolução: Cada um dos fatores (𝑥 − 4) (𝑥 + 2) representa uma função do 1º grau. 
Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamaremos de 𝑦 e 𝑧, 
respectivamente. Para 𝑦 = 𝑥 − 4 e 𝑧 = 𝑥 + 2 temos: 
 
(1) Se 𝑦 = 𝑥 − 4, então sua raiz é obtida fazendo 𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 4. 
 
 
 
 
(2) Se 𝑧 = 𝑥 + 2 então sua raiz é obtida fazendo 𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −2. 
4 
-2 
+ 
+ 
- 
- 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
 
EXEMPLO: Continuação 
 
A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das 
variações de sinais de y e z, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais 
do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. 
 
Assim, a inequação produto (𝑥 − 4) (𝑥 + 2) > 0 está definida no intervalo real 
 
{ 𝒙 ∈ 𝑰𝑹 | 𝒙 < −𝟐 𝒐𝒖 𝒙 > 𝟒} 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
EXEMPLO 2: Determine o conjunto solução da inequação-produto: 
(𝑥² − 7𝑥 + 10). (6𝑥 + 12) ≥ 0 
Solução: 
 
Determinando os zeros das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 7𝑥 + 10 e 𝑔 𝑥 = 6𝑥 + 12 
 
 
 
 
 
 
Vamos estudar os sinais das funções: 
II. 𝑔 𝑥 = 6𝑥 + 12 = 0 
6𝑥 = −12 
𝑥 = −2 
 
I. f x = 𝑥² − 7𝑥 + 10 = 0 
 Δ = (−7)² − 4.1.10 = 9 
𝑥1 =
7 + 3
2
 = 5 & 𝑥2 =
7 − 3
2
 
= 2 
 
INEQUAÇÃO PRODUTO 
EXEMPLO 2:Continuação; 
 
Queremos que f(x).g(x) ≥ 0. 
 
Estudando os sinais do produto das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: 
 
𝑺 = {𝒙 𝜺 𝑰𝑹/ −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝒐𝒖 𝒙 ≥ 𝟓} 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
 
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de inequação-
quociente desigualdades como: 
 
 
 
Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o 
denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, 
tanto para multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais. 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
EXEMPLO: 1. Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1º grau: 
𝑥 − 1
𝑥 + 5
< 0 
 
Resolução: A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto. 
Assim, cada termo do quociente 
𝑥−1
𝑥+5
 representa uma expressão do 1º grau. Iniciamos 
pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente. 
 
Para a = x-1 e b = x+5 temos: 
 
(1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1. 
 
 
 
(2) Se b = x+5 então sua raiz é obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5. 
 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
 
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das 
variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos a regra de 
sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. 
 
EXEMPLO: Continuação 
 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a inequação quociente 
𝑥−1
𝑥+5
 < 0 está definida no intervalo real 
 
𝑺 = { 𝒙 ∈ 𝑰𝑹 | − 𝟓 < 𝒙 < 𝟏} 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
EXEMPLO: 2. Determine o conjunto solução da inequação-quociente: 
 
 
Solução: Determinando o zero das funções 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 4𝑥– 3 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2: 
 
 I. f x = 𝑥² + 4𝑥– 3 = 0 
 Δ = 4² − 4. (−1). (−3) = 4 
 𝑥1 =
−4 + 2
−2
 = 1 & 𝑥2 =
−4 − 2
−2
 = 3 
 
II. 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2 = 0 
−𝑥 = −2 
 𝑥 = 2 
 
Estudando o sinal das funções: 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
EXEMPLO: 2. Continuação; 
 
Queremos que 
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
 ≥ 0. 
 
Estudando os sinaisdo quociente das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: 
 
𝑺 = {𝒙 𝜺 𝑰𝑹/ 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝒐𝒖 𝒙 ≥ 𝟑} 
EXERCÍCIO