Apostila de Raciocinio Logico ALZ

Prévia do material em texto

Apostila de 
Raciocínio 
Lógico
Entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos 
ou eventos fi cơ cios. Dedução de novas relações fornecidas e avaliação das condições 
usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e análise da 
lógica de uma situação. Raciocínio verbal, raciocínio matemáƟ co, raciocínio sequencial. 
Orientação espacial e temporal. Formação de conceitos e discriminação de elementos .
SUMÁRIO
Raciocínio Lógico-QuanƟ taƟ vo
LINKs VIDEOS de RLM no YOU TUBE...
https://www.youtube.com/channel/UCx-6QpvDZECGfQ3WHrX5Rhg/videos 
https://www.youtube.com/watch?v=bLw38T6hk0w
https://www.youtube.com/watch?v=V9XgIGKVMm0
https://www.youtube.com/watch?v=MF729V1-NQY
https://www.youtube.com/watch?
v=GlVa3RA9tKI&list=PL9w7bx0oXE0vplJrzbVafNhYnL42SsW3y
https://www.youtube.com/watch?v=K0uaSwYki8s
https://www.youtube.com/watch?v=_0L_YiM5Uw8&list=PL4OAe-
tL47saHhA8ywUFm-Trjk06ocCny
https://www.youtube.com/user/Matematicaemcasa/videos
5
NOÇÕES DE LÓGICA
O Que é uma Proposição?
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que 
exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de 
dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
Somente às sentenças declaraƟ vas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, 
o que ocorre quando a sentença é, respecƟ vamente, confi rmada ou negada. De fato,
não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentenças 
como as interrogaƟ vas, as exclamaƟ vas e outras, embora elas também expressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declaraƟ vas:
O número 6 é par.
O número 15 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns canários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e espanhol.
Míriam quer um sapaƟ nho novo ou uma boneca.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não 
contém qualquer outra proposição como sua componente.
Isto signifi ca que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples 
alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores 
tais que alguma delas seja uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença “Cínthia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é 
possível idenƟ fi car como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos 
separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
6
Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita 
proposição composta ou proposição molecular. Isto quer dizer que uma proposição é 
composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição.
Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio” é uma proposição 
composta, pois é possível reƟ rar-se dela duas outras proposições: “Cínthia é irmã de 
Maurício” e “Cínthia é irmã de Júlio”.
ConecƟ vos Lógicos (ou Estruturas Lógicas)
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas 
proposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se” 
aos quais denominamos conecƟ vos lógicos ou estruturas lógicas.
Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor 
que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conecƟ vos lógicos 
(“não” , “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “x é maior 
que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.
Os conecƟ vos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo 
que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente:
– do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes;
– e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conecƟ vos
lógicos uƟ lizados.
Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respecƟ vos valores lógicos:
Proposições Valores Lógicos
O número 10 é inteiro. V
O número 10 ímpar. F
O número 10 é inteiro e é ímpar. F
O número 10 é inteiro ou é ímpar. V
V = verdadeiro ; F = falso
Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo com 
a estrutura usada para ligar as proposições componentes.
O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a reso-
lução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante.
A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações. 
A parƟ r deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas 
fundamentais:
7
Estruturas fundamentais Denominações
Não-A Negação
A ou B Disjunção
Ou A ou B Disjunção Exclusiva
A e B Conjunção
Se A, então B Condicional
A se e somente se B Bicondicional
Negação: Não-A
Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposição 
composta que se obtém a parƟ r da proposição A acrescida do conecƟ vo lógico “não” 
ou de outro equivalente.
A negação “não-A” pode ser representada simbolicamente como:
~A
ou
A
ou ainda
 A
Podem-se empregar também, como equivalentes de “não-A”, as seguintes ex-
pressões:
Não é verdade que A;
É falso que A.
Uma proposição A e sua negação “não-A” terão sempre valores lógicos opostos.
Tabela-Verdade da Negação (~A)
Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar 
os resultados possíveis da negação “~A” para cada um dos valores lógicos que A pode 
assumir.
A Não-A
V F
F V
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua ne-
gação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.
Conjunção: A e B
8
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conecƟ vo “e”.
A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Elisabeth é mãe de Cínthia.
B: Elisabeth é mãe de Maurício.
A conjunção A e B pode ser escrita como:
A  B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício.
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem 
forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A  B” é verdadeira somente quando A é 
verdadeira e B é verdadeira também.
Tabela-Verdade da Conjunção (A  B)
Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os 
resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A e 
B podem assumir.
A B A  B
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção: A ou B
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conecƟ vo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:
A  B: Alberto fala espanhol ou é universitário.
9
Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas 
proposições componentes seja verdadeira.
Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, 
A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “A ou B” será verdadeira.
Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também.
Tabela-Verdade da Disjunção (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A B A  B
V V V
V F V
F V V
F F F
Disjunção Exclusiva: ou A ou B
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer ondecada uma delas esteja precedida pelo conecƟ vo “ou”.
A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como:
A  B
(observe o sublinhado no símbolo )
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: O número 19 é par.
B: O número 19 é ímpar.
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:
A  B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar.
Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma das 
proposições que a compõem for verdadeira.
Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B 
têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).
Se A e B Ɵ verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) então 
a disjunção exclusiva será falsa.
Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
disjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
10
A B A  B
V V F
V F V
F V V
F F F
Condicional: Se A então B
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conecƟ vo “Se ... então” ou por uma de suas formas 
equivalentes.
A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente 
como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: José é alagoano.
B: José é brasileiro.
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:
A  B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo 
uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição 
B, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.
As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, 
então B”:
Se A, B;
B, se A;
Todo A é B;
A implica B;
A somente se B;
A é sufi ciente para B;
B é necessário para A.
Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando sua condição (A) é 
verdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos.
Isto signifi ca que numa proposição condicional, a única situação inaceitável é 
termos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da pro-
posição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
11
A B A  B
V V V
V F F
F V V
F F V
Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista.
A fi m de esclarecer o signifi cado de cada um dos resultados possíveis numa sen-
tença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casal 
está sentado no sofá da sala de seu apartamento assisƟ ndo a um fi lme quando a 
campainha toca. A mulher, que se diz sensiƟ va, diz: “Se for uma mulher, então ela 
estará trazendo um pacote nas mãos”. O marido, que não costuma dar muita impor-
tância às previsões da mulher, resmunga “Vamos ver se você está mesmo certa!” e 
vai abrir a porta.
Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava 
errada?
Há quatro situações a serem analisadas:
1a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo 
trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão da 
mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da 
tabela-verdade apresentada para a condicional).
2a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estava 
trazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulher 
mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da 
tabela-verdade apresentada para a condicional).
3a – Quem tocou a campainha não era uma mulher embora esƟ vesse mesmo tra-
zendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulher 
estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo 
um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa 
e esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito na 
terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional)
4a – Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo 
um pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mu-
lher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava 
condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não 
teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não 
é falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha 
da tabela-verdade apresentada para a condicional).
Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do Ɵ po “se A então B” 
esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem 
entre si alguma relação de causa e efeito.
Neste senƟ do, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição “Se um 
número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par”.
No mesmo senƟ do, tenderíamos a recusar proposições como:
“se um triângulo tem três lados então o número sete é primo”
12
Ou, ainda:
“se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como:
“O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número sete 
ser primo?”
Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como:
“Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que Ɵ vesse, 
isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil”.
Esse Ɵ po de recusa parece razoável, pois nestas afi rmações falta algo que relacione 
a primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão).
No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras!
Para verifi carmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras 
estudadas:
Vejamos:
Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo.
Esta é uma proposição do Ɵ po “Se A então B”.
A condição da proposição é:
A: Um triângulo tem três lados.
(verdade)
A conclusão é:
B: O número sete é primo.
(verdade)
Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam, 
ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira.
Confi ra na tabela-verdade:
A B A → B
V V V 
V F F
F V V
F F V
13
Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
A proposição é do Ɵ po “Se A então B”.
Condição da sentença:
A: Um quadrado tem sete lados.
(falso)
Conclusão da sentença é:
B: Fala-se o português no Brasil.
(verdade)
Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre, 
VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa).
Confi ra na tabela-verdade:
A B A → B
V V V
V F F
F V V 
F F V 
Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição composta 
independe da existência de qualquer relação entre as proposições dadas.
Bicondicional: A se e somente se B
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conecƟ vo “se e somente se”.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbo-
licamente como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Adalberto é meu Ɵ o.
B: Adalberto é irmão de um de meus pais.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:
A  B: Adalberto é meu Ɵ o se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e 
somente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”.
14
Podem-se empregar também como equivalentesde “A se e somente se B” as 
seguintes expressões:
A se e só se B;
Todo A é B e todo B é A;
Todo A é B e reciprocamente;
Se A então B e reciprocamente;
A é necessário e sufi ciente para B;
A é sufi ciente para B e B é sufi ciente para A;
A é necessário para B e B é necessário para A.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando 
A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo 
falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B 
podem assumir.
A B A  B
V V V
V F F
F V F
F F V
Sentenças Abertas
Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e so-
mente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que subsƟ tuirmos a variável x por 
qualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso.
Note que, ao subsƟ tuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dado 
do seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira.
Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x. Quando 
subsƟ tuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2(5) + 5 = 25.
Tautologia
Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempre 
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úlƟ ma co-
luna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verda-
deira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na 
tabela-verdade abaixo:
15
A B A e B A ou B (A e B)  (A ou B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contra-
dição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos 
das proposições que a compõem.
Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úlƟ ma coluna 
de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na 
tabela-verdade abaixo:
A ~A A  ~A
V F F
F V F
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nunca 
serão ambas verdadeiras nem ambas falsas.
Relação entre Tautologia e Contradição
Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição, 
sempre falsa, daí pode-se concluir que:
A negação de uma tautologia é sempre uma contradição.
e
A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
ConƟ ngência
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma con-
Ɵ ngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela 
também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Assim, quando uma proposição composta for uma conƟ ngência, a úlƟ ma coluna 
de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos uma 
vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez.
16
Exemplo:
A proposição “Se A então B” é uma conƟ ngência, pois será Falsa quando A for 
Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.
As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico
Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamento 
lógico.
Princípio da IdenƟ dade
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.
Em símbolos:
P  P
Princípio da Não Contradição
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa.
Em símbolos:
~(P  ~P)
Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Em símbolos:
ou P ou ~P
Implicação Lógica
Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somente 
se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposição 
condicional “Se A então B” (em símbolos: AB).
Quando A implica B anotamos:
A  B
(lê-se: A implica B ou A acarreta B)
Propriedades da Implicação Lógica
São propriedades da relação de implicação lógica:
1ª – A  A (refl exiva);
2ª – Se A  B e se B  C então A  C (transiƟ va);
3ª – A implicação lógica NÃO é simétrica.
17
Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente 
equivalentes quando saƟ sfazem às duas condições seguintes:
1o – são compostas pelas mesmas proposições simples;
2o – têm tabelas-verdade idênƟ cas.
Uma consequência práƟ ca da equivalência lógica é que ao trocar uma dada 
proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a 
maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada sim-
bolicamente como:
A  B
(lê-se: A é equivalente a B)
As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termos 
simultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição 
bicondicional “ A se, e somente se, B” (em símbolos: AB).
Regras de Equivalência
Da defi nição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equiva-
lências:
1. A  A (refl exiva);
2. Se A  B então B  A (simétrica);
3. Se A  B e se B  C então A  C (transiƟ va);
4. Se A e B são duas tautologias então A  B;
5. Se A e B são duas contradições então A  B.
Leis de comutaƟ vidade
6. A  B  B  A
7. A  B  B  A
8. A  B  B  A
9. A  B  B  A
Leis de associaƟ vidade
10. (A  B)  C  A  (B  C)
11. (A  B)  C  A  (B  C)
Leis de distribuƟ vidade
12. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
13. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
18
Lei da dupla negação
14. ~(~A)  A
Equivalências da Condicional
15. A  B  ~A  B
16. A  B  ~B  ~A
Equivalências da Bicondicional
17. A  B  (A  B)  (B  A)
18. A  B  (A  B)  (~B  ~A)
19. A  B  ~(A  B)
Leis de Morgan
20. ~(A  B)  ~A  ~B
21. ~(A  B)  ~A  ~B
Negação de Proposições Compostas
Um problema de grande importância para a lógica é o da idenƟ fi cação de proposi-
ções equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples 
é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumas 
difi culdades quando procuramos idenƟ fi car a negação de uma proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor 
lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for 
verdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-A deve 
ser verdadeira.
Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a 
proposição dada.
A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algu-
mas proposições compostas:
Proposição Negação direta Equivalente daNegação
A e B Não (A e B) Não A ou não B
A ou B Não (A ou B) Não A e não B
Se A então B Não (se A então B) A e não B
A se e 
somente se B
Não (A se e 
somente se B)
Ou A ou B
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B
Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B
19
Diagramas Lógicos
Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentes 
entre as diversas partes que compõem uma proposição.
O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler.
Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estu-
dando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permiƟ rá uma representação 
mais precisa do que aquela vista anteriormente.
Universo de discurso (U)
Denomina-se universode discurso o conjunto de tudo o que se admite como 
possível em um dado contexto.
Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo de 
discurso.
O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo.
Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de 
discurso.
U = universo de discurso
A = proposição
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsa 
em todos os demais pontos do universo de discurso.
Na região 1 a proposição A é verdadeira.
Na região 2 a proposição A é falsa.
20
Na região 1 A e B são falsas.
Na região 2 A é verdadeira e B é falsa.
Na região 3 A e B são verdadeiras.
Na região 4 A é falsa e B é verdadeira.
Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões 
para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro 
serão sombreadas.
Diagrama Lógico da Negação
Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A, 
então a negação “não-A” corresponderá ao conjunto complementar de A.
Diagrama Lógico da Conjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um 
diagrama, a conjunção “A  B” corresponderá à interseção do conjunto A com o 
conjunto B, A  B.
21
Diagrama Lógico da Disjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-
grama, a disjunção “A  B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-
grama, a disjunção exclusiva “A  B” corresponderá à união da parte do conjunto A 
que não está em B (AB) com a parte do conjunto B que não está em A (BA).
(AB)  (BA)
Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos conjuntos 
A e B.
(AB)  (A B)
22
Diagramas Lógicos da Condicional “A  B”
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-
grama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada de dois modos:
1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntos 
A e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposição 
condicional.
2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está conƟ do em B).
Diagramas Lógicos da Bicondicional
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-
grama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade 
dos conjuntos A e B.
23
Proposições Categóricas
Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era 
desenvolvido usando-se apenas quatro Ɵ pos especiais de proposições, denominadas 
proposições categóricas.
As proposições categóricas podem ser universais ou parƟ culares, cada uma 
destas podendo ser afi rmaƟ va ou negaƟ va. Temos, portanto, quatro proposições 
categóricas possíveis.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas ơ picas, são apre-
sentadas no quadro seguinte:
Afi rmaƟ vas NegaƟ vas
Universais Todo A é B. Nenhum A é B.
ParƟ culares Algum A é B. Algum A não é B.
Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma ơ pica chamamos de:
– sujeito o elemento da sentença relacionado ao quanƟ fi cador da proposição;
– predicado o elemento que se segue ao verbo.
Exemplos:
Proposições 
Categóricas Sujeito Predicado
Todo atleta nato é um ven-
cedor
atleta nato um vencedor
Nenhum ser vivo é imortal ser vivo imortal
Algum quadro é obra de arte quadro obra de arte
Algum políƟ co não é honesto políƟ co honesto
24
Representações Gráfi cas
Deve-se ao matemáƟ co suíço Leonhard Euler (1707-1783) a ideia de representar 
as proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados 
diagramas de Euler ou diagramas lógicos.
Nas representações gráfi cas das proposições categóricas considere o signifi cado 
dos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados:
Sinal Signifi cado
x Esta região tem pelo menos um elemento.
? Esta região pode ter elementos ou não.
Todo A é B.
Algum A é B.
Nenhum A é B.
25
Algum A não é B.
Neste úlƟ mo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar total-
mente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições 
categóricas que estabelece que “toda classe tem que possuir pelo menos um elemento”.
QuanƟ fi cação
A quanƟ fi cação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado 
de uma proposição.
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador”, estamos fazendo referência a 
dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são 
batalhadores. Assim, o senƟ do da sentença é que “todo aquele que pertença ao con-
junto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quanƟ fi cados 
para que se possa estabelecer sua relação de perƟ nência com um outro conjunto.
Representação Simbólica
Os quanƟ fi cadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feita 
de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas.
QçƒÄ㮥®‘ƒ—ÊÙ S°ÃÊ½Ê S®¦Ä®¥®‘ƒ—Ê
Universal 
Todo,
Para todo ou
Qualquer que seja
ParƟ cular  Existe algum
ParƟ cular negaƟ vo  Não existe
ParƟ cular exclusivo I Existe um único
26
Exemplos:
Universal afi rmaƟ va:
Todo A é B.
x, xA  xB
(para todo x, se xA então xB)
Universal negaƟ va:
Nenhum A é B.
x, xA  xB
(para todo x, se xA então xB)
ParƟ cular afi rmaƟ va:
Algum A é B.
x, xA  xB
(existe algum x tal que xA e xB)
ParƟ cular negaƟ va:
Nenhum A é B.
 x, xA  xB
(não existe x tal que xA e xB)
Relações QuanƟ fi cacionais
Duas proposições categóricas disƟ ntas, que tenham mesmo sujeito e mesmo 
predicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, 
ou as duas coisas.
Dizemos que estarão sempre em oposição.
São quatro os Ɵ pos de oposição.
Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições.
27
1. Contraditórias – Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica
são ditas contraditórias.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias.
“Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias.
Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas 
falsas, tendo sempre valores lógicos opostos.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garanƟ r
que a sua contraditória será falsa.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garanƟ r que
a sua contraditória será verdadeira.
2. Contrárias – Uma afi rmaƟ va universal e a correspondente negaƟ va universal
são ditas contrárias.
“Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias.
Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas 
falsas.
– Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garanƟ r
que a sua contrária é falsa.
– Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemos
garanƟ r que a sua contrária seja falsa também.
3. Subcontrárias – Uma afi rmaƟ va parƟ cular e a correspondente negaƟ va par-
Ɵ cular são ditas subcontrárias.
“Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias.
Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas 
verdadeiras.
– Se soubermos que uma proposição parƟ cular é falsa, poderemos garanƟ r que
a sua subcontrária é verdadeira.
– Por outro lado, se soubermos que uma proposição parƟ cular é verdadeira não 
poderemos garanƟ r que sua subcontrária seja verdadeira também.
4. Subalternas – Duas afi rmaƟ vas ou duas negaƟ vas (sendo uma universale sua
parƟ cular correspondente) são ditas subalternas.
“Todo A é B” e “Algum A é B” são subalternas.
“Nenhum A é B” e “Algum A não é B” são subalternas.
28
– Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemos
garanƟ r que sua subalterna parƟ cular também será verdadeira. A recíproca
(da parƟ cular para a universal) não pode ser garanƟ da.
– Se soubermos que uma proposição parƟ cular é falsa então poderemos garanƟ r
que sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal para 
a parƟ cular) não pode ser garanƟ da.
Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposições 
subalternas.
1º – Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas na 
seguinte ordem:
Se (Universal) então (ParƟ cular)
2º – Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo 
valor lógico é conhecido.
3º – Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modo 
que a sentença condicional seja verdadeira.
Exemplos:
1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira.
Se (universal) então (parƟ cular)
V  V
Portanto, a proposição parƟ cular também é verdadeira.
2. Sabemos que a proposição universal é falsa.
Se (universal) então (parƟ cular)
F  V ou F
Portanto, a proposição parƟ cular pode ser verdadeira ou falsa.
3. Sabemos que a proposição parƟ cular é verdadeira.
Se (universal) então (parƟ cular)
V ou F  V
Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa.
4. Sabemos que a proposição parƟ cular é falsa.
Se (universal) então (parƟ cular)
F  F
Portanto, a proposição universal também é falsa.
29
Argumento
Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, 
P2, ... Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos 
de conclusão do argumento.
{P1, P2, ... Pn} ⇢ C
No lugar dos termos “premissa” e “conclusão” podem ser empregados os termos 
correspondentes “hipótese” e “tese”, respecƟ vamente.
premissa = hipótese
conclusão = tese
Silogismo
Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como 
premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo.
{ P1, P2 } ⇢ C
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:
I. P1: Todos os arƟ stas são apaixonados.
P2: Todos os apaixonados gostam de fl ores.
C : Todos os arƟ stas gostam de fl ores.
II. P1: Todos os apaixonados gostam de fl ores.
P2: Míriam gosta de fl ores.
C : Míriam é uma apaixonada.
Silogismos Categóricos
Um silogismo é denominado categórico quando:
1o É composto por três proposições categóricas;
2o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos;
3o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições 
que compõem o silogismo.
Exemplo:
No silogismo:
P1: Todo bom atleta é persistente.
P2: Hudson é um bom atleta.
C: Hudson é persistente.
Os três termos são:
bom atleta – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2;
persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão;
Hudson – que ocorre na segunda premissa e na conclusão.
Termos de um Silogismo
Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial:
– Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas.
30
– Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão.
– Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão.
Forma Típica de um Silogismo Categórico
Um silogismo categórico é dito de forma ơ pica quando saƟ sfaz às três seguintes 
condições:
1o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas ơ picas;
2o A primeira premissa (premissa maior) tem o predicado da conclusão (termo 
maior) como um de seus termos;
3o A segunda premissa (premissa menor) tem o sujeito da conclusão (termo 
menor) como um de seus termos.
Exemplo:
Observe o silogismo categórico seguinte:
P1: Todo arƟ sta é brincalhão.
P2: Todo brincalhão é cortês.
C: Todo arƟ sta é cortês.
Este silogismo não está na forma ơ pica, pois o seu termo maior (cortês) está 
presente na segunda premissa e não na primeira.
Para colocá-lo na forma ơ pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entre 
si. Assim teremos:
P1: Todo brincalhão é cortês.
P2: Todo arƟ sta é brincalhão.
C: Todo arƟ sta é cortês.
Figura
Num silogismo categórico, na forma ơ pica a posição do termo médio em cada 
uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situações 
possíveis.
Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma fi gura, conforme segue:
Primeira Figura – O termo médio ocorre “nos extremos”, ou seja, o termo médio 
ocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa.
Segunda Figura – O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas.
Terceira Figura – O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas.
Quarta Figura – O termo médio ocorre “nos meios”, ou seja, o termo médio ocorre 
como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portanto 
o inverso da primeira fi gura.
Modo
O modo de um silogismo de forma ơ pica é determinado pelos Ɵ pos de proposições 
categóricas usados em sua construção.
31
Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma pro-
posição categórica de modo que:
– A primeira vogal indica o Ɵ po da proposição categórica da premissa maior;
– A segunda vogal indica o Ɵ po da proposição categórica da premissa menor;
– A terceira vogal indica o Ɵ po da proposição categórica da conclusão.
As vogais representaƟ vas das proposições categóricas são:
A: Universal Afi rmaƟ va – Todo X é Y.
E: Universal NegaƟ va – Nenhum X é Y.
I : ParƟ cular Afi rmaƟ va – Algum X é Y.
O: ParƟ cular NegaƟ va – Algum X não é Y.
Exemplo:
O silogismo
“Todos os cantores são pessoas vaidosas;
Algumas pessoas vaidosas são chatas.
Logo, alguns cantores são pessoas chatas.”
É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do Ɵ po A (universal afi r-
maƟ va) enquanto a segunda premissa é do Ɵ po I (parƟ cular afi rmaƟ va) e a conclusão 
é do Ɵ po I (parƟ cular afi rmaƟ va).
Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta fi gura, pois o 
termo médio ocorre nos “meios” das duas premissas.
Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verifi caremos que 
eles são, ao todo, 64.
1
2
3
4
5
6
7
:
:
:
64
AAA
AAE
AAI
AAO
AEA
AEE
AEI
:
:
:
OOO
Forma
Como podemos observar dos conceitos que estudamos de fi gura e de modo, um 
silogismo não é completamente caracterizado somente por sua fi gura nem somente 
por seu modo.
Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas de 
mesma fi gura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de fi guras dife-
rentes mas de mesmo modo.
32
Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos idenƟ fi car, 
conjuntamente, tanto seu modo quanto sua fi gura.
Ao defi nirmos tanto o modo quanto a fi gura de um silogismo, estamos idenƟ fi -
cando a sua forma.
( modo ) + ( fi gura ) = ( forma )
Exemplo:
Considere o seguinte silogismo categórico:
“Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade;
Todo motorista desatento é um elemento perigoso;
Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade”
é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA – primeira fi gura)
Número de Formas Possíveis de Silogismos
Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma 
das 4 fi guras.
Portanto temos
644 = 256
Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos.
De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parte 
consƟ tui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir.
Argumento Válido
Dizemos que um argumento é válido ou ainda queele é legíƟ mo ou bem construído 
quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Posto de outra forma:
Um argumento é válido quando, ao assumirmos as pre-
missas do argumento como verdadeiras, a verdade da 
conclusão fi ca logicamente estabelecida.
Isto signifi ca que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão 
falsa quando as premissas forem verdadeiras.
É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente da 
validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente 
verdadeiras ou não.
Deste modo, ao se discuƟ r a validade de um argumento é irrelevante saber se as 
premissas são realmente verdadeiras ou não.
Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras 
e verifi car se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.
33
Exemplo:
Considere o silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), 
sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas seja 
quesƟ onável.
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas
X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez
P = Conjunto dos pardais
Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) pode 
pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas).
Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegíƟ mo, mal cons-
truído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é sufi ciente para garanƟ r a 
verdade da conclusão.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os alunos do curso, passaram.
Maria não é aluna do curso.
Portanto, Maria não passou.”
é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não ga-
rantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).
34
P = Conjunto das pessoas que passaram.
C = Conjunto dos alunos do curso.
m = Maria.
Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso.
(a primeira premissa não afi rmou que somente os alunos do curso haviam passado).
Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um ar-
gumento:
Se um argumento 
é...
e as premissas... então a conclusão 
será:
Válido
(bem construído)
são todas verda-
deiras
necessar iamente 
Verdadeira.
não são todas ver-
dadeiras
ou Verdadeira ou 
Falsa.
Se um argumento 
é...
e as premissas... então a conclusão 
será:
Inválido
(mal construído)
I n d e p e n d e n t e -
mente de serem 
ou não todas ver-
dadeiras
ou Verdadeira ou 
Falsa.
Noções sobre Cálculo de Predicados de 1a Ordem
Não existe um meio efeƟ vo de testar a validade de todos os argumentos possíveis. 
Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução da 
conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomáƟ co de predicados.
Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que se 
fundamentasse axiomaƟ camente o cálculo proposicional.
Faremos a seguir um breve resumo do assunto.
Sentenças Abertas
Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cada 
valor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é 
falsa para todo x pertencente a U.
Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U.
Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado 
conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de dis-
cussão da sentença.
Exemplos:
Sentença aberta p(x) Universo Valor de p(2)
x > 3 Z Falso
2x+1 = 5 Z Verdadeiro
3x=10 Z Falso
35
Quando p(u) for verdadeira para algum u  U dizemos que esse u confi rma p(x) 
ou ainda que u é uma solução de p(x).
É preciso fi car bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem são 
falsas. Ao subsƟ tuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores específi cos as 
sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por esse 
moƟ vo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais.
Conjunto-Verdade
Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U, 
ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja, 
para os quais p(x) é verdadeira.
O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S.
V = {u  U| p(u) é verdadeira}.
Exemplos:
Sentença aberta Universo Conjunto-Verdade
x > 3 Z V={4, 5, 6, 7, 8, ...}
2x+1 = 5 Z V={2}
3x=10 Q V={10/3}
3x=10 Z V = 
Sentenças com duas ou mais Variáveis
Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis.
p(x, y) sentença aberta nas variáveis, x e y.
p(x, y, z) sentença aberta nas variáveis, x, y e z.
p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w.
No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os 
elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para mais 
variáveis.
Exemplos:
– O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será:
V={(1;5), (5;1), (−1; −5), (−5; −1)}
– O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será:
V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)}
36
Operações lógicas sobre sentenças abertas
As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertas 
criando outras sentenças abertas.
Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão também 
sentenças abertas:
~p(x)
~q(x)
p(x)  q(x)
p(x)  q(x)
p(x) → q(x)
p(x) ↔ q(x)
etc.
Propriedades
Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discuƟ das no universo U e Vp representa o 
conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades:
P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdade 
de p(x).
V~p = U − Vp
P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x)  q(x) é a união dos seus conjuntos-
-verdade.
Vpq = Vp  Vq
P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x)  q(x) é a interseção dos seus conjuntos-
-verdade.
Vpq = Vp ∩ Vq
P4. O conjunto-verdade da condicional p(x) → q(x) é a união dos conjuntos-verdade 
de ~p(x) e de q(x).
Vp→q = V~p  Vq
P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x) ↔ q(x) é a interseção dos conjuntos-
-verdade de ~p(x) e de ~q(x).
Vp↔q = V~p ∩ V~q
37
QuanƟ fi cação
Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição. 
Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quanƟ fi cação.
As quanƟ fi cações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito e 
predicado em certas sentenças que funcionarão como proposições.
O quadro seguinte resume as quatro proposições quanƟ fi cacionais fundamentais:
Afi rmaƟ va NegaƟ va
Universal Todo A é B. Nenhum A é B.
ParƟ cular Algum A é B. Algum A não é B.
Símbolos QuanƟ fi cacionais
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador.” estamos fazendo referência a dois 
conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são bata-
lhadores. Assim, o senƟ do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto 
dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quanƟ fi cados para 
que se possa estabelecer sua relação de perƟ nência com outro conjunto.
Os quanƟ fi cadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usu-
almente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições 
categóricas.
QuanƟ fi cador Símbolo Signifi cado
Universal  Todo,
Para todo 
ou
Qualquer que seja
ParƟ cular  Existe algum
ParƟ cular negaƟ vo  Não existe
ParƟ cular exclusivo I Existe um único
Exemplos
Universal afi rmaƟ va:
Todo A é B.
x, xA → xB
(para todo x, se xA então xB)38
Universal negaƟ va:
Nenhum A é B.
x, xA → xB
(para todo x, se xA então xB)
ParƟ cular afi rmaƟ va:
Algum A é B.
x, xA  xB
(existe algum x tal que xA e xB)
ParƟ cular negaƟ va:
Nenhum A é B.
 x, xA  xB
(não existe x tal que xA e xB)
ParƟ cular exclusiva:
Só existe um número real que saƟ sfaz a igualdade x+2 = 6
I x, x  R, x+2 = 6
(existe um único x tal que x R e x+2 = 6)
Variáveis Livres
Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada a 
algum quanƟ fi cador.
Exemplos
x ≤ 3 (x é variável livre)
x (x ≠ w) (x não é variável livre mas w é)
x (y (x ≥ y) ) (nem x nem y é livre)
Regras de Inferência
Nas regras apresentadas abaixo:
– uma vírgula separa duas premissas;
– o sinal  lê-se portanto e separa as premissas da conclusão;
– as premissas estão sempre à esquerda do sinal ;
– a conclusão está sempre à direita do sinal ;
– Rec. signifi ca teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
1. modus ponens
A , AB  B
39
2. modus tollens
AB , ~B  ~A
3. dupla negação
~(~B)  B
4. introdução da conjunção
A, B  A  B
5. eliminação da conjunção
A  B  A
A  B  B
6. adição
A, B  A  B
7. silogismo hipotéƟ co
AB , BC  AC
8. silogismo disjunƟ vo
A  B , ~A  B
A  B , ~B  A
9. dilema construƟ vo
(AB)  (CD), A  C  B  D
10. dilema destruƟ vo
(AB)  (CD), ~B  ~D  A  C
Teoremas
T1- (A  B) , BC  (A  C)
T2- AB  B A
Rec- B A  AB
T3- AB , (AB)  B
T4- (A  B)  C  A  (BC)
Rec- A  (BC)  (A  B)  C
T5- (A  B)  (C  C)  AB ( princ. da não contradição)
T6- A  (B  C) , B  AC
40
Proposições Dependentes
Sejam P1 e P2 duas proposições quaisquer. Dizemos que P2 é dependente de P1 se, 
e somente se, o valor lógico de P2 depende do valor lógico dado a P1.
Ou seja, pelo menos uma das seguintes situações deve ocorrer:
P1 Verdadeira obriga P2 Verdadeira
ou
P1 Verdadeira obriga P2 Falsa
ou
P1 Falsa obriga P2 Verdadeira
ou
P1 Falsa obriga P2 Falsa
Dependência entre Proposições
Quanto à dependência entre duas proposições dadas, P1 e P2, podem ocorrer 
somente duas situa ções disƟ ntas:
1ª Nenhuma das duas proposições tem seu o valor lógico dependente do valor 
lógico da outra. Neste caso dizemos que não existe dependência ou ainda que as 
proposições consideradas são independentes.
2ª Cada uma das proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico 
da outra. Neste caso dizemos que existe dependência ou ainda que as proposições 
consideradas são dependentes.
Exemplos: Considere as seguintes proposições:
A: Ana é alta;
B: Beto é baixo;
C: Ana não é alta;
D: Se Ana é Alta então Beto é baixo.
As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer 
uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído 
à outra.
As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído 
algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente fi cará obrigada ao valor lógico 
oposto, dado que C é a negação de A.
As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado obser-
vando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente, 
será Verdadeira.
Número de Linhas de uma Tabela-Verdade
Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2, ..., Pn, duas 
a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a:
n
nL 2
Exemplo: Sejam P1, P2 e P3, três proposições independentes entre si, então a 
tabela verdade da proposição composta “(P1 e P2) ou não-P3” terá 2
3 = 8 linhas, como 
se pode ver abaixo:
41
P1 P2 P3 (P1 e P2) não-P3 (P1 e P2) ou não-P3
1 V V V V F V
2 V V F V V V
3 V F V F F F
4 V F F F V V
5 F V V F F F
6 F V F F V V
7 F F V F F F
8 F F F F V V
Exercícios Resolvidos
1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
Solução:
AlternaƟ va: e
Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que 
dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons 
estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes 
contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um 
diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).
2. Represente com diagramas de conjuntos:
I) Algum A é B.
II) Algum A não é B.
III) Todo A é B.
IV) Se A, então B.
V) Nenhum A é B.
Solução:
I)
42
II)
III e IV)
V)
3. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.
a) O tempo será frio e chuvoso.
b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.
c) Maria não é morena ou Regina é baixa.
d) Se o tempo está chuvoso então está frio.
e) Todos os corvos são negros.
f) Nenhum triângulo é retângulo.
g) Alguns sapos são bonitos.
h) Algumas vidas não são importantes.
Solução:
a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.
b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.
c) Maria é morena e Regina não é baixa.
d) O tempo está chuvoso e não está frio.
e) Algum corvo não é negro.
f) Algum triângulo é retângulo.
g) Nenhum sapo é bonito.
h) Todas as vidas são importantes.
43
4. Todo baiano gosta de “axé music”. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de “axé music” é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de “axé music”.
c) Todo aquele não gosta de “axé music” não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de “axé music”.
e) Alguém que não goste de “axé music” é baiano.
Solução:
AlternaƟ va: c
Assumindo que “todo baiano gosta de ‘axé music’” podemos dizer que o conjunto 
dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do conjunto dos que 
gostam de ‘axé music’ (conjunto A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A 
não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos os que não 
gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto A. Logo todos os que não gostam 
de ‘axé music’ estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta de 
‘axé music’ não é baiano.
5. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláu-
dia é conservadora. Sabe-se que Cláudia não é conservadora. Nestas condições
pode-se concluir que:
a) Ana não é benevolente.
b) Bruna não é altruísta.
c) Ana não é conservadora.
d) Cláudia não é altruísta.
e) Ana não é altruísta.
Solução:
AlternaƟ va: e
Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a cadeia de pro-
posições condicionais – A implica B que implica C ..... Por outro lado, toda vez que 
uma proposição condicional como ‘Se A então B’ for verdadeira será verdadeira 
também ‘Se não-B então não-A’(repare a ordem!), onde não-B e não-A são as 
negações das proposições B e A, respecƟ vamente. Deste modo, quando sabemos 
que ‘Se A então B’ e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A também 
não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições condi-
cionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a negação 
de D, teremos também não-C, não-B e não-A consecuƟ vamente. Ou seja: Cláudia 
não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As demais 
opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados sufi cientes no 
enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
6. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
44
Solução:
AlternaƟ va: b
Sejam A = o conjunto dos atletas, B o conjuntodas pessoas bondosas e C o conjunto 
dos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A esta totalmente dentro de 
B pois ‘todo atleta é bondoso’. O conjunto C está completamente fora de B pois 
‘nenhum celta é bondoso’. Sendo assim os conjunto A e C não podem ter qualquer 
elemento em comum, pois o primeiro está dentro de B e o segundo, fora. Ou seja: 
nenhum atleta é celta.
7. Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição sufi ciente para chover.
c) Chover é condição necessária e sufi ciente para fazer frio.
d) Chover é condição sufi ciente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e sufi ciente para chover.
Solução:
AlternaƟ va: d
Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de sufi ciência e às 
relações destes conceitos com as proposições condicionais. Como já vimos, numa 
proposição condicional ‘Se A então B’ a ocorrência de A implica (garante) a ocor-
rência de B. Então dizemos que A é uma condição sufi ciente para a ocorrência 
de B, ou simplesmente que A é sufi ciente para B. Por outro lado, sabemos que 
a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrência 
de B certamente A também não ocorreria. Por este moƟ vo dizemos que B é uma 
condição necessária para a ocorrência de A, ou simplesmente que B é necessária 
para A. No contexto da questão: Chuva é condição sufi ciente para frio. Frio é 
condição necessária para chuva.
8. Numa compeƟ ção de enigmas, três espertas parƟ cipantes de uma das equipes
propõem um desafi o dizendo o seguinte:
Míriam: A Ana Flávia mente.
Ana Flávia: A Anna Laryssa é que mente.
Anna Laryssa: A Míriam e a Ana Flávia é que mentem.
O desafi o consiste em descobrir, de acordo com as afi rmações feitas, quem está
menƟ ndo e quem está dizendo a verdade. Nestas condições, marque a alternaƟ va
correta:
a) A única menƟ rosa é Míriam.
b) A única menƟ rosa é Ana Flávia.
c) Míriam e Anna Laryssa mentem.
d) Ana Flávia e Míriam mentem.
e) Anna Laryssa e Ana Flávia mentem.
Solução:
AlternaƟ va: c
Míriam diz: “A Ana Flávia mente”. Suponha que o que Míriam diz seja verdade. 
Então Ana Flávia é mesmo menƟ rosa. Sendo a Ana Flávia menƟ rosa, o que ela diz 
45
é menƟ ra e, portanto, a Anna Laryssa diz a verdade. Por sua vez, se Anna Laryssa 
diz a verdade, então Míriam deve ser menƟ rosa. Ora, isto contradiz a suposição 
inicial de que Míriam diz a verdade. Logo, não é possível que Míriam tenha dito 
a verdade. Então Míriam mente e, se Míriam mente, Ana Flávia diz a verdade e, 
portanto, Anna Laryssa mente.
9. Um anƟ quário acordou assustado quando o alarme instalado em sua casa acusou, 
às 2 horas da madrugada, que sua loja estava sendo invadida. Chamou a polícia
por telefone e saiu correndo para a loja que fi cava apenas a uma quadra de sua
residência. Tudo o que o pobre anƟ quário conseguiu ver foi um carro saindo em
disparada, mas não conseguiu ver quem estava no carro e nem mesmo soube
dizer quantos eram os seus ocupantes. Após invesƟ gar o caso, o deteƟ ve Berloque
Gomes conseguiu apurar os seguintes fatos:
– O carro visto pelo anƟ quário foi realmente o carro usado para a fuga;
– Ninguém mais, exceto três conhecidos delinquentes, Ário, Bário e Cário, pode-
riam estar envolvidos no assalto;
– Cário nunca praƟ ca um assalto sem usar, pelo menos, Ário como cúmplice;
– Bário não sabe dirigir.
AdmiƟ ndo que os fatos apurados por Berloque Gomes sejam verdadeiros, pode-se 
concluir logicamente que:
a) Bário é necessariamente inocente.
b) Cário é necessariamente inocente.
c) Ário é necessariamente inocente.
d) Cário é necessariamente culpado.
e) Ário é necessariamente culpado.
Solução:
AlternaƟ va: e
Existem somente três hipóteses razoáveis:
1. Ário cometeu o crime sozinho.
2. Cário é culpado – Neste caso Ário também é culpado.
3. Bário é culpado – Neste caso, alguém o ajudou a dirigir o carro da fuga (pois ele 
não sabe dirigir). Se o motorista foi Cário, então Ário também é culpado (pois
Cário nunca praƟ ca um roubo sem Ário). Se o motorista foi Ário, não se pode
provar nada sobre Cário, mas Ário já está novamente implicado.
Como se pode notar, em qualquer das três hipóteses Ário está necessariamente 
envolvido.
10. Considere as afi rmaƟ vas seguintes:
I – A bolinha amarela está depois da branca.
II – A bolinha azul está antes da verde.
III – a bolinha que está imediatamente após a azul é maior que a que está antes
desta.
IV – A bolinha verde é a menor de todas.
46
Com base nas quatro afi rmaƟ vas anteriores, a ordem correta das quatro bolinhas é:
a) Branca, amarela, azul, verde.
b) Branca, azul, amarela, verde.
c) Branca, azul, verde, amarela.
d) Azul, branca, amarela, verde.
e) Azul, branca, verde, amarela.
Solução:
AlternaƟ va: b
As afi rmaƟ vas I e II estão saƟ sfeitas em todas as alternaƟ vas de resposta dadas. 
Assim, concentremos nossa atenção nas afi rmaƟ vas III e IV:
– A afi rmaƟ va III indica a existência de ao menos uma bolinha ANTES e ao menos 
uma bolinha DEPOIS da bolinha azul. Portanto, a bolinha azul não pode ser a 
primeira nem pode ser a úlƟ ma. Isto elimina as alternaƟ vas de resposta D e E.
– Ainda na afi rmaƟ va III temos que a bolinha que está imediatamente após a
azul é MAIOR do que a bolinha que está antes desta. Além disto, sabemos pela 
afi rmaƟ va IV que a bolinha verde é a MENOR DE TODAS. Portanto a bolinha que 
está imediatamente após a azul não pode ser a verde. Isto elimina as alternaƟ vas 
de resposta A e C.
Por exclusão, resta-nos apenas a alternaƟ va de resposta B.
11. Alba, Bianca e Clara foram a uma festa com vesƟ dos de cores diferentes, sendo
um azul, um branco e um carmim, mas não necessariamente nesta ordem. Atraído 
pela beleza das três jovens, um rapaz aproximou-se delas e lhes perguntou quem
era cada uma delas. A de azul respondeu: “Alba está de branco.”. A que estava
de branco retrucou: “Eu sou Bianca!”. Então aquela que estava vesƟ ndo carmim
disse: “Clara é que está de branco.”. Perplexo, o rapaz pensou “Nossa, mas que
confusão!”.
Sabendo que Alba disse a verdade e que Clara menƟ u, deduza as cores dos vesƟ dos
de Alba, de Bianca e de Clara, nesta ordem:
a) Carmim, branco e azul.
b) Carmim, azul e branco.
c) Azul, carmim, e branco.
d) Azul, branco e carmim.
e) Branco, azul e carmim.
Solução:
AlternaƟ va: b
– Se aquela que usava o vesƟ do azul fosse Alba, ela teria menƟ do ao dizer “Alba 
está de branco” mas sabemos que Alba diz a verdade. Logo Alba não pode estar 
de azul.
– Alba também não pode estar de branco pois aquela que estava de branco disse 
“Eu sou Bianca” e sabe-se que Alba não poderia menƟ r dizendo ser Bianca.
– Ora, se Alba não está de azul e também não está de branco, então Alba só pode 
estar usando o vesƟ do carmim.
47
Então concluímos que a afi rmação de Alba (que estava de carmim) foi “Clara está de 
branco” e como sabemos que Alba diz a verdade o vesƟ do de Clara é mesmo o branco.
Por exclusão, resta o vesƟ do azul para Bianca e, de quebra, ainda poderíamos concluir 
que Bianca também menƟ u!
Resumindo o que descobrimos, as cores dos vesƟ dos de Alba, Bianca e Clara, nesta 
ordem são Carmim, Azul, e Branco.
12. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, 
então Carla fi ca em casa. Se Carla fi ca em casa, então Raul briga com Carla. Ora,
Raul não briga com Carla. Logo,
a) Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fi ca em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fi ca em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
Solução:
AlternaƟ va: a
Se Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla fi caria em casa e Raul 
brigaria com Carla.
Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, Glória não vai ao 
cinema e Carla não fi ca emCasa. A única alternaƟ va concordante com estas conclusões é a letra A: “Carla não 
fi ca em casa e Beto não briga com Glória”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Noções de Lógica
1. Sejam A e B duas proposições disƟ ntas quaisquer, então pode-se garanƟ r que:
a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.
b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira.
c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.
d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será falsa.
e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verda-
deira.
2. Sejam A e B duas proposições disƟ ntas quaisquer, então pode-se garanƟ r que:
a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A ou B” será falsa.
b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.
c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A ou B” será verdadeira.
d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será ver-
dadeira.
e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.
3. Considere a proposição composta X = “Se A então B”, onde A (condição) e B (con-
clusão) são duas outras proposições quaisquer, A  B. Nestas condições, assinale
a única correta:
a) X será verdadeira somente se a condição for falsa, independentemente de a
conclusão ser verdadeira ou falsa.
48
b) X será falsa sempre que a conclusão for verdadeira, independentemente de a
condição ser verdadeira ou falsa.
c) X será verdadeira somente se A e B Ɵ verem valores lógicos iguais , ou seja, A e 
B ambas verdadeiras ou então ambas falsas.
d) X será falsa somente quando a condição e a conclusão Ɵ verem valores lógicos
opostos, ou seja, A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira.
e) X será falsa somente quando a conclusão for falsa.
4. Uma proposição X é dita logicamente equivalente a uma outra, Y, quando ocorrer 
que elas tenham sempre o mesmo valor lógico, ou seja, sempre que uma das duas 
é verdadeira a outra também é verdadeira e sempre que uma das duas é falsa a
outra também é falsa. Com base nesta defi nição assinale a única proposição abaixo 
que não é equivalente da proposição “Se A então B”:
a) Todo A é B.
b) A é condição sufi ciente para B.
c) Se B então A.
d) Se não-B então não-A.
e) B é condição necessária para A.
5. Entre as proposições abaixo assinale a única que não corresponde corretamente
à negação da proposição “A e B”:
a) Não é verdade que A ou B.
b) Não ocorre A ou não ocorre B.
c) Não ocorre A ou não ocorre B ou não ocorrem ambos.
d) É falso que tem-se A e B.
e) Não se tem A e B.
6. Sabe-se que a proposição “A ou B” é verdadeira. Assim sendo:
a) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir
que proposição B é falsa.
b) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que
proposição B é falsa.
c) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que
proposição B é verdadeira.
d) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir
que proposição B é verdadeira.
e) Se soubermos também que a proposição A tem um valor lógico (verdadeira ou 
falsa) poderemos concluir que proposição B tem o valor lógico oposto (falsa ou 
verdadeira).
7. Se é verdade que “Nenhum A é B”, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Algum A não é B.
b) Algum A é B.
c) Todo A é B.
d) Algum B é A.
e) Todo B é A.
8. Todo arƟ sta é um boêmio. Sendo assim:
a) Todo boêmio é um arƟ sta.
b) Todo aquele que não é arƟ sta não é boêmio.
49
c) Todo aquele não é boêmio não é arƟ sta.
d) Algum arƟ sta não é boêmio.
e) Alguém que não é boêmio é arƟ sta.
9. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então
Cláudia é conservadora. Sabe-se que Bruna não é benevolente. Nestas condições 
pode-se concluir que:
a) Ana é altruísta.
b) Ana não é altruísta mas Cláudia é conservadora.
c) Ana não é altruísta e Cláudia não é conservadora.
d) Cláudia não é conservadora.
e) Ana não é altruísta.
10. (Esaf) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana
vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a
Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo:
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África
b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro
c) Ana não vai à África e Luís compra um livro
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma
11. (Esaf) Considere as afi rmações:
A – Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
B – Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
C – Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
A análise do encadeamento lógico dessas três afi rmações permite concluir que
elas:
a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga
b) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga
c) Implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma
boa amiga
d) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não
seja uma boa amiga
e) São inconsistentes entre si
12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
13. (Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo.
Sabe-se que o crime foi efeƟ vamente comeƟ do por um ou por mais de um deles, 
já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que:
A – se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;
50
B – ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;
C – o mordomo não é inocente.
Logo:
a) a governanta e o mordomo são os culpados.
b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.
c) Somente a governanta é culpada.
d) Somente o cozinheiro é inocente.
e) Somente o mordomo é culpado.
14. (Esaf) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vesƟ dos de cores 
diferentes. Uma vesƟ u azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa o 
anfi trião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que 
está de branco.” A de branco falou: “Eu sou Maria.” E a de preto disse: “Cláudia
é quem está de branco.” Como o anfi trião sabia que Ana sempre diz a verdade,
que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz 
de idenƟ fi car corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vesƟ dos de Ana, 
Maria e Cláudia eram, respecƟ vamente:
a) preto, branco, azul.
b) preto, azul, branco.
c) azul, preto, branco.
d) azul, branco, preto.
e) branco, azul, preto.
15. (Esaf) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obƟ ve ram os quatro primeiros
lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes.
Ao comunicarem a classifi cação fi nal, cada juiz anunciou duas colocações, sendo
uma delas verdadeira e a outra falsa:
Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o se gundo”
Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o ter ceiro”
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto
colocados foram, respecƟ vamente,
a) André, Caio, Beto, Dênis.
b) Beto, André, Caio, Dênis.
c) Beto, André, Dênis, Caio.
d) André, Caio, Dênis, Beto.
e) Caio, Beto, Dênis, André.
16. (AFC/SFC/2000) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente 
nesta ordem, Medicina, Bi ologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em
Belo Horizonte, a outra em Florianópo lis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou 
seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicolo gia. Berenice não realizou seu 
curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respecƟ vos locais
de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
51
17. (AFC/SFC/2000) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se
Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afun-
dou. Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casa mento
b) Camile e Carla não foram ao casamento
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
e) Vera e Vanderléia não viajaram
18. (Analista/2002) Se M=2x+3y, então M=4p+3r. Se M=4p+3r, então M=2w3r. Por
outro lado, M=2x+3y ou M=0. Se M=0 então M+H = 1. Ora, M+H  1. Logo,
a) 2w3r = 0
b) 4p+3r  2w3r
c) M  2x+3y
d) 2x+3y  2w3r
e) M = 2w3r
19. (TFC/SFC/2000) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia
será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, 
então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
20. (TFC/SFC/2000) Se é verdade que “Nenhum arƟ sta é atleta”, então também será
verdade que:
a) todos não arƟ stas são não atletas
b) nenhum atleta é não arƟ sta
c) nenhum arƟ sta é não atleta
d) pelo menos um não atleta é arƟ sta
e) nenhum não atleta é arƟ sta
21. (Gestor/2000) Dizer que “André é arƟ sta ou Bernardo não é engenheiro” é logi-
camente equivalente a dizer que:
a) André é arƟ sta se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é arƟ sta, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é arƟ sta, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é arƟ sta.
e) André não é arƟ sta e Bernardo é engenheiro
22. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
52
23. (Esaf) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é neces-
sariamente verdadeiro que
a) Algum A não é G
b) Algum A é G
c) Nenhum A é G
d) Algum G é A
e) Nenhum G é A
24. Todo baiano gosta de ‘axé music’. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de ‘axé music’ é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de ‘axé music’.
c) Todo aquele não gosta de ‘axé music’ não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de ‘axé music’.
e) Alguém que não goste de ‘axé music’ é baiano.
25. Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição sufi ciente para chover.
c) Chover é condição necessária e sufi ciente para fazer frio.
d) Chover é condição sufi ciente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e sufi ciente para chover.
26. (Esaf) Seis pessoas – A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesa
redonda para discuƟ r um contrato. Há exatamente seis cadeiras em torno da
mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa e numa posição
diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição
das pessoas à mesa deve saƟ sfazer às seguintes restrições:
F não pode sentar-se ao lado de C
E não pode sentar-se ao lado de A
D deve sentar-se ao lado de A
Então uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é:
a) F, B, C, E, A, D
b) A, E, D, F, C ,B
c) A, B, F, C, D, E
d) F, D, A, C, E, B
e) F, E, D, A, B, C
27. (Esaf) Dizer que é verdade que “para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então x
está saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que
a) “algumas rãs que não são verdes estão saltando”
b) “algumas rãs verdes estão saltando”
c) “nenhuma rã verde não está saltando”
d) “existe uma rã verde que não está saltando”
e) “algo que não seja uma rã verde está saltando”
28. (Gestor/2000) A parƟ r das seguintes premissas:
Premissa 1: “X é A e B, ou X é C”
Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C”
Premissa 3: “Y não é C”
53
Conclui-se corretamente que X é:
a) A e B.
b) não A ou não C.
c) A ou B.
d) A e não B.
e) não A e não B.
29. A proposição “Todo A é B” não é equivalente a:
a) Se A, então B.
b) Se não B, então não A.
c) Se não A, então não B.
d) B é necessário para A.
e) A é sufi ciente para B.
30. Se é verdade que todo atávico é belicoso, então: também é verdade que:
a) Todo belicoso é atávico.
b) Algum atávico não é belicoso.
c) Nenhum atávico é belicoso.
d) Se não é atávico então não é belicoso.
e) Se não é belicoso então não é atávico.
31. Se Ana é atenciosa, então Bruna é bagunceira.
Se Bruna é bagunceira, então Carla é carinhosa.
Sabe-se que Bruna não é bagunceira. Logo:
a) Ana é atenciosa e Carla é carinhosa.
b) Ana não é atenciosa e Carla não é carinhosa.
c) Ana não é atenciosa e Carla é carinhosa.
d) Carla é carinhosa, mas nada se pode afi rmar sobre Ana.
e) Ana não é atenciosa, mas nada se pode afi rmar sobre Carla.
32. Se Bruna brinca, Rita ri.
Se Rita ri, Carla canta.
Se Carla canta, Diana dança.
Se Diana dança, Lulu late.
Com base nestas proposições, pode-se concluir que:
a) Se Bruna não brinca, então Rita não ri, Carla não canta, Diana não dança e Lulu 
não late.
b) Se Rita não ri, então Carla não canta, Diana não dança, Lulu não late e Bruna
não brinca.
c) Se Carla não canta, então Diana não dança, Lulu não late, Bruna não brinca e
Rita não ri.
d) Se Diana não dança, então Lulu não late, Bruna não brinca, Rita não ri e Carla
não canta.
e) Se Lulu não late, então Bruna não brinca, Rita não ri, Carla não canta e Diana
não dança.
33. Assinale a alternaƟ va que apresenta uma contradição lógica:
a) Todo dramaturgo não é perspicaz e algum perspicaz é dramaturgo.
b) Todo dramaturgo é perspicaz e algum perspicaz não é dramaturgo.
54
c) Nenhum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.
d) Algum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.
e) Algum dramaturgo não é perspicaz e todo perspicaz é dramaturgo.
34. Todo criança gosta de brincar.
Logo:
a) Se Miriam não gosta de brincar, então Miriam não é uma criança.
b) Se Miriam é uma criança, então Miriam não gosta de brincar.
c) Se Miriam gosta de brincar então Miriam é uma criança.
d) Se Miriam não é uma criança então Miriam não gosta de Brincar.
e) Se Miriam não é uma criança então Miriam gosta de Brincar.
35. Altair é alto ou Bruna é bela.
Altair não é alto.
Logo:
a) Bruna não é bela.
b) Altair é alto.
c) Bruna é bela.
d) Altair é alto e Bruna é bela.
e) Altair não é alto e Bruna não é bela.
36. Todo atleta é batalhador.
Sophia é atleta.
Logo:
a) Sophia é atleta e batalhadora.
b) Sophia é atleta, mas não é necessariamente batalhadora.
c) Sophia é batalhadora, mas não necessariamente é atleta.
d) Sophia não é atleta e nem batalhadora.
e) Ou Sophia é atleta ou Sophia é batalhadora.
37. Todo ator é bonachão.
Luís não é bonachão.
Logo:
a) Luís é ator.
b) Luís pode ser ator, bem como pode não sê-lo.
c) Luís é bonachão e não é ator.
d) Luís não é ator.
e) Ou Luís não é ator ou Luís não é Bonachão.
38. Todo homem que gosta de andar tem muitas bermudas.
Todo homem que come couve gosta de andar.
Logo:
a) Todo homem que tem muitas bermudas come couve.
b) Todo homem que come couve tem muitas bermudas.
c) Todo homem que tem muitas bermudas gosta de