Aula 7 Erro de Medicao Continuacao

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
Núcleo de Engenharia Mecânica 
Prof. Macclarck Nery 
AULA 7 – SUMÁRIO 
 Erro de Medição - Continuação 
◦ Curva de erros e erros máximo; 
◦ Representação gráfica dos erros de medição; 
◦ Erro ou incerteza? 
◦ Fontes de erro; 
◦ Superposição de erros; 
◦ Exercícios. 
 
Curvas de Erros 
Se: 
 existe um padrão e 
 se o valor convencional é conhecido. 
É possível: 
 Estimar a parcela sistemática do erro de medição 
pela tendência e calcular a correção que deve ser 
aplicada para compensar os erros sistemáticos. 
 Estimar a faixa dentro da qual é esperado o erro 
aleatório – a repetitividade – calculada a partir da 
incerteza-padrão. 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Curvas de Erros 
Para o exemplo da balança: 
 Tendência: + 15 g; 
 Repetitividade: 3,7 g. 
Significa: 
 Erro da balança tem (por média): 15 g; 
 Com 95,45 % de probabilidade, distribui-se na faixa 
de: 15  3,7g; 
 Os erros não estarão sempre dentro dessa faixa, para 
novos padrões esses valores podem mudar. 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Curvas de Erros 
É conveniente: 
Determinar a tendência e a repetitividade do sistema 
de medição para vários pontos da faixa de medição. 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Curvas de Erros 
No exemplo da balança: 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Curvas de Erros 
No exemplo da balança: 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
indicação 
erro 
1015 
15 
Td 
Td + Re 
Td - Re 
Emáx 
- Emáx 
Curvas de Erros 
No exemplo da balança: 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Indicação 
Curvas de Erros 
 Curva de erros: 
◦ É o gráfico que representa a distribuição dos 
erros sistemáticos e aleatórios ao longo 
da faixa de medição. 
 Erro máximo: 
◦ É o maior valor em módulo do erro que 
pode ser cometido pelo sistema de medição 
nas condições em que foi avaliado. 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Representação Gráfica dos Erros de Medição 
Sistema de medição “perfeito” (indicação = VV) 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
1000 1020 1040 960 980 
mensurando 
1000 1020 1040 960 980 
indicação 
Representação Gráfica dos Erros de Medição 
Sistema de medição com erro sistemático apenas 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
1000 1020 1040 960 980 
mensurando 
1000 1020 1040 960 980 
indicação 
+Es 
Representação Gráfica dos Erros de Medição 
Sistema de medição com erro sistemático apenas 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
1000 1020 1040 960 980 
mensurando 
1000 1020 1040 960 980 
indicação 
Re 
Representação Gráfica dos Erros de Medição 
Sistema de medição com erro sistemático apenas 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
1000 1020 1040 960 980 
mensurando 
1000 1020 1040 960 980 
indicação 
+Es 
Re 
Erro ou Incerteza 
 Erro de medição: 
◦ é o número que resulta da diferença entre a 
indicação de um sistema de medição e o valor 
verdadeiro do mensurando. 
 Incerteza de medição: 
◦ é o parâmetro, associado ao resultado de uma 
medição, que caracteriza a faixa dos valores 
que podem fundamentadamente ser atribuídos 
ao mensurando. 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Fontes de Erros 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
sistema de medição 
sinal de 
medição indicação 
fatores 
internos 
fatores externos 
fatores externos 
retroação retroação 
operador 
mensurando 
Fontes de Erros 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
◦ Imperfeições dos componentes e 
conjuntos (mecânicos, elétricos, etc). 
◦ Não idealidades dos princípios físicos. 
força 
alongamento 
região linear região não linear 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Erros provocados por fatores externos 
 Condições ambientais: 
◦ temperatura; 
◦ pressão atmosférica; 
◦ umidade. 
 Tensão e frequência da rede elétrica 
 Contaminações 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Erros provocados por retroação 
• A presença do sistema de medição 
modifica o mensurando. 
65 °C 
65 °C 70 °C 
20 °C 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Erros induzidos pelo operador 
◦ Habilidade 
◦ Acuidade visual 
◦ Técnica de medição 
◦ Cuidados em geral 
◦ Força de medição 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Dilatação Térmica 
◦ Propriedade dos materiais modificarem suas 
dimensões em função da variação da 
temperatura. 
b b' 
c' 
c 
b = b' - b 
c = c' - c 
b =  . T . b 
c =  . T . c 
T 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Dilatação térmica 
Distintos coeficientes de expansão térmica 
20°C 40°C 10°C 
I = 40,0 
I = 44,0 
I = 38,0 
 >  
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Dilatação térmica 
Mesmos coeficientes de expansão térmica 
20°C 40°C 10°C 
I = 40,0 
I = 40,0 
I = 40,0 
 =  
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Dilatação térmica 
Ci 
Ce 
Sabendo que a 20C 
Ci = Ce 
Qual a resposta certa a 
40C? 
(a) Ci < Ce 
(b) Ci = Ce 
(c) Ci > Ce 
(d) NRA 
α = α 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Dilatação térmica 
(a) Ci < Ce 
(b) Ci = Ce 
(c) Ci > Ce 
(d) NRA 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
 
Micrômetro 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Correção devido a temperatura 
 
 SM Peça a medir Correção devido à temperatura 
Mat Temp. Mat Temp. 
A 20 °C A 20 °C C = 0 
A TSM  20 °C A TP = TSM C = 0 
A TSM A TSM  TP C = A . L . (TSM - TP) 
A 20 °C B 20 °C C = 0 
A TSM  20 °C B TSM = TP C = (A - B). (TSM - 20°C) . L 
A TSM B TSM  TP C = [A . (TSM - 20°C) - B . (TP - 20°C)] . L 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
1. A tensão elétrica de uma pilha foi repetidamente medida 
por meio de um voltímetro comprado no Paraguai. Foram 
obtidas as indicações abaixo (todas em V). Determine: 
 
a) o valor médio das indicações, 
b) o valor do erro aleatório para cada indicação, 
c) o desvio padrão experimental e 
d) a repetitividade para 95% de confiabilidade: 
 
1,47 1,43 1,40 1,44 1,44 
1,48 1,42 1,45 1,46 1,43 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
• Dados do problema: 
Indicações de 10 leituras da tensão. 
• Equações para a solução do problema: 
 
 
 
n
I
I i
i

IIEa 
1
)(
u 1
2





n
II
n
i
i
ut.Re  1 n
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Tabela com os dados: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(a) Média das indicações: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
n
I
I i
i

AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(a) Média das indicações: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
n
I
I i
i
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(b) Valor do erro aleatório, Ea: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
IIEa 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(b) Valor do erro aleatório, Ea: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
IIEa 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(b) Valor do erro aleatório, Ea: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
IIEa 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(b) Valor do erro aleatório, Ea: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
IIEa 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(c) Desvio-padrão da amostra, (incerteza-padrão), u: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
1
)(
u 1
2





n
II
n
i
i
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(c) Desvio-padrão da amostra, (incerteza-padrão), u: 
 
 
 
No I Ea (I-IM)^2 
1 1.47 0.028 0.000784 
2 1.43 -0.012 0.000144 
3 1.4 -0.042 0.001764 
4 1.44 -0.002 4E-06 
5 1.44 -0.002 4E-06 
6 1.48 0.038 0.001444 
7 1.42 -0.022 0.000484 
8 1.45 0.008 6.4E-05 
9 1.46 0.018 0.000324 
10 1.43 -0.012 0.000144 
Média 1.442 2.22E-16 0.00516 
V 0.023944u
9
00516,0
1
)(
u
12
1
2







u
n
II
i
i
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(c) repetitividade para 95% de confiabilidade, Re: 
 
 
 ut.Re 
1 n
99110  
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(c) repetitividade para 95% de confiabilidade, Re: 
 
 
 
 t  t  t  t
1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.032
2 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.028
3 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.025
4 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.017
5 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.013
6 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.003
7 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.000
8 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.000
9 2.320 18 2.149 70 2.036  2.000
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
(c) repetitividade para 95% de confiabilidade, Re: 
 
 
 
V
ut
055551,0Re
055551,0023944,032,2.Re


AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Resposta: 
 
(a) Média: 1,442 V 
(b) Erro aleatório: resultado na tabela. 
(c) Desvio-padrão da amostra: 0,023944 V 
(d) Repetitividade: 0,055551 V 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
2. Para avaliar o desempenho metrológico de um voltímetro portátil, uma pilha-
padrão de (1,500 ± 0,001) V foi medida repetidamente. As indicações obtidas 
estão apresentadas na Tabela 1, todas em volts. Com esses dados, determine: 
 
(a) o valor do erro da primeira medição; 
(b) a tendência e a correção do voltímetro; 
(c) a incerteza-padrão e 
(d) a repetitividade do voltímetro. 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Dados do problema: 
• Objeto de estudo: pilha-padrão de (1,500 ± 0,001) V 
• Indicações obtidas em 12 medições: 
 
 
 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Pede-se: 
 
 
 
(a) o valor do erro da primeira medição; 
(b) a tendência e a correção do voltímetro; 
(c) a incerteza-padrão e 
(d) a repetitividade do voltímetro. 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Pede-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) o valor do erro da primeira medição; 
(b) a tendência e a correção do voltímetro; 
(c) a incerteza-padrão e 
(d) a repetitividade do voltímetro. 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Equações: 
 
 
 
n
I
I i
i

IIEa 
1
)(
u 1
2





n
II
n
i
i
ut.Re 
1 n
VVIEM 
IVVCC 
VVCITd 
AULA 7 – Erro de Medição 
 
Exercícios 
Solução: 
Respostas: 
 
 
 
No. Indicação EM C (I-IM)^2 
1 1.580 0.080 -0.09058 0.000112 
2 1.602 0.102 -0.09058 0.00013 
3 1.595 0.095 -0.09058 1.95E-05 
4 1.570 0.070 -0.09058 0.000424 
5 1.590 0.090 -0.09058 3.4E-07 
6 1.605 0.105 -0.09058 0.000208 
7 1.584 0.084 -0.09058 4.33E-05 
8 1.592 0.092 -0.09058 2.01E-06 
9 1.598 0.098 -0.09058 5.5E-05 
10 1.581 0.081 -0.09058 9.18E-05 
11 1.600 0.100 -0.09058 8.87E-05 
12 1.590 0.090 -0.09058 3.4E-07 
Média 1.591 0.091 -0.091 0.001175 
Tendência: 0.091 V 
Grau de liberdade: 11 
Incerteza-padrão: 0.010335 V 
Valor de t: 2.255 
Repetitividade: 0.023305 V 
Aula 7 – Foi visto: 
 Erro de Medição - Continuação 
◦ Curva de erros e erros máximo; 
◦ Representação gráfica dos erros de medição; 
◦ Erro ou incerteza? 
◦ Fontes de erro; 
◦ Superposição de erros; 
◦ Exercícios. 
 
Aula 8 – Próxima Aula: 
 Erro de Medição 
◦ Resolução de exercícios 
 
 
 
 
FIM