AULA 12 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 12
	TEMA
	Função Exponencial: Aplicações
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Resolver problemas envolvendo funções exponenciais
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE VI - FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aplicações
Na aula de hoje trataremos das aplicações de funções exponenciais. 
Diversas são as suas aplicações: Rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e/ou micro-organismos, crescimento populacional, dentre outros. 
Exemplos de aplicações:
1. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
2. Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:
 N(t) = 1200*20,4t 
Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias? 
N(t) = 1200*20,4t 
N(t) = 19200 
1200*20,4t = 19200 
20,4t = 19200/1200 
20,4t = 16 
20,4t = 24 
0,4t = 4 
t = 4/0,4 
t = 10 h 
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h. 
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1. MOTIVAÇÃO/ INTRODUÇÃO
É importante sinalizar ao aluno que as funções exponenciais são de grande importância e utilidade para diversas áreas, de modo geral. São inúmeras as aplicações que envolvem crescimento e decrescimento exponencial. Convém observar que para que se possa estudar estas aplicações é necessário estudar as noções função de exponencial e seus resultados. 
2. ALGUMAS APLICAÇÕES
Recomenda-se que o docente proponha alguns exemplos problemas de funções exponenciais de diversas áreas, propondo-os e resolvendo-os. Diversas são as suas aplicações: Rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e/ou micro-organismos, crescimento populacional, dentre outros. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente a função exponencial no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	1. (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
2. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero? 
3. Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias?
4. No dia 1 de Janeiro de 2010, o Sr. José investiu 10.000 euros num depósito a prazo, remunerado com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros fossem sendo capitalizados, determine o montante que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2014.
5. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre?
6. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final? 
	AVALIAÇÃO
	1. (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Resolução.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 
2. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero? 
Resolução.
6 dias = 6 * 24 = 144 horas 
B(t) = 2t/12 
B(144) = 2144/12 
B(144) = 212 
B(144) = 4096 bactérias 
A cultura terá 4096 bactérias.
3. Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias?
Resolução.
- ao fim de 1 dia: 1.(1 + 0,5) = 1.(1,5) = 1,5 milhões; 
- ao fim de 2 dias: 1,5.(1 + 0,5) = 1,5.(1,5) = (1,5)2 milhões;
- ao fim de 3 dias: (1,5)2.(1 + 0,5) = (1,5)2.(1,5) = (1,5)3 milhões;
...
- ao fim de x dias: (1,5)x milhões.
4. No dia 1 de Janeiro de 2010, o Sr. José investiu 10.000 euros num depósito a prazo, remunerado com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros fossem sendo capitalizados, determine o montante que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2014.
Resolução.
Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros i, o valor do capital acumulado M ao fim de x anos é dado por M = C.(1 + i)x. 
Como em 1 de Janeiro de 2014, decorreram 4 anos, o montante pedido é: 
A = 10.000(1 + 0,03)4 = 10.000(1, 03)4 = 11255,08 euros.
5. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre?
Resolução.
A quantidade inicial ao fim de t anos será .
.
A situação ocorrerá ao fim de 4 anos.
6. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final? 
Resolução.
M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde: 
C = capital 
M = montante final 
i = taxa unitária 
t = tempo de aplicação 
a) Após 12 meses. 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 12 meses 
M = 1200(1+0,015)12 
M = 1200(1,015) 12 
M = 1200*(1,195618) 
M = 1.434,74 
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74. 
b) Montante final 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 6 anos = 72 meses 
M = 1200(1+ 0,015)72 
M = 1200(1,015) 72 
M = 1200(2,921158) 
M = 3.505,39 
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39 
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.