Apostila GA 2º

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4 ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO 
 
PLANO: É o conjunto de todos os pontos P=(x,y,x) do 
espaço, tais que o vetor �������� é ortogonal ao vetor ���. 
 
No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor 
perpendicular a ele, chamado vetor normal aovetor normal aovetor normal aovetor normal ao planoplanoplanoplano e a equação de um 
plano é determinada se são dados um vetor normal ���	e um de seus pontos. 
 
Observe que � ∈ � se, e somente se, ���. �������� 
 0. 
Sejam os pontos � 
 �
, �, ��	�	� 
 �
�, ��, ��� e ��� 
 ��, �, ��		o vetor normal ao 
plano, usando a condição de ortogonalidade ���. �������� 
 0 e o fato que �������� 
 �
 �
�, � � ��, � � ���, temos: ���. �������� 
 0 ��, �, ���
 � 
�, � � ��, � � ��� 
 0 ��
 � 
�� � �	�	� � ��� � �	�� � ��� 
 0 �	
 � �	� � �	� � ���
� � �	�� � �	��� 
 0 
Tomando ���
� � �	�� � �	��� 
 �, temos: �	
 � �	� � �	� � � 
 0. Esta equação 
é chamada de equação geral ou cartesiana do plano �. 
 
 
 
Determinando um plano que: 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
2 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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“É IMPORTANTE OBSERVAR QUE O VETOR NORMAL AO PLANO, EM TODOS OS CASOS ABORDADOS, É 
CALCULADO ATRAVÉS DO PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES REPRESENTADOS NO PLANO ONDE 
ESTES SÃO CHAMADOS DE VETORESVETORESVETORESVETORES----BASE DO PLANOBASE DO PLANOBASE DO PLANOBASE DO PLANO.” 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
4 
 
PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS 
Planos paralelos aos eixos coordenados: 
Uma das componentes do vetor normal ao plano é nula. Então ��� 
 ��, �, �� é 
ortogonal ao eixo ox ou oy ou oz e π//ox ou π//oy ou π//oz , 
respectivamente. 
 
Planos: by+cz+d=0, ax+cz+d=0 e ax+by+d=0 
 
Planos paralelos aos planos coordenados: 
Duas componentes do vetor normal ao plano são nulas. Então ��� 
 ��, �, �� é 
paralelo ao vetor � ou !�	 ou "�� e π//xoz ou π//yoz ou π//xoy , respectivamente. 
 
 
Planos: ax+d=0, by+d=0 e cz+d=0 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DO PLANO 
Um ponto P=(x,y,z) pertencerá ao plano � se, e somente se, o vetor 	
�������� 
 �
 � 
�, � � ��, � � ��� for uma combinação linear de #�� e $�, isto é, se 
existem escalares h e t tais que: 
	
 
Estas são as equações paramétricas do plano �	onde h e t são denominados 
parâmetros que variam de �∞ a �∞, fazendo com que o ponto P percorra o 
plano �. 
 
ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 
Sejam ��: ��	
 � �	�� � �	�� � �� 
 0 e �': �'	
 � �	'� � �	'� � �' 
 0, temos: 
 
 
 
 
 
�()* 
 |,-	�������	.			,.�������||,-�������|.|,.|������� com 0 ≤ * ≤ 0' 
�������� 
 ℎ#�� � 2$� 
� � � 
 ℎ#�� � 2$� 
� 
 � � ℎ#�� � 2$� 
�: 3
 
 
� � ��ℎ � �'2� 
 �� � ��ℎ � �'2� 
 � � ��ℎ � �'2 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
6 
 
ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO 
Sejam �: �	
 � �	� � �	� � � 
 0 e $� o vetor diretor da reta r, temos: 
 
 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO 
a) De dois planos 
Sejam ������� 
 ���, ��, ���_|_	�� e �'����� 
 ��', �', �'�_|_	�', temos: 
 
 
b) De reta com plano 
 
�()* 
 |,	����	.		5��||,�����|.|5|���� 	�(6 0 ≤ * ≤ 0' ou ainda: 
Sabendo que * � ∅ 
 0' ⇒ * 
 0' � ∅ (ângulos 
complementares), então: �()* 
 sen∅ 
Desta forma, escrevemos: 
)��∅ 
 |,	����	.		5��||,�����|.|5|���� 	�(6	0 ≤ ∅ ≤ �2 
Se ��//�', ,-������,.������ ∴ >->. 
 ?-?. 
 @-@. 
Se 
>->. 
 ?-?. 
 @-@. 
 A-A., π1		e	π2 são planos coincidentes. 
Se ��_|_	�', �������	_|_	�'����� ∴ ���' � ���' � ���' 
 0 
Se C//	�, $�	_|_	��� ∴ $�	. ��� 
 0 
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CONDIÇÃO PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM PLANO 
 
 
INTERSEÇÃO 
a) De dois planos não paralelos 
 
 
b) De reta com plano 
 
 
c) De plano com os eixos coordenados 
Se C_|_	�, $�//��� ∴ 	 $� 
 "	��� 
A reta r está contida em �	se: 
a) O vetor	$� de r é ortogonal ao vetor ��� de �; 
b) Um ponto A pertencente a r pertence 
também ao plano �. 
Como os pontos sobre os eixos coordenados são da forma 
(x,0,0), (0,y,0) e (0,0,z), basta tomar na equação do plano 
duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira e, 
desta forma, obter as interseções com os eixos. 
É uma reta r cujas equações devem ser determinadas. 
 
É um ponto ou uma reta r cujas 
coordenadas ou equações devem ser 
determinadas. 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
8 
 
 
 
d) De plano com os planos coordenados 
 
 
E X E R C Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1) Determine a equação geral do plano � que passa pelo ponto A=(1,2,3), 
sendo ��� 
 �3,2, �4� um vetor normal a �. 
2) Escrever a equação cartesiana do plano � que passa pelo ponto 
A=(3,1,-4) e é paralelo ao plano �� 
 
 � � � � � 3 
 0. 
3) Estabelecer a equação cartesiana do plano mediador1 do segmento AB 
dados por A=( 1,2,3) e B=(1,6,7). 
4) Estabelecer a equação do plano que passa pelo ponto A=(2,1,-2) e é 
perpendicular à reta C: FGHIJ 
 KL�I' 
 �. 
5) Determinar a equação geral do plano: 
a) Que passa pelo ponto A=(1,2 -3) e é paralelo aos vetores $����� 
 �3,1,2� 
e $'����� 
 �1,1, �2�. 
b) Determinado pelos pontos A=(1,-3,3), B
 �3,1,2� e C=�1,1, �2�. 
 
1 Plano Mediador do segmento AB: Plano perpendicular a AB e que contém o seu ponto médio. 
R
R
R
r1 
r2 
r3 
Como as equações dos planos coordenados são 
da forma x=0, y=0 e z=0, basta tomar na 
equação do plano uma variável igual a zero para 
se encontrar uma equação nas outras duas 
variáveis e, desta forma, obter as interseções com 
os planos coordenados. 
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c) Que contém as retas C: F� 
 2
 � 1� 
 
 � 1 e C: 3
 
 �1 � 22� 
 42� 
 1 � 22 . 
 
6) Esboce os planos coordenados: 
a) 2y+3z-6=0 
b) x+z-3=0 
c) x+2y-4=0 
d) y=2 
e) z=-1 
f) x=2 
7) Sabendo que o plano � contém o ponto A=(2,2,-1) e a reta C: M
 
 4	� 
 3 , 
determinar sua equação e concluir se � é paralelo a um dos eixos ou 
planos coordenados. 
8) Definir as equações dos planos paralelos aos planos coordenados que 
passam pelo ponto A=(2,3,4). 
9) Escrever as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos 
A=(4,3,1), B=(5,2,-1) e C=(1,1,1). 
10) Determinar o ângulo formado entre os planos: ��: 2
 � 3� � 5� �
8 
 0 e �': 3
 � 2� � 5� � 4 
 0. 
11) Determinar o ângulo formado entre o plano �: 
 � � � 5 
 0 e a 
reta C: F � 
 �2
� 
 2
 � 1. 
12) Mostrar que a reta C: PGL�� 
 KH�L'� 
 0 está contida no plano ��: 2
 � � �
3� � 1 
 0. 
13) Determinar os valores de m e n para que a reta C: GL'� 
 KL�� 
 QHJL' 
esteja contida no plano ��: 6
 � �� � 2� � 1 
 0. 
14) Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto 
A=(3,6,4), intercepta o eixo oz e é paralela ao plano ��: 
 � 3� � 5� �
6 
 0.GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
10 
 
15) Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável 
independente, da reta interseção dos planos: ��: 3
 � � � � � 3 
 0 e �': 
 � 3� � 2� � 4 
 0. 
16) Encontrar a interseção entre os planos: ��: 5
 � 2� � � � 7 
 0 e �': 3
 � 3� � � � 4 
 0. 
17) Determinar o ponto de interseção da reta C: F� 
 2
 � 3� 
 3
 � 4		com o 
plano ��: 3
 � 5� � 2� � 9 
 0. 
18) Encontrar as interseções do plano ��: 2
 � 3� � � � 6 
 0 com os 
eixos e planos coordenados, em seguida esboçar o plano. 
 
Respostas: 
1) �: 3
 � 2� � 4� � 5 
 0 
2) �: 
 � � � � � 2 
 0 
3) �: 4� � 4U � 36 
 0 
4) �:�3
 � 2� � � � 6 
 0 
5) a) �:�4
 � 8� � 2� � 6 
 0	, ��		�: �16
 � 10� � 8� � 22 
 0	�	�) �: 5
 � 3� �� � 4 
 0 
6) ... 
7) �:�
 � 2� � 2 
 0, �	//	oz 
8) x=2; y=3 e z=4 
9) �: 3
 
 4 � ℎ � 32� 
 3 � ℎ � 22� 
 1 � 2ℎ 
10) * 
 48°51′ 
11) * 
 45° 
12) Verdadeiro 
13) n=1 e m=3 
14) C: GLJLJ 
 KLXLX 
 QLILJ 
15) C: F � 
 
 � 1� 
 �2
 � 1 
16) C: F � 
 �2
 � 3� 
 �9
 � 13 ou P=( x, -2x-3,-9x-13) 
17) P=(-32/7,-43/7,-124/7) 
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18) Com os eixos coordenados: Px=(3,0,0), Py=(0,2,0) e Pz=(0,0,6) 
Com os planos coordenados: z=-3y+6 (yoz), z=-2x+6 (xoz) e 
y=-2/3 x+2 (xoy) 
19) (Vissoto Leite) Observe o galpão definido abaixo e em seguida 
determine: 
a) as equações dos planos que contêm os telhados e as paredes; 
b) O volume do galpão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
12 
 
5 DISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIAS 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 
A distância d entre os pontos �Y 
 �
Y, �Y, �Y� e �� 
 �
�, ��, ��� é o módulo do 
vetor �Y�����������. 
 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA: 
 Seja r uma reta definida pelo vetor diretor $� 
 ��, �, �� e pelo ponto �� 
�
�, ��, ��� e ainda �Y 
 �
Y, �Y, �Y� um ponto qualquer do espaço, temos: 
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS: 
 - RETAS CONCORRENTES 
 ��C�, C'� é nula por definição. 
- RETAS PARALELAS ( distância entre ponto e reta ) 
 
 
 
��C�, C'� 
 ����, C'�, �� ∈ C� 
��C�, C'� 
 ���', C��, �' ∈ C' 
���Y, C� 
 |$� Z ���Y���������||$�| 
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- RETAS REVERSAS 
Seja r uma reta definida pelo vetor diretor #�� 
 ��, �, �� e pelo ponto �� 
�
�, ��, ��� e seja s uma reta definida pelo vetor diretor $� 
 ��, �, �� e pelo 
ponto �' 
 �
', �', �'�, temos: 
 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO 
Seja �Y 
 �
Y, �Y, �Y�	um ponto do espaço e �: �
 � �� � �� � � 
 0 a equação 
geral de um plano e ��� 
 ��, �, �� um vetor normal ao plano �,	 temos: 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS ( distância entre ponto e plano ) 
 
 
 
DISTÂNCIA DE UMA RETA A UM PLANO ( distância entre ponto e plano ) 
 
 
��C, )� 
 |[#��, $�, ���'���������\||#�� Z $�| 
���Y, �� 
 |�
Y � ��Y � ��Y � �|√�' � �' � �' 
����, �'� 
 ����, �'�, �� ∈ �� 
����, C'� 
 ���', ���, �' ∈ �' 
��C, ��� 
 ���^ , ���, �^ ∈ C 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
14 
 
E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1) Calcular a distância do ponto A=(2,0,7) à reta C: G' 
 KL'' 
 QHJ� . 
2) Calcular a distância entre as retas: C: F� 
 �2
 � 3� 
 2
 		 e C: P
 
 �1 � 22� 
 1 � 42� 
 �3 � 42		. 
3) Calcular a distância do ponto A=(-4,2,5) ao plano ��: 2
 � � � 2� � 8 
 0. 
4) Determinar a distância da reta C: M
 
 3� 
 4, 
a) Ao plano xoz 
b) Ao plano yoz 
c) Ao eixo dos z 
d) Ao plano ��: 
 � � � 12 
 0. 
5) Calcular a distância entre os planos ��: 2
 � 2� � 2� � 5 
 0	 e �': 
 � � �� � 3 
 0. 
6) Achar a distância do ponto P=(2,-3,5) ao plano ��: 3
 � 2� � 6� � 2 
 0. 
7) Observe o galpão definido abaixo e em seguida calcule: 
a) d(E,B) 
b) d(�_`ab , �acd_� 
c) d(Ced , �`fca� 
d) Interseção dos planos FHIE e GDIH 
e) Equação do plano que contém o 
ponto G e é perpendicular a reta 
definida pelo segmento AD. 
Respostas: 
1) � 
 '√'�gJ 
2) � 
 √13 
3) d=4 
4) y=0; d=5 e � 
 h√'' 
5) � 
 √JX 
6) � 
 4 
 
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6 SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
Antes de iniciar o estudo de sistema polar, é importante que você esteja 
familiarizado com a tabela de ângulos notáveis. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS POLARESSISTEMA DE COORDENADAS POLARESSISTEMA DE COORDENADAS POLARESSISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
Um sistema de coordenadas polares é caracterizado no espaço 
bidimensional por uma semi-reta orientada com extremidade O, chamada de 
eixo polar. O ponto O pertencente a reta é chamado de origem ou de pólo. 
 O 
 O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares: 
� 
 �C, *�, onde r=OP (C i 0) é a distância polar, raio polar ou raio vetor de P 
e * é o argumento, anomalia ou ângulo polar de P ( 0 ≤ * j 2� ). 
 O argumento * será considerado positivo se sua orientação for no 
sentido anti-horário e negativo se no sentido horário e o raio polar r é 
positivo quando assinalado no lado terminal de * e negativo quando 
assinalado no seu prolongamento. 
 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
PASSAGEM DO SISTEMA POLAR PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
Em muitas aplicações se faz necessário mudar as coordenadas de um 
ponto de um referencial cartesiano para um referencial polar ou de um polar 
para um cartesiano. Desta forma, devemos fazer o eixo polar coincidir com o 
eixo cartesiano x e O concomitantemente pólo e origem dos dois sistemas. 
 
 
 
 
 
Como C 
 k�*� haverá uma correspondente alteração para *. 
Observe que � 
 �7,�30°�	por exemplo pode ser representado pelas 
coordenadas polares � 
 �7,330°� ou � 
 ��7,150°�. 
 
 
 0 ≤ * ≤ 2� 
)��	* 
 @>lmln	nonplnqronlm,sp> 
 K^ 	⇒ � 
 C. )��* 
�()	* 
 @>lmln	>At>@m,lmqronlm,sp> 
 G^ 	⇒ 
 
 C. �()* 
C' 
 
' � �'					 �						2u* 
 KG 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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E X EE X EE X EE X E RC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O S :::: 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: 
a) � 
 [�3,3√3\ 
b) 	v 
 [3√3, 3\ 
c) 
' � �' � 
� 
 5 
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: 
a) � 
 w2,� 0Xx 
b) C 
 "* 
c) C' 
 "')���2*� 
3) Represente os pontos A=(5,30o), B=(4,150o), C=(7,-30o), 
D=(4,-120o) e E=(-4,-120o) no sistema de coordenadas polar. 
 
4) Encontrar �C, *�, supondo r<0 e 0≤θ≤2pi para o ponto P de 
coordenadas cartesianas iguais a [√3,�1\. 
5) Represente graficamente: 
a) C 
 1 � �()* 
b) C 
 1 � )��* 
c) C 
 1 � )��* 
d) C 
 1 � 2�()* 
e) C 
 1 � 2�()* 
f) C 
 * 
Respostas: 
1) a)	� 
 �6,120°�, b) v 
 �6,30°� e c) C'�1 � �()*. )��*� 
 5 
2) a) � 
 [√3,�1\, b) 
' � �' 
 "' w�C�2u KGx' e �
' � �'�' 
 "'. 2�
' 
3) ... 4) P(-2,150º), 5) (a,b,c) Cardióides, (d,e) Limaçons, (f,g) Espiral de 
Arquimedes,(h) Rosáceas e (i,j) Circunferência 
f�	C 
 �* 
u�	C 
 �()2* 
ℎ�	C 
 3�()* 
z�	C 
 2 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
18 
 
SISTEMA DE SISTEMA DE SISTEMA DE SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICAS 
Considerando em um plano � um sistema de coordenadas 
polares, adicionando o eixo z temos um sistema de coordenadas 
cilíndricas. 
No sistema cartesiano representamos um ponto no espaço 
através das coordenadas � 
 �
, �, ��,		no cilíndrico representamos 
� 
 �C, *, ��. 
 
 
 
 
PASSAGEM DO SISTEMA CILÍNDRICO PARA O SISTEMA CARTESIANO 
ORTOGONAL 
 Fazendo o eixo polar coincidir com o eixo cartesiano x e O 
concomitantemente pólo e origem dos dois sistemas e o z comum para 
os dois sistemas, temos: 
 
 
 
 
 
 
E X EE X EE X EE X E RC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O S :::: 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico: � 
 �0,1,3� 
2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema polar: C'. )���2*� 
 2�' 
Respostas: 1) 	� 
 �1,90°, 3� e 2) 
� 
 �' 
 
� 
 C. )��* 
 
 C. �()* 
� 
 � 
C' 
 
' � �'					�						2u* 
 �
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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SISTEMA DE SISTEMA DE SISTEMA DE SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICAS 
Um sistema de coordenadas esféricas é caracterizado no espaço 
tridimensional. Um ponto � 
 �{, |, *� em que, conforme a figura, 
{ 
 }~�������}, | é o ângulo entre os vetores ~������� e "�� ( colatitude ou distância 
zenital de P) e,	* é um ângulo polar associado à projeção de P sobre o 
plano xy (longitude ou azimute de P). 
 
 
Para converter de coordenadas esféricas para coordenadas 
retangulares, consideramos que: 
 
																			� 
 �{, |, *� 
 
I M PO RTÂNC I A : I M PO RTÂNC I A : I M PO RTÂNC I A : I M PO RTÂNC I A : Permite a localização de um ponto qualquer em um 
espaço de formato esférico (localização espacial). VeVeVeVer vídeo GPS no plano de ensino.r vídeo GPS no plano de ensino.r vídeo GPS no plano de ensino.r vídeo GPS no plano de ensino. 
{ i 0 
0 ≤ * j 2� 
0 ≤ | ≤ � 
 
 {. )��|. �()* 
� 
 {. )��|. )��* 
� 
 {. �()| 
{' 
 }~�������}' 
 
' � �'��'					 
		2u* 
 �
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
20 
 
E X EE X EE X EE X E RC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O SRC Í C I O S :::: 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: 
a) � 
 �2,�2,0� 
b) v 
 wh' , h' , � h'√2x 
c) 5
' � 5�' 
 8� 
 
2) Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano: 
a) � 
 w5, 0' , J0' x 
b) * 
 45° 
c) | 
 30° 
Respostas: 
1) a) 	� 
 [2√2, 90°, 315°\, b) v 
 �5,135°, 45°� e c) 5{)��'|. �()�2*� 
 8�()| 
2) a) � 
 �0,�5,0�, b) y=x e c)3( x2+y2)=z2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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7 SECÇÕES CÔNICAS 
 
Esse capítulo trata de equações do segundo grau, no plano: a parábola, a 
elipse, a circunferência e a hipérbole. São curvas obtidas pela interseção de 
um plano com um cone circular de duas folhas, por isso são chamadas de 
cônicas. 
 
 
Observações:Observações:Observações:Observações: 
Parábola: pi é geratriz 
Elípse: pi oblíquo ao eixo. Corta uma folha 
Hipérbole: pi ao eixo. 
PARÁBOLAPARÁBOLAPARÁBOLAPARÁBOLA 
Definição:Definição:Definição:Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente 
de um ponto fixo F (foco) e de uma reta d (diretriz), situados no mesmo 
plano. 
Consideremos no plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d . 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
22 
 
 
Elementos:Elementos:Elementos:Elementos: 
F: foco. 
d: reta diretriz. 
EIXO: reta que passa pelo foco e é ∟ a diretriz. 
VÉRTICE: ponto de interseção da parábola com o seu eixo. 
 
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE VÉRTICE NA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE VÉRTICE NA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE VÉRTICE NA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE VÉRTICE NA ORIGEM DO SISTEMA. 
1º caso:1º caso:1º caso:1º caso: O eixo de simetria da parábola é o eixo dos y. 
 
Tomando d(P,F)=d( P,P’), temos: 
 
 
Elevando ao quadrado ambos os membros e resolvendo os produtos 
notáveis, encontramos a equação reduzida (ou canônica) da parábola com 
vértice na origem e cujo eixo de simetria é o eixo y. 
x2 = 2py 
2
22
2
2
)()0(
2






++−=−+





−
pyxxypx
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Como 2 py é sempre positivo ou nulo ( x2 ≥ 0 ) os sinais de p e y são sempre 
iguais. 
Então: 
Se p > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
Se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
2° caso:2° caso:2° caso:2° caso: O eixo de simetria da parábola é o eixo dos x. 
De modo análogo, para a parábola com eixo de simetria em x, a equação 
reduzida da parábola fica definida por: 
y2 = 2px 
Se p > 0 a parábola tem concavidade voltada para a direita. 
 
Se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
24 
 
E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1.Determinar o foco e as equação da diretriz da parábola: 
a) x2 = 8 y 
b) y2 = - 2 x 
2. Determinar a equação reduzida da parábola, sabendo que : 
a) V ( 0,0 ) e F ( 1, 0 ) 
b) V ( 0,0 ) e d : y=3 
c) V (0,0) , passa pelo ponto P ( -2, 5 ) e tem concavidade voltada para 
cima. 
Respostas: 
1) a) d: y=-2 e F=(0,2) e b) d: x=1/2 e F=(-1/2,0) 
2) a) y2=4x, b) x2=-12y e c) x2=4/5 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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TRANSLAÇÃO DE EIXOS:TRANSLAÇÃO DE EIXOS:TRANSLAÇÃO DE EIXOS:TRANSLAÇÃO DE EIXOS: 
 
 
 
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM DO SISTEMA. 
 
1° caso:1° caso:1° caso:1° caso: Eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo y. 
 
 
2° caso: 2° caso: 2° caso: 2° caso: Eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo x. 
 
 
 
x = h + x’ 
y = k + y’ 
 
x’ = x - h 
y’ = y - K 
 
V = ( h,k ) 
x’ 2 = 2 p y’ 
( x - h )2 = 2 p ( y - k ) 
 
V = ( h,k ) 
y’ 2 = 2 p x’ 
( y - k )2 = 2 p ( x - h ) 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
26 
 
E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1. Determinar a equação da parábola de vértice ( 3 , -1 ) sabendo que 
y - 1 = 0 é a equação da diretriz. 
2. Determinar a equação da parábola de foco em F ( 1 , 2 ) sendo 
 x = 5 a equação da diretriz. 
3. Determinar o vértice,um esboço do gráfico, o foco e a equação da diretriz 
da parábola y2 + 6 y – 8 x + 1 = 0 
4. Determinar a equação da parábola que tem concavidade voltada para cima 
e que passa pelos pontos ( 0 , 1 ), ( 1 , 0 ), e ( 3 , 0 ). 
5. Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80cm e profundidade, 
sobre seu eixo, de 20cm. Determine a distância, em relação ao vértice do 
farol em que a lâmpada deve ser posicionada. 
 
Respostas: 
1) � 
 � �g 
' � JI 
 � �g 
2) 2) y2-4y+8x-20=0 
3) 3) v=(-1,-3) e d: x=-3 
4) � 
 �J 
' � IJ 
 � 1 
5) 20cm 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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APLICAÇÕES DA PARÁBOLAAPLICAÇÕES DA PARÁBOLAAPLICAÇÕES DA PARÁBOLAAPLICAÇÕES DA PARÁBOLA 
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais 
importantes são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um 
espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um 
conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o 
espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos 
paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da 
superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica 
importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o 
conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental. 
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado 
em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de 
ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas 
pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de 
raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico 
e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um 
único lugar, denominado o foco da parábola, onde 
estará um aparelho de receptor que converterá as 
ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV 
poderá transformar em ondas que por sua vez 
significarão filmes, jornais e outros programas que 
você assiste normalmente. 
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto 
no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) 
visando alcançar a maior distância possível 
tanto na horizontal como na vertical, a curva 
descrita pelo objeto é aproximadamente uma 
parábola, se considerarmos que a resistência 
do ar não existe ou é pequena. 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
28 
 
 
Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus. 
 
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas 
anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor: Em Resistência dos 
Materiais, o diagrama do Momento Fletor 
de uma viga submetida a uma carga 
uniforme é uma parábola. 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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ELIPSEELIPSEELIPSEELIPSE 
Definição:Definição:Definição:Definição: É o lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja soma das 
distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. 
 
d ( F1 , P ) + d ( F2 , P ) = 2 a 
Também temos que d( F1 , F2 ) = 2 c, logo 2 a > 2 c. 
Elementos:Elementos:Elementos:Elementos: 
 
Focos:Focos:Focos:Focos: F1 e F2 
Distância focal:Distância focal:Distância focal:Distância focal: d ( F1 , F2 ) = 2 c 
Centro:Centro:Centro:Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2 
Eixo maior :Eixo maior :Eixo maior :Eixo maior : é o segmento A1A2 de comprimento 2 a. 
Eixo menor:Eixo menor:Eixo menor:Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2 b. 
Vértices :Vértices :Vértices :Vértices : A1 ,A2 ,B1 e B2. 
Excentricidade:Excentricidade:Excentricidade:Excentricidade: desvio ou afastamento do centro. 
 e = 
€

 onde 0 < e < 1 dado que c < a 
Quanto mais próximo de zero for o valor de eeee, mais a elipse se aproxima de 
uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o 
valor de eeee se aproxima de 1 . 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
30 
 
 
 
 
Em toda elipse vale a relação: a2 = b2 + c2 
 
EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação da elipse de centro na origem do sistema.da elipse de centro na origem do sistema.da elipse de centro na origem do sistema.da elipse de centro na origem do sistema. 
1111° caso: ° caso: ° caso: ° caso: Eixo maior está sobre eixo x. 
 
Tomando F1 ( -c , 0 ) e F2 ( c , 0 ) e d ( P1 , F1 ) + d ( P1 , F2 ) = 2a, temos: 
 
 
Transpondo o segundo radical ao segundo membro, e em seguida elevando 
ao quadrado ambos os membros e resolvendo os produtos notáveis, 
encontramos a equação reduzida (ou canônica) da elipse de centro na origem 
e focos sobre o eixo x 
'
�'
+	
�'
�'	
= 1 
aycxycx 2)0()()0()( 2222 =−+−+−++
Uma vez fixo o valor de a, há 
uma correspondência focal: 
-quanto mais a elipse se 
aproxima de uma circunferência, 
menor a distância entre os focos; 
-quanto mais achatada for a 
elipse, maior a distância entre os 
focos. 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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2° caso: 2° caso: 2° caso: 2° caso: Eixo maior está sobre o eixo y. 
 
Tomando F1 ( 0 , -c ) e F2 ( 0 , c ) e tendo em vista que a2 = b2 + c2 então a2 
> b2, isto é, a > b o maior dos denominadores na equação reduzida 
representa o número a2 onde aaaa é a medida do semi – eixo maior. 
'
�'
+	
�'
�'	
= 1 
 
Observações: 
- Se a2 é o denominador de x2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo 
ao eixo x. 
- Se a2 é o denominador de y2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo 
ao eixo y. 
- Se F1 = F2 temos c=0, logo usando a relação a2=b2+c2, temos que a=b. 
Desta forma, da equação canônica da elipse obtemos a equação de uma 
circunferência de raio igual a ‘a’:	
'
�'
+	
�'
�'	
= 1⇒ 
2 + �2 = �2 
Se e = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F1 e F2 
coincidem com o centro da circunferência. 
Se e = 1tem-se o segmento F1 F2. 
 
 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
32 
 
E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
Para as equações: 
1. 9 x2 + 25 y2 = 225 
2. x2 + y2 - 9 = 0 
Determine: 
a) a medida dos semi-eixos. 
b) um esboço do gráfico. 
c) os focos. 
d) a excentridade. 
3. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0 ) e a medida 
do eixo maior é 8. Determine sua equação. 
Respostas: 
1. a=5, b=3,F1=(-4,0), F2=(4,0) e e=4/5 
2. a=b=3, F1=F2=C=(0,0) e e=0 
3. 
G.
�X
+
K.

=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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EQUAÇÃO DA ELIPSE DE EQUAÇÃO DA ELIPSE DE EQUAÇÃO DA ELIPSE DE EQUAÇÃO DA ELIPSE DE CENTRO FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.CENTRO FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.CENTRO FORA DA ORIGEM DO SISTEMA.CENTRO FORA DA ORIGEM DO SISTEMA. 
Seja C=( h,k ) o centro da elipse, então podemos definir as equações das 
elipses onde: 
1111° caso: ° caso: ° caso: ° caso: Eixo maior é paralelo ao eixo x. 
(
 − ℎ)'
�'
+	
(� − ")'
�'	
= 1 
2° caso: 2° caso: 2° caso: 2° caso: Eixo maior é paralelo ao eixo y. 
(
 − ℎ)'�'
+	
(� − ")'
�'	
= 1 
 
E X E R C Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1. Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro 
C ( 4,-2 ), excentricidade e = 
�
'
 e eixo menor de medida 6. Qual a equação 
desta elipse? 
2. Determinar o centro, os vértices, os focos, e a excentricidade da elipse de 
equação 4 x2 + 9 y2 – 8 x – 36 y + 4 = 0. 
3. Observe a elipse representada na figura abaixo, calcule a distância focal 
desta elipse. 
 
4. O teto de um saguão com 10m de largura tem a forma de uma semielipse 
com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Determine a 
altura do teto a 2m de cada parede. 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
34 
 
Respostas: 
1.
 
(GLI).
‚
+	
(KH').
�'
= 1 
2. C=(1,2), A1=(4,2), A2=(-2,2), F1=(1+√5,2) F2=(1-√5,2), B1=(1,4) e B2=(1,0) 
3. d(F1, F2 )=2√7 
4. 6 +
�'
h
=
I'
h
6 
 
 
APLICAÇÕES DA ELIPSEAPLICAÇÕES DA ELIPSEAPLICAÇÕES DA ELIPSEAPLICAÇÕES DA ELIPSE 
 
A elipse é frequentemente usada na Arquitetura, no Design e na Engenharia. As superfícies 
geradas por cónicas elipsóides têm propriedades reflectoras que se usam para criar 
condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas. 
 
Coliseu de Roma 
 
O dispositivo de iluminação dos dentistas consiste num espelho com a forma de um arco 
de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é 
concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o 
ponto desejado. 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLEHIPÉRBOLEHIPÉRBOLE 
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, 
em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. 
l d ( P1 , F1 ) – d (P1 , F2 ) l = 2 a 
 
ELEMENTOS:ELEMENTOS:ELEMENTOS:ELEMENTOS: 
Focos: F1 e F2. 
Distância focal : 2 c 
Centro : Ponto médio c do segmento F1 F2. 
Vértices: A1 e A2. 
Eixo real ou transverso: é o segmento A1 A2 de comprimento 2 a. 
Eixo imaginário ou conjugado: Segmento B1B2 de comprimento 2 b. 
r1 e r2 são chamadas de assíntotas da hipérbole 
Excentricidade: e = 
€

 , c, c, c, como c > a então e > 1 
 
- Se tomarmos ‘a’ menor, o retângulo será mais estreito, desta forma a 
abertura será maior. 
- Para verificar c, esboce uma circunferência de centro em c e raio F2. 
Curva com dois ramos. 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
36 
 
- Em todo hipérbole vale a relação: 					�'		 =	�' + �' 
 
EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO NA ORIGEMEQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO NA ORIGEMEQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO NA ORIGEMEQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO NA ORIGEM DO SISTEMADO SISTEMADO SISTEMADO SISTEMA 
1111° caso: ° caso: ° caso: ° caso: Eixo real está sobre o eixo x. 
Seja P = (x, y) um ponto genérico da hipérbole e os focos F1 = (- c, 0) e 
F2 = (c, 0). Por definição, temos: 
|d(P, F1) - d(P, F2) | = 2a 
 
Transpondo o segundo radical ao segundo membro, e em seguida elevando 
ao quadrado ambos os membros e resolvendo os produtos notáveis, 
encontramos a equação reduzida (ou canônica) da hipérbole de centro na 
origem e focos sobre o eixo x. 
	
 
Deforma análoga, temos: 
2° caso: 2° caso: 2° caso: 2° caso: Eixo real está sobre o eixo y. 
 
 
	
'
�'	
−	
�'
�'
= 1 
 
	
�'
�'	
−	
'
�'
= 1 
aycxycx 2)0()()0()( 2222 =−+−−−++
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1. Para a hipérbole 9 x2 - 7 y2 – 63 = 0 
calcule: 
a) a medida dos semi-eixos. 
b) um esboço do gráfico. 
c) os vértices. 
d) os focos. 
e) a excentricidade. 
f) as equações das assíntotas. 
2. Uma hipérbole tem focos F1 ( -5 , 0 ) e F2 ( 5 , 0 ) e a medida do eixo real é 
igual a 6. Determine a sua equação. 
Respostas: 
 
EQUAÇÃO EQUAÇÃO EQUAÇÃO EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE CODA HIPÉRBOLE CODA HIPÉRBOLE CODA HIPÉRBOLE COM FOCO M FOCO M FOCO M FOCO FORA DAFORA DAFORA DAFORA DA ORIGEM DO SISTEMAORIGEM DO SISTEMAORIGEM DO SISTEMAORIGEM DO SISTEMA 
1111° caso: ° caso: ° caso: ° caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x. 
(
 − ℎ)'
�'
	− 	
(� − ")'
�'	
= 1 
2° caso: 2° caso: 2° caso: 2° caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos y. 
(� − ")'
�'	
−
(
 − ℎ)'
�'
		= 1 
 
E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S :E X E RC Í C I O S : 
1. Determine a equação da hipérbole de vértice A1 ( 1 , -2 ) e 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
38 
 
 A2( 5 , -2 ) sabendo que F ( 6 , -2 ) é um de seus focos. 
2. Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da 
hipérbole de equação 9 x2 - 4 y2 – 54 x + 8 y + 113 = 0 
Respostas: 
 
 
ALGUMAS APLIALGUMAS APLIALGUMAS APLIALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICASCAÇÕES PRÁTICASCAÇÕES PRÁTICASCAÇÕES PRÁTICAS 
Telescópio de reflexão é constituído basicamente por dois espelhos, um maior, 
chamado primário, que é parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Os dois espelhos 
dispõem-se de modo que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da 
primeira coincida com um dos da segunda. Quando os raios de luz se reflectem no espelho 
parabólico são dirigidos para o foco, pela propriedade de reflexão da parábola. Como este 
também é foco da hipérbole, pela propriedade de reflexão desta os raios de luz reflectem-
se no espelho hiperbólico e seguem em direcção ao outro foco da hipérbole. Os raios de 
luz passam através de um orifício no centro do espelho primário, atrás do qual está uma 
lente-ocular que permite corrigir ligeiramente a trajectória da luz, que chega finalmente 
aos olhos do observador ou à película fotográfica. A vantagem deste tipo de telescópio 
reside no facto de ter um comprimento muito mais pequeno do que os telescópios de 
refracção (isto é, de lentes) com o mesmo poder de ampliação. Por exemplo, uma objectiva 
fotográfica com 500 mm de distância focal é muito grande e pesada se for de refracção, o 
que já não acontece se for de reflexão, sendo pequena e manejável, o que pode ser 
vantajoso. 
O telescópio Hubble (em órbita desde 1990 a 600 km da Terra), se baseia nestas 
propriedades de reflexão. O seu espelho primário tem 2.4 metros de diâmetro. Como está 
fora da atmosfera, as imagens que o telescópio Hubble recolhe do espaço são muito mais 
claras e rigorosas do que as recebidas pelos telescópios utilizados no solo, pois os raios de 
luz não são absorvidos nem distorcidos pela atmosfera. Um telescópio de refracção com o 
mesmo poder de ampliação do Hubble seria tão grande e pesado que nenhum foguete 
seria capaz de o pôr em órbita. 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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8 SUPERFÍCIES QUÁDRICASUPERFÍCIES QUÁDRICASUPERFÍCIES QUÁDRICASUPERFÍCIES QUÁDRICASSSS 
 
No plano, através de uma equação do segundo grau de duas variáveis, 
podemos definir as equações das cônicas: parábola, elipse, circunferência e 
hipérbole. De forma semelhante, no espaço, através de uma equação do 
segundo grau de três variáveis, podemos definir as superfícies quádricas. 
Umaequação do segundo grau de três variáveis, no espaço pode ser 
definida por: 
�
' + ��' + ��' + 2�
� + 2�
� + 2k�� + 6
 + �� + ƒ� + � = 0 
onde o gráfico dessa equação é chamado de superfície quádrica quando pelo 
menos um dos coeficientes a, b,c, d, e ou f é diferente de zero. 
E X EM P LO S :E X EM P LO S :E X EM P LO S :E X EM P LO S : 
S U P E R F Í C I E S Q U Á D R I C A S E E Q U A Ç Õ E S 
22),( yxyxf −= 2250),( yxyxf −−= 
 
QUÁDRICAS E SUAS EQUAÇÕES NA FORMA REDUZIDAQUÁDRICAS E SUAS EQUAÇÕES NA FORMA REDUZIDAQUÁDRICAS E SUAS EQUAÇÕES NA FORMA REDUZIDAQUÁDRICAS E SUAS EQUAÇÕES NA FORMA REDUZIDA 
(sem termos lineares na equação) 
 
S U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A C E N T R A D A 
A forma canônica ou padrão da superfície quádrica centrada é definida por: 
„
'
�'
„
�'
�'
„
�'
�'
= 1 
5 2.5
0
-2.5 -5
52.5
0-2.5
-5
25
12.5
0
-12.5
-25
x y
z
x y
z
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
40 
 
As possíveis combinações de sinais permitem concluir apenas três tipos de 
superfícies. 
S e t o d o s o s c o e f i c i e n t e s f o r e m n e g a t i v o s , d i z e m o s q u e n ã o e x i s t e 
l u g a r g e o m é t r i c o . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A N Ã O C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A N Ã O C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A N Ã O C E N T R A D AS U P E R F Í C I E Q U Á D R I C A N Ã O C E N T R A D A 
A forma canônica ou padrão da superfície quádrica não centrada é definida 
por: 
„
G.
>.
„
K.
?.
= ��; „
G.
>.
„
Q.
@.
= ��; 	„
K.
?.
„
Q.
@.
= �
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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As possíveis combinações de sinais permitem concluir apenas dois tipos de 
superfícies, tais que os coeficientes dos termos de segundo grau tenham o 
mesmo sinal ou sinal contrário. 
 
 
'
�'
+
�'
�'
= �� 
 
 
 
�'
�'
−
'
�'
= �� 
 
 
S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E C Ô N I C AC Ô N I C AC Ô N I C AC Ô N I C A 
 
É a superfície gerada por uma reta (geratriz) que se move apoiada em 
qualquer curva plana (diretriz) e passando sempre por um ponto dado não 
situado no plano desta curva. 
 
 
 
'
�'
+
�'
�'
−
�'
�'
= 0 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
42 
 
 
S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E S U P E R F Í C I E C I L Í N D R I C AC I L Í N D R I C AC I L Í N D R I C AC I L Í N D R I C A 
É a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa s 
em contato permanente com a curva plana C. 
 
Se a diretriz for a parábola: 
' = 2� 
a equação da superfície cilíndrica 
também será 
' = 2�. 
T R A Ç OT R A Ç OT R A Ç OT R A Ç O 
Se uma superfície quádrica for cortada pelos planos coordenados ou 
por planos paralelos aos planos coordenados, a curva obtida através da 
interseção será uma cônica, onde a interseção da superfície com um dos 
planos coordenados é chamada de traço da superfície no plano. 
 
E X EM P LO :E X EM P LO :E X EM P LO :E X EM P LO : 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Algumas vezes, além das interseções com os planos coordenados, é importante 
também obter as seções por planos z=k, obtendo as curvas de nível k representadas no 
plano xy. 
E X EE X EE X EE X E R C Í C I O SR C Í C I O SR C Í C I O SR C Í C I O S :::: 
1) Esboce as superfícies: 
a) 
' + �' + �' = 4 
b) � = 4
' + �' 
c) �' = 4(
' + �') 
d) 
' = 2� 
e) 
G.
I
+
Q.
‚
= 1 
f) � = 
' 
g) 
' + �' = 1 
h) �' + �' = 1 
i) 
' +
K.
‚
+
Q.
I
= 1 
j) � = 4
' + �' 
k) � = �' − 
' 
 
2) Classifique a quádrica e esboce o gráfico: 
a) 4
' − �' + 2�' + 4 = 0 
b) 
' − 6
 − � + 2�' + 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICAANALÍTICA 
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Referências Bibliográficas: 
QUEIRÓ, João Felipe. A elipse, a parábola e aA elipse, a parábola e aA elipse, a parábola e aA elipse, a parábola e a hipérbole hipérbole hipérbole hipérbole ---- propriedades e aplicaçõespropriedades e aplicaçõespropriedades e aplicaçõespropriedades e aplicações. 
Universidade de Coimbra. 
STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE,Paulo. Geometria analítica.Geometria analítica.Geometria analítica.Geometria analítica. 2ed. São Paulo: McGraw-Hill, 
1987. 
VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analíticaÁlgebra vetorial e geometria analíticaÁlgebra vetorial e geometria analíticaÁlgebra vetorial e geometria analítica. 1º vol..5ed. Curitiba: Editora 
da UFPR, 1991. E: Cônicas e quádricas.Cônicas e quádricas.Cônicas e quádricas.Cônicas e quádricas. 4ed. Curitiba: Artes Gráficas Ed. Unificado, 
1994. 2º vol.. 
APLICAÇÕES. Disponível em: 
<http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/eq2g/quadratica.htm>. Acesso em 17 de 
maio. 2013. 
APLICAÇÕES. Disponível em: 
<http://users.prof2000.pt/forma.tic/internet/cfae-arganil/2003/grupo02/pag03.htm> 
Acesso em 17 de maio. 2013. 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL. Disponível 
em: 
http://www.docstoc.com/docs/21953675/GEOMETRIA-ANAL%C3%8DTICA-1a-LISTA-DE-EXERC%C3%8DCIOS-
VETORES 
Acesso em 17 de julho de 2013.