Lista 2 Cálculo 2

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Ca´lculo 2 - Lista 2
1. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1).
(a) Calcule f(1, 1).
(b) Calcule f(e, 1).
(c) Determine e esboce o domı´nio de f .
(d) Determine a imagem de f .
2. Determine e esboce o domı´nio de f(x, y) =
√
1 + x− y2. Qual e´ a imagem de f?
3. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o:
(a) f(x, y) =
√
xy.
(b) f(x, y) =
√
1− x2 −
√
1− y2.
(c) f(x, y) =
√
y +
√
25− x2 − y2.
(d) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2.
4. Esboce o gra´fico da func¸a˜o:
(a) f(x, y) = 3.
(b) f(x, y) = y.
(c) f(x, y) = y2 + 1.
(d) f(x, y) = 3− x2 − y2.
(e) f(x, y) =
√
16− x2 − 16y2.
(f) f(x, y) =
√
x2 + y2.
5. Suponha que lim
(x,y)→(3,1)
f(x, y) = 6. O que podemos afirmar sobre o valor de f(3, 1)? E se a
func¸a˜o for cont´ınua?
6. Em cada situac¸a˜o verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o.
(a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2)
(b) lim
(x,y)→(6,3)
xy cos(x− 2y)
(c) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
(d) lim
(x,y)→(1,0)
ln
(
1 + y2
x2 + xy
)
(e) lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
(g) lim
(x,y,z)→(3,0,1)
e−xysen
(pi
2
z
)
1
7. Onde a func¸a˜o e´ cont´ınua?
(a) f(x, y) =
1
x2 − y
(b) f(x, y, z) =
√
y
x2 − y2 + z2
8. Se f(x, y) = 16 − 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2). Interprete esses nu´meros como in-
clinac¸o˜es.
9. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o:
(a) f(x, y) = 3.
(b) f(x, y) = y2 + 1.
(c) f(x, y) = 3x− 2y4.
(d) z = xe3y.
(e) z = (2x+ 3y)10.
(f) f(r, s) = r ln(r2 + s2).
(g) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4.
(h) w = zexyz.
(i) f(x, y, z, t) = xyz2tg(yt).
10. Use a definic¸a˜o de derivadas parciais (como limites) para determinar fx(1, 2) e fy(1, 2), onde
f(x, y) = x2y − x3y.
11. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = x3y5 − 2xy4; fxx, fxy, fyy.
(b) z = xe3y; fxx, fxy, fyy.
(c) z = 2xy2 + 3x3y; fxxy, fyyy.
(d) f(r, s, t) = r ln(rs2t3); frss, frst.
(e) w =
x
y + 2z
;
∂3w
∂z∂y∂x
,
∂3w
∂x2∂y
.
12. A energia cine´tica de um corpo com massa m e velocidade v e´ dada por K = 12mv
2. Verifique
que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
13. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especificado:
(a) z = 4x2 − y2 + 2y; P = (−1, 2, 4).
(b) z =
√
xy; P = (1, 1, 1).
(c) z = y cos(x− y); P = (2, 2, 2).
14. Determine a diferencial de cada func¸a˜o a seguir:
(a) z = x3 ln(y2)
2
(b) m = p5q3
15. Use a Regra da Cadeia para determinar o que se pede:
(a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3; dz
dt
.
(b) z =
√
x2 + y2, x = e2t, y = e−2t;
dz
dt
.
(c) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t; dw
dt
.
(d) z = x2y3, x = s cos t, y = s sent;
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
(e) R = ln(u2 + v2 + w2), u = x+ y, v = 2x− y, w = 2xy; ∂R
∂x
(1, 1) e
∂R
∂y
(1, 1).
(f) u = x2 + yz, x = pr cos θ, y = pr senθ, z = p+ r;
∂u
∂p
,
∂u
∂r
,
∂u
∂θ
quando p = 2, r = 3, θ = 0.
16. Se z = f(x, y), onde x = s+ t e y = s− t, verifique que(
∂z
∂x
)2
−
(
∂z
∂y
)2
=
∂z
∂s
∂z
∂t
.
3