Lista 3 Cálculo 2

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Ca´lculo 2 - Lista 3
1. Suponha que (0, 2) seja um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f com derivadas de segunda ordem
cont´ınuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f em (0, 2)?
(a) fxx(0, 2) = −1, fxy(0, 2) = 6, fyy(0, 2) = 1
(b) fxx(0, 2) = −1, fxy(0, 2) = 2, fyy(0, 2) = −8
(c) fxx(0, 2) = 4, fxy(0, 2) = 6, fyy(0, 2) = 9
2. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de sela das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4
(b) f(x, y) = e4y−x2−y2
3. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x, y) = 1 + 4x− 5y, cujo domı´nio D e´ a
regia˜o triangular fechada com ve´rtices (0, 0), (2, 0) e (0, 3).
4. Resolva os seguintes problemas de otimizac¸a˜o:
(a) Determine treˆs nu´meros positivos cuja soma e´ 100 e cujo produto e´ ma´ximo.
(b) Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que esta˜o mais pro´ximos do ponto (4, 2, 0).
5. Calcule a integral dupla, identificando-a antes como o volume de um so´lido.
(a)
¨
R
3dA, onde R = {(x, y); −2 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 6}.
(b)
¨
R
(4− 2y)dA, onde R = [0, 1]× [0, 1].
(c)
¨
R
√
9− y2dA, onde R = [0, 4]× [0, 2].
6. Seja f(x, y) = 12x2y3. Calcule
ˆ 5
0
f(x, y)dx e
ˆ 1
0
f(x, y)dy.
7. Calcule as seguintes integrais:
(a)
ˆ 4
2
ˆ 1
−1
(x2 + y2)dy dx.
(b)
ˆ 2
0
ˆ 1
0
(2x+ y)8dx dy.
(c)
ˆ 2pi
pi
ˆ 7
4
rdr dθ.
(d)
¨
R
xy2
x2 + 1
dA, onde R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1 e − 3 ≤ y ≤ 3}.
8. Encontre o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16− x2 e pelo plano
y = 5. Esboce o so´lido.
9. Determine o volume do so´lido limitado pelos planos coordenados e o plano 3x + 2y + z = 6.
Esboce o so´lido.
1
10. Calcule as seguintes integrais:
(a)
ˆ 2
0
ˆ 2y
y
xydx dy.
(b)
ˆ 1
0
ˆ v
0
√
1− v2du dv.
(c)
¨
D
x3dA, onde D = {(x, y); 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ lnx}.
(d)
¨
D
(x+ y)dA, onde D e´ limitada por y =
√
x e y = x2.
11. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e mude a ordem de integrac¸a˜o:
(a)
ˆ 4
0
ˆ √x
0
f(x, y)dy dx.
(b)
ˆ 1
0
ˆ 1
y
ey/xdx dy.
12. Em cada caso, esboce a regia˜o de integrac¸a˜o dada em coordenadas polares e calcule a integral:
(a)
¨
D
xydA, onde D e´ o disco com centro na origem e raio 3.
(b)
¨
R
(x+ y)dA, onde R = {(x, y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ x}.
13. Determine o volume do so´lido formado pelo interior da esfera x2 +y2 +z2 = 16 e fora do cilindro
x2 + y2 = 4.
14. Calcule as seguintes integrais triplas:
(a)
˚
E
(xz − y3)dV , onde E = {(x, y, z); −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1}.
(b)
ˆ 1
0
ˆ z
0
ˆ x+z
0
6xzdy dx dz.
(c)
˚
E
2xdV , onde E = {(x, y, z); 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2 e 0 ≤ z ≤ y}.
15. Use integral tripla para determinar o volume do so´lido limitado pelos planos coordenados e
2x+ 2y + z = 4.
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