Teoria, Explicações e Exemplos de Derivadas - Calculo I

42
26342163
−+
+−+−−+−+
=
xx
xxxxxxxxx
dx
dy
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 133 
c) 
[ ]
10
45
2232
223223
2
5)ln(1010)ln()10ln(10
)45(3
)4103(3)45)(3ln(3)log()43()45(3)10ln(
43)log()32(
x
xxx
x
x
xxx
xxxxxxxxxxx
x
xx
xx
dx
dy
x
x
x
x
xxx
⋅−⋅





+
+
+−
+−++−⋅+−−+−⋅




 +−
+−
=
 
21) Demonstração feita em sala de aula. 
 
22) Demonstração feita em sala de aula. 
 
23) Demonstração feita em sala de aula. 
 
24) Demonstração feita em sala de aula. 
 
25) Demonstração feita em sala de aula. 
 
26) Demonstração feita em sala de aula. 
 
27) 
 
a) )(ln4 xy = b) )cos( 2xy = 
 
28) 
 
a) ( ) ( )2223 22 ++= xxx
dx
dy
 
b) )cos()(sen4 3 xx
dx
dy
= 
c) )cos(4 43 xx
dx
dy
= 
d) )e(sec)e(cotge2 2222 xxx
dx
dy
= 
e) ( ) ( ) [ ])3ln(353535sen)2ln(2 35cos xxxx xx
dx
dy x
⋅+⋅⋅⋅−= ⋅ 
f) 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]1046
3544625462
27
84227)ln(cos5272)ln(sen
xx
xxxxxxx
x
x
dx
dy
−
−⋅−⋅−−⋅⋅−
= 
g) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ])ln(sec
6)ln(tg)ln(sec)log(5sen)ln(sec)10ln(
55)log(23)5ln(5)log(5cos
62
66526252252 3333
x
x
xxxx
x
xxx
dx
dy
xxxxxxxx
⋅−⋅






⋅++⋅
=
++++
 
 
29) 
 
[ ] )cosh()(senh xx
dx
d
= [ ] )(senh)cosh( xx
dx
d
= [ ] )(sech)(tgh 2 xx
dx
d
= 
[ ] )(sechcos)(cotgh 2 xx
dx
d
−= [ ] )(tgh)(sech)(sech xxx
dx
d
−= 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 134 
 
[ ] )(cotgh)(sechcos)(cossech xxx
dx
d
−= 
 
31) 
 
a) 
y
xy −=' b) )2ln(2)(sene
e)2ln(22
' 3
21
⋅⋅−−
⋅−⋅⋅+⋅
=
+
xy
yyxxy
xyx
xxyxy
 
c) 3
3
e3)(sen4
e5
'
23 y
y
xyyy
y
−−
+
= d) )(sec
)cos(
' 2 y
xy = 
e) )cos(2
)(sen
' 432
4
yyxy
yxy
−
⋅
= f) 
y
xxy
2
)(sec5
'
524
= 
g) 
21
1
'
x
y
−
= h) 21
1
'
x
y
+
= 
 
33) 
 
a) ( ) ( ) 133 26)2ln(23 −⋅+⋅⋅= xx xxx
dx
dy
 
b) )(sen22221)(cos 2222 )(cos)(sen)cos()ln(4 xx xxxxxx
dx
dy
−+
⋅+⋅⋅⋅−= 
c) [ ]1)ln()cos( +⋅⋅= xxx
dx
dy xx
 
d) [ ] [ ] [ ] )(cotg)(cossec)ln()(cossecln)(cossec )ln(1)ln( xxxxxx
dx
dy xx
⋅⋅−⋅⋅=
−
 
 
34) 44 −= xy 
 
35) ( )2
5
44 −=− xy 
 
36) ( )3
4
11 +=+ xy 
 
37) 





−−=−
32
1
4
3 pi
xy 
 
 
38) ( )( ) ( )( )( )22
22
2
2'22232'22'2
''
xxy
xyxyxyyxxyyxyyyy
+
+⋅+−−−+⋅−−⋅−
= , em que 
2
2
2
23
'
xxy
xyyy
+
−−
= 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 135 
39) 
 
a) 5 0 ≥∀= n
dx
yd
n
n
 b) ( ) x
n
n
dx
yd 2n e2 −⋅−= 
c) [ ] x
n
n
dx
yd
−
⋅−= 3)3ln( n d) ( ) ( )
nn
n
x
n
dx
yd !11 1n −⋅−= +